CC BY
16
УДК 622.2:528.061.4 Б.Т. Мазуров СГГА, Новосибирск
НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ АППРОКСИМАЦИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ВЛИЯНИЯ УСЕЧЕННОГО КОНУСА
B.T. Mazurov
Siberian State Academy of Geodesy, Novosibirsk
SOME APPROXIMATE MODELS OF GRAVITY INFLUENCE OF TRUNCATED CONE
Truncated cone is the typical shape of relief in environment. Cone-shaped mining camps, dumps and volcanoes influence significantly on the local field of gravity. Analytical calculations of gravity potential showed as an explicit form or as well-known functions is baffling complexity. It is better to use an approximate models to solve direct and inverse problems of physical geodesy. The present paper shows 1-point and 5-point models of approximation field of gravity truncated cone. Here are given the results of processing experiment by the example of leveling line, which are made in immediate proximity to gravity truncated cone. The purpose of modeling experiment was sizing truncation errors of geodesic and gravity observations.
В техногенной сфере часто возникают ситуации ощутимого изменения локального поля силы тяжести в относительно короткие периоды времени (годы, месяцы). Как правило, это вызывается перемещениями больших масс пород (выемкой руды, формированием отвалов и др.) [1]. Эти искусственные формы рельефа близки к усеченному конусу. В естественной среде конусообразными являются вулканы, отдельные составляющие горных хребтов. Таким образом, как форма рельефа, усеченный конус является достаточно типичным телом, оказывающим значимое гравитационное влияние.
Выражение гравитационного или электростатического потенциала конкретных тел в элементарном виде или через хорошо известные функции имеет определенные трудности. Есть частные решения для фигур равновесия небесных тел [2], для прямоугольной призмы бесконечного простирания [3], для прямоугольного параллелепипеда и вертикального цилиндра для точки на его оси [4]. В работе [5] предлагаются формулы вычисления гравитационного потенциала однородного эллиптического конуса через однократные интегралы. В случае кругового конуса они сводятся к элементарным функциям, но имеют практическое приложение для пространства вблизи вершины конуса.
При решении прямых и обратных задач физической геодезии предпочтительнее использовать аппроксимационные модели. Самой удобной для вычислителя моделью аппроксимации гравитационного влияния усеченного конуса рис. 1а является точка (сфера, шар, маскон) рис. 1б. Радиус шара RM должен определяться при условии равенства объема исходного усеченного конуса и шара. Центр тяжести шара M должен совпадать с
центром тяжести усеченного конуса. Шаровая модель была использована, например, при аппроксимации гравитационного влияния конуса вулкана в работах [6-9]. В работе [10] представлена пятиточечная модель рис. 1в, причем для вычисления координат центров тяжести пяти равнообъемных масс, аппроксимирующих гравитационное влияние усеченного конуса, аналитически выведены строгие математические формулы.
Насколько же актуальным является учет более сложной модели в реальных условиях нашей планеты? Какой сложности (подробности) должна быть модель, аппроксимирующая гравитационное влияние данного тела, чтобы высокоточные геодезические и гравиметрические измерения при их комплексной математической обработке соответствовали выбранной модели?
Здесь приведены результаты вычислительного эксперимента на примере нивелирного хода, проложенного в непосредственной близости от гравитирующего усеченного конуса. Целью эксперимента было определение величин методических ошибок в результатах геодезических и гравиметрических измерений, возникающих при использовании двух вариантов аппроксимации гравитационного влияния усеченного конуса -простой одноточечной (1т) и уточненной пятиточечной (5т) моделью.
а) б) в)
Рис. 1.: а) Усеченный конус б) аппроксимирующие модели - одноточечная 1т;
в) пятиточечная 5т
Модель объекта. На плоской поверхности (локальный участок) со значением силы тяжести g(l = 980 Гал появляется аномальная гравитирующая
масса М в форме усеченного конуса с радиусом нижнего основания Я, радиусом верхнего основания г и высотой И (рис. 2), с плотностью б = 2,63
"5
г/см .
Это появление аномальной массы вызывает изменение вектора силы тяжести £0 в окружающем пространстве. В каждой точке это изменение различно: gU , gвм , g 1М . Следствием появления аномальной массы М является также уклонение отвесной линии (УОЛ) и 1 в месте стояния нивелира (т. 1), являющаяся, в свою очередь, причиной смещения пузырька уровня этого прибора. После приведения его в нульпункт визирная ось нивелира будет показывать отчет ам по задней рейке и Ьм по передней рейке. Превышение кмВ =ам ~ъм будет отличаться от превышения И;'-" =а0-ь0, измеренного до появления аномальной массы М на величину = ¡г,'/'1 - . Заметим, что нивелирные рейки, отвесность которых также определяется их круглым уровнем, будут иметь другой наклон, но возникающие при этом различия в отсчетах на высоте 1.3 м (высота инструмента) будем считать несущественными.
А Z
Рис. 2. Станция нивелирования вблизи гравитирующего усеченного конуса
Порядок проведения и результаты вычислительного эксперимента. Для усеченного конуса с геометрическими характеристиками R=500 м,
"5
г=200 м, h=450 м его объем У=0,184 км , при гомогенности пород с
3 8
плотностью 5=2,63 г/см масса М=4,83*10 т., был смоделирован нивелирный ход от основания усеченного конуса (т.А на рис. 2) длиной 1 км, состоящий из десяти станций через 100 метров друг от друга (рис. 3). Длина плеч 50 метров. На рис. 2 показана первая станция с расстоянием между т.А и т.В 100 м. Также в месте установки нивелира (например, первая станция т. 1 на рис.2),
было смоделировано определение абсолютных значений силы тяжести. Случайные ошибки не вводились. Вычислялись только методические погрешности, возникающие вследствие неполноты модели гравитирующего тела.
Сравнение одноточечной (1т) и пятиточечной (5т) моделей выполнялось с моделью (5400т) гравитационного влияния усеченного конуса, полученной как сумма влияний 5400 элементов. В модели (5400т) в качестве элементов были выбраны 6-градусные сектора цилиндрических труб высотой 75 м (для высоты конуса 450 это составило шесть слоев с числом труб в слоях: 20, 18, 16, 14, 12 и 10). Каждый элемент заменялся гравитирующей точкой в центре тяжести данного элемента в соответствии с его объемом.
Приведем результаты сравнения в виде табл. 1.
Z
А
¿7Т.45 -I- ^
Станции нивелирования
12 34 5 6 7 8 9 10 X
Ч~0 11.5
Рис. 3. Модельный нивелирный ход (координаты в км)
Таблица 1. Сравнение моделей 1т и 5т с моделью ЧМ
Номер станции 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Координата X (м) 550 650 750 850 950 1050 1150 1250 1350 1450
Для уклонений отвесных линий в "
УОЛ (5400т) -2,71 -1,81 -1,31 -1,00 -0,79 -0,64 -0,53 -0,45 -0,38 -0,33
УОЛ (1т)-(5400т) 0,82 0,39 0,21 0,13 0,08 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01
УОЛ (5т)-(5400т) 0,73 0,32 0,17 0,09 0,06 0,04 0,03 0,02 0,01 0,01
Для абсолютных значений силы тяжести в мкгал
g(1т)-g(5400т) -1438 -1275 -939 -688 -512 -390 -302 -239 -192 -156
g(5т)-g(5400т) -1525 -1270 -905 -649 -476 -358 -276 -216 -173 -140
Для нивелирных превышений в мм
Ц5400т) 1,31 0,88 0,63 0,48 0,38 0,31 0,26 0,22 0,18 0,16
К1т)-Ц5400т) -0,40 -0,19 -0,10 -0,06 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 -0,01 -0,01
К5т)-Ц5400т) -0,36 -0,16 -0,08 -0,05 -0,03 -0,02 -0,01 -0,01 -0,01 -0,00
Из анализа результатов вычислительного эксперимента для вышеопределенных размеров гравитирующего усеченного конуса можно сделать следующие выводы:
1. Гравитационное влияние использования моделей 1т и 5т на результаты измерений горизонтальных углов не будет значимым;
2. При обработке гравиметрических измерений обе модели являются сильно упрощенными;
3. При высокоточном нивелировании при расстоянии от подошвы гравитирующего конуса 450 м для модели 1т и 350 м для модели 5т методическая ошибка составляет 1/10 точности измерений на станции (0,5 мм). Этот факт необходимо учитывать при проектировании сетей, организации полевых работ и последующей интерпретации результатов натурных наблюдений;
4. Для каждого конкретного случая присутствия аномальных масс возникнут различные рекомендации по усложнению моделей их гравитационного влияния. Например, для редко встречающихся более крупных конусообразных гравитирующих тел различие между одноточечной и пятиточечной моделями и реальным гравитирующим конусом будет проявляться в большей степени. Следовательно, необходима более детальная модель и/или факт соответствующей удаленности нивелирной и гравиметрической сети от гравитирующего конуса.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мазуров, Б.Т. Математическая обработка нивелирных и гравиметрических наблюдений в условиях извлечения и перемещения больших объемов руды и пород / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2006. - № 4. - С. 99 - 104.
2. Антонов, В.А. Введение в теорию ньютоновского потенциала / В.А. Антонов, Е.И. Тимошкова, К.В. Холшевников // М.: Наука, 1988.
3. Бровар, В.В. Теория фигуры Земли / В.В. Бровар, В.А. Магницкий, Б.Л. Шимбирев // М.: Геодезиздат, 1961.
4. Торге, В. Гравиметрия / В. Торге // Пер. с англ. - М., Мир, 1999. - 429 с.
5. Антонов, В.А. Аналитическое представление потенциала однородного эллиптического конуса / В.А. Антонов, Баранов А.С. // «Журнал технической физики», -2001, т. 71, вып. 10, с. 8 - 12.
6. Мазуров, Б.Т. Модель вертикальных движений земной поверхности и изменений гравитационного поля в районе действующего вулкана [Текст] / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, - 2007. - № 2. С. 97 - 106.
7. Мазуров, Б.Т. Модель системы наблюдений за вертикальными движениями земной поверхности и изменениями гравитационного поля в районе действующего вулкана / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2007. - № 3. С. 93 -101.
8. Мазуров, Б.Т. Совместная математическая обработка разнородных комплексных геодезических и геофизических наблюдений за движениями земной поверхности и изменениями аномальных масс / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 6. С. 30 - 38.
9. Мазуров, Б.Т. Идентификация напряженно-деформированного состояния вулканической области по результатам математической обработки разнородных
геодезических и геофизических наблюдений / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 7. С. 58 - 62.
10. Мазуров, Б.Т. Пятиточечная модель гравитируещего усеченного конуса / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2008. - № 5. С. 58 - 62.
© Б.Т. Мазуров, 2009
