Исследование совместности систем уравненийнад графами и нахождение их общих решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.67, 519.17

DOI 10.25513/1812-3996.2017.4.26-32

ИССЛЕДОВАНИЕ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ НАД ГРАФАМИ И НАХОЖДЕНИЕ ИХ ОБЩИХ РЕШЕНИЙ

А. В. Ильев, В. Н. Ремесленников

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Омск, Россия

Информация о статье

Дата поступления 02.09.2017

Дата принятия в печать 12.09.2017

Аннотация. В работе изучаются три класса систем уравнений над конечными графами: бескоэффициентные системы уравнений, системы уравнений с одной переменной и системы уравнений диофантовых языков. Предложены процедуры проверки системы уравнений на совместность, вычисления радикала и построения координатного графа. Вместе эти процедуры дают алгоритм решения систем уравнений над графами.

Дата онлайн-размещения 15.12.2017

Ключевые слова

Граф, система уравнений, радикал, координатный граф

Финансирование

Исследование выполнено при финансовой поддержке РНФ в рамках научного проекта № 17-11-01117

STUDY OF THE COMPATIBILITY OF SYSTEMS OF EQUATIONS OVER GRAPHS AND FINDING THEIR GENERAL SOLUTIONS

A. V. Iljev, V. N. Remeslennikov

Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk, Russia

Article info Abstract. In the paper, three classes of systems of equations over finite graphs are stud-

Received ied. There are systems of coefficientless equations, systems of equations with one variable

02.09.2017 and systems of equations of Diophantine languages. The procedures for checking a system

of equations for compatibility, calculating the radical and constructing the coordinate Accepted graph are proposed. Together, these procedures give an algorithm for solving systems of

12.09.2017 equations over graphs.

Available online 15.12.2017

Keywords

Graph, system of equations, radical, coordinate graph

Acknowledgements

The reported study was funded by RSF according to the research project № 17-11-01117

1. Введение

В традиционном понимании предметом алгебраической геометрии является изучение решений алгебраических уравнений и систем уравнений над коммутативными кольцами. Это направление богато различными, ставшими классическими исследованиями (см., например: [1]). Основными задачами классической алгебраической геометрии являются проблемы проверки совместности систем уравнений и вычисление их общих решений - координатных алгебр.

В монографии Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мясни-кова и В. Н. Ремесленникова [2] показано, что понятия системы уравнений, алгебраического множества и координатной алгебры можно определить не только над кольцами, но и над любыми алгебраическими системами языка L. В этой монографии доказана универсальная теорема о совместности системы уравнений S над алгебраической системой A и даны общие неалгоритмические процедуры вычисления радикала системы S и построения координатной алгебры системы S. При этом язык L тоже является произвольным, т. е. может состоять из любых символов алгебраических операций, предикатов и констант.

Основная цель нашей работы - применить общие понятия и теоремы из монографии [2] к конкретным алгебраическим системам языка L, который состоит из множества C констант, предиката равенства (x = у) и иррефлексивного симметричного предиката смежности E(x, у). Этот предикат определяет категорию обыкновенных графов, т. е. неориентированных графов без петель и кратных ребер. Такой выбор языка позволяет превратить общие процедуры из работы [2] в достаточно хорошие алгоритмические процедуры. Нас будут интересовать три класса систем уравнений над произвольными конечными обыкновенными графами:

1) бескоэффициентные системы уравнений, т. е. когда C = 0;

2) системы уравнений с одной переменной;

3) системы уравнений диофантовых языков, т. е. таких языков, в которых множество констант совпадает с множеством вершин графа.

Для этих трех классов предложен алгоритм проверки совместности системы уравнений и построения ее общего решения - координатного графа.

2. Предварительные сведения

Так как многие понятия, используемые в данной работе, пока не являются общепринятыми, далее будут приведены формулировки основных определений из монографии [2].

Языком или сигнатурой Ь = Р и Р и С называется совокупность следующих множеств:

(1) множества предикатных символов Р;

(2) множества функциональных символов Р;

(3) множества константных символов С, -причем с каждым предикатным символом Я е Р и с каждым функциональным символом Г е Р однозначно связывается натуральное число пя или пг -арность или местность. Теперь дадим определение графа как алгебраической системы.

Граф - это алгебраическая система 6 = {V, Ь>, носитель которой V - непустое не более чем счетное множество, а язык Ь = {Е, => состоит из бинарного предиката смежности вершин и предиката равенства, причем предикат смежности Е(х, у) является ир-рефлексивным и симметричным, т. е. удовлетворяет условиям:

1) Ух -Е(х, х) (иррефлексивность);

2) Ух У у (Е(х, у) ^ Е(у, х)) (симметричность). Поскольку язык Ь обыкновенных графов не содержит функциональных символов, то мы будем рассматривать только предикатные системы и адаптируем все определения под предикатный случай.

Пусть Г = {V, Ь> - обыкновенный граф, а X - конечное множество переменных. Множество Т|.(Х) термов языка Ь от переменных из множества X состоит из всех переменных х е X и всех констант V е С, где С с V. Множество ЛЬ(Х атомарных формул языка Ь от переменных из множества X состоит из всех формул вида й1 = t2 и Е(й1, й2), где й1, t2 е Т.^. Атомарные форулы называются уравнениями, а произвольные подмножества 5 с AtL(X) - системами уравнений языка Ь. Мы будем рассматривать только конечные системы уравнений. Заметим, что бескоэффициентные системы состоят только из уравнений вида х = у и Е(х, у), а системы уравнений с одной переменной состоят только из уравнений вида х = V, V = V, Е(х, V,) и Е(м, V), где х, у е X, V,, ц е С и константы интерпретируются как вершины графа.

Любая система уравнений 5 от к переменных над фиксированным обыкновенным графом определяет в аффинном к-мерном пространстве Vk множество своих решений УГ(5) = [V е V | Г 1= 5(у)}, которое называется алгебраическим множеством. Если Уг(5) = 0, то система уравнений 5 несовместна над Г; иначе она является совместной. Две системы уравнений 51 и 52 называются эквивалентными над Г, если ^(51) = ^(52). Для любой системы уравнений 5 над Г существует единственная эквивалентная ей максимальная система уравнений над Г, которая называется радикалом системы 5 и обозначается

Radг(S). Если система 5 несовместна над Г, то 1^г(5) = Лй.(Х).

В нашей работе предложены алгоритмы решения следующих задач:

1. Проверка системы уравнений 5 на совместность.

2. Вычисление радикала системы 5.

3. Построение координатного графа системы 5.

Отметим, что роль координатного графа фиксированной системы уравнений 5 аналогична роли общего решения системы линейных уравнений над полем в линейной алгебре. Координатный граф Сбг(5) однозначно определяется радикалом Radг(5) следующим образом.

Отношение Л на множестве термов 7.(Х), заданное по правилу

^ t2 ^ (Ь = t2) £ 1^г(5), Й, t2 £ 7.(Х), является отношением эквивалентности, а константные и предикатные символы языка I интерпретируются на фактор-множестве 7.(Х)/& по правилам:

(1) с/Л = с для любого символа с е С;

(2) Е(Ь/&, t2/дs) = И « Е(^, t2) е Radг(5). Построенный на фактор-множестве 7.(Х)/Л граф Сбг(5) называется координатным графом алгебраического множества \/г(5). Если система 5 несовместна над г, то Сбг(5) является тривиальной системой е, т. е. графом, состоящим из единственной вершины и петли.

Следует отметить, что введенные выше отношение эквивалентности & и определение координатного графа являются частными случаями обобщенных понятий конгруэнции и фактор-системы, предложенных В. А. Горбуновым и В. И. Тумановым (см.: [3]).

3. Алгоритм решения систем уравнений

Важную роль в этом алгоритме играет понятие информационной базы системы уравнений. Ее нахождение является вспомогательной процедурой для построения радикала и координатного графа.

Пусть г = (ЦТ), Е(г)) - конечный обыкновенный граф и 5 - конечная система уравнений над г от переменных из множества X = {Х1, ..., Хк}. Информационная база системы 5 состоит из набора конечных множеств и натуральных чисел, определяемых по группам:

1) X = {Х1, ..., Хк} - множество переменных, 5 = {51, ..., 5/} - множество уравнений с переменными из X; к, / - числовые параметры.

2) Wl, ..., Wk- подмножества Цг). Wi состоит из вершин графа г, которые содержатся в записи уравнений вида Е(х, V) системы 5; а, = | Wi\ - числовые параметры, где , = 1, ..., к.

3) W11, ..., Wk1 - подмножества ЦГ). Wi1 состоит из вершин графа Г, которые смежны с каждой из вершин множества Wi (если Wi = 0, то по определению полагаем Wi1 = ЦГ)); ßi = I W^i - числовые параметры, где i = 1, ..., k.

4) W111, ..., Wk11 - подмножества ЦГ). WiLL = (Wi1)1; Yi = | Wi111 - числовые параметры, причем Yi > ai для любых i = 1, ..., k.

Каждое множество Wi состоит из некоторых вершин графа Г, смежных с вершинами, которые могут быть значениями переменной xi. Множество Wi1 содержит все возможные значения переменной xi. Множество Wi11 включает в себя множество Wi и будет нужно для простроения радикала системы S.

Если в информационной базе хотя бы одно из чисел ßi равняется нулю при ai * 0, то информационная база является несогласованной, а система S несовместна над Г. Иначе запускается процедура проверки системы уравнений S на совместность.

Процедура 1 (проверка системы уравнений S на совместность). Данная процедура строит классы эквивалентности Y(ti) на Tl(X), где ti - переменная xi либо константа v, и преобразует систему уравнений S в эквивалентную систему S на графе Г. В начале работы процедуры каждое множество Y(ti) состоит только из одного терма ti, а система S совпадает с S.

Шаг 1. Для каждого равенства ti = tj из S процедура объединяет множества Y(tP) и Y(tq), содержащие термы ti и tj. Полученное множество обозначается Y(tm), где tm - константа с наименьшим номером, а при ее отсутствии - переменная с наименьшим номером из множества Y(tP) u Y(tq). Равенство ti = tj при этом удаляется из S.

Шаг 2. Процедура последовательно просматривает все множества Y(t).

1) Если существует множество Y(t), в котором содержатся две различные константы v и vj, то исходная система S несовместна над Г.

2) Если в множестве Y(t) содержится только одна константа Vj и при этом 1\ж.6 Y(t) ^±ПМ = 0, то исходная система S несовместна над Г.

3) Если множество Y(t) не содержит констант Vj, но при этом П х е Y(t) Wi1 = 0, то исходная система S несовместна над Г.

В каждом из случаев 1)-3) процедура завершает работу.

4) Если в множестве Y(t) содержится только одна константа Vj и при этом П ж;6 r(t)Wi1 ° {vj} = {vj}, то во всех уравнениях S

каждая переменная xi е Y(t) заменяется на vj и переопределяется множество Wi1, Wi1 := {vj}.

5) Если множество Y(t) не содержит констант, но при этом П i-XieY(t)Wi1 = {vj}, то во всех уравнениях S каждая переменная xi е Y(t) заменяется на vj и в S добавляются равенства xi = vj.

6) Если множество Y(t) не содержит констант и при этом х| > 1, то алгоритм выбирает переменную xj е Y(t) с наименьшим номером и во всех уравнениях S заменяет все остальные переменные из Y(t) на xj.

Шаг 3. Процедура просматривает уравнения E(ti, tj). _

1) Если в S имеются уравнения E(xi, xi) либо E(vi, vj) такие, что (vi, vj) E(r), то исходная система S несовместна над Г. На этом процедура заканчивает работу.

2) Для каждого уравнения E(xi, vj), полученного на шаге 2, процедура переопределяет множества Wi1 := Wi1 n {vj}1, где множество {v}1 состоит из всех вершин графа Г, смежных с vj. Если новое множество Wi1 = 0, то исходная система S несовместна над Г. Если новое множество Wi1 = {vm}, то в S добавляется равенство xi = vm.

Если после выполнения шага 3 в S осталось хотя бы одно равенство, то процедура возвращается на шаг 1. Если после выполнения шага 3 в S равенств нет, но есть несколько уравнений вида E(xi, xj), то процедура переходит на шаг 4. В противном случае процедура завершает работу. Система S является совместной.

Шаг 4. Процедура ищет доминирующее множество для графа (Vx, Ex), где Vx - множество переменных, входящих в запись уравнений E(xi, xj), а множество ребер Ex определяется этими уравнениями. Напомним, что подмножество V' с V вершин графа (V, E) называется доминирующим, если каждая вершина из V \ V' смежна по крайней мере с одной вершиной из V'. Доминирующее множество может быть найдено при помощи алгоритма из статьи [4].

Найденное доминирующее множество обозначим X'. Без ограничения общности можно считать, что X' = {xi, ..., xm}, где m < k. Далее рассматриваются всевозможные наборы вида (vm, v2n, ..., vmn), n = 1, 2, ..., где vjn е Wj1. Для каждого такого набора составляется система уравнений

5„ = S u (Uf=1(x/- = vjnj). Каждая такая система уравнений проверяется на совместность, т. е. для нее выполняются шаги 1-3

процедуры. Если в итоге все системы 5п окажутся несовместными над Г, то и система 5 тоже будет несовместной над Г. В случае, когда некоторые системы 5; окажутся совместными, система уравнений 5 и (П;^) будет эквивалентна исходной системе 5, где 5; - системы уравнений, полученные после работы процедуры с совместными системами 5,. В этом случае происходит доопределение системы 5 := 5 и (П 51). Кроме того, если некоторые классы эквивалентности У(й) объединялись в каждой совместной системе 5;, то эти классы эквивалентности объединяются и в самой системе 5. На этом процедура завершает свою работу. Система 5 является совместной.

Замечание 1. В бескоэффициентном случае шаг 2 процедуры сводится к прохождению этапа 6), шаг 3 - к прохождению этапа 1), а шаг 4 становится излишним. В случае системы уравнений с одной переменной процедура никогда не переходит на шаг 4.

После того как было установлено, является ли совместной система уравнений 5, можно переходить к построению ее радикала и поиску ее общего решения - координатного графа. На данном этапе имеются классы эквивалентности У(й,) и система 5, состоящая только из уравнений вида Е(й, й).

Процедура 2 (построение радикала). Если система 5 несовместна над Г, то Radг(5) = Ай^). В противном случае процедура рассматривает последние версии множеств Wl±, ..., мЛ, полученные при выполнении шагов 2 и 3 процедуры 1 проверки совместности системы 5. С их помощью заново определяются множества М1±±, ..., Мк±±.

Далее радикал Radг(5) строится с помощью следующей процедуры:

Шаг 1. 1^г(5) := 5.

Шаг 2. Уравнения вида Е(х, V,) добавляются в Radг(5) для любых V,- е М^.

Шаг 3. Если й1, й2 е У(й), то уравнения (^ = й2) добавляются в Radг(5) для любых й1, й2 е Т^.

Шаг 4. Уравнения (й = й) добавляются в Radг(5) для любого й е Т^.

Шаг 5. Если (^ = й2) е Radг(5), то уравнения (й2 = добавляются в Radг(5) для любых й1, t2еTL(X).

Шаг 6. Если (й1 = t2)еRadг(5) и (й2 = tз)еRadг(5), то уравнения (^ = tз) добавляются в Radг(5) для любых t2, tз еП(Ю.

Шаг 7. Если Е(^, t2) е Radг(5), то уравнения Е^2, добавляются в Radг(5) для любых t2е Т.^).

Шаг 8. Если (Ь = ^2 = t2l) е Radг(S) и E(tl, t2) е Radг(S), то уравнения Е(11', t2') добавляются в Radг(5) для любых t2, tl|, t2| е 7.(Х).

Процедура 3 (построение координатного графа). Множество вершин координатного графа Д = Сбг(5) совпадает с множеством индексов ^ классов эквивалентности У(Ъ) и является подмножеством \/(г) и X, а множество ребер выглядит следующим образом:

Е(Д) = Е(г) и Е(х, Х]) и Е(х, ут), где Е(х, Х]), Е(х, Vm) е Radг(5).

Если система 5 несовместна над г, то Д = £, где £ - граф, состоящий из одной вершины и петли. В противном случае процедура выполняет следующие построения:

Шаг 1. К множеству вершин графа г добавляются все вершины, помеченные элементами множества X.

Шаг 2. К полученному графу добавляются всевозможные ребра (х, Х]) и (х, Vm), для которых Е(х, х]), Е(х,, Vm) е Radг(S).

Шаг 3. В полученном графе для каждого класса эквивалентности У(Ь) все вершины, находящиеся в этом классе, стягиваются в одну вершину, а кратные ребра заменяются одним ребром.

В результате получается координатный граф Д.

4. Обоснование алгоритма

Теорема 1

I. Приведенный алгоритм корректно проверяет систему уравнений S на совместность.

II. Радикал Яадг(5) и координатный граф Л корректно строятся указанными процедурами.

Доказательство

I. Прежде всего докажем, что система уравнений 5, построенная процедурой 1 алгоритма, эквивалентна 5.

По окончании шага 1 это очевидно.

Этапы 4) и 5) шага 2 означают, что только V] является вершиной графа г, которая может быть значением переменных из класса У(^. Поэтому замена каждой из этих переменных на V] сохраняет эквивалентность системы уравнений 5 исходной системе над г.

Этап 6) шага 2 означает, что множество значений переменных из класса У(^ непусто, и потому замена каждой из этих переменных на одну Х] сохраняет эквивалентность системы уравнений 5 исходной системе 5 над г.

На этапе 2) шага 3 процедуры 1 уточняется множество значений переменной Х,■ на графе г, и если оно состоит только из одной вершины V, то добавление в

S уравнения Xi = vj сохраняет эквивалентность системы уравнений S исходной системе S над Г.

На шаге 4 происходит переход от системы уравнений S, содержащей уравнения с двумя переменными E(xi, Xj), к системам уравнений Sn таким, что S эквивалентна объединению önSn над графом Г, причем каждое из уравнений Sn содержит не более одной переменной. Если во все совместные системы St попадут какие-либо уравнения, не содержащиеся в S, то их добавление в S сохранит эквивалентность системы уравнений S исходной системе S над Г. Если в процессе проверки совместности каждой системы Si происходило объединение одних и тех же классов эквивалентности Y(t), то эти классы эквивалентности должны быть объединены и в самой системе S.

Очевидно, что для любой переменной xi множество ее значений содержится в Wi1. Несовместность системы S, устанавливаемая на этапе 1) шага 2, следует из попадания двух констант vi и vj в один класс эквивалентности, что противоречит условию рассматриваемого диофантового случая, а именно условию попарного различия всех вершин графа. Несовместность системы S, устанавливаемая на этапах 2) и 3) шага 2, следует из того, что никакая вершина графа Г не может быть значением переменной xi из класса эквивалентности Y(t).

Несовместность системы S, устанавливаемая на этапе 1) шага 3 процедуры 1, следует из отсутствия в графе Г петель и возможного отсутствия ребер (vi, vj), существование которых вытекает из уравнений системы S. Несовместность системы S, устанавливаемая на этапе 2) шага 3, следует из того, что переменной xi не могут быть присвоены никакие значения на графе Г.

Несовместность системы S, устанавливаемая на шаге 4 процедуры 1, следует из того, что переменным из множества X не могут быть одновременно присвоены никакие конкретные значения на графе Г.

Несложно заметить, что проверка системы S на совместность исчерпывается всеми перечисленными случаями.

II. Поскольку уравнения вида E(x, xj) не несут никакой фактической информации о значениях переменных xi и xj на графе Г, то их наличие не дает дополнительных уравнений при построении радикала Rad^S).

Необходимость выполнения шага 1 процедуры 2 (построения радикала) очевидна. Корректность

шага 2 следует из того, что для любой переменной х, множество ее значений совпадает с М1, которое было получено при последнем выполнении шага з процедуры проверки совместности системы 5. Поэтому уравнения Е(х,, V,), где V,- е М11, тоже являются следствиями системы 5 и, соответственно, попадают в радикал Radг(5). Выполнение шагов 3-8 процедуры 2 (построения радикала) следует непосредственно из его определения.

Построение координатного графа процедурой 3 осуществляется непосредственно по определению. Теорема доказана.

Пример1

V6 V5

Рис. 1

ЦП = М V2, V3, V4, V5, V6}.

Е(Г) = [(V1, V2), (V2, Vз), (vз, V4), (vз, V5), (vз, V6),

(V4, V5), (V5, ¥6)}.

X = [х1, х2, хз, х4}.

5 = [Е(х1, х2), Е(х1, х4), Е(х2, хз), Е(х2, V4), Е(х4, V6),

хз = V5}.

Строится информационная база. = 0, Мг = [V4}, Мз = 0, МА = К}.

V(Г), М21= [vз, V5}, Мз1= V(Г), М41= [vз, V5}. Процедура 1. Проверка системы 5 на совместность.

т = [V,-}, , = 1, ..., 6. У(х,) = [х;}, I = 1, ..., 4. 5 := 5.

На шаге 1 удаляется равенство хз = V5. УМ := У(хз) и УМ = [хз, V5}. 5 := [Е(х1, х2), Е(х1, х4), Е(х2, хз), Е(х2, V4), Е(х4, V6)}. На шаге 2 на этапе 4) переменная хз везде заменяется на константу V5 и переопределяется множество Мз1 := ^5}.

5 := [Е(х1, х2), Е(х1, х4), Е(х2, V4), Е(х2, V5), Е(х4, V6)}. На шаге 3 переопределяется множество М21 := М V5} п [vз, V4, V6} = М.

5 := [Е(х1, х2), Е(х1, х4), Е(х2, V4), Е(х2, V5), Е(х4, V6), х2 = Vз}.

Возврат на шаг 1.

На шаге 1 удаляется равенство х2 = vз.

УМ := У(х2) и УМ = [х2, vз}. 5 := [Е(х1, х2), Е(х1, х4), Е(х2, V4), Е(х2, V5), Е(х4, V6)}. На шаге 2 на этапе 4) переменная х2 везде заменяется на константу vз.

5 := [Е(х1, х4), Е(х1, vз), Е(х4, V6), E(vз, V4), E(vз, V5)}. На шаге з переопределяется множество

М11 := V(Г) П ^2, V4, V5, V6} = М V4, V5, V6}.

Переход на шаг 4.

5 := [Е(х1, х4), Е(х1, vз), Е(х4, V6), E(vз, V4), E(vз, V5)}. X = [х1}. Так как х1 е [vз}"L, то х1 е [V2, V4, V5, V6}. Выписываются системы уравнений:

51 := 5 и (х1 = V2);

52 := 5 и (х1 = V4);

53 := 5 и (х1 = V5);

54 := 5 и (х1 = V6).

Несложно установить, что все эти системы уравнений являются совместными, следовательно исходная система 5 тоже совместна. При этом П^ =5.

Процедура 2. Построение радикала. Множество классов эквивалентности системы 5 над графом Г выглядит так:

УМ = [л}, УМ = М, У(vз) = [х2, vз}, УМ = М, У(V5) = [хз, V5}, У(V6) = [V6}, У(х1) = [х1}, У(ха) = [ха}.

Последние версии множеств М1 выглядят следующим образом:

М11 = [V2, V4, V5, V6}, М21 = М, Мз1 = [V5}, М41 = [vз, V5}.

Процедура заново определяет множества

М, :

М111:= [уз}, М211:= ^Ла^^}, Мз11:= [vз,v4,v6}, Ма11 := М V6}.

Переход непосредственно к построению радикала Radг(5).

На шаге 1 Radг(5) = [Е(х1, х4), Е(х1, vз), Е(х4, V6), ЕМ V4), E(vз, V5)}.

На шаге 2 в Radг(5) добавляются уравнения Е(х2, V2), Е(х2, V4), Е(х2, V5), Е(х2, V6), Е(хз, vз), Е(хз, V4), Е(хз, V6), Е(х4, V4).

На шаге 3 в Radг(5) добавляются уравнения х2 = Vз, хз = V5.

На шаге 4 в Radг(5) добавляются уравнения х1 = х1, х2 = х2, хз = хз, х4 = х4, V1 = VI, V2 = V2, Vз = Vз,

V4 = V4, V5 = V5, V6 = V6.

На шаге 5 в Radг(5) добавляются уравнения vз = х2, V5 = хз.

На шаге 6 ничего не происходит. На шаге 7 в Radг(5) добавляются уравнения Е(х4, х1), ЕМ х2), E(vз, х1), E(vз, хз), ЕМ х2), E(v4, хз),

Е(У4, Х4), Е(У5, Х2), Е^6, Х2), Е^6, Х4), Е^4, vз), Е^5, vз), Е^6, Хз).

На шаге 8 в Radг(S) добавляются уравнения Е(Х1, Х2), Е(Х2, Х1), Е(Х2, Хз), Е(Хз, Х2), Е(Хз, vз), Е^2, vз), Е^з, V2), Е^з, V5), E(vз, V6), Е^4, V5), Е^5, V4), Е^5, V6), Е^6, vз), Е^6, V5).

В результате получается радикал:

Radг(S) = {Е(Х1, Х2), Е(Х1, Х4), Е(Х2, Х1), Е(Х2, Хз), Е(Хз, Х2), Е(Х4, Х1), Е(Х1, vз), Е(Х2, V2), Е(Х2, V4), Е(Х2, V5), Е(Х2, V6), Е(Хз, vз), Е(Хз, V4), Е(Хз, V6), Е(Х4, V4), Е(Х4, V6), E(V2, Х2), E(vз, Х1), Е^з, Хз), E(V4, Х2), E(V4, Хз), Е^4, Х4), E(V5, Х2), Е^6, Х2), E(V6, Хз), E(V6, Х4), E(V2, vз), E(vз, V2), Е^з, V4), E(vз, V5), E(vз, V6), E(V4, vз), E(v4, V5), Е^5, vз), E(v5, V4), E(v5, V6), E(v6, vз), E(v6, V5), Х2 = vз, Хз = V5, vз = Х2, V5 = Хз, Х1 = Х1, Х2 = Х2, Хз = Хз, Х4 = Х4, V1 = VI, V2 = V2, Vз = Vз, V4 = V4, V5 = V5, V6 = V6}.

Процедура 3. Построение координатного графа.

Координатный граф Д изображен на рис. 2.

V6 х3 = v5

Рис. 2

То есть Х1 е ^2, V4, V5, V6}, Х2 = vз, Хз = V5, Х4 е {vз, V5}, причем Х1 * Х4 и значениями переменных Х1 и Х4 в каждом частном решении могут быть только смежные вершины графа г.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. М. : МЦНМО, 2007. 589 с.

2. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2016. 243 с.

3. Горбунов В. А., Туманов В. И. Строение решеток квазимногообразий // Труды Института математики СО РАН СССР. 1982. Т. 2. С. 12-44.

4. Johnson D. S. Approximation algorithms for combinatorial problems // Journal of Computer and System Sciences. 1974. Vol. 9. P. 256-278.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Ильев Артём Викторович - научный сотрудник лаборатории комбинаторных и вычислительных методов алгебры и логики, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 644043, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: [email protected].

Ремесленников Владимир Никанорович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией комбинаторных и вычислительных методов алгебры и логики, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 644043, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: [email protected].

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Ильев А. В., Ремесленников В. Н. Исследование совместности систем уравнений над графами и нахождение их общих решений // Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 4 (86). С. 26-32. DOI : 10.25513/1812-3996.2017. 4.26-32.

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Iljev Artem Viktorovich - Scientific Employee of the Laboratory of Combinatorial and Computational Methods of Algebra and Logic, Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, 644043, Russia, Omsk, Pevtsova st., 13; e-mail: [email protected].

Remeslennikov Vladimir Nikanorovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Laboratory of Combinatorial and Computational Methods of Algebra and Logic, Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, 644043, Russia, Omsk, Pevtsova st., 13; e-mail: [email protected].

FOR QTATIONS

Iljev A.V., Remeslennikov V.N. Study of the compatibility of systems of equations over graphs and finding their general solutions. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2017, no. 4 (86), pp. 26-32. DOI: 10.25513/1812-3996.2017.4.26-32. (In Russ.).