CC BY
24
Фирстов В.Е.1, Фирстов В.В2.
1 Профессор кафедры компьютерной алгебры и теории чисел ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, E-mail: firstovl 951@ gmail. com
2 Преподаватель 3d-моделирования ЦМИТ «Тир», г. Саратов, кандидат культурологии, E-mail:
vfirstov@ gmail. com
АРХИМЕДОВА КОНЦЕПЦИЯ БАРИЦЕНТРА И КВАНТИТАТИВНЫЙ АНАЛИЗ ЖИВОПИСНЫХ ОБРАЗОВ С ПОМОЩЬЮ ИКТ «BARY^LOR»
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Архимедова концепция барицетра, квантитативный анализ живописи, хронология теории цвета, RGB-система, цветовой анализ картин, цетр цветового баланса живописного образа, золотые пропорции картины, ИКТ «BaryСo¡or»,
АННОТАЦИЯ
В работе архимедова концепция барицентра распространена в область количественного анализа живописных образов с использованием ИКТ «Barycolor», что позволило установить ряд эстетических закономерностей живописного творчества художников разных эпох и жанров. Это дает возможность использования данного материала в дидактических целях в процессе преподавания математики в гуманитарной области знаний.
1. Введение. Эстетические приоритеты европейской культуры постепенно обозначились у античных греков: Пифагор связывал прекрасное с должным соблюдением пропорций, Сократ отождествлял красоту с целесообразностью, а Платон в IV в. до н.э. заметил «как легко отыскать примеры прекрасного и как трудно объяснить, почему они прекрасны». Таким образом, возникла идея о существовании в категории прекрасного некого рационального ядра, выражающегося математическим языком. Именно это ядро представляет предмет научных исследований и дидактики, содержание которого сводится к внедрению выделенного математического контента в человеческое сознание с целью постижения эстетических закономерностей через математику. Сейчас данный междисциплинарный аспект привлекает широкую мировую аудиторию и организационно выразился в создании Международной ассоциации эмпирической эстетики (IAEA, 1967) и Международной ассоциации математической эстетики (1996) с отделениями в России и Конгрессом, созываемым раз в 2 года. В отечественном образовании данная тематика разрабатывается целым рядом исследователей, среди которых можно выделить работы [1-3].
2. Этапы эволюционной хронологии теории цвета. Здесь наиболее важными представляются следующие моменты:
1). В 60-х гг. XVII в. И. Ньютон с помощью призмы разложил белый свет в семь цветов радуги [4].
2). В 1756 г. М.В. Ломоносовым, а затем Т. Юнгом (1802) выдвигается 3-компонентная гипотеза цветового восприятия [1], которая подтверждается опытами Г. Гельмгольца в 60-х гг. XIX в [5].
3). Основоположники волновой оптики О. Френель и Т. Юнг в своих работах начала XIX в. показали, что свет в широком диапазоне яркостей подчиняется принципу суперпозиции [4].
4). В 1827 г. немецкий математик А.Ф. Мёбиус установил [6], что архимедова концепция барицентра равносильна введению проективной системы координат, используемой в построении живописных образов по законам перспективы корифеями Возрождения Л. Д'Винчи и А. Дюрером, красота которых обусловлена законами механики и геометрии.
5). В 1853 г. немецкий геометр Г. Грассман установил основные законы колориметрии, по которым любые четыре цвета линейно зависимы, и существует бесчисленное множество линейно независимых троек цветов [7].
6). В 1900 г. выдающийся немецкий физик М. Планк установил квантовый характер законов теплового излучения молекул или атомов генерирующих ультрамагнитное излучение,
видимый спектр которого — это те семь цветов, на которые И. Ньютон разложил белый цвет.
7). В 1931 г. — Международная комиссия по освещению (МКО) приняла трехцветную RGB-систему в качестве стандарта, предусматривающего следующие длины волн монохроматических излучений основных тонов: для красного R — 700 нм, зеленого G — 546,1 нм и синего B — 435,8 нм [8].
Приведенные данные определяют базис колориметрии, что позволяет осуществить корректную математическую процедуру для описания цветового пространства живописного образа.
3. Концепция барицентра корнями уходит в методологию центризма, которую в механике реализовал Архимед в виде центра тяжести тела, после чего она материализовалась у корифеев Возрождения в живописи. Во II-ой половине XX в. обозначились информационные подходы в понимании эстетического восприятия (А. Моль [9]) и на этом пути видный американский специалист по психологии искусства Р. Арнхейм подчеркивает важность композиционного равновесия и концепции колориметрического барицентра (ККБЦ): «При анализе изобразительной композиции также может оказаться полезным и принцип рычага, заимствованный из физики» [10;11].
ККБЦ была разработана и реализована в виде ИКТ в диссертации [12] и ее результаты подробно обсуждались на трех конгрессах Международной ассоциации эмпирической эстетики [13-15].
В рамках ККБЦ живописный образ формально представляется в виде некоторой ограниченной поверхности Im, с каждой точкой которой однозначно связан определенный цветовой оттенок, выраженный элементом цветового пространства F. Таким образом, живописный образ представляется некоторым подмножеством декартова произведения Im>F, которое формализует смысловое пространство рассматриваемого образа и является объектом восприятия. Концепция КБЦ предусматривает построение отображения:
Im>F^W, (1)
по которому каждой точке живописного образа ставится в соответствие некоторое неотрицательное число из множества W, которое рассматривается в виде «колориметрической» массы данной точки. Обычно и, чаще всего, = [0;1]. Отображение (1) позволяет получить структурно-колориметрический спектр рассматриваемого живописного произведения и, далее, по формулам механики, определить его КБЦ, с которым могут быть связаны композиционные особенности рассматриваемого произведения.
4. Анализ цветного живописного образа. Для описания цветового пространства F в случае цветного изображения используется стандартная трехцветная RGB-система МКО [8]. Тогда каждый элемент пространства F — есть некоторый измеряемый цветовой тон, формируемый из трех базисных тонов R;G;B в виде 3-компонентного вектора (R;G;B). Например, в рамках RGB-модели, вектор (0;0;0) представляет черный тон, а векторы (1;0;0); (0;1;0); (0;0;1); (1;1;1), соответственно, описывают стандартизованные красный, зеленый, синий и белый цвета
ККБЦ в этом случае проводится посредством цепи отображений: (R;G;B)(R+G+B)[0;1], где величину суммы R+G+B называют модулем вектора (R;G;B), который отображается на единичный отрезок. Для перехода в проективную плоскость ненулевые векторы (R;G;B) нормируют, вводя так
называемые координаты цветности r; g; b с помощью соотношений:
Г - R - G b - В
Г = R + G + B; g = R + G + B; = R + G + B, (2)
Из определения (2) следует, что координаты цветности удовлетворяют уравнению:
r+g+b=1, (3)
и г;д;Ь-координаты — это так называемые барицентрические координаты, которые приводят к наглядной интерпретации цветового пространства F. Для этого определим пространственную декартову систему координат ORGB, на которой отметим единичную плоскость (рис.1). В сечении RGB-пространства плоскостью (3) образуется так называемый цветовой /RGB (рис.1), задающий множество точек с координатами цветности, лежащими на отрезке [0;1] В частности, вершины цветового /RGB соответствуют основным тонам RGB-системы, а точка пересечения медиан (центр) /RGB с радиус-вектором соответствует белому свету. Вектор оказывается ортогональным плоскости цветового /RGB. Важно также указать, что отображение (R;G;B)(r;g;b) — это перспектива цветового вектора (R;G;B) на плоскость цветового треугольника с центром в начале координат RGB-системы, и, таким образом, канон живописи Ренессанса оказывается тесно связанным с
геометрией и механикой.
«ВагуСо1ог»
5.1. Предварительые замечания и отладка программы. На основе концепции КБЦ разработана ИКТ «BaryColor», для вычисления положения барицентров, как отдельных изображений, так и целых массивов картин.
На начальном этапе исследования использовалась методика определения координат колориметрического барицентра с помощью черно-белой проекции цветового пространства, в которой присутствует 256 оттенков серого цвета (от белого до черного). Данные психологии [7-11] говорят о том, что светлые цвета воспринимается человеком, как более легкие, чем темные. Исходя из этого, при анализе картин точкам белого цвета присваивается минимальный вес — ноль; для точек серого цвета, по мере приближения их оттенка к черному цвету, вес возрастает, а точкам черного цвета присваивается максимальный вес, равный 1.
Корректность работы программы была проверена на тестовых изображениях (рис.2). На рис. 2a барицентр совпадает с центром черного круга, расположенного на белом фоне; на рис. 2Ь барицентр смещается к центру изображения под действием веса серого фона; на рис. 2с черный цвет круга сливается с черным цветом фона — барицентр совпадает с геометрическим центром изображения. Таким образом, приведенные результаты тестирования подтверждают корректность работы программы.
а] • Ь)
Рис. 2. Результаты тестирования программы BaryColor
По мере продвижения исследования программа неоднократно модернизировалась и проходила повторное тестирование. Так в ней была добавлена возможность построения монохроматического треугольника, образующегося при вычислении координат колориметрических барицентров картины по каждой из трех компонент RGB-модели отдельно. На этот раз, помимо простых тестов (рис.2), был выполнен более сложный тест, состоящий в следующем. Сначала строился монохроматический треугольник для картины И. Пуни «Супрематическая композиция» (рис. 3 слева).
Рис. 3. Результаты тестирования программы BaryColor:
монохроматический треугольник картины И. Пуни «Супрематическая композиция» (1915) показывает равновесие цветовых масс по вертикали и горизонтали (слева); вершины монохроматического треугольника отражают нарушение баланса в данной картине после деструктивных изменений (справа)
Согласно предлагаемой концепции КБЦ, в данной картине И. Пуни достигнуто достаточно точное равновесие цветовых масс, как по вертикали, так и по горизонтали, т.к. все три вершины монохроматического треугольника расположены вблизи геометрического центра полотна. Затем в картину были внесены существенные деструктивные изменения и заново выполнено построение монохроматического треугольника. Как видно (рис. 3 справа), программа корректно реагирует на изменение распределения цветовых масс — вершины монохроматического треугольника заметно сместились от центра полотна, показывая нарушение баланса в картине.
Как выяснилось, можно строго доказать, что центр тяжести монохроматического треугольника совпадает с КБЦ, вычисленным методом черно-белой проекции. На рис.4: слева — КБЦ, вычисленный методом черно-белой проекции; справа — монохроматический треугольник, барицентр которого совпадает с КБЦ, представленным слева. Монохроматический треугольник может оказаться вырожденным, т.е. некоторые или все его вершины совпадают или лежат на одной прямой (рис.4 справа).
1 шщщщ
R «í G
^___- - У R
г г
— ------—~
Рис. 4. Н.К. Рерих. Святейшая Тангла. 1939: КБЦ, вычисленный методом черно-белой проекции (слева); барицентр монохроматического треугольника (справа)
От RGB-модели достаточно легко перейти к стандартной равноконтрастной цветовой модели Lab (принята CIE в 1976 г.), что и было реализовано в программе посредством добавления модуля преобразования цветовых координат. Хорошо сбалансированная структура Lab основана
на теории, что цвет не может быть одновременно зеленым и красным или желтым и синим. Следовательно, для описания атрибутов "красный/зеленый"
и "желтый/синий" можно использовать соответствующие координатными осями. В Lab-модели координата L обозначает светлоту (Lightness), a -координата красной/зеленой составляющей, b -координату желтой/синей составляющей. Преимущество модели Lab по сравнению с моделью RGB заключается в том, что она позволяет определять пороги цветоразличия между двумя цветами, называемое цветовым контрастом [8,16]. В этом случае вес цвета определяется числом порогов цветоразличия между данным цветом и белым цветом (вес которого по прежнему принимается равным нулю). Однако в ходе исследования выяснилось, что координаты барицентра в Lab и RGB-моделях отличаются незначительно (рис.5), поэтому решено было продолжить использование модели RGB.__
Рис. 5. А.И. Куинджи. Север. 1879:
слева — колориметрический барицентр, вычисленный в системе RGB; справа — колориметрический
барицентр, вычисленный в системе Lab
Чтобы проследить закономерности расположения колориметрических барицентров отдельных групп произведений живописи в программу была добавлена возможность формирования ансамблей барицентров. При этом координаты барицентров группы картин аффинно отображаются в виде точек на единичный квадрат. Полученные таким образом ансамбли дают наглядное представление о характере дисперсии барицентров относительно среднего положения для отдельных жанров живописи.
5.2. Блок-схема ИКТ «BaryColor» и процедура барицентрического анализа произведений станковой живописи. Процесс барицентрического анализа картин с помощью специально разработанной программы BaryColor, работающей под управлением операционных систем Microcoft Windows 98/2000/XP, схематически представлен на рис.6.
На первом подготовительном этапе картины, предназначенные для анализа, оцифровываются с высоким разрешением с оригиналов или качественных репродукции. Оцифрованные изображения сохраняются на жесткий диск компьютера в растровом формате BMP (применение форматов
GIF и JPEG нежелательно, т.к. алгоритмы сжатия, применяемые в данных форматах, могут вносить погрешность). В случае группового анализа картин, то каждая группа изображений сохраняется в отдельную папку.
Второй этап — непосредственно анализ оцифрованных изображений в программе BaryColor. Файл с изображением загружается в программу и выбирается нужная команда. Для отдельных изображений в программе предусмотрены следующие команды:
1) вычислить колориметрический барицентр методом черно-белой проекции;
2) вычислить колориметрический барицентр в модели Lab;
3) построить монохроматический треугольник.
Аналогичные команды предусмотрены для пакетной обработки группы изображений,
причем, для группового анализа картин доступна команда «построить колориметрических барицентров группы изображений».
Цифровая фотокамера
ансамбль
Оцифровка изображения
Картина или репродукция
ш
.......................
Сканер
Запуск программы вычисления
гТ-а n i 11 ra ыю л а
¡ Сохранение \-\ результатов J
Загрузка файла с изображением
Нанесение маркера колориметрического
барицентра на единичный квадрат (формирование ансамбля)
Нанесение маркера колориметрического барицентра и
маркеров вершин монохроматического треугольника на оцифрованное изображение
N-
2>
Извлечение из графического файла Цветовы* координат пикселей в системе RGB и формирование массива цветовых векторов
Вычисление координат колориметрического барицентра и вершин монохроматического треугольника
С
R G| В ООО
Развесовка цветовых векторов и определение колориметрической массы картины
_ х
М
_ J4
Преобразование цветовых координат в модель Lab
/ — .i _
. J
Рис. 6. Блок-схема барицентрического анализа произведений станковой живописи
После того как нужная команда выбрана, в программе запускается модуль, реализующий извлечение цветовых RGB-координат пикселей из графического файла и формирование массива цветовых векторов. Если была выбрана команда «вычислить колориметрический барицентр в модели Lab», то данные массива цветовых векторов передаются в соответствующий модуль, где выполняется преобразование цветовых координат.
После этого запускается модуль развесовки цветовых векторов. Этот модуль получает данные массива цветовых векторов, содержащие информацию о цвете каждого пикселя изображения в виде цветовых координат модели RGB или модели Lab, и на основании этих данных присваивает каждому пикселю определенный вес. При этом, если выполняется построение монохроматического треугольника, то развесовка осуществляется по каждой из компонент RGM модели. В этом же модуле вычисляется колориметрическая масса всего изображения.
Далее результаты вычислений передаются в модуль вычисления координат КБЦ. В зависимости от того, какая команда была изначально дана, в данном модуле вычисляются либо координаты барицентра, либо координаты вершин монохроматического треугольника. Результаты вычислений передаются в соответствующий модуль, где барицентр (или вершины монохроматического треугольника) отмечаются маркерами на оцифрованном изображении
картины. После этого результат может быть сохранен в файл. При обработке группы изображений, результат сохраняется автоматически, и программа в цикле переходит к обработке следующего файла, пока все файлы данной группы не будут обработаны.
При выполнении построения ансамбля КБЦ, в модуль нанесения маркеров барицентра на единичный квадрат передаются относительные координаты барицентра изображения. Построение ансамбля барицентров также выполняется в цикле. После того, как все барицентры изображений выбранной группы отмечены на единичном квадрате, вычисляется и отмечается среднее по ансамблю. Результат может быть сохранен в файл.
5.3.Результаты ВагуСо1ог-анализа произведений живописи.На рис.7 представлены результаты определения положения КБЦ для двух однотемных шедевров, которые с позиций герменевтики можно трактовать так: у Леонардо Христос «Зрит в корень», а у Пикассо «Христос понимает сердцем (душой)». Белые линии — это линии «золотых сечений» сторон картины, образующие «золотой прямоугольник» в ее центре.
Рис.7. Леонардо да Винчи. Тайная вечеря. 1495-1497 (слева); С. Дали. Тайная вечеря. 1955 (справа): совпадение колориметрического барицентра (кружок в центре картины)
с геометрическим и смысловым центром картин
На рис. 8-12 представлен анализ распределения цветов живописных композиций разных жанров, стилей и эпох с помощью монохроматического треугольника. Как и ранее, темными линиями на рисунках обозначены оси симметрии полотен по горизонтали и вертикали, светлыми линиями — золотые пропорции. Вершины монохроматического треугольника — колориметрические барицентры, вычисленные по каждой из трех цветовых составляющих RGB-
Рис. 8. Слева направо: Леонардо да Винчи. Мона Лиза (1503);
Микеланджело. Погребение Христа (1510);Рафаэль. Сикстинская Мадонна. (1513)
№:^ъ-тГ^:доски
Рис. 9. Тициан. Диана и Актеон. 1 половина 16 в. (справа); Рембрандт. Благословение Иакова. 1656 (справа)
Шедевры признанных мастеров живописи эпохи Ренессанса (рис. 8;9), как и следовало ожидать, оказались достаточно точно уравновешены в композиционном и цветовом отношении — цветовые массы распределены по этим полотнам так, что все три вершины монохроматического треугольника расположены достаточно близко к центру картины. Однако, русские художники-авангардисты в своих полотнах также достигали точного равновесия цветовых масс (рис. 10).Возможно, именно этот психологический факт позволяет отличить истинного Художника от ремесленника.
Рис.10. Владимир Баранов-Россинэ. Беспредметное. 1917; Александра Экстер. Цветовой динамизм. 1916/17
В пользу этого говорит тот факт, что значительных отклонений от равновесия не наблюдается и в шедеврах русской портретной живописи (рис. 11, слева и в центре). Тогда как в кубистическом портрете П. Пикассо определенный цветовой диссонанс, который, по-видимому, является частью художественного замысла автора, отражающего душевный диссонанс рыдающей женщины, что проявляется в некотором смещении вниз одной из вершин монохроматического треугольника, соответствующей красной составляющей RGB-модели (рис. 11, справа).
В пейзажах импрессионистов (рис. 12 слева) и постимпрессионистов (рис. 12, справа) также встречаем примеры достаточно точного равновесия цветовых масс по вертикали и
горизонтали холста. Однако можно заметить, что использование резких преувеличенных контрастов и экспрессивная манера письма, характерные для живописи Ван Гога, проявляются в большем разбросе вершин монохроматического треугольника.
Рис. 11. Слева направо: И. Куликов. Портрет В.А. Щуко. 1902; В. Серов. Портрет княгини О.К. Орловой. 1911; П. Пикассо. Рыдающая женщина. 1937
Рис. 12. К. Моне. Впечатление, восход солнца. 1872 (слева); В. Ван Гог. Оливковая роща. 1889 (справа)
В пейзажах русских живописцев-передвижников линия горизонта расположена по золотому сечению (рис.13). Вероятно, эти художники сознательно использовали в своих произведениях золотые пропорции. Однако важно отметить, что и вершины монохроматического треугольника на этих пейзажах расположены точно на линии золотого сечения вблизи вертикальной оси симметрии полотна.
Рис. 13. И. Левитан. Владимирка. 1892 (слева); А. Куинджи. Днепр (эскиз одноименной картины). 1901 (справа)
Наконец, на рис. 14 [12] в приведенных координатах представлены ансамбль колориметрических барицентров из 1174 картин современных российских художников конца XX в. (черными линиями обозначены оси симметрии картин, белыми линиями — положения золотых сечений, среднее значение отмечено белым кружком с крестиком). Как видим, области сгущения точек, отвечающих координатам КБЦ картин ансамбля, расположены вокруг геометрического центра полотна внутри прямоугольника, образованного линиями золотого сечения.
та
-1= • ■•'Яр-. " tiffV - -Й 1—
Шт "fc: ■»Ср « M
Рис. 14. Ансамбль колориметрических барицентров (1174 картины российскиххудожников конца XXв.)
Следовательно, художники, независимо от от жанра и стиля, в большинстве случаев достаточно точно уравновешивают композиции своих произведений, избегая значительных отклонений от равновесия цветовых масс в картине.
б.Эксперимент по визуальному восприятию живописи. Уместно заметить, что при таком универсальном поведении КБЦ (рис.14) возникает естественный вопрос: «Мы имеем дело с феноменами психологии творчества художника или это общее свойство человеческой психики?» Ответ можно получить путем сравнения теоретического положения колориметрического барицентра исследуемой картины с соответствующими данными прямых измерений визуального восприятия центра цветового баланса по методике профессора П.Лошера из университета г. Монтеклер (США) [17], изучающего абстрактную живопись голландского живописца П. Мондриана (1872-1944). Для иллюстрации на рис.15 исследована его работа «Composition with Red, Black, Blue, Yellow and Gray» (1929).
Из рис.15 видно, что положение КБЦ (рис.15а) находится достаточно близко к положениям осредненных центров цветового баланса при визуальном восприятии (рис.15 b,c) и отклонение от осредненного центра для группы профессиональных респондентов (рис.15 с) незначительное. Правда, при этом дисперсия экспериментальных точек от осредненного значения на рис.15 Ь,с достаточно велика. По имеющимся данным можно сделать вывод, что концепция КБЦ отражает феномены психологии творчества и восприятия человека, т.к. разные цвета вызывают разные психические реакции и баланс композиции цветов отражает душевный покой.
Рис.15: a) — положение КБЦ;
b) — ответы в группе непрофессиональных респондентов (untrained participants);
c) — ответы в группе профессиональных
респондентов студентов-дизайнеров (design- trained participants).
— индивидуальный ответ участника группы;
- осредненное значение по группе опрошенных
респондентов.
Заключение. Обозначена линия, реализующая эффективное препода-вание математики в гуманитарной области. Материалы
исследования апроби-рованы в учебном процессе на кафедре компьютерной алгебры и теории чисел СГУ им. Н.Г.Чернышевского при подготовке студентов-гуманитариев.
Литература
1. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Волошинов А.В. Математика и искусство.- М.:Просвещение, 2000. — 399 с.
Петров В.М.Количественные методы в искусствознании.Вып.1.- М.:Смысл, 2000.-204с.
Салий В.Н. Математические основы гуманитарных знаний. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. — 308 с.
Творцы физической оптики. Сб. статей. — М.:Наука, 1973.352 с.
Лазарев П.П. Гельмгольц.- М.: Изд-во АН СССР, 1959. — 104 с.
Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. — 160 с.
Гуревич М.М. Цвет и его измерение.- М.:Изд-во АН СССР, 1950. — 268 с.
Джадд Д., Г.Вышецки. Цвет в науке и технике. — М.: Мир, 1978. — 592 с.
Моль А. Теория информации и эстетическое восприятие.- М.: Мир, 1966. — 351 с.
Арнхейм Р. Искусство и визуальное восприятие. — М.: Прогресс, 1974. — 392 с.
Arnheim R. The Power of the Center. A Study of Composition in the Visual Arts. -Berkeley: University of California Press, 1988. — 256 p.
Фирстов В.В. Концепция колориметрического барицентра в исследовании гармонии живописи: дисс. ... канд. культурологии: 24.00.01. — Саратов, 2006. — 136 с.
Firstov V.E., Firstov V.V., Voloshinov A.V. Conception of colorimetric barycenter in painting analysis // Proc. Intern. Congress on Aesthetics, Creativity and Psychology of the Arts. — Perm, 2005. — P. 258-260.
Firstov V.E., Firstov V.V., Voloshinov A.V. The concept of colorimetric barycenter in group analysis of painting / / Culture and Communication: Proc. XIX Congress of the Intern. Assoc. of Empirical Aesthetics-Avignon (France):IAEA,2006.-P.439-443. Firstov V.V., Firstov V.E., Voloshinov A.V. The Concept of Colorimetric Barycenter and Visual Perception of the Color Balance Center in Painting // Proc.XX Biennial Congress of the Intern. Assoc. of Empirical Aesthetics.- Chicago (Il., USA): IAEA, 2008. — P.273-277.
Метрология цвета. // Компьютерра. 1999. №16. http://www.computerra.ru/offline/ 1999/294/3623
Locher P., Overbeeke K., Stappers P.J. Spatial balance of color triads in the abstract art of Piet Mondrian // Perception, 2005, V. 34. — P. 169-189.
