CC BY
13
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 3(19). C. 20-24. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2017-19-3-20-24
УДК 517.954
АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ АНАЛОГА ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
А. М. Шхагапсоев
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 36000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а E-mail: sh2ps@yandex.ru
Рассматривается краевая задача для уравнения третьего порядка параболического типа с дробной производной Капуто. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка решения аналога второй краевой задачи для уравнения с кратными характеристиками.
Ключевые слова: Априорная оценка краевой задачи; уравнение с кратными характеристиками; метод интегралов энергии; дробная производная по Капуто.
© Шхагапсоев А.М., 2017
MSC 35M13
A PRIORI ESTIMATE OF THE SOLUTION OF THE ANALOGUE OF THE SECOND BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR THE GENERALIZED THIRD-ORDER EQUATION WITH SHORT CHARACTERISTICS
A. M. Shkhagapsoev
Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, 360000, KBR, Nalchik, st. Shortanova 89a, Russia E-mail: sh2ps@yandex.ru
We consider the boundary-value problem for a third-order equation of parabolic type with the fractional derivative of Caputo. By the method of energy inequalities an a priori estimate of the solution of the analogue of the second boundary value problem for an equation with multiple characteristics.
Key words: A priori estimate of the boundary-value problems; equations with multiple characteristics; method of energy integrals; Caputo Fractional derivative.
© Shkhagapsoev A.M., 2017
Априорная оценка решения аналога второй краевой задачи
ISSN 2079-6641
Введение
В настоящее время теория краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений. Наблюдается существенный рост применения уравнений с частными производными дробного порядка при описании физических и химических процессов, протекающих в средах с фрактальной структурой, а так же при моделировании биологических явлений [1]. Работа [2] посвящена вопросам обобщения операций дифференцирования и интегрирования с целых порядков на дробные, а также приложениями теории дробного интегрирования и дифференцирования.
Уравнение третьего порядка с кратными характеристиками содержащее производную первого порядка по времени
Иу = "ххх + / (х, у),
впервые было рассмотрено в работах [3]-[5]. Полученные в них результаты были обобщены для уравнения (2п-1)-го порядка в работе [6]. В работе [7] построены фундаментальные решения с применением преобразования Лапласа, теории потенциалов и получены оценки этих решений. Для уравнения
Иу = "ххх + «1 (х, у) Их + «2 (х, у) И + / (х, у),
в работе [8] доказано единственность решения и построена функция Грина краевой задачи Каттабрига.
В работе [9] методом энергетических неравенств, как для дифференциальных, так и для разностных краевых задач получены априорные оценки первой и третьей краевых задач для уравнения третьего порядка с дробной производной Капуто.
В работах [ 10] — [11] получены априорные оценки решения различных краевых задач, в том числе задачи Каттабрига для уравнения с кратными характеристиками с дробной производной Капуто по времени.
В настоящей работе методом энергетических неравенств получена априорная оценка решения краевой задачи для уравнения с кратными характеристиками с дробной производной Капуто по времени.
Постановка задачи
В прямоугольной области Б = {(х, у) :0 < х < г, 0 < у < к] рассмотрим уравнение
д^и = ^1Мххх + + + /(х,у), 0 < х < г, 0 < у < к, (1)
с граничными условиями
Их(0,у) = Их(г,у) = Ихх(0,у) = 0, 0 < у < к, (2)
и начальным условием
и(х, 0) = т(х), 0 < х < г, (3)
где
у
«"(х, у) = щЪ)/^" т
0
ISSN 2079-6641
Шхагапсоев А. М.
- дробная производная Капуто порядка а, 0 < а < 1 [12].
В дальнейшем будем предполагать существование решения и(х,у) € С3,1 (О) задачи (1) - (3), где С3,1(О) - класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными третьего порядка по х и первого порядка по у на О. Введем следующие обозначения:
г у
||и||0 = / и2^ у^ °0уа и^ у) = гщ! и(х, Т)
0 0 '
- дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка а [1].
Теорема. Если Х1 > 0, Х3 < 0, /х(х, у), т'(х) = 0 и /(х, у) € С1,0 (О), то для решения и = и(х,у) задачи (1) - (3) справедлива априорная оценка
1|и||2 <м (о-? II / 112+Цт' ||2). (4)
Доказательство. Умножим (1) на ихх(х,у) и проинтегрируем по х от 0 до г:
г г / 2 \ г / 2 \ г г !и ххд0уийх = (и*) йх + ^2J(l'2^) йх + XJиххийх ихх/йх. (5)
0 0 х 0 х 0 0 После преобразований, тождество (5) примет вид
г
!и хх(х,у)д0ауи(х,у)йх = ^ (и2хх(г,у) о и2х(0,у)) + хАи2(гу) и2(0,у)
dx
r
+A3 ( u(r,y)Ux(r,y) - u(0,y)Ux(0,y)) - A3 ||^y uxx(x,y) f (x,y)dx. (6)
0
Учитывая однородные условия (2), при X > 0 равенство (6) переходит в следующее неравенство
J и ххд0уийх < 0X3 11 их У2 + ^ ихх/йх. (7)
00
Учитывая полученные результаты в [13] преобразуем слагаемые входящие в неравенство (7)
Uxxdudx = u xda, u
¿OyMUA — 4xu Oy 00
r
- / uxdauxdx =
0 j -- 0y
r r
= ux(r,y)dayu(r,y) - ux(0,y)d0yu(0,y) - J ^d^dx = - Juxd^dx < -^¿0" ^x^,
00
r r
J uxx(x,y)f (x,y)dx = J (f (x,y)ux(x,y)]x - fx(x,y)ux(x,y)) dx 00
r
r
Априорная оценка решения аналога второй краевой задачи ... ISSN 2079-6641
f (r,y)wx(r,y) - f (0,y)wx(0,y) - fx(x,y)wx(x,y)dx
f
- J fx(x, y)wx(x, y)dx
II 112 1 II f 112 S £||ux||0 + 4^11 /x||0-
Подставляя полученныые неравенства в (7) будем иметь
< 2(Яэ + £) ||мхП2 +1II(8)
Полагая —Яэ = £ и применив к обеим частям неравенства (8) оператор дробного интегрирования а, приходим к следующему неравенству
INI2 < 2Я3 D—ya I /х|о+1|т (9)
2 2 2
Учитывая неравенство 11|2 > Г211u|2, из (9) получим априорную оценку (4) с Г r2 r2° '
константой M = max< — f. Из априорной оценки (4) следует единственность
[ 4Яэ 2 J
и непрерывная зависимость решения задачи от входных данных. □
Список литературы
[1
[2
[3 [4 [5 [6 [7 [8
[9 [10
Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nakhushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, Moskva, 2003, 272 pp.]
Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 668 с. [Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I., Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilozheniya, Nauka i tekhnika, Minsk, 1987, 668 pp.]
Block H., "Sur les equations lineaires aux derivees partielles a carateristiques multiples", Ark. mat., astron., fys, 7:13 (1912), 1-34.
Del Vecchio E., "Sulle equazioni Zxxx — Z + <pi(x,y) = 0, Zxxx — Z^ + <Pi (x,y) = 0", Mem. Real acad. cienc. Torino., 66 (1915), 1-41.
Del Vecchio E., "Sulle deux problems d'integration pour las equazions paraboliques Zxxx — Zy = 0, Zxxx — Zyy = 0", Ark. mat., astron., fys., 11 (1916), 32-34.
Cattabriga L., "Potenzialli di linia edi domino per equation nom paraboliche in olue variabli a caracteristiche multiple", Rendi del Som. Mat. della Univ. di Padova., 3 (1961), 1-45.
Cattabriga L., "Un problema al kontorno per una equazione di ordine dispary", Analli della scuola normale superior di pisa fis e mat., 3:2 (1959), 163-169.
Джураев Т. Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, ФАН, Ташкент, 1979, 236 с. [Dzhuraev T. D., Kraevye zadachi dlya uravneniy smeshannogo i smeshanno-sostavnogo tipov, FAN, Tashkent, 1979, 236 pp.]
Карова Ф. А., "Устойчивость и сходимость разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для уравнения Аллера с дробной производной по времени", Известия КБНЦ РАН, 2015, №3(65), 33-40. [Karova F. A., "Ustoychivost' i skhodimost' raznostnykh skhem, approksimiruyushchikh kraevye zadachi dlya uravneniya Allera s drobnoy proizvodnoy po vremeni", Izvestiya KBNTs RAN, 2015, №3(65), 33-40].
Шхагапсоев А.М., "Априорная оценка задачи Каттабрига для обобщенного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2016, №4-1(16), 66-71. [Shkhagapsoev A.M., "A priori evaluation of the task of Cattabriga for the generalized third-order equation with multiple characteristics", Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2016, №4-1(16), 66-71].
r
ISSN 2079-664i
Шхагапсоев А. M.
[11] Шхагапсоев А. М., "Априорные оценки решения краевых задач для обобщенного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками", Известия КБНЦ РАН, 2016, №6(74), 96-101. [Shkhagapsoev A. M., "Apriornye otsenki resheniya kraevykh zadach dlya obobshchennogo uravneniya tret'ego poryadka s kratnymi kharakteristikami", Izvestiya KBNTs RAN, 2016, №6(74), 96-101].
[12] Caputo M., "Elasticita e Dissipazione", Bologna (in Italian), 1969.
[13] Алиханов А. А., "Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка", Дифференциальные уравнения, 2010, №5(46), 658-664. [Alikhanov A. A., "Apriornye otsenki resheniy kraevykh zadach dlya uravneniy drobnogo poryadka", Differentsial'nye uravneniya, 2010, №5(46), 658-664].
Список литературы (ГОСТ)
[1] Нахушев А. M. Дробное исчисление и его применение. M.: Физматлит, 2003. 272 c.
[2] Самко С. Г., ^лбас А. А., Mаричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Mинск: Наука и техника, 1987. 668 c.
[3] Block H. Sur les equations lineaires aux derivees partielles a carateristiques multiples II Ark. mat., astron., fys. 1912. vol. 7. issue 13. pp. 1-34.
[4] Del Vecchio E. Sulle equazioni Zxxx о zy + ç1(x,y) = 0, Zxxx о Zyy + ç1(x,y) = 0 || Mem. Real acad. cienc. Torino. 1915. vol. 66. pp. 1-41.
[5] Del Vecchio E. Sulle deux problems d'integration pour las equazions paraboliques Zxxx оzy = 0, Zxxx о Zyy = 0 II Ark. mat., astron., fys. 1916. vol. 11. pp. 32-34.
[6] Cattabriga L. Potenzialli di linia edi domino per equation nom paraboliche in olue variabli a caracteristiche multiple || Rendi del Som. Mat. della Univ. di Padova. 1961. vol. 3. pp. 1-45.
[7] Cattabriga L. Un problema al kontorno per una equazione di ordine dispary II Analli della scuola normale superior di pisa fis e mat. 1959. vol. 3. issue 2. pp. 163-169.
[8] Джураев Т. Д. паевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН. 1979. 236 c.
[9] ^рова Ф. А. Устойчивость и сходимость разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для уравнения Аллера с дробной производной по времени || Известия ^НЦ РАН. 2015. №3(65). С. 33-40.
[10] Шхагапсоев А. M. Априорная оценка задачи ^ттабрига для обобщенного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками || Вестник ДОАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. №4-i(i6). С. 66-71.
[11] Шхагапсоев А. M. Априорные оценки решения краевых задач для обобщенного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками || Известия ^НЦ РАН. 2016. №6(74). С. 96-101.
[12] Caputo M. Elasticita e Dissipazione Bologna (in Italian). 1969
[13] Алиханов А. А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка || Дифференциальные уравнения. 2010. №5(46). С. 658-664.
Для цитирования: Шхагапсоев А. М. Априорная оценка решения аналога второй краевой задачи для обобщенного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 3(19). C. 20-24. DOI: 10.18454/2079-66412017-19-3-20-24
For citation: Shkhagapsoev A. M. A priori estimate of the solution of the analogue of the second boundary-value problem for the generalized third-order equation with short characteristics, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2017, 19: 3, 20-24. DOI: 10.18454/2079-6641-2017-19-3-2024
Поступила в редакцию | Original article submitted: 20.09.2017
