Разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения Аллера дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 4(24). C. 166-177. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-166-177

УДК 519.633

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ АЛЛЕРА ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Ф.А. Карова

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦРАН, 683032, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А E-mail: karova.fatimat@mail.ru

В работе построены разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для обобщенного уравнения Аллера дробного порядка, а также получены априорные оценки решений разностных задач, из которых следует устойчивость и сходимость построенных разностных схем.

Ключевые слова: производная дробного порядка, устойчивость и сходимость разностных схем, уравнение Аллера дробного порядка.

© Карова Ф. А., 2018

MSC 34A08

NUMERICAL SOLUTION FOR FRACTIONAL HALLER EQUATION

F. A. Karova

Institute of applied mathematics and automation KBSC RAS, 683031, Nalchik, Shortanova st., 89 A, Russia E-mail: karova.fatimat@mail.ru

Solution of boundary value problems for the Haller equation in differential and difference settings are studied. By the method energy inequalities, a priori estimates are obtained for the solution of the differential problems.

Key words: fractional derivative, stability and convergence, fractional Haller equation.

© Karova F. A., 2018

Введение

В последнее время наблюдается значительный рост исследования математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями дробного порядка. Это связано с тем, что применение дробного исчисления позволяет более точно описать многие процессы в нефтяной промышленности, химии, геофизики и многих других областях.

Например, перенос, описываемый оператором с дробными производными на больших расстояниях от источника, приводит к совершенно иному поведению относительно малых концентраций по сравнению с классической диффузией [1], [2].

В настоящее время существует множество методов решения математических моделей с дробными производными. Одним из аналитических методов является метод преобразования Фурье. В работах [1]-[3] предложены алгоритмы численного решения уравнения диффузии с дробными производными как по пространственной, так и по временной переменной, основанные на методах быстрого преобразования Фурье и на конечных разностях. Для численного решения краевых задач для дифференциального уравнения дробного порядка с переменными коэффициентами применяется метод конечных разностей, предложенный в работах [4]-[6]. В работе [4] были построены разностные схемы для решения краевых задач уравнения диффузии дробного порядка. Для этих задач методом энергетических неравенств были получены априорные оценки, из которых следует единственностьь и устойчивость построенных схем. В работе [5] был получен разностный аналог дробной производной Капуто повышенного порядка аппроксимации. Были изучены основные свойства этого оператора, построены безусловно устойчивые разностные схемы с порядком сходимости 0(т2 + к4) и доказана их сходимость в пространстве Ь2. В работе [6] было исследовано семейство разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами, и получены достаточные условия устойчивости построенных разностных схем.

В работе [7] для обобщенного уравнения Аллера дробного порядка была построена безусловно устойчивая разностная схема с порядком сходимости 0(т + к2) в пространстве Ь,2. Разностная схема с порядком аппроксимации 0(т+к4) для нелинейного обобщенного уравнения Аллера дробного порядка была построена и исследована в работе [8].

Первая краевая задача

В прямоугольнике QT = {(х,г) : 0 < х < 1,0 < г < Т} рассмотрим задачу

= дх {к(х г) !х) + д0аг дх (п^ г) !х) - ^г)и +1 г^ (1)

и(0,г) = 0, и(1,г) = 0, 0 < г < Т, (2)

и(х,0) = и0(х), 0 < х < I, (3)

t

где д0"и(х,г) = и5(х,s)(г — s) - дробная производная Капуто порядка а,

( ; 0 _ 0 < а < 1, 0 < с1 < к(х,г), п(х,г) < с2, пг(х,г) > 0, д(х,г) > 0 всюду на QT.

В дальнейшем будем предполагать существование решения и(х,г) е С2,1 (От) задачи (1)—(3), где Ст,п (От) - класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными порядка т по х и порядка п по г на (О,т) •

Лемма 1 [4]. Для любой абсолютно непрерывной на [0,Т] функции у(г) справедливо неравенство

)д&(?) > 2д0>2(г), 0 < а < 1.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения

I

2/2 2 2 2 \и\\о = и (Х,!t)dx, llulw21(0Z) = \\u\\o + \\uxIl2,

0

D0-au(x, t) = Г—j(t - T)a-1u(x, T)dT

0

- дробный интеграл Римана - Лиувилля порядка а.

Теорема 1. Если k(x,t) е C1,0 (QT), n(x,t) e C1'1 (QT),q(x,t), f (x,t) e C (QT), 0 < ci < k(x,t), n(x,t) < c2, nt(x,t) > 0, то для решения u(x,t) задачи (1)-(3) справедлива априорная оценка

l|u|W2i(0,/) + Dota l|ux||0 < M (d0«||f ||2 + ||U0||W21(0,/)) , (4)

где M > 0 - известная постоянная, не зависящая от T.

Доказательство. Умножим уравнение (1) на u и проинтегрируем по переменной x от 0 до l:

ill ii

2

J ид^ийх — j u(kux)xdx — ^ ид0Ц (п их)х(х + J ди2 (х = J ufdx. (5)

0 0 0 0 0

Преобразуем слагаемые, входящие в тождество (5):

I I

— !и(ких)х(х = Jки°(х > с1|их^2, (6)

00

I

< £||и||2 + II f ||0, £ > 0. (7)

0

В силу леммы 1 получим

I I

I ид£и(х > 1 у д0аи2(х = 2 д0а || и По, (8)

00

l l 1 Г 1

"Уид£(nUx)xdx = Jих(nUx)dx > -^-^(nux)2dx. (9)

ux)xdx = I ux^0t ('/ ux)dx l n^Ot (nux)2'

0 0 0

Из тождества (5) с учетом (6)-(9) приходим к неравенству

/

11 ||и||2 + 2С1||их 112 + / -да(пих)2^х < 2е||мМ0 + ^ IIГ112. (10)

0

Из (10), в силу неравенства ||и< у 11их10, при £ = |г получим

/ о

Г 1 /2

3*||и||2 + С111их10 + / 1 да(пих)2йх < —1|/1|2. (11)

Применив к обеим частям неравенства (11) оператор дробного интегрирования а, получим неравенство

1 о

I2

1l2

НЮ + ciD0« Huxllo2 + J D_a - dOa (n ux)2dx < 2l^D0« || f ||2 + ||uo(x)|§. (12)

П "2ci

o

Оценим выражение а , где V = (пих)2,

ds- i! « (n u.x)2l = 1 /• d T 'V'(I)dI

№ ( ^л™ у Г( „)Г(1_„w n(x,T)(t_т)1 -« у (т-I)«

t t 1 V(I )d^ dT

Г( а)Г(1- a)J * J n(x, T)(t- т)1-«(т-I)« 2 I

t 1

1 V(i )d^ de

Г( а)Г(1- a)J * J n(x,I + в(t-I))(1 -0)1-«в«

0 0

1

1 f d0 it ;v(|)

Г(а)Г(1-а) n(x, I + в(t-I))(1-в)1-ава 10

o

t 1 1 f (П д [ dв

Г( а)Г(1 - a)J V(I)Щ] n(x, I + в(t _ I))(1 _ в)1-ава 1 > 0 0

1

1 v(t) 1 1 ? d в

> Г( а)Г(1 - а) n(x,t) ( а, _ а) _ Г( а)Г(1 - а)V( 4 n(x, вt)(1 - в)1- ава >

> _ VM) = ^ _ Clux2(x, 0). (13)

> Vn(x,t) C2 У 1 x C1 xV

Проинтегрировав неравенство (13) по х от 0 до I и подставив в (12), приходим к априорной оценке (4).

Из априорной оценки (4) следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (1)-(3) от входных данных.

Третья краевая задача

В задаче (1)-(3) заменим условия (2) условиями

'k(0, t)ux(0, t) + даn (0, t)ux(0, t) = 01 (t)u(0, t) - Ml (t), - (k(l, t)ux(l, t) + d0gn (l, t)ux(l, t))= 02 (t)u(l, t) - M2(t), 0 < t < T. ( )

В прямоугольнике Qt рассмотрим третью краевую задачу (1), (3), (14).

Теорема 2. Если k(x, t) е C1,0 (QT), n (x, t) e C1'1 (QT), q(x, t), f (x, t)e C (QT), 0 < c1 < k(x, t), n (x, t) < c2, nt(x, t) > 0 и pi(t) > 00 > 0, i = 1,2, то для решения u(x, t) задачи (1), (3), (14) справедлива априорная оценка

l|u|lW21(0,l) + Dota (\\uxII2 + u2(l,t) + u2(0,t)) < < м(р-а(M2(t) + )+ II f |0)+ I|u0|lW21(0,l)) , (15)

где M > 0 - известная постоянная.

Доказательство. Умножим уравнение (1) на u и проинтегрируем по переменной x от 0 до l:

l l l l

I шЯшЬ -j (u(kux)x + ag(n u )x)udx +1 qu2dx = J ufdx (16)

0 0 0 0 Преобразуем слагаемые, входящие в тождество (16):

l

- j (u(kux)x + ag(nux)x) udx = 02(t)u2(l, t) - M2(t)u(l, t) + 01 (t)u2(0, t)-0

0

В силу леммы 1 получим

I I

-ßi(t )u(0, t) + J ku^dx + J d®t (n ux)uxdx, (17)

0 0

i

Jufdx < e||uMo + II f llo, e > 0. (18)

i i

[ud&udx > - j d0tu2dx = odo^ ||uMo. (19)

0

С учетом (17)-(19) тождество (16) примет вид

i

1 Iii

2dot ll"lo + cilMü + 2J (n"x)2dx + 02(t)"2(l, t)+

0

+ei(t)u2(0,t) < e||u|2 + llf llo + Mi(t)u(0,t) + M2(t)u(l,t). (20)

Используя неравенства

№(< )«(о, <) < £ «2(0, <) + ¿й2(<),

Д2(?)и(1,t) < £М2(/,?) + ),

II и п2 < 12Ы0+1 ("2(о, 0 + и2(/, 0),

из (20) при ) > в0 > 0 следует

I

г2м|„ ■■ 2 , 1 I' \2.

i i ri

2даllulO + (ci - ei°)lM2 + ^ (Пux)2dx+

0

+ (во - e (l + 1))(u2(1, t ) + u2(0, t )) < ^ (rf(t ) + ^2(t ) + Il f le2). (21)

При e = X неравенство (21) примет вид

i

doa ||u|0 + Y (lk llo + u2(l, t) + u2(0, t)) + / - dot (n Ux)2dx+ <

0n

< | (^)+^) + II /112), (22)

где у = тгп{с,,в0}, 5 = тах{/2,1 + 1} .

Применив к обеим частям неравенства (22) оператор дробного интегрирования D0гa, получим априорную оценку (15).

Разностные схемы для первой краевой задачи. Устойчивость и сходимость

Все дальнейшие рассуждения проведем для случая п(х,^) = П(х). В прямоугольнике Qт введем сетку ю^т = Юй х , где

= {х = гй, г = 0,1,...,N, = I},

Ют = {о = ут, у = 0,1,..., 70, т70 = Т} . Задаче (1)-(3) поставим в соответствие разностную схему:

А0а^У = Л^Ч А0«г.+аЛ2У + ф, 1 < г < N - 1, 1 < у < у - 1, (23)

y(0, t) = 0, y(l, t)= 0, 0 < t < T, (24)

y(x, 0) = u0(x), 0 < x < l, (25)

где о = 1 — а, 9 = / {х1, , оУ = г(2—а) Е С—7^ - разностный аналог повы-

- г/ ГсП ( а ,о) ( а ,о) . А

шенного порядка аппроксимации производной Капуто [5], с0 = % при ] = 0.

При ] > 1,

a0

0«,о) + b(a°), s = 0,

cSа> = { aSао) + b{+°] - b\ао}, 1 < s < j - 1,

(а о) b( а о) s = . aj - bj , s = j,

a{0a] = о1- а, a(а] = (l + о)1- а - (l - 1 + а)1-а,

ь(а,о^ -1- [(I + о)2—« — (I — 1 + о)2—«] —

2 — а

— - [(1 + о)1—а + (1 — 1 + о)1—а], I > 1, Л1У = (аух)х, а, = к (х,—1/2, г+о),

Л-У =(ЬУх)х , Ь, = П (х,—1/?) , у(о )= о у]+1 + (1 — о )у].

Погрешность аппроксимации разностной схемы (23)-(25) имеет порядок О (т2 + к? (см. [5]).

Лемма 2 [5]. Для любой функции у(г), определенной в сетке й>т, справедливы неравенства

у(оК+.У > 1 А0«,+о(у2).

Теорема 3. Разностная схема (23)-(25) безусловно устойчива и для ее решения справедлива априорная оценка

1] 112 < 11У°11? + /2Г "7 — °° 1ИЮ, (26)

4С1 0<]<]0

где

1|у||? = ||у||? + \\^Ьух]\20, ||у|§ = (у, у), ||у]|§ = (у, у],

N —1 N

(у, V) = Е (у, V] = Е у^к

1=1 1=1

Доказательство. Умножим уравнение (23) скалярно на у(о):

(] у, у(о)) = (Л1у(о), у(о)) + (] Л?у, у(о)) + (9, у(о)). (27)

Преобразуем слагаемые, входящие в тождество (27):

-(Л^,У(ст)) = (а,ух2] > С1|ух]|2 > (28)

где к = 221,

|(Ф,е)|02 + ^^||Ф 112, с > 0. (29)

На основании леммы 2 получим

(AoV,y,^)) > 1 ||y||0,

■+1 с(.а'в)

Введем обозначение = т«г-5-а), тогда неравенство (33) примет вид

■1НУ+1Н2 < I&+1 -*Й)||/||2+^0+1ПУ0П2+2К!!фу'+1м§- (34)

5=1

Учитывая неравенство £°+1 > 2Т «г1(1-«) > 0 [5], получим

(30)

-(А£я„(Ьух)х,= (А^,(Ьух),уГ}] = (ь,уГ)А«г.+стух] >

> 2 (Ь, А0%+Стух2] = 2а«.+ст м ^ъух]|2. (31)

Из тождества (27), с учетом (28)-(31), приходим к неравенству

||у||°+к||у(ст)м0+^А«^ н^Ьу*]^ < £ Н^НО+Мф 112. (32)

При £ = к > 0 получим

А0°и МуМ2 < 2К Мф М2. (33)

'1||У+1||2 < I&+1 -*Й)|И2+^0+1 (ну°М2 + таг(* а)Иф'+Ю) . (35)

5=1 V К /

Введем обозначение

.. 0||2 Т аГ(1 - а) .. '||2 Е = ||у°||? +-(-^ ти ||ф'м°,

К °</</о

тогда неравенство (35) примет вид

¿ГНу^Н? < I(¿+1 -*Й)||у12+^0+1Е. (36)

5=1

Очевидно, что из (36) при 7 = 0 следует априорная оценка (26). Методом математической индукции докажем, что (26) справедливо и при ' = 1,2,.... Для этого допустим, что априорная оценка (26) имеет место для всех ' = 0,1,..., к - 1:

11У'+11? < Е, у = 0,1,...,к- 1. 173

Из (36) при j = к получим

к

^к+1пук+1п? < е (8к+—¿+;)||у1?+^0+1е < '=1

< Е (8к+ — 8к+1)Е + 80+1Е = ^Е. (37)

'=1

Теорема 3 доказана.

Из априорной оценки (26) следует устойчивость разностной схемы (23)-(25).

Здесь результаты получены для однородных граничных условий и(0,г) = 0, и(1,г) = 0. В случае неоднородных граничных условий и(0,г) = Д1(г), и(1,г) = Д2(г), граничные условия разностной задачи будут иметь вид:

у(0, г ) = !и(г), у(1, г )= ¡1?(г). (38)

Сходимость разностной схемы (23), (25), (38) следует из априорной оценки (26). Действительно, введем обозначение у = г+ и. Тогда г = у — и является решением следующей задачи:

Ло0^г = Л1г(о} + А0«.+оЛ?г + 1 < , < N — 1, 1 < ] < ]0 — 1, (39)

г(0, г ) = 0, г(1, г ) = 0, ] = 0,..., ]0, (40)

г(х, 0) = 0, I = 0,..., N, (41)

где ^ = Л1уо + А«.+оЛ?у — А«.+оу + 9 = О(т2 + к2).

Решение задачи (39)-(41)удовлетворяет оценке (26), следовательно, решение разностной схемы (23), (25), (38) сходится к решению соответственной разностной задачи с порядком О(т? + к2).

Разностные схемы для третьей краевой задачи. Устойчивость и сходимость

Для дифференциальной задачи (1), (3), (14) построим разностную схему:

] у = Л1уо + ] Л? у + Ф, , = 0,1,..., N, (42)

где

y(x, 0) = U0(x), (43)

f 2 -

h (a1yx,0 - ß1(tj+o)У0), i = 0,

Л1У = <J (ayx)x, i = 1,..., N - 1, 2 h

- 2 {aNyX)N + /-2 (tj+о )yN), i = N,

2

7&1 yx,0, i = 0, h

Л2У ={(byx)x, i = 1,..., N - 1, 2

- 7 bNyx,N, i = N, h

где

2

h Д1 (tj+^),

Ф =

i = 0,

9, i = 1,...,N - 1, 2

7Д2 (tj+ст), i = N,

h

hh ß1(tj+CT) = ßi(tj+a) + 2 q(0, t), ß2(tj+CT) = ß2(tj+CT) + 2 q(N, t),

hh

A1 (tj+ст) = V1(tj+CT) + 2 f (0, t), Д2 (tj+ст) = ßl(tj+a) + 2 f (N, t).

Теорема 4. Разностная схема (42)-(43) абсолютно устойчива и для ее решения справедлива априорная оценка

|[у]+1]|2 < |[у0]|1 + Т аГ(1 — а) (И^й + Д- + А?2), (44)

Y

где

II? = I[y]l2 + ||Vbyx]ß, |[y]|0 = [у,у], 11у]10 = (y,y],

N-1

L

i=1

[y, v]= L yiVih +1 y0v0h +1 yNVNh, (y, v] = L yiVih.

N LN

i=1

Доказательство. Умножим уравнение (42) скалярно на y(CT):

AU y, ]

Л1УСТ, у(ст)'

А,

'0tj+a Л2 У, У

(CT)

9, У

(CT)

Преобразуем слагаемые, входящие в тождество (45):

Л1уст, у(ст)] = в] )у0 + Р?(г]+о + Цоу?%?,

|(9,у(ст))1 < е||у(ст)N0 + ^||91|? + А1У0 + А2УN, £ > 0. На основании леммы 2 получим

А«^Л?у,уИ = >,А],Ъу,] = (Ъ,у{°)А-{.+ау,] >

> 1 (b, Aotj+ст У2] = 1 Aotj.+CT IlVbyx ]|0,

(45)

(46)

(47)

(48)

A0°L„y,У(ст} A« |[y]|2. (49)

1

2 U'j+CT

С учетом (46)-(49) тождество (45) примет вид:

^Ao« |[y]|2 + H^>]|0 + 1 ||Vbyx]|2 + во(у2 + yN) <

'ij+fflL-'J 12 ' II SX JI2 ' 2 Oij+ffl

< С(|y(ff)l0 + У2 + yN) + ¿(л^2 + Aif + ||ф||2). (50)

Пользуясь известным неравенством ||y|о < l2Nyjc] 10 +l(у2 + yN), из (50) получим

AoV I [y] I2 + 2(a - Сl2) НуХ")] |2 + 2 (во - 2g (l + 1)) (y0 + yN) <

g

< -(Äii2 + A22 + ||Ф||0). (51)

При С = 2g > 2 неравенство (51) примет вид

AoV I [y] 12 < Y (Я + Ä^22 + ||ф ||0), (52)

где у = m/n (а, в0}, g = maxjl + 1, l2}.

Дальнейшее доказательство аналогично изложенному выше для теоремы 3.

Численные результаты

Численные рассчеты проведены для тестового примера, когда функция

u(x) = sin(nx) (t3 + 3t2 + 1)

является решением задачи (23)-(25) с коэффициентами k(x,t) = 2 — sinnx, n (x) = 2 — cosx .

В таблицах 1 и 2 приводятся значения погрешностей и порядок сходимости в нормах || ■ ||о и || ■ ^ для разностной схемы при а = 2.1,2.5 и 0.9 соответственно.

(®йт )

Порядок сходимости вычисляется по формуле log й —.

Л e2

Й2

Таблица 1.

h =1/1200

а т max ||zn||0 0<j< J2 CR in || ■ ||0 ||z||c(aйт) CR in || ■ |С(0йт)

0.1 1/20 2,6592e-4 3,7811e-4

1/40 6,6029e-5 2,009 9,3880e-5 2,009

1/80 1,4843e-5 2,153 2,1125e-5 2,152

0.5 1/20 1,1037e-3 1,5687e-3

1/40 2,7842e-4 1,987 3,9565e-4 1,987

1/80 6,8303e-5 2,027 9,7072e-5 2,027

0.9 1/20 1,6664e-3 2,3661e-3

1/40 4,1485e-4 2,006 5,8906e-3 2,006

1/80 1,0169e-4 2,028 1,4442e-4 2,028

Таблица 2.

h2 = т2

a h max H^llo o< j< jo CR in || ■ ||0 ||z||C(fflhT ) CR in ! ■ ||C(fflhT)

0.1 1/20 6,0943e-3 5,7482e-3

1/40 1,5227e-3 2,000 2,1448e-3 2,000

1/80 3,8061e-4 2,000 5,3650e-4 2,000

0.5 1/20 6,1667e-3 8,6840e-3

1/40 1,5411e-3 2,000 2,1703e-3 2,000

1/80 3,8525e-4 2,000 5,4254e-4 2,000

0.9 1/20 6,2423e-3 8,7905e-3

1/40 1,5603e-3 2,000 2,1973e-3 2,000

1/80 3,9006e-4 2,000 5,4930e-4 2,000

Список литературы

[1] Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткин И. А., Поероинт IBRAE, 2003, №12. [Goloviznin V. M., Kiselev V. P., Korotkin I. A., Poeroint IBRAE, 2003, № 12].

[2] Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткин И. А., Юрков Ю. И., "Прямые задачи неклассического переноса радионуклидов в геологических формациях", Изв. РАН. Энергетика, 2004, №4, 121-130. [Goloviznin V. M., Kiselev V. P., Korotkin I. A., YUrkov YU. I., "Pryamye zadachi neklassicheskogo perenosa radionuklidov v geologicheskih formaciyah", Izv. RAN. EHnergetika., 2004, №4, 121-130].

[3] Головизнин В. М., Короткин И. А., "Методы численного решения некоторых одномерных уравнений с дробными производными", Дифференц. ур-ния., 42:7 (2006), 907-913. [Goloviznin V. M., Korotkin I. A., "Metody chislennogo resheniya nekotoryh odnomernyh uravnenij s drobnymi proizvodnymi", Differenc. ur-niya., 42:7 (2006), 907-913].

[4] Alikhanov А. A., "Boundary value problems for the diffusion equation of the variable order in differential and difference settings", Appl. Math. Comput, 2012, №219, 3938-3946.

[5] Alikhanov А. A., J. Comput. Phys, 2015, №280, 424-438.

[6] Алиханов А. А., "Устойчивость и сходимость разностных схем для краевых задач уравнения диффузии дробного порядка", Журнал выч. мат. и мат. физ., 56:4 (2016), 572586. [Alihanov A. A., "Ustojchivost' i skhodimost' raznostnyh skhem dlya kraevyh zadach uravneniya diffuzii drobnogo poryadka", ZHurnal vych. mat. i mat. fiz., 56:4 (2016), 572586].

[7] Wu Ch., "Numerical solution for Stokes' first problem for a heated generalized second grade fluid with fractional derivative", Appl. Num. Math., 2009, №59, 2571-2583.

[8] Chen C. M., Liu F., Turner I., Anh V., "Numerical methods with fourth-order spatial accuracy for variable order nonlinear Stokes' first problem for a heated generalized second grade fluid", Comput. Math. Appl., 62 (2011), 971-986.

Для цитирования: Карова Ф. А. Разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения Аллера дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. №4(24). C. 166-177. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-166-177

For citation: Karova F. A. Numerical solution for fractional Haller equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 24: 4, 166-177. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-166-177

Поступила в редакцию / Original article submitted: 11.10.2018