Случайные уравнения над свободными полурешётками Текст научной статьи по специальности «Математика»

2017 Теоретические основы прикладной дискретной математики №36

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

УДК 512.53

СЛУЧАЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД СВОБОДНЫМИ ПОЛУРЕШЁТКАМИ

М. А. Вахрамеев

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Омск, Россия

Исследуются уравнения от одной переменной над свободными полурешётками.

Установлено, что среднее число решений уравнения над свободной полурешёткой 3n + 2 ■ 2n ^

ранга n равно -. Доказано, что среднее число неприводимых компонент

3 ■ 2n

алгебраических множеств, определяемых уравнениями над свободной полурешёткой счётного ранга, равно 1.

Ключевые слова: свободная полурешётка, уравнение, неприводимые компоненты. DOI 10.17223/20710410/36/1

RANDOM EQUATIONS OVER FREE SEMILATTICES

M. A. Vakhrameev Sobolev Institute of Mathematics, Omsk, Russia E-mail: vahrmih@yandex.ru

In the paper, we study equations in one variable over free semilattices. We show

that the average number of solutions of a random equation over a free semilattice of 3n + 2 ■ 2n

a rank n is equal to — —. It is proved that the average number of irreducible components of algebraic sets defined by equations over a free semilattice of a countable rank is equal to 1.

Keywords: free semilattice, equation, irreducible components.

Введение

В современной математике генерация и изучение свойств случайных алгебраических объектов является одним из важных и интересных направлений. Порождение случайных групповых уравнений рассматривалось в работах [1, 2], относительно разрешимости случайных уравнений в группах см. также [3]. С помощью работ [4, 5] понятие уравнения можно определить для произвольной алгебраической системы функционального языка. Таким образом, можно рассматривать и изучать характеристики уравнений над многими классами алгебраических систем, в частности над полурешётками [6].

В данной работе исследуются вероятностные характеристики множества решений уравнений над свободными полурешётками. Вычисляется среднее число решений случайно сгенерированного уравнения (теорема 3), а также среднее число неприводимых компонент алгебраического множества, определённого уравнением над свободной полурешёткой (теорема 4). Каждая теорема иллюстрируется примером для свободной полурешётки ранга 2.

1. Основные определения

Полурешёткой называется полугруппа, удовлетворяющая тождествам ху = ух (коммутативности) и хх = х (идемпотентности). В работе рассматривается свободная полурешётка Еп ранга п с множеством свободных порождающих а1 ,..., ап и с присоединённой единицей е (Ух € Еп (хе = ех = х)).

Произвольный неединичный элемент а из Еп допускает единственное представление в виде произведения а = аг1 аг2 ... агк, где г1 < г2 < ... < , к ^ п. Число к будем называть длиной элемента а и обозначать |а|. Длину элемента е полагаем равной 0.

Пусть X = {х1, ..., хт} —множество переменных; Еп-термом т(X) будем называть одно из следующих выражений: эд(Х)с, эд(Х), с, где эд(Х) —произведение переменных хг € X; с — элемент полурешётки Еп. Уравнением над Еп называется равенство двух Еп-термов: з(Х) = ¿(X), хотя бы один из которых содержит переменные. Элементы полурешётки Еп, входящие в запись уравнения, будем называть константами.

Решением уравнения ) = ¿(X) называется набор значений переменных хг, подстановка которых в уравнение ) = ¿(X) обращает его в верное равенство. Уравнение, имеющее хотя бы одно решение, называется совместным. Уравнение, не имеющее решений, называется несовместным. Множество всех решений уравнения ) = ¿(X) будем обозначать Урп(з^) = ¿(X)).

Пример 1. Уравнение а1а2х1 = а3а4х2 является совместным. Одним из его решений является набор х1 = а3а4, х2 = а1а2. Уравнение а1а2х1 = а3а4 является несовместным, поскольку при любом значении переменной х1 в левой части уравнения будет присутствовать элемент а2, который не содержится в правой части.

Все уравнения над полурешёткой Еп можно разделить на два типа:

1) уравнения, в которых переменные присутствуют только в одной части; будем называть такие уравнения уравнениями I типа;

2) уравнения, обе части которых содержат переменные — уравнения II типа.

Заметим, что любое уравнение II типа имеет решение над Еп. В самом деле, выбирая каждую из переменных , входящих в уравнение, равной произведению констант левой и правой частей, получим верное равенство.

В работе рассматриваются уравнения над полурешёткой Еп от одной переменной. Множество всех таких уравнений обозначим через Едп. Будем обозначать: Ед^ —множество всех уравнений I типа из Едп, Ед^ —множество всех уравнений II типа из Едп. Уравнения из Ед^ представимы либо в виде с1х = с2, с1, с2 € Еп, либо в виде с3 = с4х, с3,с4 € Еп, а уравнения из Ед^ имеют вид с5х = с6х, с5,с6 € Еп. Поскольку |Еп| = 2п, легко видеть, что |Е^| = 2 ■ 2п ■ 2п = 2 ■ 4п, а |Е^| = 2п ■ 2п = 4п.

Все уравнения из множества Ед^ совместны. Найдём количество совместных в Ед^. Допустим, уравнение из Ед^ имеет вид с1х = с2. Для того чтобы такое уравнение было совместным, необходимо, чтобы константа с1 состояла только из букв, входя-

щих в состав константы с2, и никаких других. Таким образом, количество совместных уравнений данного вида равно

п к

Е ск Е ск = зп

Здесь Скк — количество вариантов выбрать константу с2, состоящую из к букв, а Ск — количество допустимых констант С1, состоящих из в букв, входящих в состав с2. Аналогично рассуждая для уравнений вида с3 = с4х, получим, что количество совместных уравнений из Е^ равно 2 ■ 3п.

2. Математическое ожидание числа решений случайно выбранного уравнения

Так как множества ЕдП и Е^П конечны, на них можно ввести равномерную вероятностную меру и определить следующие случайные величины. Пусть — случайная величина, равная количеству решений случайно выбранного уравнения из ЕдП, а £2 — случайная величина, равная количеству решений случайно выбранного уравнения из ЕдП. Отметим, что случайные величины и £2 могут принимать целые значения от 0 до 2п.

Теорема 1. Математическое ожидание числа решений случайно выбранного уравнения из Е^П равно 1:

= 1.

Доказательство. В Е^ содержится 2 ■ 4п уравнений, при этом только 2 ■ 3п из них являются совместными. Учитывая, что все варианты выбора уравнения равновероятны, получаем Р[^1 = 0]

2 • 4п — 2 • 3п

4п_з«

2 . 4п 4п

Далее, предположим, что уравнение ха = Ь, а,Ь Е имеет хотя бы одно решение. Это означает, что а может содержать только буквы из Ь. Допустим, что |Ь| = в, |а| = Ь, где Ь ^ в ^ п. Любое решение такого уравнения обязано содержать все буквы из Ь, не входящие в состав а, и при этом может содержать любые буквы из а. Следовательно, количество решений такого уравнения равно 2*, т.е. однозначно определяется длиной элемента а. Получаем, что число всех уравнений, имеющих ровно 2* решений, равно

п—4

С* ^ С к

сп сп—* к=0

п—*

количество вариантов выбрать константу Ь, содержащую все

С* 2п 4 (здесь Сп —число слов длины Ь, т. е. число всех вариантов выбора

константы а, а ^ С— к=0

буквы из а). Аналогичные рассуждения верны и для уравнений вида с Таким образом, имеем

, с, (( ^п.

р[б = 1]

4п_зп

4п

= 12 ■ Сп 2п

а 2п

24

0

если I -

если I -иначе.

0;

2п, где 0 ^ г ^ п;

Математическое ожидание равно

4п_ зп п сп 2п—п

= 0 ■ —-+ Е 2п Сп--

4

п=о

2

— V С п

4п ^ п

4 п=о

Теорема доказана.

4

п

Пример 2. Рассмотрим полурешётку Е2, порождённую множеством а2}, т. е. состоящую из элементов |е, а1, а2, а1а2}. Выпишем все уравнения из множества —д1, (табл. 1).

Таблица 1

Уравнение Количество решений Уравнение Количество решений

X = £ 1 Х = 02 1

Х01 = £ 0 ХЯ1 = 02 0

Х02 = £ 0 ХЯ2 = 02 2

Х0102 = £ 0 ХЯ1Я2 = 02 0

Х = 01 1 Х = 0102 1

Х01 = 01 2 ХЯ1 = 0102 2

Х02 = 01 0 ХЯ2 = 0102 2

ХЯ1Я2 = 01 0 ХЯ1Я2 = Я1Я2 4

£ = X 1 02 = Х 1

£ = ХЯ1 0 Я2 = ХЯ1 0

£ = ХЯ2 0 02 = ХЯ2 2

£ = ХЯ1Я2 0 Я2 = ХЯ1Я2 0

01 = Х 1 Я1Я2 = Х 1

01 = ХЯ1 2 0,10,2 = Х01 2

01 = ХЯ2 0 0102 = Х02 2

01 = ХЯ1Я2 0 0102 = Х0102 4

Составим ряд распределения случайной величины

¿1 0 1 2 3 4

Р 14/32 8/32 8/32 0 2/32

Математическое ожидание = 1 • 8/32 + 2 • 8/32 + 4 • 2/32= 1 совпадает с результатом теоремы 1.

Теорема 2. Математическое ожидание числа решений случайно выбранного уравнения из —дП равно

2П

'3Ч п

2

Доказательство. Поскольку |—д21 = 4п, получаем

2П 2П д2 (*) 1 2П = Е * = *] = Е 4^ = 4п Е (*),

4=0 4=0 4 4 4=0

где —д2 (*) —количество уравнений из — д2, имеющих ровно * решений.

Поскольку каждое уравнение участвует в полученной сумме ровно один раз, то

1 2П 1

тп Е *—(*) = 4п Е №) = / (х))|,

4 *=0 4 «(х)=/(ж)ее92

где |Урп(з(ж) = /(ж))| — количество решений уравнения в (ж) = /(ж) € — д2.

Обозначим через гп(а) количество уравнений, удовлетворяющих точке а € Еп. Изменив порядок суммирования, получаем

= тП Е (в(ж) = /(х))| = -П Е Гп(а).

4 з(х)=/(х)еед2 4

Пусть хЬ = хс — произвольное уравнение из ЕдП (все уравнения этого типа совместны) и а Е ЕП — его решение. Представим константы Ь и с в виде Ь = йа', с = йа'', где й не содержит букв из а, а' и а" могут содержать только буквы из а. Предположим, что |а| = I. Тогда а' и а'' — подмножества некоторого слова из I букв, й — подмножество некоторого слова из п — I букв. Количество уравнений, удовлятворяющих точке а, равно

п—I I I

гп(а) = Е СП—г Е С Е С/ = 2п—1 ■ 2 ■ 2г = 2П+

i=0 /=0 /=0

Подставляя этот результат в выражение для математического ожидания, получаем

1 1 п 1 п 1 /о\ п

= у Е Гп(а) = — £ С1п2п+г = — ■ 2п £ С1п2г = — ■ 3п =

' Лп ' Лп П Лп П Оп \

4 аек 4 г=о 4 г=о 2 \

Теорема доказана. ■

Пример 3. Вновь рассмотрим полурешётку Е2 и выпишем уравнения из Ед, (табл. 2).

Таблица 2

Уравнение Количество решений Уравнение Количество решений

X = X 4 х — ха2 2

^са 1 — х* 2 ха 1 — ха2 1

ха2 — х 2 ха2 — ха2 4

ха\а2 — х 1 ха1а2 — ха2 2

х• — ха 1 2 х — ха1а2 1

ха1 — ха1 4 ха1 — ха1а2 2

ха2 — ха1 1 ха2 — ха1а2 2

ха1а2 — ха1 2 ха1а2 — ха1а2 4

Составим ряд распределения случайной величины £2:

£2 0 1 2 3 4

О. 0 4/16 8/16 0 4/16

Видим, что математическое ожидание Е£2 = 1 ■ 4/16 + 2 ■ 8/16 + 4 ■ 4/16 = 36/16 = 9/4 совпадает с результатом теоремы 2.

Теперь найдём математическое ожидание случайной величины £, равной количеству решений случайно выбранного уравения из ЕдП.

Теорема 3. Математическое ожидание числа решений случайно выбранного уравнения из ЕдП равно

3П + 2 ■ 2П

Е£ =

3 ■ 2П

Доказательство. Случайная величина £ может быть представлена в виде £ £' + £'', где

' | 0, если уравнение из Ее£, „ | 0, если уравнение из Ед1, 1 £1 иначе; I £2 иначе.

1 2 2 2 1 1 Поскольку 1 = 2|Ед21, то Ж£' =3 ■ 0 + ^ = 3 и Ж£" = ^ ■ 0 + ^ Ж& = ^ Ж&.

Используя теоремы 1 и 2, получаем

2 1 2 1/3 \п 3п + 2 • 2п

* = *+Ж? = 3 Ж?1 + 1 ^ = 2 + 3(3) =^2^.

Теорема доказана. ■

Пример 4. Выпишем все уравнения от одной переменной над полурешёткой Е2 (табл. 3).

Таблица 3

Уравнения Количество решений Уравнение Количество решений

X = £,£ = X 1 Ж = Ж 4

ЖЯ1 = £, £ = ЖЯ1 0 ^са 1 — 2

ЖЯ2 = £, £ = ЖЯ2 0 ЖЯ2 = Ж 2

ЖЯ1Я2 = £, £ = ЖЯз 0 ЖЯ1Я2 = Ж 1

Ж = Я1, Я1 = Ж 1 — ^са 1 2

ЖЯ1 = Я1, Я1 = ЖЯ1 2 ЖЯ1 = ЖЯ1 4

ЖЯ2 = Я1, Я1 = ЖЯ2 0 ЖЯ2 = ЖЯ1 1

ЖЯ1Я2 = Я1, Я1 = ЖЯ1Я2 0 ЖЯ1Я2 = ЖЯ1 2

Ж = Я2, Я2 = Ж 1 Ж = ЖЯ2 2

ЖЯ1 = Я2, Я2 = ЖЯ1 0 ЖЯ1 = ЖЯ2 1

ЖЯ2 = Я2, а2 = ЖЯ2 2 ЖЯ2 = ЖЯ2 4

ЖЯ1Я2 = Я2, Я2 = ЖЯ1Я2 0 ЖЯ1Я2 = ЖЯ2 2

Ж = Я1Я2, Я1Я2 = Ж 1 Ж = ЖЯ1Я2 1

ЖЯ1 = Я1Я2, Я1Я2 = ЖЯ1 2 ЖЯ1 = ЖЯ1Я2 2

ЖЯ2 = Я1Я2, в1Я2 = ЖЯ2 2 ЖЯ2 = ЖЯ1Я2 2

ЖЯ1Я2 = Я1Я2, в1Я2 = ЖЯ1Я2 4 ЖЯ1Я2 = ЖЯ1Я2 4

Составим таблицу распределения случайной величины

е 0 1 2 3 4

р 14/48 12/48 16/48 0 6/48

Математическое ожидание Ж£ = 1 ■ 12/48 + 2 ■ 16/48 + 4■ 6/48 = 68/48 = 17/12, очевидно, соответствует теореме 3.

3. Математическое ожидание числа неприводимых компонент множества решений случайно выбранного уравнения

Пусть Е — свободная полурешётка счётного ранга с множеством свободных порождающих элементов {а : г Е I} с присоединённой единицей е. Множество У С Е называется алгебраическим, если существует система уравнений над Е с множеством решений У (множеством решений системы уравнений является пересечение решений всех уравнений системы).

Непустое алгебраическое множество У называется неприводимым, если его нельзя представить в виде

У = У и У2 и ■ ■ ■ и Уп, (2)

где У — алгебраические множества, У ^ У для всех г = ] и п > 1. Если алгебраическое множество представимо в виде объединения (2), где множества У неприводимы, то множества У называются неприводимыми компонентами множества У.

Будем рассматривать уравнения над полурешёткой Г, которые в своей записи содержат только константы из полурешётки Гп. Например, для п = 2 будем рассматривать те уравнения над Г, в записи которых могут присутствовать только константы £, а^ а2, а^2, т.е. элементы полурешётки Г2.

Определим случайную величину ф, равную количеству неприводимых компонент множества решений случайно выбранного уравнения над Г с константами из Гп.

Теорема 4. Математическое ожидание числа неприводимых компонент множества решений случайно выбранного уравнения над Г с константами из Гп равно

Еф = 1.

Доказательство. Рассмотрим уравнения I типа, т. е. уравнения вида жа = а' или а' = жа, где а, а' Е Гп. Множество решений любого такого уравнения конечно, потому что ж может состоять только из букв, входящих в состав а'. Это означает, что случайная величина ф для любого из уравнений данного вида равна количеству решений этого уравнения. Таким образом, для уравнений I типа ф может принимать следующие значения: 0,1, 2, 4,... , 2к,... , 2п.

Теперь рассмотрим уравнения II типа. Представим их в виде жаб = жа'б, где а, а', б Е Гп и а П а' = 0. Поскольку любое решение такого уравнения имеет вид ж = аа'£, координатная полурешётка множества решений V(жаб = жа'б) вкладывается в полурешётку Г*, порождённую множеством {а1... ап ...} и {¿}. В таком случае, как следует из работы [7], множество V(жаб = жа'б) является неприводимым. Следовательно, ф = 1 для любого уравнения II типа.

Обобщим вышесказанное. Имеем, что ф = 0 для 2(4п — 3п) несовместных уравнений I типа. Далее, ф = 1 для всех уравнений II типа и для уравнений I типа, имеющих ровно одно решение, т.е. для 4п + 26^2"" уравнений. Наконец, по формуле (1) ф = 2г для 2С^2п— уравнений I типа, где I = 1, 2,... , п. Таким образом, получаем

2(4n - 3n) 4n + 2C0 ■ 2n ™ . 2C!2n-i 1 2C°2n ™ . 2C!2n

E-0 = 0 ■ -+ 1--1-n-+ £ 2г—n-= - + —+ £ 2г—n-

y 3 ■ 4n 3 ■ 4n .=1 3 ■ 4n 3 3 ■ 4n 3 ■ 4

n

.

E Cn

^ + E 2^7" = ^ + ^ £ ^^ = ^ + ^ ■ .=0— = ^ + ^ = 1.

О ^—' О Л n О О ^—' /1 г) О О On О О

1 ,2C.2n— 12 A C. ■ 2n 12 .=0 n 12

3 .t0 3 ■ 4n 3 3 .=0 4n 3 3 2n 3 3 Теорема доказана. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Oilman R., Myasnikov A., and Roman'kov V. Random equations in nilpotent groups // J. Algebra. 2012. V.352. No. 1. P. 192-214.

2. Oilman R., Myasnikov A., and Roman'kov V. Random equations in free groups // Groups Complexity Cryptol. 2011. V. 3. No. 2. P. 257-284.

3. Roman'kov V. Equations over groups // Groups Complexity Cryptol. 2012. V. 4. No. 2. P. 191-239.

4. Daniyarova E., Miasnikov A., and Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Mathematics. Hackensack, 2008. P. 80-112.

5. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания // Фундамент. и прикл. матем. 2012. Т. 17. №1. С.65-106.

6. Шевляков А. Н. Эквивалентные уравнения над полурешетками // Сиб. электрон. матем. изв. 2016. Т. 13. С. 478-490.

7. Шевляков А. Н. Элементы алгебраической геометрии над свободной полурешеткой // Алгебра и логика. 2015. Т. 54. №3. С. 399-420.

REFERENCES

1. Oilman R., Myasnikov A., and Roman'kov V. Random equations in nilpotent groups. J. Algebra, 2012, vol.352, no. 1, pp. 192-214.

2. Oilman R., Myasnikov A., and Roman'kov V. Random equations in free groups. Groups Complexity Cryptol., 2011, vol.3, no. 2, pp. 257-284.

3. Roman'kov V. Equations over groups. Groups Complexity Cryptol., 2012, vol.4, no. 2, pp. 191-239.

4. Daniyarova E., Miasnikov A., and Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry. Algebra and Discrete Mathematics. Hackensack, 2008, pp. 80-112.

5. Daniyarova E. Yu., Myasnikov A. O., and Remeslennikov V. N Algebraicheskaya geometriya nad algebraicheskimi sistemami. II. Osnovaniya [Algebraic geometry over algebraic structures. II. Foundations]. Fundam. Prikl. Mat., 2012, vol.17, iss. 1, pp. 65-106. (in Russian)

6. Shevlyakov A. N. Ekvivalentnye uravneniya nad polureshetkami [Equivalent equations in semilattices]. Sib. Elektron. Mat. Izv., 2016, vol.13, pp. 478-490. (in Russian)

7. Shevlyakov A. N. Elementy algebraicheskoy geometrii nad svobodnoy polureshetkoy [Elements of algebraic geometry over a free semilattice]. Algebra Logika, 2015, vol. 54, no. 3, pp. 399-420. (in Russian)