Априорные оценки решения краевых задач для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 4(24). C. 54-60. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-54-60

УДК 519.633

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Е.М. Шогенова

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а E-mail: [email protected]

В данной работе методом энергетических неравенств получены априорные оценки первой и третьей краевых задач для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка, из которых следует единственность и непрерывная зависимость решения поставленных задач от входных данных.

Ключевые слова: дробная производная по Капуто, дробный интеграл Римана-Лиувилля, уравнение конвекции-диффузии, краевая задача, априорная оценка

© Шогенова Е.М., 2018

MSC 97M50

A PRIORI ESTIMATES OF THE SOLUTION BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE CONVECTION-DIFFUSION EQUATION OF FRACTIONAL ORDER

E.M. Shogenova

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89a, Russia E-mail: [email protected]

In this paper, the method of energy inequalities obtained a priori estimates of the first and third boundary value problems for the convection-diffusion equation of fractional order, from which follows the uniqueness and continuous dependence of the solution of the problems posed on the input data.

Key words: convection-diffusion equation, boundary-value problem, a priori estimate.

© Shogenova E.M., 2018

Введение

Дробное исчисление применяется при описании большого класса физических и химических процессов, протекающих в средах с фрактальной геометрией, а также при математическом моделировании экономических и социально-биологических процессов [1, с. 149]. В работе [2] дается физическая интерпретация дробной производной, на основе которой получены обобщенные уравнения переноса для медленных и быстрых стохастических процессов и решается первая начально - краевая задача. Важную роль во многих процессах тепломассообмена играет конвективно-диффузионный перенос. В качестве математической модели при его описании выступает уравнение диффузии с конвективным слагаемым. Введением в уравнение переноса оператора дробного интегро-дифференцирования, можно обобщить уравнение. Полученное уравнение дробного порядка будет более адекватно описывать физические процессы, протекающие в пористых средах

даи(х,г) = дХ (к(х)+ - 1) + £(*,1),

где

I

д0?и(хI) = щ—)/ит(х т)(г - т)-а —дробная производная Капуто порядка а, 0 < а < 1,

t

D-ßu = гву/u(x, т)(t - т)ß-ldx

0

— дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка в.

В работе, далее будем предполагать, что выполняется условие 0 < а + в < 1.

Применяя к обеим частям данного уравнения оператор дробного дифференцирования д0 получим

дЦ+ви(х,г) = довдХ (к(х)ди) + г(х)ди - Ф)д0вАх,г)+ /(х,г). (1)

В [3] получена априорная оценка для решения первой начально-краевой задачи уравнения диффузии дробного порядка и рассмотрены разностные методы решения поставленных задач. Априорная оценка решения первой краевой задачи для уравнения диффузии с операторами дробного интегро-дифференцирования получена в [4]. В работе [5] методом энергетических неравенств получены априорные оценки решения краевых задач первого и третьего рода для диффузионно-волнового уравнения. Априорные оценки решений краевых задач для уравнения диффузии дробного и распределенного порядков в дифференциальной и разностной трактовках получены в работах [6, 7].

В данной работе методом энергетических неравенств получены априорные оценки первой и третьей краевых задач для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка, из которых следует единственность и непрерывная зависимость решения поставленных задач от входных данных.

Априорная оценка решения первой краевой задачи

В прямоугольнике (т = {(х, г) :0 < х < 1,0 < г < Т} рассмотрим первую краевую задачу:

и = дв (к(х)их)х + г(х)их — д(х)д^и + /(х,г), 0 < х < 1, 0 < г < Т, (2)

и(0, г) = 0, и(1,г) = 0, 0 < г < Т, (3)

и(х,0) = и0(х), 0 < х < 1. (4)

В дальнейшем будем предполагать существование решения и(х, г) е С2,1 (((Т) задачи (2)-(4), где Ст,п((2т) - класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными порядка т по х и порядка п по г на (т.

Лемма 1. [5] Для любой абсолютно непрерывной на [0, Т] функции у(г) справедливо неравенство

у(г)д$у(г) > 2у2(г), 0 < а < 1.

Лемма 2. [5] Пусть неотрицательная абсолютно непрерывная функция у (г) удовлетворяет для почти всех г из [0, Т] неравенству

да у (г) < С1у(г) + С2(г), 0 < а < 1, где с1 > 0, с2(г) - суммируемая на [0, Т] неотрицательная функция. Тогда у (г) < у(0)Еа (С1га) + Г(а )Еа ,а (с1га )Р—а С2(г),

где

тП ™ тП

Ea (z) = Y—,-—r, Ea (z) = У --—r

n=0 r(an + 1) ,MW = Г(ап + М) — функции Миттаг-Леффлера.

Введем следующее обозначение

1

|u||0 = J u2(x,t)dx. 0

Теорема 1. Если к(х), г(х) е С1((Т), ф) е С((Т), к(х) > с1 > 0, г'(х) > 0, д(х) > 0 всюду на (Т, то для решения и(х,г) задачи (2)-(4) справедлива априорная оценка

||и||2 + \\их\\1 < м(р—а—в ||/¡00 + ||и0 П§ + \\их(х, 0)||§) , (5)

где М(Т) > 0- известная постоянная.

Доказательство. Умножим (2) на и(х, г) и проинтегрируем по х от 0 до 1:

11 111

J ид^^ и(х = J идв (к(х)их)х(х + J иг(х)их(х — J щ(х)двгМх + ^ ufdx. (6)

0 0 0 0 0

Преобразуем слагаемые, входящие в (6):

1 1 J ur(x)uxdx = — - J rfu2dx, (7)

о о

1

Jufdx < е||u||- + ^ || f ||0, £ > 0, (8)

в силу Леммы 1

1 1

Judatudx > J ^d0tu2dx = ^д0"(9)

0 0

1 1 ud0t (k(x)ux)xdx = J uxdßt (k(x) ux)dx > ^ J k(x) d0u^dx, (10)

0

i i — Juq(x)detudx > — Jq(x)detu2dx. (11)

оо Подставив полученные выражения в (6) и полагая е = 1/2, получим

д0а{+в ||u||0 + С1дв||ux|0 < ||u|— + || f ||2. (12)

Применив к обеим частям неравенства (12) оператор дробного интегрирования

т-х—а—в

Dot приходим к неравенству

T а

||u|0 + C1D—ta||ux||0 < D—а—в 11u10 + D—a—в| f ||0 + MO + Щ+О) ||ux(x,0)||—. (13)

Оценив первое слагаемое в правой части

D—а—в 1Ы1 — 1 f NuN- dг(а)тв , — (14) D— ||u|0 = Г(а + P)J (t — %)1—«—Pd^ < Г(а + в)D— ^^ (14)

приходим к неравенству

||u|0 + C1D—а||ux|0 < D—"||u|— + D0ta—в||f ||—+ ||u01|0 + Г(Г+ау||ux(x,0)|0.

(15)

Отбросив второе слагаемое в левой части неравенства (15) и воспользовавшись Леммой 2, где y(t) = D-ta||u||—, d0"y(t) = ||u10, y(0) = 0, получаем неравенство

D—a||u|— < M1 (D—2a—в||f ||— + ||u0|— + ||ux(x,0)||2) (16)

где M1(T) > 0 - известная постоянная.

Так как для любой неотрицательной интегрируемой на [0, T] функции h(t) справедливо неравенство D—2ah(t) < (tаГ(а)/Г(2а))D—ah(t), то из неравенств (15) и (16) следует априорная оценка (5), из которой следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (2)-(4) от входных данных. □

1

Априорная оценка решения третьей краевой задачи

В задаче (2)-(4) заменим граничные условия (3) условиями

Ыо)д0вМ0г)= М^ (0,г) -

\-к(1)двих(1,г)= р2д0вА1,г) -).

В прямоугольнике ((т рассмотрим третью краевую задачу (2), (4), (17), где к(х) > с1 > 0, г'(х) > 0, д(х) > 0, 1г(х)1 < с2 всюду на [0,1], ) е С[0, г], для всех г е [0, Т], I = 1,2, в > в0 > 0, к(х), г(х) е С1[0,1], д(х) е С[0,1].

Теорема 2. Если к(х) > с1 > 0, Г (х) > 0, д(х) > 0, 1г(х)1 < с2 всюду на [0,1], ^¿(г) е С[0,г], для всех г е [0,Т],I = 1,2, в > во > 0, к(х),г(х) е С1[0,1], д(х) е С[0,1], то для решения и(х,г) задачи (2), (4), (17) справедлива априорная оценка

||и||0 + Б-? 1Н12 + (и2(1,г) + и2(0,г)) <

<ы

D-a-ßrf(t) + D-a-ß+ D-a-ß\\f||02 + |K||o2 + \Ых,0)||0 , (18)

где М(Т) > 0—известная постоянная.

Доказательство. Как и в случае доказательства теоремы 1, умножая на и(х,г) уравнение (2) и интегрируя по х от 0 до 1, получим уравнение (6). Преобразовывая слагаемые, входящие в (6) приходим к неравенствам (8), (9), (11) и

1 1 идЦ( (к(х)их)х<^х = -к(1)и(1, г )д0гих (1, г)+ к(0)и(0, г )дЦ(их(0, г) + ! их (к(х)щ)ёх, (19) 0 0

1 1 Jиг(х)их(х = ^(г(1)и2(1,г) - г(0)и2(0,г)) - ^т'и2(1х >-с2ЦиЦ2С[01]. (20) 0 0

Подставив полученные выражения в тождество (6) и с учетом условий (17), получаем неравенство

1 да+в И§+2 дв И^ких ||2 <

< -вги( 1,г)двги(1,г) + ^(г)и(1,г) - в1и(0,г)дЦ(и(0,г) + ^(г)и(0,г)+ (21)

+£ ПиП2+^|| f||2+с2НиНС [0,1].

Используя неравенства

и(1,г)д0в{и(1,г) > 1 и2(1,г), и(0,г)д^и(0,г) > 1 д0вги2(0,г), и(1,г)/Л2(г) < 1 (и2(1,г) + ^(г)),

0

u(0,t)fr(t) < 0 (u2(0,t) + ¡iQ(t)),

из (21) при е = 1/2, имеем

дЦ+ß N2+dß ll^kMxllä+ßbdg (u2(i, t) + u2(0, t)) <

< Mj2(t)+ Д2(t) + u2(0,t) + u2(1,t) + ЦмПо + ll f ll2 + C2INIC[0,1]. Применив к обеим частям полученного неравенства оператор дробного интегри-

гл—а—ß

рования DQt , с учетом соотношения

NC[0,1] < е||u*j|0 +(1 + 1)|u|2,

при е = 1/2, получим

||u||0 + D0ta||ux||Q + D0ta(u2(1,t) + u2(0,t)) <

< М1 (р^ЫО + %а-в||и||о2 + Р°аЛ?(0 + + Р/^Н /112) + (22)

Т а

+ ||"о||0 + г(1 + а) ||их(х'0)12'

где М1 > 0—известная постоянная.

Воспользовавшись Леммой 2 при следующих обозначениях Р°°а1110 = д^у^),

р—а—вЫ0 = у(), у(о) = о

Р°ГвЫ0 < г(а)Еа,а(Мга)Р°а[МР°а°^иЩ+Р—0-^)+ Р°а°в^(г) + Р°а°/1|0+

Т а

+ Ы0 + Г(1 + а) ||их(х,0)||°], принимая во внимание оценку (14) и справедливость неравенства

Р°2ак(г) < (гаГ(а)/Г(2а))Р°;аЛ(г)

из (22), получим

ИО + D°ajjMxNo + D-ta(u2(1,t) + u2(0,t)) <

< Mq

D - al D0t l

u||0 + D,

-ta °V2(t)+ D°a °ßM22(t)+ D°a 0 ß|| f ||2 + lluöllä + ||ux(x, 0)||Q

(23)

где М2(Т) > 0 °известная постоянная.

Еще раз воспользовавшись Леммой 2 при обозначениях Р°°а ||и||0 = у (г), ||и||0 = да{у(г), у(0) = 0 и с учетом неравенства Р°аН(г) < (гаГ(а)/Г(2а))Р0°°аН(г) из (23) получаем оценку априорную оценку (18). Из полученной оценки следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (2), (4), (17) от входных данных. □

Список литературы

[1] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nakhushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003 (in Russian), 272 pp.]

[2] Шогенов В. Х., Шхануков-Лафишев М. Х., Бештоев Х. М., "Дробные производные: интерпретация и некоторые применения в физике", Сообщения объединенного института ядерных исследований, 1997. [Shogenov V. H., Shkhanukov-Lafishev M. Kh., Beshtoev H. M., "Drobnye proizvodnye: interpretaciya i nekotorye primeneniya v fizike", Soobshcheniya obedinennogo instituta yadernyh issledovanij, 1997 (in Russian)].

[3] Шхануков-Лафишев М. Х., Таукенова Ф. И., "Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка", Журнал вычислительной математики и математической физики, 46:10 (2006), 1871-1881. [Shkhanukov-Lafishev M. Kh., Taukenova F. I., "Raznostnye metody resheniya kraevykh zadach dlya differencialnykh uravneniy drobnogo poryadka", Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki, 46:10 (2006), 1871-1881 (in Russian)].

[4] Хагажеева А. А., Алиханов А. А., "Априорная оценка решения первой краевой задачи для уравнения диффузии с операторами дробного интегро-дифференцирования", Алгебра, анализ и смежные вопросы математического моделирования, ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А (Владикавказ, 26-27 июня 2015), Тезисы докладов, 106-107. [Khagazheeva A. A., Alikhanov A. A., "Apriornaya ocenka resheniya pervoj kraevoj zadachi dlya uravneniya diffuzii s operatorami drobnogo integro-differencirovaniya", Algebra, analiz i smezhnye voprosy matematicheskogo modelirovaniya, YUMI VNC RAN i RSO-A (Vladikavkaz, 2627 iyunya 2015), Tezisy dokladov, 106-107 (in Russian)].

[5] Алиханов А. А., "Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка", Дифференциальные уравнения, 46:5 (2010), 658-664. [Alikhanov A. A., "A Priori Estimates for Solutions of Boundary Value Problems for Fractional-Order Equations", Differential Equations, 46:5 (2010), 658-664].

[6] Alikhanov A. A., "Boundary value problems for the diffusion equation of the variable order in differential and difference settings", Applied Mathematics and Computation, 2012, №219, 3938-3946.

[7] Alikhanov A. A., "Numerical methods of solutions of boundary value problems for the multi-term variable-distributed order diffusion equation", Applied Mathematics and Computation, 2015, №268, 12-22.

Для цитирования: Шогенова Е. М. Априорные оценки решения краевых задач для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. №4(24). C. 54-60. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-54-60

For citation: Shogenova E. M. A priori estimates of the solution of boundary value problems for the convection-diffusion equation of fractional order, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 24: 4, 54-60. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-54-60

Поступила в редакцию / Original article submitted: 08.02.2016