CC BY
114
АППРОКСИМАЦИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ВЛИЯНИЯ РЕЛЬЕФА
Борис Тимофеевич Мазуров
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кафедра высшей геодезии, профессор, д.т.н., тел. 3432911, e-mail: btmazurov@mail. ru
Ольга Игоревна Некрасова
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кафедра высшей геодезии, аспирант, тел. 3432911, e-mail: [email protected]
Предлагается метод аппроксимации рельефа как совокупности параллелепипидов и оптимизация соответствующих вычислений с привлечением цифровых моделей рельефа.
Ключевые слова: аппроксимация силы тяжести, параллелепипед, цифровые модели рельефа.
NUMERICAL APPROXIMATIONC OF THE GRAVITATIONAL INFLUENCE OF THE EARTH TERRAIN
Boris T. Mazurov
Siberian State Academy of Geodesy (SSGA), 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo Ul., professor, department of high geodesy, tel. 3432911, e-mail: btmazurov@mail. ru
Olga I. Nekrasova
Siberian State Academy of Geodesy (SSGA), 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo Ul., aspirant, department of high geodesy, tel. 3432911, e-mail: [email protected]
A method is proposed as a set of approximation earth terrain parallelepipidov and optimizing the relevant calculations involving digital elevation models of the earth terrain.
Key words: approximation earth terrain, parallelepiped, digital elevation models of the earth terrain.
Геодезические методы в геодинамических исследованиях играют важную роль. На результаты геодезических наблюдений значимое влияние оказывает меняющееся гравитационное поле. Значимые вертикальные смещения точек земной поверхности и смещения уровенных поверхностей во времени могут возникать, в частности, при разработке крупных месторождений полезных ископаемых. Большие воздействия на приповерхностный слой Земли и изменения силы тяжести вызывают перемещения больших масс пород при крупномасштабных различных горных работах [1]. Выемка близповерхностных масс приводит к возникновению внутренних компенсационных процессов, связанных с уплотнением осадочных пород или разрушением горных пород, что, в свою очередь, вызывает опускание дневной поверхности; одновременно происходят изменения гидрологического режима. Перераспределение больших объемов пород и руды вызывает значительное изменение поля силы тяжести, а недоучет влияния перемещаемых масс в результаты нивелирования может быть причи-
ной неверного представления о картине вертикальных движений и оказывает влияние на результаты геодезических измерений и определяемые по ним деформации земной поверхности.
Важную информацию при изучении твердой Земли дают параметры гравитационного поля. Считается, что они являются функциями распределения земных масс. Центробежное ускорение, как составляющая общего вектора силы тяжести, может быть вычислена без особых проблем. Но другая составляющая часть поля силы тяжести позволяет (с некоторыми сложностями) определять функцию плотности.
При интерпретации аномального поля силы тяжести неизбежно возникают трудности, которые относятся к неоднозначным, некорректным обратным задачам геофизики. Суть обратной задачи состоит в определении функции плотности (положение, форма и плотность аномальных масс) по измеренным параметрам поля. К сожалению, итоговое интегральное уравнение не имеет единственного решения. В этом проявляется неоднозначность обратной задачи.
На практике возникает вопрос решения прямой задачи - определение гравитационного влияния распределенных в пространстве масс. Их положение, форма и плотность каким-то образом заданы или определены. В этом случае, в соответствии с законом всемирного тяготения, получается единственное решение.
В местной декартовой системе координат аномалия силы тяжести определяется формулой
(г) = СЩ, ^£т^,
где - разность плотности возмущающего тела и плотности окружающей его среды, с? 17 = йх' Су' Сг' — элементарный объем.
Многие тела простой формы и постоянной плотности имеют влияние на силу тяготения, выражаемое аналитически в замкнутой форме (в квадратурах). Для шара радиуса R с постоянной плотностью или состоящего из концентрических слоев известна формула
4 z
кд = -7ГСД3Др—;-------=---->
3 н (х2 + у2 + г2)3/2
где х,у,г — координаты центра шара. Часто такие гравитирующие тела называют точечными массами, масконами.
Если гравитирующее тело представлять как бесконечно протяженное в горизонтальной плоскости, то формулы упрощаются. Есть технологическое допущение, что это возможно, когда горизонтальнее размеры тела в два раза больше глубины его залегания. Иначе такую модель называют как «бесконечный» плоский слой.
Есть еще примеры аналитического подхода к анализу гравитирующего влияния тел простой формы. Например, вертикального цилиндра. Но формула работает только для точек, расположенных на оси цилиндра. В случае конуса это так же ограничено расположением точки пространства и расположением гравитирующего конуса.
Для решения практических и научно-практических задач возможно использование аппроксимационных, конечно-элементных методов. Общая гравитирующая масса произвольной формы разделяется на некоторые элементарные тела (кубы, например). И далее выполняются замены этих неконцентрических масс на точечные с нахождением их координат как координат центра тяжести пространственного тела с учетом гомогенности - равномернораспределенной плотности пород.
Достаточно типичной формой рельефа в естественной и техногенной среде является конус. Конусообразными являются вулканы, отдельные составляющие горных хребтов. Вследствие выемки и первичной переработки руды образуются конусообразные карьеры, отвалы. В этом случае возникают ситуации ощутимого изменения локального поля силы тяжести в относительно короткие периоды времени. В работах [2, 3] приведены примеры конечно -элементной аппроксимации с делением конуса на сектора колец, послойно, с некоторым угловым шагом по периметру и различным радиусом колец.
В данной работе наш подход в решении задачи аппроксимации гравитационного влияния рельефа заключается в предложении методики аппроксимации тел сложной конфигурации с использованием аналитически выраженного замкнутого интеграла для параллелепипеда. Но все же разбиение общего массива на конечные элементы формы параллелепипеда будет конечно-элементной аппроксимацией. Однако, количество выбранных элементов сокращается значительно по сравнению с кубической аппроксимацией. Современные компьютеры позволяют вычислять все очень быстро и, эта часть технологии не является трудоемкой. Плюсом является в первую очередь качественное улучшение результата как более точное в совокупности вычисление для каждого параллелепипеда по аналитическим интегральным формулам.
Оптимизировать вычисления поможет достаточно развитая система данных цифровых моделей рельефа. Она позволит с помощью компьютера делать определение координаты z. Координаты x и y с равномерным шагом отображают сетку GRID на горизонтальной плоскости локального участка местности и они соответственно легко вычисляются.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мазуров Б.Т. Математическая обработка нивелирных и гравиметрических наблюдений в условиях извлечения и перемещения больших объемов руды и пород // Изв. вузов. Горный журнал. - 2006. - № 4. - С. 99-104.
2. Мазуров Б.Т. Аппроксимация гравитационного влияния конусообразных форм земного рельефа // Известия вузов. Горный журнал. - 2010. - № 8. - С. 62-66.
3. Мазуров Б.Т. Некоторые модели аппроксимации гравитирующего влияния усеченного конуса // ГЕ0-Сибирь-2009. V Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 20-24 апреля 2009 г.). - Новосибирск: СГГА, 2009. Т. 1, ч. 2. - С. 35-39.
© Б. Т. Мазуров, О.И. Некрасова, 2013
