CC BY
31
УДК 528.061.4
АППРОКСИМАЦИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ВЛИЯНИЯ ЛОКАЛЬНОГО РЕЛЬЕФА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Борис Тимофеевич Мазуров
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. 343-29-11, e-mail: [email protected]
Назира Адамбековна Кудеринова
Государственный университет им. Шакарима города Семей, Казахстан, г. Семипалатинск, ул. Глинки, 20а, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой геодезии и строительства, тел. (7222)358-438, e-mail: [email protected]
Определение поля силы тяжести, его трансформант не является тривиальной задачей. Для ее решения возможно сочетание аналитических описаний некоторых элементарных пространственных тел с конечно-элементным разбиением рельефа. Здесь описаны некоторые возможные к практическому использованию аналитические модели.
Ключевые слова: локальный рельеф, сила тяжести, аналитические модели.
APPROXIMATION GRAVITATIONAL INFLUENCE LOCAL RELIEF USING SOME ANALYTICAL MODELS
Boris T. Mazurov
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., professor, Ph. D., Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, tel. 343-29-11, e-mail: [email protected]
Nazira A. Kuderinova
State University Shakarim Semey, Kazakhstan, Semipalatinsk, 20 Glinki, Ph. D. Associate Professor, Head. cafes. «Surveying and Construction», tel. (7222)358-438, e-mail: [email protected]
Determination of the gravity field, it transforms not a trivial task. To solve it, perhaps a combination of analytical descriptions of some elementary spatial bodies with finite element partition relief. Here are some of the possible to the practical use of analytical models.
Key words: local topography, gravity, analytical models.
Для обеспечения желательной корректной интерпретации геодезических наблюдений необходимо отталкиваться от фундаментальной научной основы, как это представлено в [1]. Желание качественного и более точного количественного понимания меняющихся со временем окружающих Землю физических полей - это многие века главная составляющая часть парадигмы всех наук о Земле. Очень важным объектом исследований, как в научном аспекте, так и в практическом является меняющееся гравитационное поле. Приложения полученных данных о силе тяжести и их интерпретации разнообразны. Например, геодинамические исследования. Значимые вертикальные смещения точек зем-
ной поверхности и смещения уровенных поверхностей во времени могут возникать, в частности, при разработке крупных месторождений полезных ископаемых [2]. Перераспределение больших объемов пород и руды вызывает значительное изменение поля силы тяжести, а недоучет влияния перемещаемых масс в результаты нивелирования может быть причиной неверного представления о картине вертикальных движений и оказывает влияние на результаты геодезических измерений и определяемые по ним деформации земной поверхности. Понимание локального гравитационного поля и его учет важен при мониторинге вулканизма и корректной интерпретации геодезических наблюдений различного вида [3-6]. Зависимость поправок за плоский и сферический слои в неполной топографической редукции от их толщины и радиуса учитываемой зоны описана в [7].
Определение поля силы тяжести, его трансформант не является тривиальной задачей. И часто для достижения цели делается сочетание аналитических описаний некоторых элементарных пространственных тел с последующим конечно-элементным разбиением сложного элемента рельефа. Многие тела простой формы и постоянной плотности имеют влияние на силу тяготения, выражаемое аналитически в замкнутой форме (в квадратурах). Для шара радиуса Я с постоянной плотностью или состоящего из концентрических слоев известна формула
где Ар - разность плотности возмущающего тела и плотности окружающей его среды, О - гравитационная постоянная; х, у, 2 - координаты центра шара. Часто такие гравитирующие тела называют точечными массами, масконами.
Если гравитирующее тело представлять как бесконечно протяженное в горизонтальной плоскости, то формулы упрощаются. Есть технологическое допущение, что это возможно, когда горизонтальные размеры тела в два раза больше глубины его залегания. Это позволяет использовать аналитически выражаемую модель «бесконечного» плоского слоя. Есть еще примеры аналитического подхода к анализу гравитирующего влияния тел простой формы. Например, вертикального цилиндра. Но формула работает только для точек, расположенных на его оси. В случае конуса это так же ограничено расположением точки пространства и гравитирующего конуса.
В работе [8] предложена методика аппроксимации гравитационного влияния тел сложной конфигурации (например, локального рельефа) с использованием выраженного аналитически замкнутого интеграла для параллелепипеда
(1)
(рис. 1).
Р x, х2
Рис. 1. Гравитирующее тело в виде параллелепипеда
Формула для вычисления аномальной силы тяжести предложена в [9].
Лg = вАр - х 1п( у + г) - у 1п( х + г) + zaгctg — х2 У 2 22
2Г Х- Уу
I 2 2 2 где г = д/ х + у + 2 .
В случае анализа локальных участков с произвольным рельефом предлагается выполнять конечно-элементную аппроксимацию параллелепипедами разной высоты [8]. Необходимый результат получается путем суммирования аналитически вычисленных гравитационных влияний каждого из них. В этом случае количество выбранных конечных элементов значительно сокращается по сравнению с кубической аппроксимацией. Современные компьютеры позволяют быстро производить вычисления, и эта часть технологии не является сложной. Технологически оптимизировать процесс вычисления также способствует достаточно развитая система данных цифровых моделей рельефа (ЦМР).
Конус является достаточно типичной формой рельефа в естественной и техногенной среде. Конусообразными являются вулканы, отдельные составляющие горных хребтов. Вследствие выемки и первичной переработки руды образуются конусообразные карьеры, отвалы. В этом случае возникают ситуации ощутимого изменения локального поля силы тяжести в относительно короткие периоды времени. Для решения практических и научно-практических задач возможно использование как аналитических, так и аппроксимационных, конечно-элементных методов [10, 11].
В работе [12] описаны аналитические представления гравитационного влияния типичных плоских и пространственных тел. В, частности, нами предлагается в конечно-элементном варианте учета пространственных конусообразных
форм рельефа использовать приведенную в [12] аналитическую формулу для потенциала однородного диска в пространственной точке (рис. 2).
Рис. 2. Схема к формуле расчета потенциала в точке Р(г, х3)
от однородного диска.
Расстояние от элемента интегрирования до точки в пространстве:
Б = у1 Я2 + г2 + х| - 2Яг соб0.
После интегрирования с учетом этой формулы в [12] получена формула для вычисления пространственного потенциала в точке пространства от однородного круглого диска.
((г, х3) = 40 а
я ~2
--хз +
Я2 - г2 - х2'
2а
1 4Я 2 хр 1 +--3
1 а2р2
а
К (к) + - Е (к) +
+ х,
ЯЬ2
а
\\
1а
п(ъ, к)
Ч
Ь2 ДЯ + л/г2 + х32
, П(ъ2, к)
) (р2 - Ь2 )Я
г + х,
Тем, кто интересуется подробностями приведенного уравнения, следует смотреть [12].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мазуров Б. Т., Панкрушин В. К., Середович В. А. Математическое моделирование и идентификация напряженно-деформированного состояния геодинамических систем в аспекте прогноза природных и техногенных катастроф // Вестник СГГА. - 2004. - Вып. 9. - С. 30-35.
2. Мазуров Б. Т. Математическая обработка нивелирных и гравиметрических наблюдений в условиях извлечения и перемещения больших объемов руды и пород // Изв. вузов. Горный журнал. - 2006. - № 4. - С. 99-104.
3. Мазуров Б. Т. Моделирование и идентификация геодинамического объекта в вулканической области по комплексным нивелирным и гравиметрическим наблюдениям // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. - С. 84-94.
4. Мазуров Б. Т. Модель системы наблюдений за вертикальными движениями земной поверхности и изменениями гравитационного поля в районе действующего вулкана //Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2007. - № 3. - С. 93-102.
5. Мазуров Б. Т. Идентификация напряженно-деформированного состояния вулканической области по результатам геодезических и геофизических наблюдений // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 7. - С. 58-62.
6. Мазуров Б. Т. Совместная математическая обработка и интерпретация нивелирных и гравиметрических наблюдений за вертикальными движениями земной поверхности и изменениями гравитационного поля в районе действующего вулкана // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2007. - № 4. - С. 11-20.
7. Дементьев Ю. В. Зависимость поправок за плоский и сферический слои в неполной топографической редукции от их толщины и радиуса учитываемой зоны // Вестник СГГА. -2010. - Вып. 13 (2). - С. 13-17.
8. Мазуров Б. Т., Некрасова О. И. Аппроксимация гравитационного влияния локального рельефа по его цифровым моделям // Геодезия и картография. - 2014. - № 7. - С. 2-4.
9. Nagy В. The gravitational attraction of a right angular prism / Geophysics 31. - 1966. -P. 362-371.
10. Мазуров Б. Т., Некрасова О. И. Конечно-элементная модель конусообразных форм рельефа для учета их гравитирующего влияния на результаты геодезических измерений // Геодезия и картография. - 2013. - № 6. - С. 42-45.
11. Мазуров Б. Т., Некрасова О. И. Гравитирующее влияние конусообразных форм рельефа на результаты геодезических измерений // Геодезия и картография. - 2013. - № 5. - С. 2-6.
12. Кондратьев Б. П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. - М.: Мир, 2007. - 512 с., ил.
© Б. Т. Мазуров, Н. А. Кудеринова, 2015
