Априорная оценка решения краевой задачи с условием Самарского для обобщенного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 4(24). C. 208-212. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-208-212

УДК 517.954

АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С УСЛОВИЕМ САМАРСКОГО ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

А. М. Шхагапсоев

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шорта-нова, 89а

E-mail: sh2ps@yandex.ru

Рассматриваются краевые задачи для уравнения третьего порядка параболического типа с дробной производной Капуто. Методом энергетических неравенств доказано единственность и существование обобщенного решения краевой задачи c нелокальным условием Самарского для уравнения с кратными характеристиками со спектральным параметром.

Ключевые слова: априорная оценка, краевая задача, условие Самарского, дробная производная, производная Капуто, уравнения с кратными характеристиками, метод интегралов энергии, единственность решения.

@ Шхагапсоев А.М., 2018

MSC 35M13

A PRIORI ESTIMATE OF THE SOLUTION OF A BOUNDARY PROBLEM WITH THE CONDITION OF SAMARA FOR THE GENERALIZED THIRD-ORDER EQUATION WITH MULTIPLE CHARACTERISTICS

A. M. Shkhagapsoev

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, 360000, KBR, Nalchik, st. Shortanova 89a E-mail: sh2ps@yandex.ru

The boundary value problems for the third-order equation of parabolic type with fractional derivative of Caputo are considered. The uniqueness and existence of a generalized solution of the boundary value problem with a non-local Samara condition for the equation with multiple characteristics with a spectral parameter is proved by the method of energy inequalities.

Key words: a priori estimation, boundary value problem, Samara condition, fractional derivative, Caputo derivative, equations with multiple characteristics, energy integrals method, uniqueness of the solution.

© Shkhagapsoev A. M., 2018

Введение

В настоящее время теория краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений. Наблюдается существенный рост применения уравнений с частными производными дробного порядка при описании физических и химических процессов, протекающих в средах с фрактальной структурой, а так же при моделировании биологических явлений [1]. Работа [2] посвящена вопросам обобщения операций дифференцирования и интегрирования с целых порядков на дробные, а также приложениями теории дробного интегрирования и дифференцирования.

Уравнение третьего порядка с кратными характеристиками содержащее производную первого порядка по времени

впервые было рассмотрено в работах [3]-[5]. Полученные в них результаты были обобщены для уравнения (2п-1)-го порядка в работе [6]. В работе [7] построены фундаментальные решения с применением преобразования Лапласа, теории потенциалов и получены оценки этих решений.

Для уравнения

в работе [8] доказано единственность решения и построена функция Грина краевой задачи Каттабрига.

В работах [9]-[10] получены априорные оценки решения различных краевых задач, в том числе задачи Каттабрига для уравнения с кратными характеристиками с дробной производной Капуто по времени.

В настоящей работе методом энергетических неравенств получена априорная оценка решения краевой задачи для уравнения с кратными характеристиками с дробной производной Капуто по времени.

Постановка задачи

Задача. В прямоугольнике Т = {(х, у): 0 < х < г, 0 < у < к] рассмотрим следующую краевую задачу

Uy = Uxxx + f (x, y),

Uy = Uxxx + ai (x, y)Ux + Ü2 (x, y)u + f (x, y),

dOy« = AiUxxx + ^2U, 0 < x < r, 0 < y < h,

(1)

u(0,y) = U(r,y)= 0, 0 < y < h,

(2)

r

0 < y < h,

(3)

u(x, 0) = т(x), 0 < x < r,

(4)

где

y

у) = f d т

О

- дробная производная Капуто порядка а, О < а < 1 [11], X1,X2 — const. В дальнейшем будем предполагать существование решения w(x,y) е C3,1 (D)) задачи (1) - (4), где C3,1 (DD) - класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными третьего порядка по x и первого порядка по y на DD. Введем следующие обозначения:

r У

Iull0 = JD0yaУ) = Гщ/ foO^-adT

- дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка а [1].

Нелокальное условие (3) принято называть условием Самарского. Из уравнения (1) после почленного его интегрирования по х от е > 0 до г — е > 0 имеем

Г—£ Г— £

да

д0у

J и(£,у)^ =у Мххх(х,у)^х = —Мхх(е,у) + Мхх(г — е,у). е е

Если ихх е С()), то отсюда при е ^ 0 находим

г

доу У , у)^ = Мхх(г, у) — Мхх(0, у).

о

Справедлива следующая

Теорема. Для рещения и = и(х, у) задачи справедлива априорная оцценка

1И1о + )оуаМ0 < М||т'||°,если Хо < 0 (5)

где М положительная константа, и априорная оценка

о 1о о ||и||0 < оЕа(2Хоуа)||т'^,если Хо > 0 (6)

где Еа (г) = £Г=0 г"/Г(ап + 1) - функция Миттаг-Леффлера.

Доказательство. Умножим уравнение (1) на ихх(х,у) и проинтегрируем по х от 0 до г:

ихо

J UadOywdx = Ai J (up) dx + A2 У Mxxwdx. (7)

О О x О

После преобразований, тождество (7) примет вид

r

/X

Uxx(x,уН^х,y)dx = у (^(r,у) — и^О,у)) + ¿2 (w(r,y)Mx(r,y) — и(О,у)Мх(О,у)) — X2||мх

Учитывая однородные условия (2)-(3) равенство (8) переходит в следующее равенство

г

-1 МжсдрУи^х = ¿21| мх ||2 (9)

о

Преобразуем левую часть в равенстве (9) используя Лемму 1 из [12]

Uxx d^wdx — — Mx^Q^M

r

r f

a

o + J MxdQyMxdx —

0

r r

Uxd^yMxdx = J UrdXIMxdx > -дги, 11 uT о 0

Подставляя полученное неравенство в (9) будем иметь

r r

— Mx(0,у)дрУм(0,y) — Mx(r,y)d0°yM(r,у) + У Ucd^mx — J MxdQyMxdx > ^дОУЦмхЦ2

д0у|"х|2 < 2Я2|их|2. (10)

Применив к обеим частям неравенства (10) оператор дробного интегрирования -О-", с учетом условий теоремы приходим к следующему неравеснтву

llux ||2 - 2A2V ||ux ||2 < |М|2. (ii)

Учитывая неравенство 11ux|2 > Г211u|2, из (11) получим априорную оценку (5) с

r2

константой М = —. ,

2Ш1П{ — Я2Г2, 1}

Если ¿2 > 0, то на основании Леммы 2 из [12] приходим к априорной оценке (6). Из (5) и (6) следует единственность и непрерывная зависимость решения исходной задачи от входных данных. □

Список литературы

[1

[2

Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nahushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]

Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 668 с. [Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I., Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ih prilozheniya, Nauka i tekhnika, Minsk, 1987, 668 pp.]

[3] Block H., "Sur les equations lineaires aux derivees partielles a carateristiques multiples", Ark. mat., astron., fys, 7:13 (1912), 1-34.

[4] Del Vecchio E., "Sulle equazioni Zxxx — Zy + <pi(x,y) = 0, Zxxx — Zyy + <pi (x,y) = 0", Mem. Real acad. cienc. Torino., 66 (1915), 1-41.

[5] Del Vecchio E., "Sulle deux problems d'integration pour las equazions paraboliques Zxxx — Zy = 0, Zxxx — Zyy = 0", Ark. mat, astron., fys, 11 (1916), 32-34.

[6] Cattabriga L., "Potenzialli di linia edi domino per equation nom paraboliche in olue variabli a caracteristiche multiple", Rendi del Som. Mat. della Univ. di Padova., 3 (1961), 1-45.

[7] Cattabriga L., "Un problema al kontorno per una equazione di ordine dispary", Analli della scuola normale superior di pisa fis e mat., 3:2 (1959), 163-169.

[8] Джураев Т. Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, ФАН, Ташкент, 1979, 236 с. [Dzhuraev T. D., Kraevye zadachi dlya uravnenij smeshannogo i smeshanno-sostavnogo tipov, FAN, Tashkent, 1979, 236 pp.]

r

[9] Шхагапсоев А. М., "Априорная оценка задачи Каттабрига для обобщенного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2016, №1(12), 66-71. [SHkhagapsoev A. M., "Apriornaya ocenka zadachi Kattabriga dlya obobshchennogo uravneniya tret'ego poryadka s kratnymi harakteristikami", Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 2016, №1(12), 66-71].

[10] Шхагапсоев А. М., "Априорные оценки решения краевых задач для обобщенного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками", Известия КБНЦ РАН, 2016, №6(74), 96-101. [SHkhagapsoev A. M., "Apriornye ocenki resheniya kraevyh zadach dlya obobshchennogo uravneniya tret'ego poryadka s kratnymi harakteristikami", Izvestiya KBNC RAN, 2016, №6(74), 96-101].

[11] Caputo M., Elasticita e Dissipazione, Bologna, 1969.

[12] Алиханов А. А., "Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка", Дифференциальные уравнения, 2010, №5(46), 658-664. [Alihanov A. A., "Apriornye ocenki reshenij kraevyh zadach dlya uravnenij drobnogo poryadka", Differencial'nye uravneniya, 2010, №5(46), 658-664].

Для цитирования: Шхагапсоев А. М. Априорная оценка решения краевой задачи с условием Самарского для обобщенного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 4(24). C. 208-212. DOI: 10.18454/20796641-2018-24-4-208-212

For citation: Shkhagapsoev A. M. A priori estimate of the solution of a boundary problem with the condition of samara for the generalized third-order equation with multiple characteristics, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 24: 4, 208-212. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4208-212

Поступила в редакцию / Original article submitted: 29.03.2018