Асимптотика дискретного спектра одного матричного оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

the periodic solutions of a class of nonautonomous systems of ordinary differential equations. It is based on the scheme of successive approximations using symbolic computation. There are listed the results of computing experiment for a second-order system.

Key words: periodical solution; system of ordinary differential equations; scheme of successive approximations.

Пчелинцев Александр Николаевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, e-mail: pchelintsev.an@yandex.ru.

Поветьев Алексей Юрьевич, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры систем автоматизированного проектирования, e-mail: sktm88@mail.ru.

УДК 517.984

АСИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА ОДНОГО МАТРИЧНОГО

ОПЕРАТОРА

Ключевые слова: матричный оператор; резонанс с нулевой энергией; дискретный спектр.

Рассматривается матричный оператор Установлено, что этот оператор имеет бесконечное число отрицательных собственных значений, накапливающихся к нулю, если соответствующая обобщенная модель Фридрихса имеет резонанс с нулевой энергией. Найдена асимптотика дискретного спектра.

Пусть Т3— трехмерный тор, т. е. куб (— п,п]3 с соответствующим отождествлением противоположных граней, С — одномерное комплексное пространство, ¿2(Т3) — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, опреде-Л6ННЫХ Неї Т3, ¿2((Т3)2) — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комп-

(Т3)2

новки двух переменных.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Но = С, Ні = ¿2(Т3) и Н2 = ЩТ3)2), т. е. Н = Но ®Ні ® Н.2-

Рассмотрим матричный оператор Н, действующий в гильбертовом пространстве Н как

© Т.Х. Расулов

H

Hoo H01 0

Ню Hn H12

0 H21 H22

где матричные элементы Hik : Hk ^ Hi, k,l = 0,1, 2 определяются по формулам

(нп/1)1(р) = 'Ш1(р)/1(р), (#12/2)1(0) = у У2(г)/2(р,гщ

т3

(Н21/1)2(0, я) = ^(У2(р)/1 (я) + У2(я)/1(р)), (Н22/2)2(0, я) = ™2(р, я)Ь(р, я).

Здесь /к £ Нк, к = 0,1, 2, wo — фиксированное вещественное число, 'к(■), к = 1, 2 — вещественнозначные аналитические функции на Т3, функция '2(-) является четной по каждой переменной в отдельности на Т1, а функции Wl(•) и W2(■, •) определены по формулам

Wl(p) = е(р) + X, W2(р, я) = е(р) + е(р + я) + е(я),

3

е(р) = ^(1 — сов тр(к')), р = (р(1 ,р(2,р(3'}) £ Т3, т £ N к=1

где X — фиксированное положительное число, а N — множество натуральных чисел.

Теперь для формулировки основного результата введем обобщенную модель Фридрихса Л(р), р £ Т3, действующую в Но ®Н1 по правилу

«р> -{"ооГ А

где операторы Лкк(р) ■ Нк ^ Нк, к = 0,1, р £ Т3 и Нгк ■ Нк ^ Н\, к,1 = 0,1, к = I

определяются по формулам

(Лоо(р)/о)о = Wl(p)/о, (Лш/Оо = ^^2 /У2(*)/1&)М,

т3

(Лю/оЫя) = ~12У2(я)/о, (Лц(р)/1) 1(я) = W2(р, я)/1(я)-

Обозначим через п = п(т) число точек (рг,я)) £ (Т3)2, р% = (рг(1),рг(2),р(3)),

, (1) (2) (3)ч

я) = (я) ,я) ,я) ), Для которых

(к) (к) (0 ,2 ,4 т \ 3

р) ,я) £ ^ 0, ±—п; ±—п;...; ±—п>, к = 1, 2, 3,

1 3 [ т т т )

причем р) = р) и я% = я) ПРИ * = .]; здесь

/ Г т — 2, если т четное,

т

т — 1, тел и т нечетное.

Можно легко проверить, что функция W2(■, •) (соот. Wl(■)) имеет невырожденный минимум в точках (р),яз) £ (Т3)2 (соот. р) £ Т3) и п = (т' + 1)6. Дополнительно будем предполагать, что т ^ 3 (если т = 1, 2, тогда п = 1, а в настоящей работе нам интересен случай п > 1).

Положим, 1,п = 1,... ,п.

Замечание 1. Имеет место равенство Л(р1) = Л(р)), г = 2,у/п (отметим, что число л/п натуральное как корень из шестой степени некоторого натурального числа).

Пусть С(Т3) — банахово пространство непрерывных функций, определенных на Т3.

Определение 1. Говорят, что оператор Л(р1) имеет резонанс с нулевой энергией, если число 1 является собственным значением оператора

(ОФМ = зя / Ф £ с(т3),

т3

и по крайней мере одна (с точностью до константы) соответствующая собственная функция ф удовлетворяет условию ф(Я]) = 0 при некотором І л/и].

Заметим, что если оператор Н(р\) имеет резонанс с нулевой энергией, тогда решение уравнения Оф = ф равно (с точностью до константы) функции Ь2(-) ■ Поэтому для точности предположим, что если оператор Н(р\) имеет резонанс с нулевой энергией, то функция ^(■) отлична от нуля только в по, 1 < щ ^ /п точках множества ^]^=і-

Обозначим через тезБ(И) нижнюю грань существенного спектра аеББ(Н) оператора И и через N (г) число собственных значений (с учетом кратности) оператора И, лежащих левее точки г, г < те3в(Н).

Следует отметить, что если оператор Ь(рі) имеет резонанс с нулевой энергией, то Тевв(Н) = 0.

Основным результатом настоящей работы является теорема 1.

Теоремаї. Если оператор Н(р\) имеет, резонанс с нулевой энергией, то оператор

Н

нуле, и для функции N(•) имеет, место равенство

і™ Ш = —,

z^-о \1п\г\\ 2п

где 7о — положительный корень уравнения

^ = БвЬ.

2 о

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG), грант № TR368/6-2.

Rasulov Т.Н. Discrete spectrum asymptotics of a operator matrix. An operator matrix is considered. There is established that this operator has infinitely many negative eigenvalues accumulating at zero if the corresponding generalized Friedrichs model has the zero energy resonance. An asymptotics of the discrete spectrum is found.

Key words: operator matrix; zero energy resonance; discrete spectrum.

Расулов Тулкин Хусенович, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Узбекистан, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и анализа, e-mail: rth@mail.ru.