CC BY
21Отсутствие противоречия иллюстрирует рис. 4, где представлены графики экспоненциальной 1 и тригонометрической 2 составляющих решения (10), а также результат их произведения 3.
Точки максимумов графика функции ехр(§ сИ) образуют бесконечно возрастающую последовательность, в то время как точки минимума последовательность, стремящуюся к нулю. При соответствующей фазе трш'онометрической части, которая определяется начальными условиями, может возникать либо возрастающее, либо стремящееся к нулю решение. Вычисления произведены для значений со = 2, ¡л = 0,05, т.е. в центре основной резонансной области. г>нс- Затухающее решение
Заключение. Предлагаемый метод предоставляет новые возможности для изучения свойств решений уравнения Матье в силу следующих особенностей: 1) вся совокупность решений (1) с произвольными начальными условиями (однопараметричеекое семейство) выражается через одно произвольное решение вспомогательной системы (8); 2) вспомогательная система, как и уравнение (1), в отсутствие возмущения имеет аналитическое решение; 3) как показали численные эксперименты, вспомогательная система в зависимости от частоты возмущения всех да имеет либо периодическое решение, либо неограниченно возрастающее, причем периодические решения устойчивы, в отличие от периодических решений уравнения Матье.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Якубович В.А., Старжиткий В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука. 1972.
2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967.
3. Каленова В.И., Морозов В.М. Линейные нестационарные системы и их приложения к задачам механики. М.: Физматлит, 2010.
4. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ. 1952.
5. Боголюбов Н.Н., Митропольекий Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974.
6. Сейранян А.П. Качели, параметрический резонанс // Прпкл. матем. и механ. 2004. 68. вып. 5. 847 856.
7. Акуленка Л.Д., Нестеров С.В. Параметрические колебания механической системы и их устойчивость при произвольном коэффициенте модуляции // Изв. РАН. Мсхан. твердого тела. 2013. № 2. 3 13.
8. Холоетова О.В. Об устойчивости относительных равновесий двойного маятника с вибрирующей точкой подвеса /'/' Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 4. 18 30.
9. Леонов Г. А. Эффективные методы поиска периодических колебаний в динамических системах // Прикл. матем. и механ. 2010. 74. вып. 1. 37 73.
10. Буданов В.М. Об одной изохронной нелинейной системе // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 59 63.
Поступила в редакцию 21.09.2015
УДК 532.516
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕКАЮЩЕЙ ПЛЕНКИ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ В ПЕРЕМЕННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Е. И. Могилевский1, В. Я. Шкадов2
В работе исследуется течение тонкой пленки вязкой проводящей жидкости, стекающей по одной из обкладок вертикально расположенного плоского конденсатора, подключенного к источнику переменного напряжения. Показано, что наличие электрического
1 Могилевский Евгений Ильич капд. фго.-мат. паук, доцепт каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ. е-шаП: mogilevskiyOmecli.mat.li.msu.su.
2 Шкадов Виктор Яковлевич доктор фго.-мат. паук. проф. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ. е-таП: slikadovOmecli.mat.li.msu.su.
поля приводит к дестабилизации течения, кроме того, наблюдается параметрический резонанс капиллярных волн.
Ключевые слова: тонкие пленки, электрическое поле, параметрический резонанс, теория Флоке.
In the paper we consider the thin conducting viscous liquid film flow down along one of the plates of a capacitor connected to an AC power supply. It is shown that the presence of the electric field leads to the destabilization of the flow; moreover, the parametric resonance of capillary waves is observed.
Key words: thin films, electric field, parametric resonance, Floquet theory.
1. Введение. Пленочные течения вязкой жидкости широко применяются во многих индустриальных приложениях, в частности, они используются для интенсификации процессов тепло-и массообмена, организации химических реакций. С практической точки зрения необходимо уметь предсказывать характеристики потока при заданных внешних параметрах.
Задача о стекании плоского слоя вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести допускает точное решение уравнений Навье-Стокса (решение Нуссельта), однако в работе [1] экспериментально была показана неустойчивость плоской свободной границы и найдены некоторые волновые режимы течения: медленные волны, близкие к гармоническим; быстрые нелинейные волны, сопровождающиеся капиллярной рябью; последовательности уединенных волн. Математическая модель, предложенная в [2, 3], описывает подобные течения. Выведенная в указанных работах система эволюционных уравнений дала возможность как истолковать многие экспериментальные данные, так и поставить и решить ряд математических задач (см., например, обзор [4]).
Влияние электростатического поля на стекание жидкой пленки впервые было исследовано в [5] для течения по наклонной плоскости. Анализ линейной устойчивости тривиального решения с плоской границей раздела показал, что внешнее однородное поле, нормальное к невозмущенной поверхности жидкости, оказывает дестабилизирующее влияние, приводящее к увеличению диапазона волновых чисел неустойчивых возмущений и уменьшению критического числа Рейнольдса. Были найдены фазовые скорости и амплитуды слабонелинейных волн, которые развиваются только в присутствии электрического поля.
В работах [6, 7] продолжен анализ слабонелинейных волн в предположении, что толщина пленки бесконечно мала.
В статье [8] изучается устойчивость неподвижного горизонтального слоя вязкой жидкости конечной толщины в нормальном электростатическом поле. Показан механизм зарождения волн под влиянием индуцированного на свободной поверхности заряда и их затухания при существенном влиянии вязкости. В [9] приведен полный анализ линейной устойчивости неподвижного горизонтального слоя тяжелой вязкой жидкости большой толщины в электрическом поле. Исследованы случаи нормального или касательного постоянного поля, а также переменного нормального поля.
В [10] показан механизм возникновения течения жидкости по наклонной плоскости вверх в неоднородном электрическом поле.
Важной особенностью пленочных течений является большое разнообразие волн, развивающихся на поверхности [1-4]. При этом характеристики тепло- и массообмена для разных режимов могут существенно отличаться. Чтобы выделить одну частоту из спектра неустойчивых возмущений, в течения могут вноситься периодические возмущения. В [11, 12] рассмотрено течение пленки жидкости по плоскости с периодическим рельефом. В [13] исследована устойчивость течения пленки вязкой жидкости по поверхности, совершающей гармонические колебания.
В настоящей работе изучается возможность управления течением пленки с помощью внешнего электрического поля. Основной целью является исследование взаимодействия гидродинамических мод неустойчивости с внешним переменным полем постоянной частоты.
2. Постановка задачи. Рассмотрим плоский конденсатор, обкладки которого вертикальны; по одной из них под действием силы тяжести стекает вязкая несжимаемая жидкость плотности р с коэффициентом кинематической вязкости v и динамической ¡i = vp. Направим ось Ох* вдоль смоченной обкладки вниз, ось Оу* — перпендикулярно поверхности в сторону жидкости, ось Oz* дополняет систему координат до правой тройки. Жидкость занимает область 0 ^ у* ^ h*(t*,x*), t* — время. Здесь и далее величины с индексом * размерные.
Жидкость является идеальным проводником, на свободной поверхности действует поверхност-
иое натяжение с коэффициентом а. Между обкладками конденсатора задано переменное напряжение расстояние между ними с! много больше характерной толщины пленки. Внутри жидкости напряженность электрического поля равна нулю, на свободной поверхности индуцируется заряд с конечной поверхностной плотностью. Трение с внешней средой отсутствует, однако при рассмотрении баланса механических напряжений необходимо учитывать ненулевые значения тензора напряжений Максвелла во внешней среде.
Введем обозначения: и* и V* — продольная и поперечная компоненты скорости, р* — давление, д — ускорение свободного падения. Двумерное нестационарное течение жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса:
du* dt* dv* ~dt*
* du* * du*
+ u^гт +v* — = dx* dy*
+ u* dv* I v*dv*
dx* dy
*
du* dx*
+
1 dp* p dx* 1 df_ p dy
dv* dy*
+ v
d2u* d2u* +
dx*2 fd2v* * \dx*2
0.
dy*2 d2v*
+ 9,
+
dy
*2 / '
(1)
Напряженность электрического поля имеет потенциал Е* = — gradf£>*, являющийся решением задачи Дирихле:
d2ip* d2ip
+
0,
dx*2 dy*2 <p{x*,h*{x*,t),t) = 0, <p*(x*,d*,t*) = V*{t*).
Поле скоростей и давлений удовлетворяет граничным условиям
(2)
у* = 0 у* = h*(x*,t*)
1 _ fdh* \dx*
* £о , ( dtp*
р°~р -уb{dr
и
0;
+ 2 ¡1
2 -bdy Ро = const
dx*2 '
0,
6 = 1 +
dh*
dx*
(3)
где eo — электрическая постоянная.
При h*(x*,t*) = Н* = const задача имеет точное решение:
H* ^ у* 0 ^ у* ^ Н*
и
дН
Зг/
р* = V
у* -Н*
d-H*
*2
н*
11 н*
П Î71*2
<р =0, р = р0 - — Ь0 ,
Е*п =
V* = 0,
V*(t*) d-H*
Параметры этого решения H*, U* = дН*2/(Зг/), Е* = V*/{d - H*), p* = pU*2, где V* — характерное значение функции V*(t*), выберем в качестве масштабов координаты у*, скорости и*, напряженности электрического поля и давления, безразмерный электрический потенциал определим соотношением <р = ip*/V*. Для координаты х* выберем другой масштаб L, который определим ниже, а компоненту скорости v* отнесем к величине U*H*/L.
Задача (1)-(3) содержит следующие безразмерные параметры:
Re =
U±H*
We =
pu? H*
а
Ne =
ерЕ*2 2pU*2 '
H*
T
_ 1 /о
Для жидкостей, у которых число Капицы 7 = а (р3^4) 2> 1, возможна ситуация, когда гравитационные, капиллярные и вязкие силы имеют один порядок, а волны являются длинными:
е2 < 1, е11е_1 < 1, е2 3 1
— ~ 1.
We eRe 5 5
Параметр подобия 5, введенный в [3], позволяет существенно упростить параметрическое исследование задачи.
Нормальные напряжения, возникающие при деформациях свободной поверхности из-за перераспределения зарядов, вычислены, например, в [8]. Если h = 1 + г]егах, то с точностью до членов порядка (Н* / d)2 получим ре = Ne(l + 2ear]).
Запишем локальный мгновенный профиль продольной скорости следующим образом:
Подставляя такой вид решения в уравнения Навье-Стокса и интегрируя по толщине пленки, получаем систему эволюционных уравнений (нижний индекс означает дифференцирование по соответствующей переменной):
Ы + дх = 0,
,,2 4
qt + \ (j) = (hhxxx + + feV2(t)hFx(h)
00 00
h = l+ Y, akeiakx, F(h) = a Y, \k\akeiakx,
(4)
k=—00 k=—00
fe = 10 eöNe.
Функция F(h) является преобразованием Гильберта hx:
00
hx(Q x-í
F(h) =n[hx]=ir-1V.p. j
di,
несобственный интеграл понимается в смысле главного значения.
Для пленок воды толщиной 0,15 мм при температуре 20°С имеем ö ~ 0,1. Если напряженность электрического поля близка к пробою воздуха 3 • 106 В/м, то /е ~ 3.
3. Анализ линейной устойчивости. Рассмотрим малые периодические по пространству возмущения тривиального решения h = 1, q = 1 в виде
h = 1 + h(t)eiax, q = 1 + q(t)eiax.
Подставляя их в (4), проводя линеаризацию и опуская знак тильды, получим
5öh" + (1 + 12iaS)h' + (-6а26 + а4 + 3га - a3feV2(t)) h = 0. (5)
Это уравнение является обобщением уравнения Матье.
Будем исследовать поведение функции h(t) для случаев V(t) = const и V(t) = sin Ш. Если h(t) растет со временем, течение является неустойчивым.
Если V(t) = Vo = const, то уравнение (5) имеет постоянные коэффициенты и его решение записывается в виде h(t) = ho exp(—ícot). Подставляя такое представление в (5), получаем дисперсионное соотношение
-Ъ5ш2 + (-г + 12а5)ш + (-6а26 + а4 + Зга - a3feV02) = 0,
которое есть квадратное уравнение относительно со. Неустойчивыми являются возмущения с такими волновыми числами а, для которых хотя бы один корень имеет положительную мнимую часть, при
этом инкремент нарастания есть Imw = w». Если возмущения нейтральны = 0), то их частота шп = Зап, а волновое число ап удовлетворяет уравнению
«П - CínfeVo - Ш = 0.
Аналогичные уравнения были получены в [5 7] в других обозначениях. У даннохх) уравнения два действительных корня разных знаков, значит, имеется диапазон волновых чисел вида [0, ап], соответствующих неустойчивым возмущениям. Нейтральное волновое число ап растет с увеличением /е.
Пусть V(t) = sin Qí. В этом случае (5) представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Для анализа сх'о решений воспользуемся теорией Флоке.
Пусть hi(t), h'2(í) линейно независимые решения уравнения (5). При этом выполняется следующее представление:
//íi(í + 2тг/П)\ = (апа12\ (hi(t)\ \h2(t + 2tt/Q) J V°21 022J \h2(t)J •
Уравнение имеет растущее со временем решение, если хотя бы один из мультипликаторов Л собственных чисел матрицы {(%•} лежит за пределами единичного крута на комплексной плоскости. При этом инкремент нарастания определяется соотношением = 27tQ—1 In | Л|. Чтобы вычислить элементы матрицы и получить характеристическое уравнение относительно Л, необходимо двукратно проинтегрировать (5) на любом отрезке длины 27tQ_1 с линейно независимыми начальными условиями, например на отрезке [0, 27tQ-1]:
МО) = 1, /7^(0) = о,
(о)
МО) = о, /?'2(0) = 1.
Задача (5), (6) содержит четыре параметра: 5, /е, а, О. Рассмотрим влияние частоты элек-трическох'о ноля на инкремент нарастания возмущений в пленке. В качестве отсчетнохх) значения разумно принять значение полученное при V'2(t) = 0,5, что соответствует среднему значению \ - С / > >пг<2/.
Зависимость от Q показана на рис. 1, а, б для параметров, соответствующих точкам А, В, указанным на рис. 2. Если Q велико, то близко к wf®, но меньше этой величины. При малых значениях Q видно, что > Таким образом, при переменном электрическом поле небольшой частоты имеем больший диапазон неустойчивых волновых чисел, чем при постоянном поле toix) же эффективших) значения. Тем не менее постоянное электрическое поле, равное переменному по амплитуде, приводит к большему диапазону неустойчивости.
а 6
Рис. 1. Зависимость инкремента нарастания малых возмущений от частоты электрического поля, пунктирные линии значения частоты колебаний и инкремента нарастания при постоянном
эффективном значении поля Рассмотрим влияние переменншх) электрическшх) поля на короткие волны (а 2> 1), частота которых велика. Введем новую независимую переменную т = сх2(Ъ5)~1/21. В нулевом приближении по а~1 получим
М + /г = 0.
В следующем приближении уравнение (5) принимает вид
+1«"' ■^тг'+ ~ ё+Ь(» ^т))" = (7)
При 1 <С /е <С о уравнение (7) в точности имеет форму уравнения Матье, следовательно, наблюдаются параметрические резонансы, если выполняется соотношение
1 о2
П = --щ, п = 1,2,....
При п = 1 получим частоту капиллярных волн на поверхности тонкого неподвижного слоя идеальной жидкости.
Несмотря на то, что приведенный анализ справедлив только при о 1, немонотонная зависимость инкремента нарастания от о наблюдалась в расчетах и вне указанной асимптотической области (рис. 1,6). При больших значениях о возмущения затухают вне окрестности резонансной частоты первого порядка, однако в узком диапазоне частот инкремент нарастания может достигать больших положительных значений (см. рис. 1,6).
Таким образом, наличие переменного электричееко-IX) ноля в силу механизма параметрических) резонанса может привести к развитию неустойчивости тех возмущений, которые затухали при постоянном электрическом ноле. На рис. 2 области на плоскости параметров (о, /е) при 6 = 0,05; 0,15, где течение неустойчиво при некоторых О, располагаются выше сплошной кривой. Пунктиром обозначена кривая = 0.
В зависимости от параметров /е, 6 диапазон волновых чисел неустойчивых возмущений представляет собой либо луч [0, оо), либо отрезок и луч [0,0:1] и [02,00). При больших значениях о возмущения нарастают только в очень узком диапазоне достаточно высоких частот. При любом ограничении на частоту П < По область неустойчивости становится замкнутой по о.
4. Заключение. Наличие нормального к невозмущенной поверхности электрического поля при отекании пленки проводящей вязкой жидкости приводит к дополнительной дестабилизации течения из-за максвелловских нормальных напряжений, связанных с перераспределением зарядов по поверхности пленки. Если напряженность поля постоянна, то характер неустойчивости качественно не отличается от наблюдаемого в отсутствие поля: диапазон волновых чисел увеличивается, но величины фазовых скоростей и инкрементов нарастания имеют тот же порядок. В случае, если электрическое поле изменяется со временем по гармоническому закону, обнаружены следующие закономерности. Поле высокой частоты действует так же, как и постоянное поле такого же эффективного значения (равного амплитудному, деленному на \/2). При малых значениях частоты инкремент нарастания больше, чем при больших, однако меньше, чем для постоянного поля, равного по величине амплитуде переменного поля. Имеют место эффекты параметрического резонанса, приводящие к значительному увеличению инкрементов нарастания при определенном соотношении частоты поля и волнового числа возмущения. В частности, при достаточно большой амплитуде напряженности поля в узком диапазоне частот становятся неустойчивыми короткие капиллярные волны. Вообще говоря, развитие малых возмущений может наблюдаться при любом значении о, если правильно подобрана частота электрического поля, однако для возбуждения коротких волн резонансная частота велика. Если допустимые значения частоты изменения электрического ноля ограничены, то неустойчивость бесконечно коротких волн не проявляется, что позволяет моделировать нелинейную волновую динамику с помощью рассматриваемой системы уравнений (4).
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 15 01 05186).
1 1 1 1 1 У / 1 1 1 1 ! ^^^^^ / ^ • В
Ч; V ; / г '/ ' V / / / / / 1 2 "Л
А 1 / / / / / / // 1/ 1 !
0 12 3а
Рис. 2. Нейтральные кривые для переменного поля (сплошные линии) и постоянного поля эффективного значения (пунктирные линии): 1 8 = 0,05: 2 0.15
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Капица П.Л., Капица С.П. Волновые течения тонких слоев жидкости // Журн. эксперим. и теор. физ. 1949. 19, № 2. 105-120.
2. Шкадов В. Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1967. № 1. 43-51.
3. Шкадов В.Я. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1968. № 2. 20-25.
4. Шкадов В.Я., Демехин Е.А. Волновые движения пленок жидкости на вертикальной поверхности (теория для истолкования экспериментов) // Успехи механики. 2006. 4, № 2. 3-65.
5. Gonzalez A., Castellanos A. Nonlinear electrohydrodynamic waves on films falling down an inclined plane // Phys. Rev. E. 1996. 53. 3573-3578.
6. Tseluiko D., Papageorgiou D. T. Wave evolution on electrified falling films //J. Fliud Mech. 2006. 556. 361-386.
7. Uma В., Usha R. A thin conducting viscous film on an inclined plane in the presence of a uniform normal electric field. Bifurcation scenarios // Phys. Fluids. 2008. 20. 022803 (1-17).
8. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А., Велоножко Д.Ф. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля слоя жидкости конечной толщины // Журн. техн. физ. 1997. 67, № 8. 27-33.
9. Сорокин В. А. Устойчивость равновесия, зарядка, конвекция и взаимодействие жидких масс в электрических полях. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009.
10. Могилевекий Е.И., Шкадов В.Я. Влияние рельефа подложки на течение пленки неньютоновской жидкости по наклонной плоскости // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 3. 49-56.
11. Шутов А.А. Течение наклонного поверхностно заряженного слоя в продольном электрическом поле // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2003. № 5. 36-42.
12. Heining С., Bontozoglou V., Aksel N., Wierschem A. Nonlinear resonance in viscous films on inclined wavy-planes // Int. J. Multiphase Flow. 2009. 35. 78-90
13. Буря А.Г., Шкадов В.Я. Устойчивость пленки жидкости, стекающей по колеблющейся наклонной поверхности // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2001. № 5. 3-13.
Поступила в редакцию 23.11.2015
УДК 531.396
ВОЗМУЩАЕМЫЕ СТАБИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ, II
В. В. Александров1, Т. Б. Александрова2, И. С. Коноваленко3, К. В. Тихонова4
Во второй части работы рассматривается новая задача о переходе в стабильной системе, обладающей двумя аттракторами.
Ключевые слова: возмущаемая стабильная система, робастная устойчивость, аттрактор, предельный цикл.
In the second part of this paper, a new problem of transition in a bistable system with two attractors is considered.
Key words: perturbed stable system, robust stability, attractor, limit cycle.
1. Введение. В настоящей работе продолжаются исследования, проведенные в [1]. В последнее время большое внимание уделяется возмущаемым системам на плоскости, имеющим два точечных
1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ; проф. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: vladimiralexandrov366Qliotmail.com.
2 Александрова Тамара Борисовна — канд. биол. наук, ст. науч. сотр. ИМИСС МГУ, e-mail: tamara366Qyahoo.com.mx.
3 Коноваленко Ирина Сергеевна — асп. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: IgritsaQi.ua.
4 Тихонова Катерина Владимировна — науч. сотр. ИМИСС МГУ, e-mail: katerina.tikhonovaQinnopractika.ru.
