CC BY
10
УДК 512.53
DOI 10.25513/1812-3996.2017.3.19-22
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПЛОТНОСТЬ МНОЖЕСТВА СОВМЕСТНЫХ УРАВНЕНИИ
НАД СВОБОДНОЙ полурешеткой счетного ранга
М. А. Вахрамеев
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 20.06.2017
Дата принятия в печать 26.06.2017
Дата онлайн-размещения 05.10.2017
Ключевые слова
Полурешетка, уравнение, асимптотическая плотность
Автор выражает благодарность А. Н. Шевлякову за постановку задачи, советы и замечания при подготовке данной работы
Аннотация. В работе изучаются уравнения от нескольких переменных над свободными полурешетками. Доказывается, что асимптотическая плотность множества совместных уравнений от m переменных над свободной полурешеткой счетного 2
ранга равна 1 --
3m
ASYMPTOTIC DENSITY OF THE SET OF SOLVABLE EQUATIONS OVER THE FREE SEMILATTICE OF COUNTABLE RANK
M. A. Vakhrameev
Sobolev Institute of Mathematics, Omsk Division, Omsk, Russia
Article info
Received 20.06.1017
Accepted 26.06.2017
Available online 05.10.2017
Keywords
Semilattice, equation, asymptotic density
Acknowledgements The author is grateful to A.N. Shevlyakov for a problem statement, useful suggestions and remarks during working on the paper
Abstract. In the paper, we study equations in few variables over free semilattices. It is proved that the asymptotic density of the set of resolvable equations in m variables over
the free semilattice of countable rank is equal to 1 - — .
3m
Введение Следуя монографии [2], понятие уравнения
Настоящая работа продолжает исследования, можно определить для произвольной алгебраиче-
начатые нами в статье [1], основное содержание ко- ской системы. В соответствии с этим определением
торой мы приведем ниже. уравнением над полурешеткой F является выраже-
- 19
Herald of Omsk University 2017, no. 3(85), pp. 19-22
ние вида t(X)c = б(Х)Ь, где t(X), б(Х) - произведения переменных, а коэффициенты с и Ь являются элементами полурешетки F.
В работе [1] изучались уравнения от одной переменной над свободными полурешетками конечных и бесконечных рангов. Было установлено, что среднее число решений уравнений от одной переменной над свободной полурешеткой ранга п 3п + 2 • 2п
равно —— . Также было доказано, что среднее
число неприводимых компонент алгебраических множеств, определяемых уравнениями от одной переменной над свободной полурешеткой счетного ранга, равно 1.
В настоящей работе мы продолжаем изучать уравнения над свободной полурешеткой F счетного ранга. Нас будет интересовать доля совместных уравнений. Для ее вычисления в условиях счетного числа всех уравнений довольно естественным и удобным будет использование понятия асимптотической плотности. Доказывается, что асимптотическая плотность множества совместных уравнений
ровно от т переменных равна 1 --2 (строгое
определение асимптотической плотности семейств уравнений над F будет дано в ниже).
Основные определения
Полурешеткой называется полугруппа, удовлетворяющая тождествам ху = ух (коммутативности) и хх = х (идемпотентности). В работе рассматривается свободная полурешетка счетного ранга F с множеством свободных порождающих элементов {о( |/е/} и с присоединенной единицей е (для любого х еF хе=ех = х).
Произвольный элемент а из F, не равный е, допускает единственное представление в виде произведения а=аа —а,-, где ч < и< ■■■< 4.
Пусть X = {хг,■■■,хт} - множество переменных. F-термом т(Х) будем называть одно из следующих выражений: w(X)c, ш(Х), с, где ш(Х) - произведение переменных х( е Х, с - элемент полурешетки F. Уравнением над F называется равенство двух F-тер-мов: б(Х) = ^Х). Элементы полурешетки F, входящие в запись уравнения, мы будем называть константами.
Решением уравнения б(Х) = t(X) называется набор значений переменных х , подстановка кото-
-ISSN 1812-3996
рых в уравнение s(X) = t(X) обращает его в верное равенство. Уравнение, имеющее хотя бы одно решение, называется совместным. Уравнение, не имеющее решений, называется несовместным.
Пример 1.1. Уравнение ^агх1 = аъаЛх2 является совместным. Одним из его решений является набор х = а3а4, х2 = аа. Уравнение а1а2х1 = а3а4 является несовместным, поскольку при любом значении переменной х в левой части уравнения будет присутствовать элемент а2, который не содержится в правой части.
Все уравнения над свободной полурешеткой F можно разделить на два множества:
• уравнения, в которых переменные присутствуют только в одной части (в дальнейшем будем называть такие уравнения уравнениями 1-го типа);
• уравнения, обе части которых содержат переменные (будем называть такие уравнения уравнениями 2-го типа).
Заметим, что все уравнения 2-го типа будут иметь решение над F . В самом деле, выбирая каждую из переменных х , входящих в уравнение, равной произведению констант левой и правой частей, получим верное равенство.
Стратификацией счетного множества Tназывается последовательность {7"n}neL непустых конечных подмножеств Тп, таких что [J7"n = Т .
леП
Асимптотической плотностью множества MсT относительно стратификации {Tn} называ-
I M nTn |
ется число p(M) = lim рп(M), где рп(M) = -
I Ti |
Множеством Т в нашем случае является множество Ецт всех уравнений ровно от т переменных над свободной полурешеткой F, а множеством М -множество БЛТ^,т) всех совместных уравнений ровно от т переменных над F .
В качестве стратификации {Тп} возьмем последовательность {Е^п}, состоящую из множеств уравнений ровно от т переменных с константами из ^ , где ^ - свободная полурешетка с нейтральным элементом, порожденная множеством
{а,а2,—,а„}■ Очевидно, что для любого пеП
\ЕЯт„\<'-г- и []Едтп=Едт.
Herald of Omsk University 2017, no. 3(85), pp. 19-22
^БЫ 1812-3996 "
Асимптотическая плотность множества совместных уравнений
Теорема 2.1. Относительно введенных выше обозначений:
р(БАТ(Р,т)) = 1 .
Доказательство. В следующих двух леммах будут вычислены две величины: | Е^п | - количество уравнений ровно от m переменных над свободной полурешеткой Гп ранга п и 1БЛТ(Г,т)пЕдтп | -число совместных из них. Из данных лемм будет легко вытекать доказательство теоремы.
Лемма 2.2. |Е^п | = 3т4п.
Доказательство. По определению любое уравнение из множества Е^п - это равенство двух Гп -термов: 5(Х) = '(X). Представим термы ( и 5 в виде
5(Х) = w1(X)c1, '(X) = w2(X)c2, где ^(X), w2(X) - произведения переменных либо пустые слова, ^,с2 - элементы Гп.
Посчитаем варианты выбора ^ (X) и w2 (X) с тем условием, что все переменные х( еX присутствуют в уравнении.
Выбираем произвольным образом произведение переменных w1 (X). Количество возможностей
т
выбора равно ^С^ . Пусть произведение переменно
ных w1 (X) выбрано и содержит ровно к переменных. Выбираем произведение w2(X) следующим образом:
• включаем все переменные, не вошедшие в произведение w1 (X);
• произвольно добавляем переменные, вошедшие в произведение ^ (X).
Количество вариантов выбора множества
w2 (X) составляет ^С
Таким образом, общее число вариантов выбрать пару (^ ) равно:
т ( к \ т
I к ]^ск]=]гст-2к=зт.
к=0 V 3=0 у к=0 Поскольку число элементов, содержащихся в полурешетке Гп, равняется 2п, то количество возможностей выбрать пару констант с и с2 равно
2 • 2 = 4 . Таким образом, получаем, что ^тп |= 3т4 .
Лемма 2.3. |5АТ(^т)пЕдтл |= (3т-2)-4п + + 2 • 3п.
Доказательство. Из свойств свободной полурешетки следует, что несовместными могут быть только уравнения 1-го типа, т. е. уравнения вида
СЛ".*т = С2 и С3 = С4Х1...Хт , С1'С2'С3'С4 е ^ . Как
следует из доказательства леммы 2.2, общее количество таких уравнений равно 2-4п. Совместными из них будут только такие, в которых в ^ не присутствуют а , не содержащиеся в с2 (аналогично для С4 и с3 ). Посчитаем их количество:
• константа С выбирается произвольным об-
п
разом из вариантов и содержит к букв;
к=0
• так как в состав константы ^ могут входить
только буквы из с2 , то константу ^ можно выбрать
к
ЪСк способами.
5=0
Таким образом, количество совместных урав-
п ( к ]
нений 1-го типа равняется 2Ск^С5к 1 = 2• 3п .
к=0 V з=0 У
Следовательно, число несовместных уравнений данного типа равно 2• 4" -2-3". Учитывая, что все уравнения 2-го типа являются совместными, получаем
^АЦГ,т)пЕцт НЕц^ |-2-(4п -3п) = = 3т4п -2-(4п -3п) = (3т -2)-4п + 2-3п. Используя результаты лемм 2.2 и 2.3, получаем
р(М) = !т--=
п ^ ^атп |
(3т -2)-4п + 2-3п 3т -2 2 = !|т----=-= 1 —
3т4п
3т
3т
Пример 2.4. Пусть Г2 - свободная полурешетка, порожденная множеством {а,а2}, состоящая из элементов {е,а,а2'а\аг}. Посчитаем число всех уравнений ровно от 2 переменных над Г2. Выпишем все варианты выбора произведений переменных левой и правой частей (табл. 1).
Левая и правая часть уравнения также будет содержать и одну из четырех констант: е, а , а ,
Herald of От^к University 2017, по. 3(85), рр. 19-22
5=0
аа . Таким образом, получаем, что число всех уравнений над ^ от двух переменных равняется |Ед221 = 9• 4• 4 = 144, что соответствует лемме 2.2.
Таблица 1
W1 X1X 2 X1X 2 X1X2 X1X2 X1 X1 X2 X2 0
W2 0 X1 X2 X1X2 X2 X1X2 X1 X1X2 X1X2
ISSN 1812-3996
Теперь найдем |S4T(F,2)nEq221 - количество всех совместных уравнений от двух переменных над F (табл. 2). Как следует из свойств свободной полурешетки, несовместными могут быть только уравнения, соответствующие парам = х^х2, w2 = 0 и
W =0, W = х-Хг.
Таблица 2
Уравнение Совместно Уравнение Совместно
XiX2 = s Да 8 = XX Да
X1X2 = °1 Да a1 = X1X2 Да
xx = a Да a=XX Да
X1X2 = °1°2 Да аа=X1X2 Да
a^X = 8 Нет 8 = axXi Нет
01X1X2 = a1 Да a1 = a1X1X2 Да
a1X1X2 = a2 Нет a2 = a1X1X2 Нет
ax& = aa Да aa = axxi Да
axx2 = s Нет 8 = a2XX2 Нет
a2 X1X2 = a1 Нет a1 = a2 X1X2 Нет
a2XxX2 = a Да a=a2XX2 Да
a2X±X2=aa Да aa = axx2 Да
afl-XX = 8 Нет 8 = a1axx2 Нет
aß-XXj = a Нет a=aaXiX2 Нет
aflXX = a Нет a = aaXiX2 Нет
aa^X = aa Да aa = aaxx2 Да
Таким образом, получаем, что число несовместных уравнений от двух переменных над ^
равно 14, а совместных \SAT(F,2)Eq22\ = 144--14 = 130, что соответствует лемме 2.3.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Вахрамеев М. А. Случайные уравнения над свободными полурешетками // Прикладная дискретная математика. 2017. № 36. С. 5-12.
2. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2016. 243 с.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Вахрамеев Михаил Анатольевич - аспирант, Институт математики им. С. Л. Соболева, Омский филиал, 644099, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: vahrmih@yandex.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Вахрамеев М. А. Асимптотическая плотность множества совместных уравнений над свободной полурешеткой счетного ранга // Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 3 (85). С. 19-22. DOI : 10.25513/18123996.2017.3.19-22.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Vakhrameev MikhailAnatolyevich - postgraduate student, Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Division, 13, Pevtsova str., Omsk, 644099, Russia; e-mail: vahrmih@yandex.ru.
FOR CITATIONS
Vakhrameev M.A. Asymptotic density of the set of solvable equations over the free semilattice of countable rank. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2017, no. 3(85), pp. 19-22. DOI: 10.25513/1812-3996.2017.3.19-22. (In Russ.).
Herald of Omsk University 2017, no. 3(85), pp. 19-22
