CC BY
20
2003 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 2 (№ 9)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.929
А. Х. Гелиг, М. С. Кабриц
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ1
Рассматривается нелинейная импульсная система и «эквивалентная» непрерывная нелинейная система, получаемая из исходной заменой импульсного элемента его статической характеристикой. Получена нижняя оценка на частоту импульсации, при которой асимптотическая устойчивость импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной системы.
Рассмотрим нелинейную импульсную систему, описываемую функционально-дифференциальным уравнением (1).
Ж = $(ж) + Ь(ж)£, а = с*(ж)ж, £ = Ма, (1)
где д(ж), Ь(ж), с(ж) —непрерывные т-мерные вектор-функции, £(£) —сигнал на выходе, а(4) — сигнал на входе. В (1) М — нелинейный оператор, описывающий работу импульсного элемента, который каждой непрерывной на [0, функции а(4) ставит в соответствие функцию £(£) и последовательность {¿п} (п = 0,1, 2,...; ¿о = 0), такие что:
1) существуют такие положительные постоянные Т и #о, что для всех п верна оценка
< ¿п+1 - ¿п < т; (2)
2) функция £(£) кусочно непрерывна и знакопостоянная на каждом промежутке
[4п, ¿п+1 ) ;
3) ¿п зависит только от значений а(т) при т < ¿п, £(4) зависит только от значений а(т) при т <
4) существуют такие а* > 0, £* > 0, что если |а(4)| < а* при всех 4 > 0, то и |£(4)| < £* при всех 4 > 0.
5) существует такая непрерывная и ограниченная на (-те, функция у>(а), что при каждом п найдется ¿п € [¿п,4п+1), при котором среднее значение п-го импульса
Ьп+1
1 Г т (з)
¿п+1 ¿п „ Ь
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта РФФИ 02-01-00542 и гранта 0015-96028 Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержки ведущих научных школ. © А. Х. Гелиг, М. С. Кабриц, 2003
удовлетворяет соотношению
уп = р(а(Тп)). (4)
Свойствами 1)—4) обладает большинство из применяемых в технике видов модуляторов (широтно-импульсная модуляция первого и второго рода, частотная модуляция первого и второго рода, амплитудная, комбинированная и др.) [1—4].
Функция у>(а) является статической характеристикой импульсного элемента (под статической характеристикой импульсного элемента понимается зависимость среднего значения импульса (3) от модулирующего сигнала а в предположении, что последний постоянный).
Рассмотрим «эквивалентную» непрерывную нелинейную систему, полученную из исходной заменой импульсного модулятора его статической характеристикой:
х = д(х) + Ь(х)у(а), а = с*(х)х. (5)
Покажем, что при достаточно высокой частоте импульсации асимптотическая устойчивость состояния равновесия импульсной системы (1) следует из устойчивости по первому приближению [5] «эквивалентной» системы (5).
Пусть
д(х) = Ах + а(х), (6)
где А — постоянная т х т-матрица, а вектор-функция а(х) удовлетворяет условию
1Г М=0. (7)
1ИИ0 ||х||
Предположим, что Ь(х) = Ьо + &1(х), с(х) = со + сх(х), где Ьо, со —постоянные векторы, а вектор-функции Ь1(х), с1 (х) удовлетворяют условиям:
(8)
1МИ0 ||х||
м 1^1=0. (9)
1МИ0 ||х||
Пусть у>(0) =0 ив некоторой окрестности точки а = 0 выполнены неравенства
Иа)|< I, Ь»|< (10)
Введем обозначения: к = ^'(0), В = А + сОЬок, к = —сдЬо, к = сОАЬо, I — единичная т х т-матрица, А_ и А+ — минимальное и максимальное собственное число матрицы Н, являющейся решением уравнения Ляпунова
В*Н + НВ = —I, (11)
^(0,0,0,0) = 2, п2
64/2
82(0,0,0,0) = -у- (М + \ki\T)2 + Ш2я2Т2,
п2
(](0 0 0 0]= 8г2||с5||2+27^(0,0,0,0) Ц ' ' ' ^ 1 - [8/2Т2х2 + 2Т2в2(0,0,0,0)]'
¿2(0, 0,0, 0) = Т2[в1(0,0, 0,0) + ¿1(0, 0,0, 0)в2(0, 0,0, 0)], 2
Р= ^[||ЬО||2Й2(0,0,0,0) + ||АЬО -ЬЛо||2<*1(0,0,0,0)].
л_
Теорема. Предположим, что выполнены условия (7)-(10), матрица В гурвицева и Т столь мало, что справедливы неравенства
8l2T 2
16
я2 + —(\я\ + \я1\Т)2 +4Т2Я: п2
< 1, (12)
4A+pT2 < 1, (13)
||cs||T(HboN + ЦАЬоУТ) exp(|| A||T) + Z|*|T < 1. (14)
Тогда состояние 'равновесия x = 0 системы (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство теоремы. Желая воспользоваться методом усреднения [3, 4],
t
введем функции v(t) = vn при t £ |tn,tn+i) и u(t) = J[£(A) — v(A)] dA. Сделав в уравне-
o
ниях (1) замену
x = y + bou, (15)
получим уравнения
y = Ay + bov + Abo u + a(x) + bi(x)£, (16)
a = (co + ci)*y — ku + cibou. (17)
Здесь и далее под x понимаем выражение (15). Уравнение (16) преобразуем к виду
y = By + gi + g2 + g3 + g4, (18)
где gi = bo(v — y>) + (Abo — kxbo)u, g2 = bo(^ — ka), g3 = a(x), g4 = bi(x)£ + kboc^(x)x, B = A + kbocj5.
Рассмотрим функцию Ляпунова
V (y) = y*Hy,
где положительно определенная матрица H является решением уравнения (11). Производная по времени V, взятая в силу системы (18), имеет вид
V = — |y |2 + Li + L2 + L3 + L4, (19)
где Li = 2(Hy,gi), (i = 1, 2, 3,4). Очевидны неравенства:
A-NyN2 < v < A+NyN2, NHyN2 < a+v. (20)
Рассмотрим область D = {y : V(y) < A+S2}. В этой области
N y N < S. (21)
Предположим, что
||x|| < Si, (22)
и оценим выражения Li (i = 1, 2, 3, 4).
Величина Li оценивается следующим образом. В силу (20)
\L1\<£\+V+-\\g1\\2,
£
где £ — положительный параметр, который будет выбран ниже. Поскольку
||gi||2 < 2(v - ^)2|Ы|2 + 2u2\\Ab — kxbf,
то для L1 справедливо неравенство:
22 |Li| < e\+V+-{v - ^)2||Ьо||2 + -\\Abo - ЫЪ0\\2и2.
Оценим выражение L2. Предположим сначала, что условие (10) выполнено при всех а. В силу (10) и (17) |у>(а) — ка| оценивается следующим образом:
ЬИ - kaI < ^а2 < 2^+((||со||2 + |К||2)|Ы|2 + (х2 + |К ||2 ||Ь0|| V).
Отсюда вытекает соотношение
2
|С0" +l|Clll-l/+(x2 + ||cí||2||bo||2)«2
Л_
из которого с учетом (19) получаем оценку:
12 i ||„*||2
\Ь2\<ЩУЦ\Ь0У+ .......
Со|| +11СИ1.1/+(х2 + ||сГ12„г, 1|2\~.2
Л
V
В силу (20) справедливо неравенство
\L3\ <2А*У*||а||.
Поэтому
где /х(ж) =
Оценим | L41:
\Ь3\<ХЫх)[У + 2(\\у\\2 + \\Ь0\\2и2)},
\U\ < 2А* у + Ъ0и\\ + к\\Ъ0\Ых)\\у + Ъ0и\\2),
где ^i(x)
||biQ)||
М2 (x)
I ci(ж) |
Отсюда следует неравенство
\и\ < ЩуН\\Ъ0\Ых)(\\у\\2 + \М2и2) + т1^(х)[У + 2(||у||2 + ||Ьо|| V)]. Оценив выражение (19) при помощи полученных оценок на 1Ь^, получим
V < (,Л+ - + Л|м(х) + |£|а|м1(х)) У + - ср)2 +
2
22
+ -\\АЬ0 - кжЪ0\\2и2 +
£
4А*||Ьо||¥>+(||со||2 + ||с|||2) я
£
2
Л
x
x
+ 2А^(х)[|Ы|2 + ||Ьо|| V] + 2|е|Л^1(х)(||у||2 + ||Ьо||2«2)+ + ЩУН\\Ъо\Ых)(\\у\\'2 + \\Ъо\\2и'2). (23)
Оценим теперь выражение
ЬП+1
(V
Ф = ^ («(Л) - ^(а(Л)))2 ¿Л.
ьп
Из (10) и (16) имеем:
Ьп+1 Ьп+1
Ф < /2 ^ [а(4п) - а(Л)]2 ¿Л < 4/2 ^ (^у(Сп) - с^(Л)|2 +
+ к2|и(Гп) - и(Л)|2 + |с^у(Тп) - сЫЛ)|2 + |21бои(Гп) - фои(Л)|2) ¿Л.
Здесь и далее тильдой обозначаются «замороженные» функции, которые при ¿п < 4 < ¿п+1 совпадает с исходными, вычисленными в точках ¿п.
В [3, 4] доказано, что для любой абсолютно непрерывной функции £(¿) с С € Ь2[а, в] и любого с € [а, в] справедливо неравенство Виртингера
в 2 в |[С® - ф)]2 ^ < 4(а~/} 1Ш12 Л,
а а
а введенные выше функции и(4) и «(¿) связаны соотношением
К*)|< Т|«(*)|. (24)
В силу (16) соУ = соАу - к« + К1М + сда + со&1£. Используя эти соотношения, получаем цепочку неравенств
Ьп+1
16/2Т 2 [
Ф < -5— / |с£Аг/(А) + Х1и(А) + Сда - хг;(Л) + с^Ь^2 ЙЛ+
ьп
Ьп+1 Ьп+1
+ 16Т2/2к2 I V2(Л) ¿Л + ВТ2/2||6о||2 У [Ус1У2 + ||сЦ|2]«2(Л) ¿Л+
Ьп Ьп
Ьп + 1 Ьп + 1
+ 8/2 / |?ША)|2^ + 8/2 I (||г]-^||2)||у(А)||2ЙА<
72 j | 072 / II2
Ьп Ьп
Ьп + 1
16/2 Т2
У [||сгА|||Ы| + (|Ж| + |Ж1|Т)И + ||с5||||а|| + ||ф1|||^|]2ЙА+
Ьп
¿п+1 ¿п + 1
+ 16Т2/2к2 I V2 ¿А + 8Т2/2|Ьо|^ У [||гц|2 + |И||2)]«2(А) ¿А+
¿п+ 1
32/2Т 2 Г
гп+1
]2 I „*||2ц|я./\М|2
+ 8/2 | [||с$ — сЦ|2]||у(А)||2 ¿А. Отсюда вытекает оценка
¿п + 1
64/2т2 /■
у {||сИ121|у||2 + (1^1 + 1^|т)2«2 + 1|Сг11211«112+
¿п + 1
+ ||соМ2|Ь1 И21е|2 + 16Т2/2к2 ^ V2 ¿А+
¿гг + 1 ¿п + 1
+ 8Т2/2||Ьо||2 | И2 + |||2]V2(А) ¿А + 16/2 У И2 + ||с^|2](А)|2 ¿А+
ьп
«п + 1
+ 16^Т2 I {ШАГЫ2 + ЩАЪо?Т2у2 +
+ ||с1||2||а||2 + |21Ьо|2«2 + ||31М2МЬ1М2|е|2} ¿А. (25)
Предположим, что
^(х) < ¿2, М1(х) < ¿3, М2(х) < ¿4. (26)
Тогда в силу (22) справедливы оценки
Ма(х)М2 < 2¿2(МУМ2 + ||Ьо|| V), ||Ь1(х)М2 < 2¿2(|Ы|2 + ||ЬоМ2и2) И(х)||2 < 2¿2(МУМ2 + ||ЬоМ2и2), ||с1 М < ^¿1.
(27)
Если ввести величины
¿п + 1 ¿п + 1
У = J у2(А) ¿А, X = J «2(А) ¿А,
то оценка (25) с учетом (27) примет вид:
Ф < [^(¿1, ¿2, ¿3, ¿4)Т2 + 83(¿1, ¿4)]У + ^(¿1, ¿2, ¿3, ¿4)Т2Х, (28)
где 8
64/2
= — [||^||2+2(522||с5||2 + 2(532||с5||2|е|2] +
п2
+ 1^[т\\А\\2 + 2515\51+2515Ш\% 33{5Ъ <*4) = 32/2<52<52, п2
64/2
= —[(к| + |^1|Т)2 + 2(522||с5||2||Ьо||2Т2+2(52||с5||2||Ьо||2Т2|е|2]+ п2
п2
+ 16Т 2/2к2 + 1б/2|бо|2^| ¿2. Оценим X через У. Пусть |у(а)| < /|(со + с 1 )ду + со&ом + с 1&оад|, тогда
у2(а) < 4/2(||со||2||у||2 + ||с1 п2ПуП2) + ||с5ЬоН2НиН2 + |ИЧ2|М|2) <
< 4/2[(|с5п2 + Ф2)||у||2 + т 2 (к2 + Ф2|ы| V ].
Поскольку V = у + (« - у),
V2 < 2у2 + 2^ - у)2 < 8/2(|с5Н2 + ¿2^2)|у|2 + 8/2Т2(к2 + ^¿2|Ы|>2 + 2(v - у)2. Поэтому имеет место неравенство
X < 8/2Т2(к2 + ¿2^2|Ьо|2)Х + 8/2(|с5П2 + ¿4^2)У + 2Ф. Оценив правую часть этого неравенства с помощью (28) получим соотношение
X < [8/2Т2(к2 + ¿4¿2|Ы|2) + 2Т252(£ 1, ¿2, ¿3, ¿4)]Х+
+ [8/2(|со|2 + ¿4¿2) + *3(¿1, ¿4) + 2Т2* 1 (¿1, ¿2, ¿3, ¿4)]У. (29) Если Т2[4/2(к2 + ¿2¿2МЬо|2) + 2в2^ 1,¿2,¿3,¿4)] < 1, то из (29) вытекает оценка
X < ¿1 ^ 1, ¿2, ¿3, ¿4)У, (30)
где
, ,Л , = 8г2(||с5||2 + ¿2(52) + 83(5ъ ¿4) + 2Т281(<5ь ¿2, ¿з, ¿4)
ЙНО!, 1_[8/2Т2(х2+(52(52||Ьо||2) + 2Т2,2((5ь(52;(5з;(54)] '
Из (28) и (30) следует неравенство
Ф < [Т2¿2 (¿1, ¿2, ¿3, ¿4) + 53 (¿1, ¿4)]У, (31)
где
^(¿1, ¿2, ¿3, ¿4) = ^(¿Ь ¿2, ¿3, ¿4) + ^2 (¿1, ¿2, ¿3, ¿4)^1 (¿1, ¿2, ¿3, ¿4).
В областях (21), (22) неравенство (23) примет вид
1/ <^(¿,¿2^3)! + ^ (32)
9
где v{6, S2, 63) = ± ~ eA+ - - |£|A*J3 - ММЫ^Ш^ p = _
9 1
<f)2 + ^-\\Abo—k>cbo\\2v2 + 4X+\\bo\\ip+(>c2 + ||cf ||2||6o||2)<5T2«2 +2A^(52 [||y||2 + ||6o||2T2«2] +
2|£|а}<53(|Ы|2 + \\b0\\2T2v2) + 4А+^||Ь0||<ЗДЫ12 + IN|2TV). В силу (29), (30) и (31) справедлива оценка
tn+1 tn+1
J FdA < У VdA, (33)
где daiô, S2,63,64) = 2-^[ТЧ2 + s3] + ^\\Ab0 - ЫЪ0\\2^ + 4А+||Ь0||^+(^2 +
г)6Т2дл + 2А*й + 2А^2||Ьо||2Т2^ + 2|£|А^3|Ы|2Т2^ + 2|£|А*<*3+ 4А+¿kМЬоМ¿4 + 4А+ ¿к||Ьо|Ы|Ьо||2(Т2 ¿2 + 83) .
Проинтегрировав неравенство (32) по £ от до £п+1 и воспользовавшись оценкой (33), получаем неравенство:
¿п+1
V(у(£п+1)) — V(у(*п)) < — ^(¿, ¿2, ¿3^4) У V ¿А, (34)
где ^(¿, ¿2, ¿3, ¿4) = V(¿, ¿2, ¿3) — ^(¿, ¿2, ¿3, ¿4). Просуммировав неравенства (34) по п от 0 до N — 1, получаем оценку
V(у(Ьм)) + ^(¿, ¿2, ¿3, ¿4) / V(у(А)) ¿А < V(у(0)). (35)
Выберем теперь е > 0 таким, чтобы ^(0,0, 0,0) > 0. Поскольку ^(0, 0,0, 0) = v(0, 0,0) —
(¿з(0,0, 0,0) = -ц- — еА+ — то свойство /х(0, 0,0, 0) > 0 равносильно неравенству
A+ е2 — е + A+pT2 < 0.
В силу условия (13) это неравенство выполняется, если е выбрать из интервала е_ <
е < е+, где
1 ± - 4А%рТ2
е=
2A+
При достаточно малых ¿, ¿2, ¿3, ¿4 ^(¿, ¿2, ¿3, ¿4) > 0. Из (35) следует, что y(tn) G D, если y(0) G D при всех n.
Покажем, что y(t) G D при всех t > 0, если ||y(0)|| достаточно мала. Согласно условию (10) |<£>(ст)| < /|<г|. Поэтому
|v| < /|ст(Г„)| < 1||с0|^ + ¿4¿l¿1 + 1T|k||v| + вдоНМ,
Так как в силу условия (14) при достаточно малом ¿4 T7(|x| + ¿4||6o||) < 1, то из последнего неравенства вытекает оценка
Ы < ¿4¿, (36)
Г7ТР л _ 1(\\с1\\ + 8А)& 1де «4 — 1-тг(|х|+<54||ь0||) '
Тогда ввиду (7), (8), (9), (24), (36) ¿1, ¿2, ¿3, ¿4 ^ 0 при ¿ ^ 0. Проинтегрировав уравнение (16), получим соотношение
у(4)= вА(Ь-Л)[а(у(Л)+ 6ои(Л))+ 6оv(Л) + А6о«(Л) + &1(х)£] ¿Л. (37)
Ьп
Отсюда для 4 € + 1] в силу (37), (20) следует оценка
(38)
где к = Т(||6о|| + ||ЛЬо||Т)^4 + (1 + ||ЬоМTd4)¿l + (1 + ||6оМTd4)¿21£|) ехр ||А||Т. Если
к < 1, (39)
то из (38) следует оценка
е\\А\\Т _
<*<-Г^Ш-
(1 - к)Х2_
Следовательно, у(4) € О при достаточно малой ||у(0)||. В силу условия (14) неравенство (39) выполняется при достаточно малом ¿. Так как х(0) = у(0) и с учетом (36), (24), (15)
тах ||х(4)|| < ¿(1+ Т||6о|И4),
ье [ь п ,ь п+1 ]
устойчивость по Ляпунову состояния равновесия х = 0 доказана.
Осталось показать, что ||х(4)|| ^ 0 при 4 ^ +то, если ||х(0)|| достаточно мала. Согласно (35) ||у(4)|| € ^[0, +то).
Так как ||у|| ограничена равномерно по 4 (в силу(20)), то ||у(4)|| ^ 0 при 4 ^ +то. Тогда из (36), (24), (15) ||х(4)|| ^ 0 при 4 ^ +то, и теорема доказана при дополнительном предположении, что условие (10) выполняется при -то < а < +то. Покажем, что данное предположение излишне. Пусть условие (10) выполняется при |а| < ад. Обозначим через уд(а) функцию, которая дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условию (10), при всех -то < а < +то, а при |а| < ад совпадает с у(а). Определим и оператор Мд, который отображает а(4) в £д(4) следующим образом. Пусть |а| < ад при 0 < 4 < и |а(4д )| = ад.
Пусть N = тах(п<!> п. Тогда положим = + Т при п > N -1 и £*(£) = у(а(£^)) при ^ < 4 < *П+1. Свойство (4) выполнено при С = Пусть хд(4) — удовлетворяющее условию хд(0) = х(0) решение системы (1), в которой оператор М заменен на Мд. Тогда в силу доказанного |сдхд(4)| < ад при всех 4 > 0, если величина |х(0)| достаточно мала. Следовательно, на этом решении М совпадает с Мд и х(4) = хд(4). Поэтому |сдх(4)| < ад при всех 4 > 0 и предположение о справедливости условия (10) при всех -то < а < +то, можно снять. Теорема доказана.
Summary
Gelig A.Kh., Kabrits M.S. Asymptotic stability of nonlinear pulse systems. A nonlinear pulse system and an equivalent system, which is due to replacing a pulse element by a static characteristic, are considered. An estimate from below of pulse frequency under which asymptotic stability of nonlinear pulse system follows from stability by the first approximation of an equivalent system is obtained.
Литература
1. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М., 1973.
2. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев, 1970.
3. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб., 1993c.
4. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-modulated Systems. Birkhauser, 1998.
5. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М., 1950. Статья поступила в редакцию 13 июня 2002 г.
