CC BY
275. Schmitt D. Т., Ivanov P. C. Fractal scale-invariant and nonlinear properties of cardiac dynamics remain stable with advanced age: a new mechanism picture of cardiac control in healthy elderly // Am. J. physiol. regul. integr. comp. physiol. 2007. Vol. 293. P. 1923-1937.
6. Comparison of detrended fluctuation analysis and spectral analysis for heart rate variability in sleep and sleep apnea // Т. Penzel, J. W. Kantelhardt, L. Grote et al. // IEEE trans. biomed. eng. 2003. Vol. BE-50. P. 1143-1156.
7. Feder J. Fractals. New York: Springer, 1988. 310 p.
8. Mosaic organization of DNA nucleotides / C.-K. Peng, S. V. Buldyrev, S. Havlin et al. // Phys. rev. E. 1994. Vol. 49. P. 1685-1689.
9. Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series / J. W. Kantelhardt, S. A. Zschiegner, E. Koscielny-Bunde et al. // Physica (Amsterdam). 2002. Vol. 316. P. 87-114.
10. On spurious and corrupted multifractality: the effects of additive noise, short-term memory and periodic trends / J. Ludescher, M. I. Bogachev, J. W. Kantelhardt et al. // Physica (Amsterdam). 2011. Vol. 390. P. 2480-2490.
11. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for non-linear and non-stationary time series analysis / N. E. Huang, Z. Shen, S. R. Long et al. // Proc. royal soc. A. London. 1998. Vol. 454. P. 903-995.
12. Sokolova A., Bogachev M. I., Bunde A. Clustering of ventricular arrhythmic complexes in heart rhythm // Phys. rev. E. 2011. Vol. 83. P. 021918 (1-7).
M. I. Bogachev, K. E. Gromova, D. M. Klionsky, A.S. Krasichkov, V. N. Komantsev Y. A. Malych, O. A. Markelov, S. A. Pyko, V. S. Ramadanov, A. A. Sokolova, Y. D. Uljanitski Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"
Fluctuation analysis of physiological signals
Several fluctuation analysis methods with application to physiological signals are considered that are capable of detecting and analyzing fluctuations caused by slow regulatory feedback laps in physiological systems in the presence of non-stationary components (trends), regular quasi-periodic and noisy components are considered. The efficiency of these methods is demonstrated using examples of electroencephalographical and electromyographical signals analysis.
Physiological signals, non-stationary dynamics, slow fluctuations, fluctuation analysis, differential diagnostics
Статья поступила в редакцию 3 декабря 2012 г.
УДК 621.396.4
Е. Б. Соловьёва, А. В. Зубарев
Санкт-Петербургский государственный электротехнический
университет "ЛЭТИ"
Аппроксимация оператора фильтра импульсных помех на классе речевых сигналов методом расщепления
. Показано, что синтезированные на основе предложенных моделей фильтры обеспечивают более точное восстановление речевых сигналов по сравнению с медианными фильтрами и фильтрами Вольтерры.
Импульсный шум, речевой сигнал, нелинейный фильтр, метод расщепления сигналов
Среди негауссовских шумов, действующих в технических системах, известны импульсные помехи, источники появления которых различны (например, коммутация в электротехнических сетях, механические повреждениях поверхности устройств хранения информации, атмосферные явления и т. д.) [1].
© Соловьёва Е. Б., Зубарев А. В., 2012 45
Классическим методом подавления импульсных помех является медианная фильтрация. Медианные фильтры (МФ) просты в реализации, однако существенно искажают некоторые участки сигналов, не пораженные помехой [1].
нове теории расщепления [2], [3] для борьбы с импульсными помехами в речевых сигналах.
. Согласно теории расщепления оператор Е нелинейного фильтра (НФ) описывается композицией двух операторов: Ер - оператора расщепителя (Р) и Е - оператора нелинейного безынерционного преобразователя (НБП) [2], [3].
Оператор расщепителя /-р отображает скалярный сигнал х п, а , пе а е (}а ввек-
торный х и, а : Хр п, а = / р[х п, а ]=[*р1 п, а , хр2 п, а , ...,хрт п, а где п - дискретная нормированная переменная времени; а= а-у, а2, ■ • •, с/, - вектор параметров сигнала х п, а из множества Оа; 1п - длительность финитного или период периодического входного сигнала х п, а ; хр\ п, я = [х п, а ]; хр2 п, а = \_х п, а ]; ...; хрт п, а = = Ррт [х п, а ]; т - число каналов расщепления. Отображение производится при выполнении следующих условий:
• векторные сигналы не исчезают, т. е. хр п, а для всех ие/н, аеОа;
фазовые портреты расщепленных сигналов не пересекаются, не касаются и не самопересекаются, т. е. при любых а^ а^, я2 и щ фп2, п2 справедливо неравенство Хр щ, ау ^Хр п2, а2 .
Расщепление реализуют линейные, нелинейные, стационарные и нестационарные преобразователи сигналов [2].
Оператор НБП Е отображает векторный сигнал Хр п, а в скалярный сигнал
Ур п, а . Обычно такие операторы описываются многомерным многочленом [2], [3]:
г ^ '/2 ■1т у
у п, а = Ен[хр и, а ] = X Е ••• Е С,- у [хр1 й'а х
Л =0 72=0 уи=0
х[хр2 п, а ]72...[хрда и, а (1)
Функциональная схема нелинейного нерекурсивного цифрового фильтра (ННЦФ), реализующая преобразование (1), приведена на рис. 1.
Параметры многомерного полинома (1) степени р = 3х+32 +... + Jm находятся в ре-
зультате решения задачи аппроксимации ||_у0р1; п, а —у п, а || —» шт , где уор1 п, а - желаемый выходной сигнал фильтра.
п<е!п, яева
Рис. 1
Рассмотрим синтез ННЦФ, выделяющего речевой сигнал из его смеси с импульсной помехой, для конкретных параметров речевого сигнала (определяющих вектор параметров a).
Речевой сигнал, использованный для обучения ННЦФ, имел длительность 35 с
(280 000 отсчетов при частоте дискретизации 8 кГц). Он состоял из разных фраз четырех дикторов (двух мужчин и двух женщин). Фразы отличались уровнями громкости, задаваемыми как 1, 0.75, 0.5, 0.25 (пропорционально указанным значениям нормировались мгновенные значения каждой дикторской речи, причем уровню 1 соответствовал диапазон речевого сигнала -0.5; 0.5 ).
Для исследования свойств синтезированного фильтра применялся речевой сигнал длительностью 20 с Q = 160 000 отсчетов), отличающийся от применявшегося для обучения и содержащий разные фразы мужской и женской дикторской речи с уровнями 0.8 и 0.4 соответственно.
Значения импульсной помехи формировались как случайные числа, распределенные равномерно в диапазоне -0.5; 0.5 . Моменты появления помехи выбирались согласно следующему правилу [1]: в случае, если в момент времени n генератор случайных чисел с равномерным законом распределения в диапазоне 0; 1 дает число, меньшее заданного
порога а (в исследованиях а = 0.01), то в этот момент времени импульсная помеха действует, в противном случае она отсутствует. Таким образом, вероятность появления помехи в текущий момент времени п составила ос, а ее отсутствия - 1 - а . Вероятность того,
Л-1
что импульсная помеха появится через г| х отсчетов, равна а 1 - а 4 ' (для пе-
ременной г) использована геометрическая функция распределения). Действовало также дополнительное ограничение: расстояние между соседними помехами должно быть не менее пяти отсчетов речевого сигнала.
Качество фильтров оценивалось на основании среднеквадратической погрешности
^ П=4
Необходимая для ращепителя последовательность отсчетов сигнала создавалась каскадным соединением линий задержки, в которой каждый каскад задерживал сигнал на длительность одного отсчета, а число каскадов варьировалось. Синтезировались каузальные (причинные) полиномиальные фильтры, учитывающие отсчеты входного сигнала в текущий п-й и предыдущие п — 1-й, п- 2 -й и т. д. моменты времени, и некаузальные, формирующие отклик на основе отсчетов входного сигнала в текущий п-й, предыдущие п — 1-й, п- 2 -й ... и последующие п + 1 -й, п + 2-й ... моменты времени.
На рис. 2 представлены зависимости в от количества последующих отсчетов относительно момента времени п для пятикаскадного расщепителя. Параметром на рис. 2 служит
47
UUJIWI^ 11U VVllVJ-IUllIlIl VJJ 1УИШ1/ 'f^1
^J Q [yopt n, a "y n a ] 2.
8
0.5
0.4
0.3
0.2 0.1
р = 1; 2
3; 4 5; 6
7; 8
0
2
Рис. 2
£
степень полиномиальной модели р. В процессе исследования выяснено, что увеличение количества каскадов расщепителя т не уменьшает значения погрешности, поэтому расщепитель ННЦФ рекомендуется строить с минимальным числом каскадов (приведенные далее результаты получены для т — 5 ).
Анализ зависимостей на рис. 2 показал: • что способ формирования расщепленных сигналов влияет на точность фильтрации: среднеквадратичная погрешность фильтрации минимальна при векторе расщепленных сигналов, содержащем одинаковое количество предыдущих и последующих отсчетов В, - 2 по отношению к текущему моменту времени п;
слагаемые четных степеней многочлена расщепленных сигналов не влияют на средне-квадратическую погрешность фильтрации, поэтому из модели (1) их можно исключить. В результате выходной сигнал модели ННЦФ описывался выражением
I с7
Р Л
У п, а = 2 Е I ... ^ у
Г=2к-1Л=0]2=0 у5=о
.75
X
-71 и- 2, а х]2 п-1, а х-73 и, ах
(2)
хх-74 и + 1, а х-75 и+ 2, а ,
причем г = +72+"-+75^ ^ = 2> •■•> ^ + 1
Сравним результаты подавления импульсных помех ННЦФ, МФ и фильтром Воль-терры [4], модель которого имеет вид
Р -Л ^2 ^
У П = Т X I - I
г=2к-\]1=0]2=0 у5=0
75'
и х-72 и-1 Х-73 и-2 х-74 п-3 Х-75 и-4 . (3)
Зависимости среднеквадратической погрешности в от степени полиномиальных моделей р представлены на рис. 3. Кривые 1-3 получены медианной фильтрацией с апертурами длиной 3, 5, 7 отсчетов соответственно, кривая 4 - фильтрацией Вольтерры (3), кривая 5 - ННЦФ с моделью (2).
Анализ рис. 3 показывает, что фильтр, синтезированный методом расщепления, дает более точное восстановление сигналов по сравнению с его аналогами. С увеличением степени р полиномиальной модели погрешность фильтрации уменьшается.
Для полиномиальных моделей высокой степени характерно появление плохой обусловленности решения задачи аппрок-
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
1 Внешнее суммирование в (2) обеспечивает вклад в выходной сигнал лишь членов нечетных степеней. 48
симации нелинейного оператора фильтра [2], [3]. Указанная проблема частично снимается при синтезе фильтра в частотной области с использованием спектров входных и выходных сигналов.
Синтез нелинейного фильтра в частотной области. Входными и выходными сигналами фильтра при спектральном методе расщепления являются дискретные преобразования Фурье (ДПФ) фрагментов реализаций соответствующих входных и выходных сигналов. Выбор длины (числа отсчетов) фрагментов связан с их расщеплением на множестве сигналов. Если фрагменты различны (расщеплены), то их векторы-спектры также различны и, следовательно, расщеплены.
Из расщепленных векторов-спектров входных сигналов можно конструировать векторы-спектры желаемых выходных сигналов. При этом используется теорема об аппроксимации нелинейных операторов в комплексной области [2].
Согласно указанной теореме, аппроксимирующий многочлен строится с учетом комплексных и комплексно-сопряженных составляющих векторов-спектров входных сигналов. Так, если сигнал состоит из N = 2М отсчетов (именно этот случай для определенности будем рассматривать), то вектор-спектр расщепленных сигналов
Хр а =,Рр X а = X - М-\ , л ,Х - М-2 , л , ...,Х М, л включает спектральные составляющие X а , а аппроксимирующий многочлен имеет вид
Рк\хр а 1 = 7 к, а =Ц...ЕС* . . X - М-1 , а Л X - М-2 , а 72 х
Л Ь
X... ХМ, а ]т , (4)
где £ е - М-1 ,М .
Согласно теории расщепления для к е — М — 1 , М , аеСя и е>0 существует полином степени р = Зу + +•• > такой, что ||^орг ^ а ~~¥ а || —е> где ^ор. к, я -^я составляющая дискретного спектра желаемого выходного сигнала уор1; п, а фильтра
[3], [5]. Представим полином (4) в удобном для формирования степенных составляющих многомерного многочлена виде:
р м м м , / г к, а = Е £ I ... X .....,11 А- - (5)
1=\\=— М-1 /2 =/1 Ч=Ч-1 Г=1
где коэффициенты В.^. . =С\ , причем 5 • - цифровой единичный
г1,г2'""г/ Е59-[/а+М-1]
а=1
импульс; де 0, т-1 . Таким образом, нижний индекс коэффициента С ^ формируется последовательностью целых чисел при сложении единичных функций вида 5 д-+ М -1 ] . Данная последовательность состоит из т отсчетов, каждый из которых равен 1 в точке с/ - [/а + М -1 ] = 0, ав остальных т — 1 точках отсчеты равны 0.
На основе свойства нелинейного преобразования, по которому спектральная составляющая У к, а на частоте к выходного сигнала формируется на базе слагаемых, содержащих к-ю спектральную составляющую воздействия и произведения спектральных составляющих входного сигнала на частотах, удовлетворяющих условию к — \ + + •••+'/
[6], свойства симметрии 7 -к, а -У* к, а , 0 <к < М -1 ("*" - знак комплексного сопряжения), а также учета наложения спектров (УНС), при котором в многомерную сумму (5) вводятся дополнительные члены [5], модель (5) преобразуется к виду
р м м м УК а I I X Я.
/=1г1=-А/-1 /2 ='1 4=4-1 г1+г2 +--+Ц—к
V2 ММ М
II 1-1
к
г=1
+
у=И1=-М-1 ¡2 =1\ Ц =/"/_! Ч +г2 +---+4
к
Ч> '2>
ГК V
г—1
1-1/2 м М М к 1
^ ^ ^ ^ '2' ■■■> '/ ^ ^ ^
у=1 ¿1=-М-1 ¿2 ='1 4=4-1 г=1
/1+/2 +..М1=уИ+к
/-3
(6)
где я - наибольшее целое, такое, что ^ < к е О, М ; • - цифровой единичный скачок.
Функциональная схема частотного нелинейного нерекурсивного цифрового фильтра (ЧННЦФ), синтезированного в частотной области с применением модели (6), изображена рис. 4, где ДПФ N - блок ДПФ фрагментов входного сигнала длиной N Р •••, Рм~Ъ Рм ~ НБП, вычисляющие отдельные спектральные составляющие входного сигнала; БКС - блок комплексного сопряжения; ОДПФ N - блок обратного ДПФ .
Проведен синтез фильтра импульсных помех с применением спектрального метода расщепления на том же классе сигналов, на котором проводилась фильтрация во временной области. В фильтре использован последовательный способ формирования отсчетов выходного сигнала, предполагающий, что из N отсчетов, полученных ОДПФ (рис. 4), в выходном сигнале фильтра остается лишь один отсчет, соответствующий моменту времени п, а входное окно фильтра на каждом шаге анализа смещается вдоль входного сигнала с шагом в один отсчет.
Согласно методу расщепления временная и частотная модели нелинейного фильтра взаимосвязаны, поэтому ЧННЦФ синтезирован с учетом полученных в процессе исследований свойств модели (2): размер вектора расщепленных сигналов равен 5, расщепленные сигналы выбирались с одинаковым числом предыдущих и последующих отсчетов по отноше-
г
2 Указание на зависимость внутренних переменных схемы от вектора параметров а опущено. 50
X - М-1
Рис. 4
нию к текущему моменту времени п . Поскольку спектральное преобразование упрощается, если ДПФ подвергаются фрагменты с четным числом отсчетов [4], синтез ЧННЦФ произведем на расщепленных фрагментах длиной N = 6 (в отличие от т = 5 для модели (2)).
На рис. 5 представлены зависимости в р , полученные МФ с апертурой длиной в 3
отсчета (наиболее точный вариант МФ согласно рис. 2) (кривая 1), фильтром Вольтерры (4) (кривая 2) и ЧННЦФ с УНС (кривая 3).
Наглядное представление результатов фильтрации дает рис. 6. На рис. 6, а изображены огибающие фрагментов речевого сигнала с импульсными помехами. На рис. 6, б показаны неискаженный сигнал (кривая 1) и результаты его обработки МФ длиной 3 (кривая 2), фильтром Вольтерры 5-й степени (кривая 3) и ЧННЦФ 5-й степени с УНС (кривая 4).
Из рис. 5 и 6 следует, что ЧННЦФ обеспечивает более высокую точность фильтрации по сравнению с аналогами.
При синтезе ННЦФ импульсных помех в речевых сигналах установлено:
что полиномиальная модель ННЦФ содержит слагаемые нечетных степеней; для расщепления сигналов следует использовать пять каналов;
0.25
меньшую среднеквадратическую погрешность дает некаузальный фильтр при обработке вектора расщепленных сигналов
0.20
0.15
5
Рис. 5
Рис. 6
с равным числом предыдущих и последующих отсчетов по отношению к текущему моменту времени n по сравнению с другими сдвигами окна относительно n; • ННЦФ обеспечивает наименьшую среднеквадратичную погрешность фильтрации по сравнению с МФ и фильтром Вольтерры.
Погрешности фильтрации ННЦФ и ЧННЦФ соизмеримы.
На практике следует применять спектральный метод расщепления (ЧННЦФ), поскольку в нем общая задача аппроксимации разбивается на несколько аппроксимационных задач существенно меньших размерностей, решаемых в частотной области. Таким образом, практически удается снять вычислительные проблемы (плохую обусловленность, шумы округлений), типичные для синтеза ННЦФ высокой степени.
Список литературы
1. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Т. С. Хуанг, Дж. О. Эклунд, Г. Дж. Нус-сбаумер и др.; под ред. Т. С. Хуанга. М.: Радио и связь, 1984. 224 с.
2. Ланнэ А. А. Нелинейные динамические системы: синтез, оптимизация и идентификация / ВАС. Л., 1985. 240 с.
3. Ланнэ А. А. Нелинейные полиномиальные цифровые фильтры // Цифровая обработка сигналов. 1999. №.1. С. 18-26.
4. Основы цифровой обработки сигналов: курс лекций / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева. 2-е изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 768 с.
5. Ланнэ А. А., Соловьева Е. Б. Нелинейная фильтрация импульсных помех методом расщепления // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1999. Т. 42, № 7. С. 3-17.
6. Mathews V. J., Sicuranza G. L. Polynomial signal processing. New York: John Wiley & Sons Inc., 2000. 452 p.
E. B. Solovyeva, A. V. Zubarev
Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"
Approximation of impulse noise filter operator at voice signals by split method
Models of impulse noise filters are constructed at the approximation of non-linear operators in time and frequency domains by the split signal method. It is shown that the filters synthesized on the basis of offered models provide more exact restoration of voice signals than median and Volterra filters.
Impulse noise, voice signal, nonlinear filter, split method
Статья поступила в редакцию 23 ноября 2012 г.
