CC BY
1017. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992.
18. Сорокин В.А. Устойчивость равновесия, зарядка, конвекция и взаимодействие жидких масс в электрических полях. М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2009.
19. Хргиан А.Х. Физика атмосферы. М.: Изд-во МГУ, 1986.
20. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.
Поступила в редакцию 27.10.2014
УДК 532.594
ВЛИЯНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ И НОРМАЛЬНЫХ СИЛ НА ПРОЦЕСС ФОРМИРОВАНИЯ ВОЛН
ПРИ СОВМЕСТНОМ ТЕЧЕНИИ ПЛЕНКИ ЖИДКОСТИ И ПОТОКА ГАЗА
А. Н. Белоглазкин1, В. Я. Шкадов2
Изучается влияние поверхностных сил на нелинейные волны, возбуждаемые гидродинамической неустойчивостью в течениях капиллярных пленок вязкой жидкости по внутренней поверхности трубки, продуваемой потоком газа.
Ключевые слова: касательные напряжения, вязкий газ, капиллярность, пленка, неустойчивость, нелинейные волны.
We study the effect of surface forces on nonlinear waves excited by hydrodynamic instability in the flow of a viscous fluid capillary film on the inner surface of the tube blown by a gas.
Key words: shear stresses, viscous gas, capillarity, film, instability, nonlinear waves.
1. Задача о совместном течении вязкой жидкости и газа в рамках полной системы уравнений Навье-Стокса является довольно сложной. Однако в случае течения тонкой пленки жидкости в поле силы тяжести и взаимодействующей с потоком газа общую задачу можно разделить и рассматривать две совместно решаемые задачи — задачу о течении тонкой пленки жидкости под действием касательных и нормальных составляющих сил, действующих на ее поверхности, и задачу обтекания потоком вязкого газа слабоволнистой поверхности.
Моделирование нелинейных волн в пленке, текущей по внутренней поверхности цилиндра и взаимодействующей с потоком газа, основывается на использовании обобщенной однопараметрической системы эволюционных уравнений для формы поверхности пленки и локального расхода жидкости [1]. Данная система, в отличие от двухпараметрической [2], является менее сложной и вполне пригодна для описания течения в пленке слабовязкой жидкости.
Результаты расчетов нелинейных волновых структур в широком диапазоне внешних управляющих параметров, основанные на модели [1], представлены в [3]. Данные исследования показали, что внешние поверхностные силы оказывают существенное влияние на формирование и устойчивость нелинейных волновых структур, а при достаточно сильном воздействии приводят к их разрушению.
В работе [4] предложены асимптотические соотношения для распределения давления и касательного напряжения на поверхности раздела. Вывод формул проведен в предположении, что длина волны много больше амплитуды, число Рейнольдса для газа велико, а вязкость газа проявляется лишь в тонком пристеночном слое, где невозмущенный профиль скорости близок к линейному. В [5] при использовании линейной модели взаимодействия пленки жидкости и газа асимптотические формулы для напряжений представлены в конечном виде; предполагалось, что на значения напряжений в окрестности поверхности раздела влияет лишь линейная часть невозмущенного профиля скорости.
2. Рассмотрим отдельно задачу о движении вязкого газа. Исследуем влияние характеристик слабоволнистой внутренней поверхности и аэродинамических параметров потока газа на значения
1 Белоглазкин Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: belQmech.math.msu.su.
2 Шкадов Виктор Яковлевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shkadovQmech.math.msu.su.
величины давления и касательного трения. Задача о возмущении характеристик течения, вызванного деформацией поверхности, сводится к решению краевой задачи для амплитуд возмущений скорости и давления |3|:
р" + --Р + 2 Ш'г; = О, У
п" +--
1 + ^г + ШЯех ) V - Иед • р' = О,
У V 2Г /
у = 0 : V = 0, г/ = —Шел,
у = ДА : у = 0, г/ = 0.
(1)
Здесь используются следующие обозначения: р{у) и г>(у) амплитуды возмущений скорости г/(х, у) и давления р'(х,у) внутри трубы соответственно; и (у) невозмущенный профиль скорости в трубе; Иел число Рейнольдса, рассчитанное по динамической скорости г>* и длине волны А; В,\ внутренний радиус трубы, отнесенный к длине волны А.
Искомыми величинами задачи (1) являются значения функции давления Ер{Иел) и функции касательного трения Рт(Ке\) на поверхности раздела жидкости и газа:
Ер = -р, Рт = Ьр'.
Малые возмущения нормальной Р'пп и касательной Р'пт составляющих тензора напряжений на поверхности раздела, вызванные возмущением этой поверхности /?', выражаются через Рр и Рт следующим образом:
Рпп(х) = Рр(Кех)1гех.р(1х), Р'гт(х) = Рт(Ке\)кехр^х), 1г'(х) = /гехр(га').
Прямые численные расчеты показали, что уже при достаточно небольших размерах канала (Я\ ~ 5) поверхностные силы практически не зависят от его ширины. Они определяются параметрами потока газа вблизи стенки, где распределение скорости можно считать линейным. В этом случае справедливы асимптотические формулы, которыми можно воспользоваться как для плоского, так и для осеснмметрнчного течения.
На рис. 1, а и б приведено сравнение зависимостей \Рр\ и \РТ\ соответственно от Иел, полученных в результате решения системы (1) для ширины канала В,\ = 5 и В,\ = 0,5. Также представлены значения этих величии, полученные на основе асимптотических формул |5|:
К, = -0,766 Ие^3 ехр(—— г), ^ = 1,065 Ие2/3 ехр(- г).
6 6
Рис. 1. Зависимость \Рр\ (а), (б) от Иед и нейтральные кривые (в) при следующих значениях ширины канала: 1 — К\ = 5; 2 — 0,5; 3 — асимптотические формулы [5]
3. Линеаризация эволюционной системы уравнений позволяет связать величину с = cr + ici с управляющими параметрами задачи a, ô, г и к [3J:
О /5 12 \ 6 23 г2 а2 ( г г2 \ -
r + CUr"Tj + 5-2Ôr + T-5J+a42Ô"24j Т~
гак2 -г , , ivK - , ,
Использование дисперсионного соотношения (2) дает возможность построить в пространстве управляющих параметров а, г нейтральные кривые, которые разделяют области устойчивого и неустойчивого режима течения пленки жидкости (рис. 1, о). Как показали расчеты, взаимодействие течения пленки жидкости с потоком газа приводит к возникновению нового механизма его неустойчивости. Существенным становится механизм передачи мере! касательное напряжение части энергии газового потока течению пленки, что вызывает образование волн нового типа. В пространстве определяющих параметров возникают зоны высокочастотных колебаний, амплитуды которых растут со временем. Из-за наличия неустойчивости в области высоких частот спектр линейной задачи устойчивости становится неограниченным (открытым сверху). Это делает невозможным построение регулярных решений поставленной задачи в принципе. Однако при интегрировании системы эволюционных уравнений решение формируется в первую очередь за счет низкочастотной части спектра. Наличие области высокочастотной неустойчивости приводит к разрушению основного течения, но до определенного времени не изменяет его. Использование асимптотических соотношений позволяет построить решение, разрушение которого происходит гораздо медленнее.
Рис. 2. Формирование (I), стабилизация (II) и разрушение (III) решения при наличии области устойчивости для умеренных значений волновых чисел: а развитие профиля волны /г; б изменение локального расхода жидкости qo
4. Предельным значениям определяющих параметров, когда спектр возмущений становится неограниченным, соответствуют квазипериодическис структуры, характеризующиеся различном фазовых скоростей первой и последующих гармоник. Если между областями низкочастотной и высокочастотной неустойчивости существует достаточно значительная область устойчивости течения, наличие этой области стабилизирует течение, но только в определенном временном интервале. Численные расчеты показывают (рис. 2), что первоначальное формирование волны происходит за счет низкочастотной части спектра (область I), который образуется по времени в первую очередь. В дальнейшем решение стабилизируется и интегрирование по времени не изменяет форму волны (область II). Однако при достаточно продолжительном интегрировании данного решения начинает формироваться высокочастотная часть спектра, профиль волны принимает пилообразную форму и решение мгновенно разрушается (область III). Использование асимптотических соотношений позволяет 'растянуть" во времени область разрушения течения (III) и более детально исследовать формирование квазипери одических структур, предшествующих разрушению потока.
Заключение. В рамках длинноволнового приближения решается задача о гидродинамической устойчивости взаимодействующей с потоком газа пленки жидкости. На основе полученных данных показано, что для определенных значений параметра взаимодействия г и обобщенного параметра подобия 5 возможно образование областей, где течение неустойчиво при любых значениях волновых чисел. Использование асимптотических соотношений для выражения давления и касательного напряжения позволяет регуляризовать исследуемую задачу, расширить область исследования устойчивости и этим обеспечить сходимость решения для более высоких значений волновых чисел.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-01-05186).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демехин Е.А., Токарев Г.Ю., Шкадов В.Я. Неустойчивость и нелинейные волны в вертикальной пленке жидкости, текущей в противотоке с турбулентным газовым потоком // Теор. основы хим. технол. 1989. 23, № 1. 64-70.
2. Шкадов В.Я. Двухпараметрическая модель волновых режимов течения пленок вязкой жидкости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 4. 56-61.
3. Белоглазкип А.Н., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в системе жидкая пленка-поток газа // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2012. № 6. 32-49.
4. Benjamin T.B. Shearing flow over a wavy boundary //J. Fluid Mech. 1959. 6, N 2. 161-205.
5. Чан Ван Чан, Шкадов В.Я. Неустойчивость слоя вязкой жидкости под воздействием граничного потока газа // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1979. № 2. 28-36.
Поступила в редакцию 28.11.2014
УДК 531.396
К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ ПОЗИЦИОННЫХ СТРАТЕГИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЫ В МЕТОДЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ПРИЦЕЛИВАНИЯ Н.Н. КРАСОВСКОГО
С. С. Лемак1
Задача оценки точности алгоритмов управления линейной системой на конечном интервале времени при наличии начальных и постоянно действующих на управляемую систему возмущений рассматривается с точки зрения методики максиминного тестирования. Предложен способ формирования позиционных стратегий тестирования, основанный на модификации метода "экстремального прицеливания" Н.Н. Красовского. Приведен пример, где выпуклое множество достижимости управляемой системы имеет многоэкстремальную опорную функцию.
Ключевые слова: робастная стабилизация, максиминное тестирование, дифференциальная игра, седловая точка.
The problem of estimating the accuracy of linear system control algorithms on a finite time interval in the presence of initial and time-varying perturbations is considered from the standpoint of maximin testing methods. A method of forming the positional strategies of testing based on a modification of the Krasovskii's "extremal aiming" method is proposed. It is shown by an example that the convex reachable set of a controlled system has a multiextremal support function.
Key words: robust stabilization, maximin testing, differential game, saddle point.
1. Введение. Используя максиминную методику тестирования качества управления [1], можно получить объективную оценку точности алгоритмов робастной стабилизации даже в тех случаях, когда структура алгоритма неизвестна, т.е. алгоритм управления представляет собой "черный ящик". При этом предполагается, что как управления, так и возмущения могут вести себя произвольным образом в рамках известных границ изменения.
1 Лемак Степан Степанович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lemaks2004Qmail.ru.
