CC BY
15
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 4(24). C. 127-132. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-127-132
УДК 517.958
АППРОКСИМАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ НАГРУЖЕННЫМ УРАВНЕНИЕМ СМЕШАННОГО ТИПА
Л. И. Сербина
Ставропольский государственный педагогический институт, 355029, Ставропольский
край, Ставрополь, ул. Ленина, д. 417а, Россия
E-mail: SerbinaL@mail.ru
В рамках развития методов поиска эффективных приближенных аналитических методов решения обобщенного нелинейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка параболического типа, лежащего в основе решения задач долгосрочного прогноза режима грунтовых вод, предложен и реализован метод его редукции к линейным дифференциальным уравнениям смешанного типа с сопутствующими краевыми интегральными условиями.
Ключевые слова: нелинейное параболическое уравнение, локальные и нелокальные краевые условия, аппроксимация, интегральное условие, нагруженные уравнения, уравнения смешанного типа.
© Сербина Л. И., 2018
MSC 35M10
APPROXIMATION OF A NONLINEAR PARABOLIC FILTERING EQUATION WITH A LOADED MIXED-TYPE EQUATION
L. I. Serbina
Stavropol State Pedagogical Institute, 355029, Stavropol Territory, Stavropol, ul. Lenina,
417a, Russia
E-mail: SerbinaL@mail.ru
In the framework of the development of search methods for effective approximate analytical methods for solving a generalized nonlinear partial differential equation of second order of parabolic type, which is the basis for solving long-term forecast problems of groundwater regime, a method of its reduction to linear differential equations of mixed type with associated boundary integral conditions.
Key words: nonlinear parabolic equation, local and nonlocal boundary conditions, approximation, integral condition, loaded equations, equations of mixed type.
© Serbina L.I., 2018
Введение
Одно из важнейших направлений развития теории краевых задач, существенно расширяющих возможности методов моделирования нелинейных динамических процессов и систем различной природы, связано с постановкой и поиском методов разрешимости качественно новых неклассических задач. Одним из таких классов задач, не имеющих аналогов в математической физике, являются нелокальные краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений. основных и смешанного типа.
Особое место среди этих качественно новых неклассических задач занимают нелокальные начально-краевые задачи для уравнений с интегральными краевыми условиями. Краевые условия подобного типа являются существенным обобщением локальных и нелокальных краевых условий, заданных в виде линейной комбинации значений искомой функции и (или) ее производных в различных точках границы. и позволяют описывать поведение искомого решения во внутренних точках области в виде некоторого среднего. Интегральные условия естественным образом возникают в ряде задач математического моделирования нелинейных эволюционных процессов и систем, когда располагают незначительным объемом информации о количественных характеристиках изменения их свойств.
Однако, следует отметить, что корректная постановка и решение краевых задач с интегральными условиям, с исчерпывающей полнотой раскрывающих многие внутренние механизмы динамических процессов массопереноса, протекающих в рамках трудно формализуемых природных системах, сопряжено с довольно серьезными математическими сложностями, не позволяющих применять непосредственно известную теорию краевых задач.
Решение многих весьма важных задач оптимального управления и долгосрочного прогноза режима подземных вод [1], ставит проблему выхода за рамки традиционных математических моделей, в основе которых лежат локальные дифференциальные уравнения в частных производных и соответствующие им локальные начально-краевые задачи. В качестве одного из возможных подходов решения данной проблемы, предлагается новый метод аппроксимации существенно нелинейного параболического уравнения, лежащего в основе многих весьма важных моделей практических задач режима грунтовых вод, уравнениями смешанного типа с соответствующими им нелокальными интегральными условиями.
Сущность метода аппроксимация нелинейного параболического уравнения
Рассмотрим неустановившееся одномерное движение грунтовых вод со слабо изменяющейся свободной поверхностью и водоупором г = Но(Е>), которое при некоторых допущениях, главным из которых является предположение о достаточной протяженности водоносных горизонтов и справедливости полуэмпирического закона Дарси [1], описывается следующим существенно нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка параболического типа
где h = h(£,t) - уровень грунтовых вод в точке £ > 0 в момент времени t, о -водоотдача, к - коэффициент фильтрации, H - напор в нижележащем водоносном пласте, ко - коэффициент фильтрации слабопроницаемого водоупора мощности Mo, w = w(£, t) - разность между инфильтрацией и испарением.
Здесь предполагается, что скорость w0 просачивания через водоупор задается формулой
w0 =(Mo) (H-h)• (2)
Модельное уравнение (1) фильтрации, в случае горизонтального водоупора, когда можно считать ho = 0, Mo = const, и в случае, когда коэффициенты о и к постоянны, принимает вид:
дh к д 2h2
°Э7 = 2 + w - w° (3)
Известно, что непосредственное решение нелинейного уравнения (1) сопряжено с большими математическими трудностями. Одним из самых результативных и наиболее часто применяемых на практике методом является метод его аппроксимации линейными уравнениями. Существующие методы аппроксимации сводят исследование числовых характеристик и качественных свойств нелинейного уравнения (1) к изучению их более изученными линейными дифференциальными уравнениями. Главным недостатком линейных моделей является тот факт, что их можно использовать только в тех случаях, когда исследуемые величины изменяются не в очень широком диапазоне значений.
Рассмотрим, в рамках развития основных положений поиска приближенных аналитических решений нелинейных уравнений, следующий более эффективных способ аппроксимации уравнения (1), уравнениями смешанного типа с соответствующими интегральными условиями.
Решение h = h (£,t), уравнения (3) назовем регулярным, если оно дважды непрерывно дифференцируемо t по и £ , имеет непрерывную смешанную производную
д|2дt в любой точке £ и для любого времени t. Любое решение уравнения (3) будет решением следующего уравнения:
д 2h д 2hht д w д w0
од2 = + э7 - IT (4)
Предположим, что изменение уровня грунтовых вод ht = в почвенном слое в среднем прямо пропорционально расходу
д h Г1
о^У/ (£, t) d£
грунтовой воды на прогнозируемом участке 0 < £ < 1 с постоянным коэффициентом пропорциональности у, т.е. что
д h д Г1
Л я y°5t ih (£,О d£ • (5)
Гипотеза (5) позволяет нелинейное уравнение (4) приближенно аппроксимировать нагруженным уравнением
д2h , «./ мд2h 1 (дw дW0\
ST2 = ky5(f) + оЬ? - ТТ), (6)
где
1 Г1
5 (t ) = y^h (%, t) d %.,
I
среднее значение уровня грунтовой воды h (£,t) в слое 0 < £ < 1 в момент времени t.
Во многих задачах, связанных с долгосрочным прогнозированием режима потока грунтовых вод, для которого характерно нерегулярное хаотическое (фрактальное) изменение динамических переменных в пространстве и во времени можно считать, что
kyS'(t) « c|t* -11msign (t* -1), (7)
где m = const > 0, c = const > 0, t* - экстремальное время, когда расход грунтовой воды в слое 0 < £ < 1 достигает максимального значения, а затем падает до некоторого среднего значения.
В случает, когда напор H в нижележащем водоносном пласте не зависит от времени, то
ЭЯ_ 0 и dw_ dh
д t д t V м0 J д t'
Тогда, этому варианту, в силу (6) и (7), соответствует уравнение вида
д2h . ,m . . д2h k0 дh dw
= c|t*-11 sign (t*-1) - M0 dt + Э7• (8)
Уравнение (8) на евклидовой плоскости точек (£, t) относится к классу уравнений смешанного типа: оно эллиптично при t > t*, гиперболично при t < t* и параболическое на критической линии t = t*.
В уравнении (8) перейдем к новым зависимым и независимым переменным по формулам:
£
y = t — t*, x = ^, u(x,y) = h{x\fc, y +1*) (9)
c
В результате получим уравнение
д 2u m д 2u д u
^ + signy * ЬГdx2 + b^ = f ^y), (10)
где b = M, f (x, у) = wy (x^c, y +1*) •
На основании (5), (7) имеем
д fl
д Г
ky— h (%, t) d% = c|t* -1lmsign (t* -1), д t J о
из которого, с учетом (9), получаем интегральное условие
д ra
д fa
— u (x,y) dx = A |y|msigny. (11)
д y J о
ЗДесь a = i, A = -if.
Для линеаризованного уравнения (10), интегральное условие (11) является условием типа условия Самарского [3]. которая подлежит индентификации. Отличительной характеристикой нелокального интегрального условия (11), является то, что связывая значения искомого решения с его значениями на границе в начальный момент
времени, позволяет охарактеризовать процесс динамики грунтовых вод, зная его некоторые осредненные характеристики в слое почвы в начальный момент времен, учитывая влияние нелинейных механизмов.
Модельное уравнение (10) и нелокальное условие (11), при помощи введения новой независимой переменной
V = uexp(^ (12)
приведем к виду
signy *\у\^хх + Vyy -( М V = f (х, у) ехрГ у) , (13)
д —у Гa
—e 2 / V (х,у) dx = A \y\msigny. (14)
ду ,)0
Если горизонтальный водоупорho = 0 непроницаем ^ = 0 или имеет большую мощность щ ^ 1, то в (12) - (14) можно положить Ь=0. Тогда уравнение (14), при отсутствии внешнего воздействия на поток т.е. при f (х,у) = 0, принимает вид
signy * \yfVxx + Vyy = 0, 0 < х < a. (15)
Следует отметить, что модельное уравнение (15) при m = 0 совпадает уравнением Лавретьева -Бицадзе
signy * Vxx + Vyy = 0, 0 < х < a, (16)
а при m = 1 с уравнением Трикоми
У * Vxx + Vyy = 0, 0 < х < a, (17)
которые являются уравнениями хорошо известными в теории уравнений смешанного типа.
Заключение
Итак, гипотеза (5) позволяет нелинейное уравнение (1) аппроксимировать одним из уравнений смешанного типа (13). (15), (16), Очевидно, что такая замена, будет весьма эффективной , когда априори будет известно, что искомое решение с допустимой погрешностью удовлетворяет нелокальному условию (14).
Уравнения смешанного типа (13), (15), (16), нагруженные нелокальным интегральным условием (14), существенно расширяя возможности качественного понимании и методов количественной характеристики нелинейных особенностей их протекания в сложных природных средах, вполне могут стать основой решения для большинства задач оптимального управления и долгосрочного прогнозирования режимом грунтовых вод в сложных природных средах.
Список литературы
[1] Полубаринова-Кочина П.Я., Пряжинская В.Г., Эмих В.Н., Математические методы в вопросах орошения, M, 1969. [Polubarinova-Kochina P.YA., Pryazhinskaya V.G., EHmih V.N., Matematicheskie metody v voprosah orosheniya, M, 1969].
[2] Нахушев А.М., Нагруженные уравнения и их применение, Наука, М., 2012, 231 с. [Nahushev A.M., Nagruzhennye uravneniya i ih primenenie, Nauka, M., 2012, 231 pp.]
[3] Сербина Л. И., Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах, Наука, М., 2007, 167 с. [Serbina L. I., Nelokal'nye matematicheskie modeli perenosa v vodonosnyh sistemah, Nauka, M., 2007, 167 pp.]
Для цитирования: Сербина Л. И. Аппроксимация нелинейного параболического уравнения фильтрации нагруженным уравнением смешанного типа // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. №4(24). C. 127-132. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-127-132
For citation: Serbina L. I. Approximation of a nonlinear parabolic filtering equation with a loaded mixed-type equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 24: 4, 127-132. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-127-132
Поступила в редакцию / Original article submitted: 18.09.2018
