Асимптотические решения разностных уравнений кинетики измельче-ния в замкнутом цикле Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПАВ. Их структура и определяет условия массо-переноса стимуляторов коррозии к корродирующему металлу, механизм защитного действия и защитную способность агрегатов ПАВ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вигдорович В.И., Софронова Н.В., Шель Н.В. //

Защита металлов. 1996. Т. 32. № 1. С. 56-60.

2. Кулиев А.М. Химия и технология присадок к маслам и топливам. М.: Химия. 1985. 312 с.

3. Таныгина Е.Д., Соловьева Н.Е. // Материалы докл. Х-й Межрегиональной научно - технич. конференции "Проблемы химии и химической технологии". Тамбов. 2003. С. 194-197.

4. Вигдорович В.И., Таныгина Е.Д., Соловьева Н.Е. //

Коррозия: материалы, защита. 2003. № 1. С. 32-37.

5. Дамаскин Б.Б., Петрий О. А., Батраков В.В. Адсорбция органических соединений на электродах. М.: Наука. 1986. 334 с.

6. Физико-химические методы анализа. (под ред. Алесковского В.Б. и Яцимирского К.Б.) Л.: Химия. 1971. 424 с.

7. Антропов Л.И. // Защита металлов. 1977. Т. 13. № 4. С. 387-396.

8. Вигдорович В.И., Шель Н.В. // Труды Всерос. конф. по коррозии и электрохимии - мемориал Я.М. Колотыркина. М.: Изд-во "Просветитель" 2003. С. 213 - 226.

Кафедра аналитической химии и экологии

УДК 621.926

P.B. KIS, В.Е. МИЗОНОВ, CS. MIHALYKO, B.G. LAKATOS

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ КИНЕТИКИ ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ В ЗАМКНУТОМ ЦИКЛЕ

(College of Dunaujvaros, Hungary, Ивановский государственный энергетический университет, Россия, University of Veszprem, Hungary)

Предложена и проанализирована математическая модель кинетики измельчения в замкнутом цикле, выраженная в форме разностных уравнений с запаздывающим временем. Для получения и исследования асимптотических решений уравнения записаны в матричной форме и исследованы через собственные векторы соответствующих матриц.

Целью настоящей работы является математическое моделирование кинетики измельчения материалов в мельничной установке, работающей по замкнутому циклу и состоящей из собственно мельницы и мельничного классификатора, выделяющего достаточно измельченные частицы в готовый продукт и возвращающего крупные частицы на повторное измельчение [1]. Для построения модели будем считать процесс измельчения одномерным и распределенным вдоль определяющей координаты мельницы, а процесс классификации локализованным.

Переработка материала в мельнице состоит из собственно измельчения и из транспорта материала вдоль мельницы, причем разные фракции могут иметь разную среднюю скорость движения и его стохастическую составляющую.

При описании собственно измельчения воспользуемся популяционно-балансовой моделью, представив, следуя [1,2], селективную функцию в виде 8(1)=К8'1а, а распределительную как

Б(Ь,1)=Ф-(1/Ь)у+(1-Ф)-(1/Ь)р, где L и 1 - текущий и фиксированный размеры частиц, а, в, у и Ф - параметры, зависящие, главным образом, от свойств размалываемого материала.

Для построения дискретной модели распределенного процесса разобьем длину мельницы на I равных секций длиной Ьу и обозначим координату секции как у =рЬу. Весь спектр размеров перерабатываемых частиц также разобьем на конечное число фракций, ограниченных размерами частиц [11_1,11], и будем оперировать номером фракции 1. Наконец, введя временной шаг моделирования т, будем рассматривать состояние процесса в дискретные моменты времени 1п=п-т.

Состояние процесса охарактеризуем массой частиц ц(у|,11,1п), находящихся в момент времени ^ в _)-ой секции и принадлежащих к 1-ой фракции, и введем переходные вероятности

Рк,1=т'^(1к-1/2)'(Б(1к-1/2,11)- ^к-ШЛ-^Х показывающие доли частиц, переходящих при измельче-

нии в течение времени т из фракции к во фракцию 1. Тогда балансовые уравнения перехода процесса из состояния в момент времени ^ к состоянию в момент 1п+1 для первой секции мельницы примут вид (1=1, 2,...,1)

м(У1 ЛИп+1) = (1 -Ур -ф-Б(11_1/2))• м^Д^Дп) + I

+ Увм(у2,11,1п) + 2 Рк1 • м(У1,1^,1п) +а^(1п) + .(1) к=

+ (Ур -Ув)-

2 + Ре • И

У

2

1(11-1/2)^(У1,11,гп-а)

В уравнении (1) параметр Ре=у-У/Б, характеризующий продольное перемешивание материала, представляет собой число Пекле, в котором V -средняя скорость переноса материала в осевом направлении, Б - дисперсионный коэффициент, У - длина мельницы; Ур - скорость частиц в прямом и У в - скорость частиц в обратном направлении. Величина а^1;п) означает количество фракции 1, подаваемой в мельницу за данный переход из внешнего источника (питателя), а ^(1) есть функция классификации, то есть доля фракции, возвращаемой классификатором на домол (0<^(1)<1)

Соответствующие уравнения для любой промежуточной ()=2,...,.Г-1, 1=1,.,1) и последней (|=1) секции мельницы имеют вид

м(у,Уп+1) = (1-Ур -Ув -ф 3(1 1 ))• м(уДДп) +

1—

2 I (2)

+Ур • м(у)-1,11,1п)+Ув • Ц^цДьО+2Рк,1 • Цз^ъО,

к=1

м1

получено с помощью современных средств компьютерной поддержки матричных операций.

10

х 10

Б Асимптотическое решение существует

Асимптотическое решение не существует

V

(уГ,11,1п+1) = (1-Ур - фЭД-^))-м(у[,11,1п) +

I (3)

+Ур • м(Уг-1,11,1п) + 2 Рк, • м(УГ,1к'^п) к=1

Дискретная математическая модель (1)-(3) непрерывно работающего замкнутого цикла измельчения представляет собой систему рекурсивных уравнений. Для анализа асимптотического поведения ее решения запишем систему в матричной форме

2п+1 = Са + Ьп, (4)

где матрица С может быть легко построена из уравнений (1)-(3), а векторы г и Ь представляют собой состояние системы (величины ц) и массы фракций, подаваемых в нее из внешних по отношению к мельнице источников за один шаг по времени.

В этом случае асимптотическое решение может быть получено и исследовано с помощью собственного вектора матрицы С, которым оно и является. Если спектральный радиус этой матрицы р(С)<1, существует конечное асимптотическое решение уравнения (4), которое легко может быть

0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.01Э

Рис. 1. Влияние параметров, характеризующих движение материала, на области существования асимптотического решения.

Результаты отдельных численных экспериментов по предложенной модели приведены на рис.1-3. Рис.1 показывает влияние параметров, характеризующих движение материала: его средней скорости V и дисперсионного коэффициента Б. Остальные параметры модели мельницы приняты следующими: Ьтах=1000, К8=3-10~2, а=1.0, Р=4.5, 7=0.6, Ф=0.48, У=6, а=10, т=0.01, 1=20, 1=20. Мельничный классификатор представлен идеальной кривой разделения по граничному размеру 1с=Ьтах/2. Линия на графике разделяет область v-D на область существования асимптотического решения, соответствующего нормальному функционированию схемы, и область его отсутствия. При низких значениях V и Б происходит завал мельницы из-за недостаточной интенсивности измельчения.

0.016

I 1 1 1 К

^ Асимптотическое

решение существует

чз 0.015

0.014

0.013

0.012

0.011

0.01

0.009

а)

б)

Асимптотическое решение не существует

0.5

0.6

0.7

0.8

0.Э

1

1.1

1.2

Рис.2. Влияние параметров, характеризующих кинетику измельчения, на области существования асимптотического решения.

Влияние параметров К и а, характеризующих кинетику измельчения, показано на рис.2. (Остальные параметры приняты следующими: у=0.018, Б=0.008, р=4.0, у=0.8). Здесь также при низких значениях кинетических параметров возможно отсутствие асимптотического решения, соответствующего нормальному функционированию схемы. С ростом коэффициента К система относительно быстро переходит в режим нормального функционирования.

Исследование влияния характеристик мельничного классификатора было выполнено прямым численным решением системы уравнений (1)-(3). При этом одновременно проверялось совпадение результатов получения асимптотического решения методом собственных векторов матрицы С и полным расчетом переходного процесса. Рис.3 показывает формирование загрузки материалом различных секций мельницы. Расчеты выполнены при Ьшах=1000, и=0.016, Б=0.008, К>=1.5-10"3, а=1.00, Р=4.2, т=0.8, Ф=0.48, У=6, ё=10, т=0.01, 1=20, 1=20. Верхняя группа кривых соответствует идеальному классификатору по границе Ьшах/2. Переходный процесс весьма длителен и установление асимптотического решения занимает много времени. Нижняя группа кривых относится к классификатору, который выделяет в возврат вдвое меньше частиц, чем идеальный. Асимптотическое состояние устанавливается гораздо быстрее, что еще раз свидетельствует об эффективной возможности стабили-

зировать параметры замкнутого цикла через характеристики мельничного классификатора.

Таким образом, предложенная модель позволяет получать асимптотические характеристики измельчения в замкнутом цикле и рассчитывать переходные процессы в нем.

0.3 а)

0.25 j=20-^

0.2 j=10 j=1-

0.15

0.1 б)

0.05 j=20 \ j=10 i=1 . . . . n

Рис.3. Переходные процессы в различных секциях мельницы при идеальном (а) и неидеальном (б) классификаторе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mizonov V., Zhukov V., Bernotat S. Simulation of Grinding: New Approaches. - Ivanovo. ISPEU Press. 1997. 108 p.

2. Austin L. et al. Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev., 1976. V. 15. P. 187-196.

Кафедра прикладной математики

УДК 541.64:66.085

Ю.Б.НИКОЗЯТЬ, Л.М. МИРОНОВИЧ*

ФОТОПОЛИМЕРИЗАЦИЯ ДИВИНИЛ(ТРИЭТИЛЕНГЛИКОЛЬ)БИС-О-ФТАЛАТА В ПРИСУТСТВИИ р-ДИКЕТОНАТОВ ПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ

(Полтавский университет потребительской кооперации Украины, *Сумский государственный университет)

Исследовано пленкообразование дивинил(триэтиленгликоль)бис-о-фталата в присутствии р-дикетонатов переходных металлов. Установлено, что природа фотоинициатора влияет на скорость полимеризации ДФТ.

В настоящее время находит широкое при- нике, стоматологии. Лидирующее положение зани-

менение синтез фоточувствительных полимеров. мают олигоэфиракрилаты (ОЭА), которые находят

Растет тенденция к использованию фотополимер- применение при получении как гомополимерных,

ных материалов для получения печатных форм, так и композиционных материалов. Преимущест-

защитных покрытий, в полиграфии, микроэлектро- вом таких материалов является возможность соче-