CC BY
15
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 512.53
йй! 10.25513/1812-3996.2018.23(2).11-15
ОБ УРАВНЕНИЯХ НАД ПОЛУГРУППАМИ БРАНДТА М. А. Вахрамеев
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 11.03.2018
Дата принятия в печать 29.03.2018
Дата онлайн-размещения 25.06.2018
Ключевые слова
Уравнение, полугруппа Брандта, термальная функция
Финансирование
Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных научных исследований СО РАН № 1.1.1.4 в рамках научного проекта № 0314-2016-0004
Аннотация. Изучаются уравнения над полугруппой Брандта Вп. Доказано, что среднее число решений уравнений от одной переменной асимптотически равно п2. Также установлено, что доля несовместных уравнений от одной переменной асимптотически
2
равна —.
п2
ON EQUATIONS OVER BRANDT SEMIGROUPS
M. A. Vakhrameev
Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk Branch, Omsk, Russia
Article info
Received 11.03.2018
Accepted 29.03.2018
Available online 25.06.2018
Keywords
Equation, Brandt semigroup, termal function
Acknowledgements
The reported study was funded by the Fundamental Research Program of SB RAS № I.1.1.4 according to the research project № 0314-2016-0004
Abstract. In this paper, we study equations in one variable over Brandt semigroup Bn. We show that the average number of solutions of these equations is asymptotically equal to n2.
2
We prove that the proportion of unsolvable equations is asymptotically equal to — .
n2
1.Введение
Одним из основных понятий универсальной алгебраической геометрии, развитой в работах Э.Ю. Данияровой, А.Г. Мясникова и В.Н. Ремесленникова (см., например, монографию [1]), является понятие алгебраического множества. Напомним, что алгебраическим множеством над алгебраической системой А называется множество У, для которого существует система уравнений над А с решением У. Среди всех алгебраических множеств фиксированной размерности важную роль играют множества, задаваемые одним уравнением (далее такие множества будем называть 1-алгебраическими). Во многих прикладных задачах возникает необходимость порождения случайного 1-алгебраического множества. Наиболее естественное решение данной проблемы заключается в выборе пары термов 1(х),б(х) Е Т(х) относительно некоторой вероятностной меры ^ на множестве термов Т(х), которая и будет задавать 1-алгебраическое множество УА (1(х) = з(х)).
В работе [2], где изучались уравнения над полурешетками, было замечено, что равномерность меры ^ дает далеко не равномерное распределение на классе 1-алгебраических множеств. Данный эффект обусловлен тем, что для 1-алгебраических множеств числа |Eq(Y)| = |{£(х) = б(х) | УА (^(х) = = ^(х)) = У}| существенно отличаются друг от друга при разных У.
Другой способ порождения случайных 1-алгеб-раических множеств, отчасти исправляющий недостатки предыдущего метода, заключается в следующем. Введем отношение эквивалентности на множестве термов над алгебраической системой А:
Ь ~ 5 ^ Ь(х) = б(х) для любой точки х Е А.
Оставляя по одному представителю из каждого класса термов, мы получим множество термов Т(х), и тогда порождение случайного 1-алгебраиче-ского множества заключается в выборе пары термов Ь(х),з(х) Е Т(х).
В настоящей работе второй способ порождения 1-алгебраических множеств применен к алгебраическим множествам, задаваемым уравнениями от одной переменной над полугруппой Брандта Вп. Уравнение определяется как равенство двух термальных функций. Доказывается, что число классов эквивалентности термальных функций над полугруппой Брандта Вп равно п4 + 3п2 + 3. Используя данный факт, нам удалось вычислить количество совместных и несовместных уравнений, а также
(е,к) • (l,m) =
(1)
установить, что среднее число решении для уравнений от одной переменной над полугруппой Брандта Вп асимптотически равно п2.
2. Основные определения
Полугруппой Брандта называется полугруппа Вп = {0} U {(i,j), 1 < i,j < n}, \Bn\ =n2 + l, операция умножения на которой задается следующим образом:
1. Для любого b Е Bn: b^0 = 0^Ь = 0;
2. Для любых (е, к), (I, т) Е Вп\{0}: ((е,т), если к = I;
0, иначе.
Вп-термом от переменной х или просто термом будем называть выражение w(x) = = w1^w2 ... ws такое, что для любого 1 < i < s либо Wi Е Вп, либо Wi есть переменная х. Элементы полугруппы Вп, входящие в запись Вп-терма, мы будем называть константами. Два терма s и t будем называть равными, если совпадают их записи. Также определим отношение эквивалентности на множестве всех термов:
s(x) ~ t(x) ^ s(x) = t(x) при любом значении х.
Функция f\ Bn ^ Вп будет называться термальной, если она задается некоторым ^„-термом. Через Т обозначим множество всех различных термальных функций над Вп. Будем говорить, что термальная функция /, заданная термом w, эквивалентна терму v, если w~v.
Уравнением над Вп будем называть равенство двух термальных функций f1 = f2. Решением уравнения f1 = f2 называется такое значение переменной х, подстановка которого в уравнение обращает его в верное равенство. Уравнение, имеющее хотя бы одно решение, называется совместным. Уравнение, не имеющее решений, называется несовместным. Множество всех решений уравнения f1 = f2 будем обозначать, как VBn(f1 = f2). Множество всех уравнений над Вп будем обозначать, как Eqn.
3. Эквивалентность термальных функций
Определим следующие множества термов:
• С1 = {ЪЕВП},\С1\ =п2 + 1;
• С2={х},\С2\ = 1;
• С3={х2},\С3\ = 1;
• С4 = {Ъх, b Е Вп\{0}}, \С4\=п2;
• C5={xb,bEBn\{0}},\C5\=n2;
• С6 = {bxd,b,d Е Вп\{0}}, \С6\=п4.
Пусть С = C1U C2U C3U C4U C5U C6. Поскольку множества Ct попарно не пересекаются, то \С\ = \С1\ + \ С 2 \ + \Сэ\ + \С4\ + \С5\ + \С6\ =п4 + + 3п2 + 3.
= {(
Утверждение 3.1. Для каждой пары термов t,s Е С таких, что t~s, следует, что t = s.
Доказательство. Для того чтобы убедиться в правильности данного утверждения, достаточно сравнить множества значений для всех термов из С:
• t Е C1,t = b,b ЕВП;
• t Е C2,t = х;
tEC3,t = X2={(-i,i), еСЛИ Х = 3 (.0, иначе;
t Е C4,t = bx = (b1,b2)x =
_((b1,i), если x = (b2,i);
{ 0, иначе;
t Е C5,t = xb = x(b1,b2) =
b2), если x = (i, b1);
0, иначе;
• t Е C6,t = bxd = (b1,b2)x(d1,d2) =
= ((b1,d2), если x=(b2,d1); l 0, иначе.
Таким образом, множество С не содержит различных эквивалентных термов.
Утверждение 3.2. Для любой термальной функции f\ Вп ^ Вп существует эквивалентный ей терм t Е С.
Доказательство. Пусть функция f задана некоторым термом w = w1^w2 ... wk. Заменяя каждое произведение соседних констант на его результат, терм w = w1^w2 ...wk можно привести либо к виду v = v1 • v2 •... • vs, не содержащему в своей записи двух подряд идущих констант, либо к нулю. Если f~0, то утверждение автоматически доказано, поскольку 0 Е С1. Рассмотрим полученный выше терм V = v1 • v2 • ...• vs.
Если s <2, то v - это терм одного из следующих видов: b,x,x2,bx,xb. Все такие термы содержатся во множестве С, следовательно для случая s <2 утверждение также верно.
Теперь рассмотрим случай, когда s > 2. Заметим, что
<f(i,i), если х = (i,i); 0, иначе,
следовательно, xs~x2. Таким образом, если v = xs, то утверждение доказано. Поэтому предположим, что v содержит хотя бы одну константу. Докажем, что любой такой терм либо тождественно равен нулю, либо не равен нулю только в одной точке. Заметим, что v в своей записи обязательно будет содержать одно из следующих выражений:
1. (b1, Ь2) • х • х = \(Ъ1,Ъ2), если x=(b2,b2);
0, иначе;
2. х • (b1, b2) • х =
= {(
= {(
= {(
= {(
\(Ъ2,Ъ1), если х=(Ь2,Ь1); 0, иначе;
3. х • х • (Ь1,Ь2) = = {(Ъ1,Ъ2), если х=(Ь1,Ь1);
{ 0, иначе.
4. (Ъ1,Ъ2)^х^(й1,й2) = {(Ь1^2), если х=(Ь2,й1);
0, иначе.
Любое из произведений 1-4 не равняется нулю лишь при единственном значении х Ф 0. Следовательно, терм V либо тождественно равен нулю, либо не равен нулю максимум при одном значении х Ф 0. Если терм V отличен от нуля только при
х = (а1, а2)
v((a\a2)) = (е1,е ),
то
у~(е1,а1)х(а2,е2) Е С.
Следствие 3.1. Число различных термальных функций над Вп равно п4 + 3п2 + 3.
Далее любая термальная функция f•. Вп ^ Вп будет отождествляться с соответствующим термом множества С.
4. Среднее число решений уравнений над Вп
Согласно определению уравнением над Вп называется равенство двух термальных функций Ъ(х) = [2(х),[1,[2 Е Т. Так как 1Т1 = п4 + 3п2 + 3, то 1Ец^1 = (п4 + 3п2 + 3)2 =пв + 6п6 + 15п4 + 18п2 + 9.
Разобьем множество Ецп на подмножества, каждое из которых будет состоять из уравнений определенного типа. Тип уравнения будет определяться принадлежностью термальных функций, его задающих, к множествам С1,^,С6. Таким образом, каждое уравнение из Ецп относится одному из 6 = 36 типов. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 4.1. [1~Ь1 Е Сг, [2~12 Е С2.Ь = х, ЬЕВП.
Количество таких уравнений равно |С1| • 1С21 = = п2 + 1. Каждое уравнение имеет единственное решение. Учитывая также уравнения симметричного вида, где [1~Ь1 Е С2,[2~12 Е С^.х = Ь, получаем табл. 1.
Таблица 1
Кол-во решений 1
Кол-во уравнений 2(n2 + 1)
Вп.
Пример 4.2. f1~t1 Е C1,f2~t2 Е C3:b = x2,b Е
Количество таких уравнений равно |С1| • |С3| = 1. Так как
2 _)(£• ¿), если х = (Ь,Ь), 1 < Ь < п;
х
= {(
0, иначе;
и
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 2. С. 11-15
-ISSN 1812-3996
то:
• если Ь Ф0 и ЬФ(1,1), 1<1<п (п2 + 1 — 1—п = п2—п уравнений), то решений нет;
• если Ь = (1,1), 1 < I <п (п уравнений), то существует ровно 1 решение - (¿, ¿);
• если Ь = 0, то решением будет любое значение х, кроме х = (1,(),1 < I < п, т. е. будет существовать п2 + 1 — п решений.
Учитывая также уравнения симметричного типа х2 = Ь, получаем табл. 2.
Таблица 2
Кол-во решений 0 1 п2 — п+ 1
Кол-во уравнений 2(п2 — п) 2п 2
Пример 4.3. Е С1, [2~Ь2 Е С6:
Ь = схй, Ъ,с,й Е Вп, с,й Ф 0.
Количество таких уравнений равно |С1| • 1С61 = = (п2 + 1)п4.
Пусть Ь = (Ь1,Ь2), с = (с1,с2), й = (й1,й2). Если (с1,й2) = (Ь1,Ь2) (п^п^п^п = п4 уравнений), то существует ровно одно решение х=(с2,й1). В противном случае, если (с1,й2) Ф
Ф (Ъ1,Ъ2) (п6 — п4 уравнений, где п6 - число вариантов выбрать Ъ,с,й такими, что Ъ,с,й Ф 0, а п4 -число уравнений, где (с1,й2) = (Ь1,Ь2)), то решений нет.
Теперь рассмотрим случай, когда Ь = 0 и уравнение принимает вид 0 = схй. Количество таких уравнений равно 1С61 = п4. Для каждого из таких уравнений любое значение х, обращающее схй в ноль, является решением. Таким образом, всякое такое уравнение будет иметь п2 + 1 — 1=п2 решений.
Учитывая также уравнения симметричного вида схй = Ь, получаем табл. 3.
Таблица 3
Кол-во решений 0 1 п2
Кол-во уравнений 2(п6—п4) 2п4 2п4
Мы рассмотрели некоторые типы уравнений. Полностью все случаи были разобраны в работе [3].
Обобщив результаты для всех типов уравнений, составим сводную таблицу, показывающую, сколько уравнений имеет то или иное число решений (табл. 4).
Таблица 4
Кол-во решений Кол-во уравнений
0 2п6 + 3п4 — 4п3 + 3п2 — 2п
1 4п4 + 4п3 +4п2 —2п +2
2 2п2
п + 1 4п + 2
п2 — 2п + 1 2п4 — 2п3
п2 — 2п + 2 2п4 + 2п2 — 4п
п2 — 2п + 3 2п2 + 4п
п2 —п 4п6 — 4п5 + 2п4 — 2п3
п2 — п + 1 4п5 +2п2 —2п +2
п2 — п + 2 4п3 + 2п
п2 — 1 п8 — п6
п2 п6 + п4
п2 + 1 п4 + 3п2 + 3
На основе табл. 4 вычислим среднее число решений уравнений из Ецп:
_ _ 1
5о1(Вп) = п8 + 6п6 + 15п4 + 18п2 + 9 Х X (4п4 + 4п3 + 4п2 — 2п + 2 + 2 • 2п2 + + (п + 1)(4п + 2) + (п2 — 2п + 1)(2п4 — 2п3) + + (п2 — 2п + 2)(2п4 + 2п2 — 4п) +
+ (п2 — 2п + 3)(2п2 + 4п) + + (п2 — п)(4п6 — 4п5 + 2п4 — 2п3) + + (п2 — п + 1)(4п5 + 2п2 — 2п + 2) + + (п2 — п + 2)(4п3 + 2п) + (п2 — 1)(п8 — п6) + +п2(п6 + п4) + (п2 + 1)(п4 + 3п2 + 3)) =
п10+3п8-4п7+9п6-6п5+22п4+32п2+8п+9 п
---п2.
п8+6п6+15п4+18п2+9
Также из табл. 4 видно, что доля несовместных уравнений равна
2п6 + 3п4 — 4п3 + 3п2 — 2п 2 п8 + 6п6 + 15п4 + 18п2 + 9 ~п2'
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2016. С. 243.
2. Шевляков А. Н. Эквивалентные уравнения над полурешетками // Сиб. электрон. матем. изв. 2016. Т. 13. С. 478-490.
3. Вахрамеев М. А. Об уравнениях над полугруппами Брандта // агХ1у:1709.08043 [math.GR].
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Вахрамеев Михаил Анатольевич - аспирант лаборатории комбинаторных и вычислительных методов алгебры и логики, Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Омский филиал, 644099, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: vahrmih@yandex.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Вахрамеев М. А. Об уравнениях над полугруппами Брандта // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 2. С. 1115. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).11-15.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Vakhrameev Mikhail Anatolievich - Postgraduate Student, Sobolev Institute of Mathematics Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk Branch, 13, Pevtsova st., Omsk, 644099, Russia; e-mail: vahrmih@ yandex.ru.
FOR QTATIONS
Vakhrameev M.A. On equations over Brandt semigroups. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 2, pp. 11-15. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).11-15. (in Russ.).
