Итерационный метод оптимальной нелинейной фильтрации изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация. Рассматривается задача построения оптимальных нелинейных фильтров в классе полиномиальных фильтров, характеризуемых многомерными функциональными рядами Вольтерра. На основе использования матричного представления полиномиальных фильтров формулируется задача оптимальной фильтрации, которая сводится к минимизации квадратичной функции на линейном подпространстве при наличии ограничений. Предлагается итерационный метод последовательного приближения, позволяющий осуществить декомпозицию исходной задачи большой размерности на ряд задач меньшей размерности, связанных с нахождением коэффициентов отдельных составляющих полиномиального фильтра. Показана сходимость итерационного процесса к искомому решению задачи нахождения оптимальных коэффициентов полиномиального фильтра.

Ключевые слова: нелинейная фильтрация изображений, ряды Вольтерра, полиномиальные фильтры.

Abstract. The article considers construction of optimal nonlinear filter in the category of polynomial filters, based on Volterra multidimensional functional rows. On the basis of applying matrix representation of polynomial filters the author formulates a problem of the optimal filtration, which is reduced to minimization of quadratic function on the linear subspace with limitations given. The researcher offers an iteration method of progressive approximation, allowing to decompose the initial problem of high dimensionality to a set of problems of smaller dimensionality, dealing with finding separate component coefficients of a polynomial filter. The article also shows the convergence of the iteration process to the sought solution of the problem of finding optimal coefficients of a polynomial filter.

Key words: image nonlinear filtration, Volterra rows, polynomial filters.

Методы линейной фильтрации стали уже классическими и с успехом используются в различных системах обработки изображений. С целью расширения спектра задач, решаемых методами линейной фильтрации, и преодоления присущих им ограничений были предложены различные классы нелинейных фильтров [1, 2], каждый из которых имеет свои преимущества и область применения. Некоторые направления такие, например, как медианная и гомоморфная фильтрация, имеют достаточно долгую историю. Другие направления, в частности полиномиальная фильтрация [3, 4], появились сравнительно недавно и активно развиваются в настоящее время.

В общем случае цифровой полиномиальный фильтр размерности г и порядка M определяется конечным дискретным рядом Вольтерра (функциональным полиномом) вида

Введение

m

n1,..,nme^ r

здесь суммирование по векторным аргументам п,- = П ... п;г] распространяется на некоторую опорную область, представляющую собой г-мерную решетку вида

Я = {(п^,...,п]Г): 0<п^ <N -1; ■ = 1,...,г};

Нт(п\, ..., пт) - многомерные импульсные характеристики (ядра) фильтра, зависящие от векторных аргументов п;-.

Фильтры вида (1) часто называются также фильтрами (процессорами) Вольтерра. Выходной сигнал ,у(п) таких фильтров представляет собой сумму составляющих, характеризующих нелинейности различного порядка, причем составляющая ут(п) фильтра, определяемая сверткой т-го порядка, является нелинейной относительно отсчетов входного сигнала, оставаясь линейной по отношению к коэффициентам фильтра. Полиномиальные фильтры имеют ряд полезных аналогий с многомерными линейными фильтрами и являются их естественным обобщением [4]. В задачах обработки изображений используются двухмерные фильтры Вольтерра (г = 2).

1. Матричное представление многомерных полиномиальных фильтров

Наряду с аналитическим представлением (1) полиномиальные фильтры могут быть представлены в эквивалентной матричной форме, которая может быть получена путем лексикографического упорядочения элементов опорной области Яг фильтра. Для этого воспользуемся системой счисления со смешанным основанием, в которой число ■ записывается в виде

■ = 2п^ ,

/=1

здесь $■ = N+1, N-+2, . ., N (■ < г), 8Г = 1. Данное выражение позволяет нам установить взаимно однозначное соответствие между элементами вектора п = [п1 ...иг], определенного на г-мерной решетке Яг , и значениями числа -, лежащими в диапазоне от нуля до N - 1, где N = N1,..., Ыг .

Отображая каждый векторный аргумент п;,7 = 1, ..., т в индекс представим ядро Нт(п\, ..., пт) как функцию скалярных аргументов Ът(1\, ..., /т), а входной сигнал х(п — п7) - в виде хп(/;). В результате двухмерный нелинейный фильтр (1) с импульсной характеристикой от векторных аргументов преобразуется в эквивалентный одномерный нелинейный фильтр с импульсной характеристикой Ът(1\, ..., /т) от скалярных аргументов:

N-1 N -1 т

НтМп)] = 2 . 2 Нт -т) ПХп (0) .

■1 =0 -т =0 ] =1

Теперь областью задания импульсной характеристики Нт(}\, ..., /т) является т-мерная решетка вида

Ят ={(-1,..., ■т): 0 < -7 < N -1; 7 = 1,..., т} .

Элементы данной многомерной области также могут быть упорядочены в одномерную последовательность с помощью отображения

т

I-^ <1*т-'.

1 -1

Таким образом, путем последовательного применения данных преобразований элементы ядра Ит(п1, ..., пт) могут быть упорядочены в вектор Ьт. При этом зависимость номера элемента вектора Ьт от аргументов многомерного ядра Нт(п1, ..., пт) имеет вид

т г

^ - £ Нт-1 £ „,А ,

1-1 г-1

Например, значение Л2(0, 1, 2, 1) ядра второго порядка, определенного в области размером 3 X 2, сначала будет отображаться по пространственным координатам в Л2(1, 5), а затем по оставшимся двум координатам (определяющим нелинейное взаимодействие) в значение Л2(11).

Для перехода к матричной форме записи выражения (1) введем в рассмотрение вектор входного сигнала

ХП -[ хп (0) *п (1) ••• хп (Я - 1)],

содержащий упорядоченные согласно ранее введенному отображению отсчеты г-мерного входного сигнала х(п) в опорной области ^г . Тогда, используя свойства кронекеровской степени матриц, определяемой как х^) - хп ® х^ 1), векторное представление составляющей ,ут(п) т-го порядка может быть записано в виде

Ут (п) - ьт4^ (2)

где Ьт - вектор коэффициентов фильтра, содержащий лексикографически упорядоченные значения нелинейной импульсной характеристики

hm(n\, ..., пт).

Без ограничения общности можно считать ядра Ит(щ, ..., пт), т > 1, соответствующие коммутативным произведениям входных отсчетов, симметричными функциями своих аргументов пь ..., пт. Следовательно, мы можем оставить в (1) лишь члены, соответствующие различным сочетаниям (п1, ... , пт). При этом общее количество уникальных членов для полиномиального нелинейного фильтра порядка М составит

м

1М - £ С“+м-1 - См+м , (3)

т-0

т

где Сп - число сочетаний из п по т.

При синтезе цифровых фильтров для обработки изображений очень часто требуется обеспечить условие изотропности оператора ^ фильтрации, состоящее в том, чтобы его реакция была инвариантна к ориентации входного изображения. Математически это требование можно записать в виде

где Т [Р] - оператор изменения ориентации изображения Р.

В задачах фильтрации изображений это условие, как правило, сводится к инвариантности результата относительно вращения изображения на углы, кратные 90°, и его зеркального отражения относительно вертикальной оси.

Наложение условия изотропности фильтра позволяет дополнительно сократить количество уникальных коэффициентов. В частности, можно показать [5], что для изотропного квадратичного фильтра с маской 3х 3 количество коэффициентов Ь2 - 15 вместо Сц - 55, необходимых в общем случае.

С учетом сказанного многомерный полиномиальный фильтр вида (1) будет определяться Ьм X 1 вектором коэффициентов

ьт

ь2

Ьм

(4)

Т

составленным из векторов ьт , соответствующих различным составляющим, содержащим лишь уникальные коэффициенты фильтра.

Аналогично формируется вектор произведений отсчетов входного сигнала:

Т Хп =

Т

(2))Т ))Т

(5)

Таким образом, многомерный полиномиальный фильтр (1) может быть представлен в следующей простой векторной форме:

У(п) - ЬТХп, (6)

линейной относительно вектора Ь, содержащего Ьм коэффициентов фильтра.

2. Решение задачи оптимальной фильтрации

Используя матричное представление (6), задачу синтеза оптимального полиномиального фильтра в общем случае можно сформулировать как задачу нахождения п х1 вектора коэффициентов ЬорЬ минимизирующего некоторый функционал качества:

Р (Ьор0 = тіп Р (Ь);

ЬєО

Ьорі є О = {Ьє Яп : g(Ь) = 0},

(7)

(8)

где Р (Ь) - целевая функция; g(h) - векторная функция ограничений.

Свойства проектируемого фильтра определяются выбором целевой функции (7). Наиболее распространенным является использование среднеквадратической ошибки, характеризующей разность выходных сигналов идеального ё(п) и синтезируемого .у(п) фильтров в некоторой области Vг изменения п. Такой выбор может быть оправдан тем, что выход полиномиального фильтра (2) линеен по отношению к его коэффициентам, что позволяет использовать эффективные алгоритмы минимизации квадратичных функций. В этом случае целевая функция (7) определяется суммой квадратов:

Е(Ь) -Т^ £ [а(п) - ЬТХп )2, (9)

|¥г 1пеТг

где ¥г - область определения выходной реализации г-мерного сигнала,

¥ г - {п - (п1,..., Пг): 0 < п < К -1; г -1,..., г};

| ¥г | - количество элементов в ней.

Согласно (3) размерность вектора Ь для полиномиального фильтра порядка М составит п - Ьм - См+м .

Функция ограничений (8) определяется спецификой проектируемого фильтра. Например, для квадратичной фильтрации требование сохранения постоянного уровня яркости в однородной зоне изображения приводит к следующим линейным ограничениям:

Ь)- 0 £ к1(Ю -1 ££ Ы! г2) - 0, г1 г1 г2

которые могут быть представлены в матричной форме:

АЬ - Ь . (10)

Целевая функция (7) может быть записана также в матричной форме:

Р(Ь) - ЬТ ЯхЬ - 2ЬТ + гй, (11)

где - автокорреляционная матрица произведений входных отсчетов,

Я Х - Т¥Ч £ Хп Хп ;

I Н пе¥г

г^х - вектор взаимных корреляций между заданным выходным сигналом и произведениями отсчетов входного сигнала,

I т

І ГІ пєТ

га - среднеквадратическое значение заданного сигнала,

1 ^ Л,

П пєТ

Таким образом, задача синтеза оптимального полиномиального фильтра сводится к минимизации квадратичной функции (11) на линейном подпространстве, определяемом условием (10). Решение этой задачи хорошо известно [6] и достигается из любой начальной точки Ь[0] за один шаг в соответствии с выражением

Ьо^ = Ь[0] + Z(ZTЯх^-^Т(гах -яхЬ[0]), (12)

где Z - матрица со столбцами, являющимися базисом нуль-пространства, образованного строками матрицы А ограничений, т.е. удовлетворяющая условию AZ = 0.

В качестве примера рассмотрим задачу синтеза квадратичного фильтра для обнаружения границ деталей изображения, устойчивого к воздействию шумов. Для этого воспользуемся синтезированным изображением размером 64 X 64, составленным из светлых и темных треугольников с уровнями яркости, равными соответственно 170 и 80. Данное изображение было искажено гауссовым шумом с дисперсией а2 = 400 и использовалось в качестве входного сигнала (рис. 1,а). Эталонное изображение, состоящее из выделенных перепадов, показано на рис. 1,б. Для его получения к исходному (неискаженному) изображению был применен известный оператор Собела [7] с последующим сравнением с порогом.

в) г)

Рис. 1. Результаты обнаружения перепадов в зашумленном изображении: а - искаженное изображение, используемое в качестве входного; б - эталонное изображение, содержащее идеальные перепады; в - результат обработки с помощью синтезированного оптимального фильтра; г - результат обработки с помощью оператора Собела

При проектировании фильтров для обнаружения перепадов условия сохранения уровня яркости не накладываются. Оптимальный вектор Ь коэффициентов определялся при Z = I и представлен в табл. 1. На рис. 1,в,г приведены результаты обработки зашумленного изображения с помощью рассчитанного оптимального фильтра и оператора Собела, являющегося по данным, приведенным в [7], одним из наиболее эффективных среди известных детекторов перепада. Из сравнения полученных результатов видно, что синтезированный фильтр обладает большей устойчивостью к шумам по сравнению

с оператором Собела, что проявляется в существенно меньшем количестве ложных обнаружений.

Таблица 1

т і И Значение

1 *1(0) -0,36673

1 2 *1(1) 0,60851

3 *1(4) -1,00000

4 *2(0, 0) 0,01002

5 *2(0, 1) 0,00309

6 *2(0, 2) -0,00029

7 *2(0, 4) -0,00198

8 *2(0, 5) -0,00607

2 9 *2(0, 8) -0,00022

10 *2(1, 1) 0,01600

11 *2(1, 3) -0,00467

12 *2(1, 4) -0,00054

13 *2(1, 7) -0,00267

14 *2(4, 4) 0,01357

3. Итерационный метод решения задачи оптимальной фильтрации

При малом числе коэффициентов фильтра решение задачи оптимальной нелинейной фильтрации в классе полиномиальных фильтров не составляет труда и достигается из любой начальной точки за один шаг с помощью выражения (12). Если количество весовых коэффициентов фильтра велико, то обращение корреляционной матрицы Я будет представлять собой достаточно трудоемкую операцию. Кроме того, в случае плохой обусловленности данной матрицы решение может оказаться неустойчивым и содержать большие погрешности, связанные с неточностью исходных данных.

Для преодоления указанных трудностей рассмотрим задачу построения оптимального полиномиального фильтра М-го порядка более детально с учетом его структуры, определяемой матричным представлением вида (6), где векторы Ь и %п размером ЬМ X 1 согласно выражениям (4) и (5) составлены из блоков, определяющих отдельные составляющие фильтра.

Нахождение вектора Ь^ оптимальных коэффициентов полиномиального фильтра сводится к минимизации среднеквадратической ошибки

8 = M{с1 (п) - у (п)}2, (13)

где ё(п) - заданный (опорный) сигнал на выходе фильтра.

Дифференцируя (13) по Ь с учетом (6) и приравнивая результат к нулю, получаем матричное уравнение Винера - Хопфа, определяющее оптимальный фильтр:

ЯXЬ = г^х . (14)

Т

где ЯX = M{XnХп } - автокорреляционная матрица; г^ = M{d (п)хп} - вектор взаимных корреляций.

Заметим, что в силу линейности полиномиального фильтра относительно весовых коэффициентов решение (14) выглядит так же, как и в линейном случае. Отличие состоит в том, что матрицы и г^х определяются через корреляции высших порядков. С учетом структуры (5) входного вектора данные матрицы могут быть представлены в блочном виде следующим образом:

Я.

Я 0,0 Я 0,1 Я 0М

Я1,0 *1,1 Я1,м

Я м ,0 Я м ,1 Ям м

Гл%

Гм

(15)

Здесь блоки Кг-у = М{хП)хП/)Т } и гг- = М{^(п)хП^} являются соответственно матрицей автокорреляций порядка 1 + у и вектором взаимных корреляций порядка 1. В линейном случае матрицы (15) состоят лишь из блоков

Ко,сь Яо,ь Я1,1 и Гo, г1.

На практике при вычислении среднеквадратической ошибки (13) длительность используемых реализаций всегда конечна. Определим векторы d и у размером I X 1, содержащие соответственно I отсчетов заданного и выходного сигналов фильтра. Как отмечалось ранее, для многомерных сигналов это всегда можно сделать путем лексикографического упорядочения многомерных массивов в одномерные. На основании (6) вектор у реакции фильтра может быть представлен в матричной форме:

ДО}

у = ХЬ,

где Ь - вектор коэффициентов фильтра, равный

ьт

ь2

Ьм

(16)

(17)

Т

X - матрица входного сигнала фильтра, строками которой являются х1 ,

1 = 1, ..., I, определяемая в развернутом виде согласно (5) следующим выражением:

X =

Т

Х1

Т X I

Т

х1

Т х I

х(2))

Т

1(/) )-

Т

‘Г))'

(18)

В качестве критерия при конечном объеме выборки вместо (13) обычно используется квадрат евклидовой нормы вектора ошибок:

ЫI2 =£Т£ = ^ - у)Т (d - у) .

(19)

Как известно [6], минимум (19) определяется решением системы нормальных уравнений вида

ХТ ХЬ = ХТ d

(20)

1

и достигается в точке

(21)

где Х+ является обобщенной обратной (псевдообратной) матрицей для X.

Если столбцы матрицы Х линейно независимы, что бывает далеко не всегда, то псевдообратная матрица определяется выражением

X + =

(х7 X )Ч X7

В частности, для квадратной матрицы Х+ = Х-1.

При неполном ранге для определения Х+ можно воспользоваться сингулярным представлением матрицы Х = иЛУ. Здесь и и V являются унитарными матрицами со столбцами, равными собственным векторам соответственно матриц ХХТ и ХТХ, а Л - диагональной матрицей вида

Л =

"Б 0"

0 0

где Б = diag(a1, ..., ак), аг- - отличные от нуля сингулярные числа Х.

Псевдообратная матрица Х+, соответствующая матрице Х ранга к, равна

Х+ = УБ_1и.

(22)

В соответствии с выражением (16) и структурой матрицы (18) выходной вектор у формируется путем взвешенного суммирования компонент уг-, 1 = 0, ...,м, обусловленных отдельными столбцами матрицы Х. Первый столбец определяет постоянную составляющую у0, столбец из блоков хг- - линейную составляющую уь х/2) = хг- ® хг- - нелинейную составляющую у2 второго порядка и т.д. до м-го порядка включительно. Непосредственное использование (21) предусматривает одновременное вычисление всех компонент фильтра заданного порядка м, что связано с решением задачи большой размерности. При этом могут затрачиваться неоправданные усилия на вычисление нелинейных составляющих, влиянием которых из-за их незначительности можно пренебречь. Более оправданным является последовательное формирование компонент фильтра, начиная с линейного члена, постепенно увеличивая степень нелинейности.

Представим выходной вектор у полиномиального фильтра в виде суммы компонент

м

У _ ^ ' Хт^т , т=0

где вектор Х0 = 1 целиком состоит из единиц; Хт =

Л т)

Л т)

(23)

вход-

ная матрица для составляющей фильтра т-го порядка.

Формирование коэффициентов фильтра осуществляется путем последовательной оценки векторов Ьт, начиная с составляющих низших порядков. Полагая т = 0 и минимизируя || d - Х0Ь0 ||2, получим

Ь0 = Х^ = 1+d = 1 £ й (1),

1 1=1

т.е. оптимальным выбором постоянной составляющей фильтра является среднее значение заданного вектора d. Вычислим далее выходной вектор у0 = Х0+Ь0 и вектор ошибки Е0 = d - у0.

Вектор Ь1 линейной составляющей фильтра определим из условия минимизации ||Е0 - ХхЬхЦ2, в результате чего получим

Ь1 = Х+£0.

Выходной сигнал фильтра будет теперь содержать две составляющие:

у1 = у 0 + Х+Ьъ

а ошибка станет равной Е1 = d - у]. Минимизируя далее || Е1 - Х2Ь2 ||2, получим вектор Ь2 квадратичной составляющей, равный

Ь2 = Х+£1.

Продолжая процесс вычисления аналогичным образом, последовательно получим векторы Ьт коэффициентов нелинейных составляющих любого порядка.

Ошибка Ет для фильтра т-го порядка может быть записана в виде

£т = d - ут = d - ут-1 - ХтХт£т-1 = (1 - ХтХт )£т-1 . (24)

На основании определения (22) псевдообратной матрицы нетрудно доказать свойство ХТХХ+ = ХТ, используя которое, можно показать, что вектор ошибки Ет на каждом этапе вычислений будет ортогонален входной матрице

Xm, т.е.

Хт£т = 0, т = 0, 1, ... (25)

Последовательное увеличение порядка т нелинейности фильтра происходит до тех пор, пока норма || Ет || не уменьшится до заданного предела. Условие, при котором решение, полученное на т-м шаге, является точным и не может быть далее улучшено, следует из (24) и выглядит следующим образом:

ХтХ+т = I . (26)

+ Т Т +

С учетом тождества Хт = Хт (ХтХт) , в справедливости которого нетрудно убедиться, преобразуем (26) к виду

X ХТ (X ХТ ) = I

^т^т \ ^т^т I А •

Т

Данное условие выполняется, если строки матрицы Хт Хт линейно неТ

зависимы и, следовательно, существует матрица, обратная ХтХт . В частно-

Т -1

сти, если существует (Х1Х1 ) , то оптимальное решение достигается в клас-

се линейных фильтров.

Используя свойства кронекеровского произведения матриц, можно поТ

казать, что (1, у')-й элемент матрицы Хт Хт равен

(х(т) )Т х(т) =(х ; )т . (27)

Обозначим через Х<т> операцию возведения в степень т всех элементов матрицы X. Тогда на основании (27) можно записать равенство

гт-г і гр \<т>

Хт хт = (Х1Х7

Таким образом, решение, получаемое полиномиальным фильтром т-го порядка, будет являться точным, если существует матрица, обратная

(х1хТ )<т> .

В процессе последовательного приближения может возникнуть ситуация, когда при добавлении очередной 1-й составляющей фильтра вновь вычисленная ошибка || Ет || практически не будет отличаться от предыдущей || Ет-1 ||. В этом случае включение данной составляющей не имеет смысла и осуществляется переход к следующей.

Рассмотрим условие, при котором величина ошибки, связанной с добавлением члена т-го порядка к уже построенному фильтру к-го порядка, не изменяется. Связь выходных векторов ут и ук данных фильтров определяется выражением

ут = ук + ХтХт^к . (28)

Если фильтр к-го порядка в свою очередь был сформирован вслед за фильтром порядка 5, то ошибка будет равна Ек = (I - ХкХк+)Е5 и величина коррекции ХтХтЕк в (28) может быть записана в виде

Х Х7

(і - Х к ХІ)

Данная величина будет равна нулю при произвольном Е5, если выполняется следующее условие:

Хт ХТт ХкХк = ХкХк . (29)

Из свойства X = XXX, в частности, следует, что равенство (29) справедливо при условии ХкХк+ = ХтХт+.

Пусть в результате рассмотренной процедуры получен набор векторов Ь0, Ьь ..., Ьм, характеризующих м составляющих фильтра. Объединим данные векторы согласно (17) для получения вектора Ь коэффициентов полиномиального фильтра м-го порядка. Очевидно, что в общем случае нельзя гарантировать совпадение данного вектора с оптимальным ЬорЬ определяемым выражением (21), так как вместо суммарной ошибки || Е ||2 вида (19) минимизировались частичные ошибки || Ек ||2, к = 0, 1, ..., м, по отдельным компонентам фильтра.

Последовательность || Ек || является убывающей. Действительно, справедливо неравенство

е Л =

(I - Xкхк )ек_1

I - X к XI

ек-1

где || А ||2 - спектральная норма матрицы А, равная максимальному сингулярному числу А. На основании определения (22) псевдообратной матрицы

можно показать, что || I - ХкХк+ || = || I - иЛВ 1иг || = 1, поэтому || е0 || > || Е1 || > > ... > || Ем || > || є ||. Конечная ошибка || Ем ||, в свою очередь, может быть уменьшена, если повторить процедуру коррекции вновь, начиная с минимизации || Ем - Х0Ь0 ||2. В результате будет сформирована новая последовательность векторов Ь0, Ь1, ..., Ьм, объединение которых даст более точное приближение к искомому вектору Ьор1.

Структура полиномиального фильтра, реализующего такой итерационный процесс последовательного приближения, показана на рис. 2.

Обозначим через ь[[] и, т = 0, 1, ..., М, векторы коэффициентов и ошибок, полученные на начальном этапе приближения. Тогда процесс настройки коэффициентов фильтра может быть представлен в виде следующей итерационной схемы:

Ь[п] = Ь[п-1] + х+е[п-1] Ьл = Ь^ + Х0 ем

*0

*0

у[п] = Ы + Х . [п].

у 0 = у м + Х0Ь0 .

Ь[п] = Ь[п-1] + Х + е[п] у[п] = у[п] + Х Ь[п].

11 т 11 т ' Л~т<"т-1 Ут У т-[' л-т11т >

е[п] = а - Vй п = 12

°т и У т ’ ’ ’ •••

(30)

Уо

*Єк

,.еі

1 Г

-ф

! Уі

Л г гМ

1 хм ь м

'V

©

У м

Рис. 2. Структура полиномиального фильтра с последовательной настройкой коэффициентов

4. Доказательство сходимость метода

Покажем, что данный процесс сходится, причем

,[nJ

м

n——^

h[n]

n—^

'opt •

Так как последовательность

,н

м

является убывающей и ограничена

снизу, она имеет предел |г|. Пусть соответствующие предельные векторы коэффициентов равны Ьо,Ь1,..., 11 м . Тогда вектор г ошибок можно предста-

вить в виде

£_ d-XQhQ -X^ -...-X

і"і

Согласно (25) этот вектор будет ортогонален всем входным матрицам хт, т = 0, 1, ...,М, т.е. векторы Ьо, Й1,...,Ьм удовлетворяют следующей системе уравнений:

хт хоь о+хт Х11г1+•••+хт хм ьм=хт^, т=о, l, ..., м.

Данная система уравнений полностью тождественна нормальным уравнениям (20), определяющим оптимальный вектор Ьор1 коэффициентов поли-

номиального фильтра. Поэтому 1i _ h

opt

Заключение

Класс полиномиальных фильтров, характеризуемый дискретным функциональным рядом Вольтерра, является естественным обобщением класса линейных фильтров, сохраняя свойство линейности относительно параметров фильтра. Это обстоятельство и использование матричного представления полиномиальных фильтров позволяет сформулировать задачу оптимальной нелинейной фильтрации в виде решения известного матричного уравнения Винера - Хопфа, отличающегося от линейного аналога лишь тем, что входящие в его состав матрицы содержат корреляции высших порядков. Для решения данного уравнения предложен итерационный метод последовательного приближения, состоящий в постепенном увеличении степени нелинейности фильтра путем добавления новых компонент до тех пор, пока ошибка фильтрации не станет меньше некоторого заданного предела. Получены условия, гарантирующие уменьшение ошибки; доказана сходимость итерационного процесса к искомому решению задачи оптимальной фильтрации. Предложенный метод может быть положен в основу реализации полиномиальных фильтров для обработки сигналов и изображений с последовательной настройкой коэффициентов.

Список литературы

1. Pit as, I. Nonlinear digital filters: principles and applications / I. Pitas, A. N. Venetsa-nopoulos. - Kluver Academic Publishers, 1990. - 391 p.

2. Ling, W. K. Nonlinear digital filters: analysis and applications / W. K. Ling. - Academic Press, 2007. - 216 p.

3. Mathews, V. J. Polynomial signal processing / V. J. Mathews, G. L. Sicuranza. -A Wiley-Interscience publication, 2000. - 452 p.

4. Щерб аков, М. А. Цифровая полиномиальная фильтрация: теория и приложение / М. А. Щербаков. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1997. - 246 с.

5. Щерб аков, М. А. Свойства симметрии изотропных нелинейных операторов для обработки изображений / М. А. Щербаков // Синтез и сложность управляющих систем : материалы XIII Международной школы-семинара. Ч. II / под. ред. О. Б. Лупанова - М. : МГУ, 2002 - С. 208-215.

6. Гилл, Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. - М. : Мир, 1985. - 510 с.

7. Прэтт, У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт. - М. : Мир, 1982. -312 с.

Щербаков Михаил Александрович

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой автоматики и телемеханики, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Shcherbakov Mikhail Alexandrovich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of automation and remote control, Penza State University

УДК 681.5.015.52+621.372.542 Щербаков, М. А.

Итерационный метод оптимальной нелинейной фильтрации изображений / М. А. Щербаков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2011. - № 4 (20). - С. 43-56.