CC BY
44
УДК 622.2:528.061.4
Б.Т. Мазуров, О.И. Некрасова
СГГ А, Новосибирск
АЛГОРИТМ АППРОКСИМАЦИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ВЛИЯНИЯ КОНУСООБРАЗНЫХ ФОРМ ЗЕМНОГО РЕЛЬЕФА
Конус является достаточно типичной формой рельефа в естественной и техногенной среде. Конусообразные рудные выработки, отвалы пород, вулканы оказывают значимое влияние на локальное поле силы тяжести. Выражение гравитационного потенциала конкретных тел в элементарном виде или через хорошо известные функции имеет определенные трудности. При решении прямых и обратных задач физической геодезии предпочтительнее использовать аппроксимационные модели. Здесь рассматривается алгоритм аппроксимации гравитационного влияния конусообразных форм рельефа. Конус разбивается на конечные элементы - кольцевые секторы. Находятся координаты центра масс каждого конечного элемента, который заменяется точечной массой с этими координатами с величиной, равной массе исходного конечного элемента. Это позволяет вычислить потенциал от влияния конуса в любой точке пространства, как сумму потенциалов влияния точечных масс.
B.T. Mazurov, O.I. Nekrasova
Siberian State Academy of Geodesy (SSGA)
10 Plakhotnogo Ul., Novosibirsk, 630108, Russian Federation
ALGORITHM OF APPROXIMATION OF GRAVITY INFLUENCE OF CONE-SHAPED FORMS OF EARTHLY RELIEF
A cone is a quite typiform of the relief in natural and technogenic environment. Cone-shaped ore workings, heap of rocks, and volcanos influence significantly on the local field of gravity. Expression of gravity potential of concrete bodies in an elementary way or in terms of well known functions is complicated. It is better to use an approximate models to solve direct and inverse problems of physical geodesy. Here we have an approximation algorithm of gravity influence of cone-shaped forms of relief. A cone is divided into finite elements - circular sectors. There are coordinates of the mass centre of every finite element which is replaced by point mass with these coordinates with value, which is equal to the mass of initial finite element. It allows to calculate potential of the influence of cone in any point of space, as the sum of potentials of influence of the point masses.
В естественной и техногенной среде конус является достаточно типичной формой рельефа. Конусообразными являются вулканы, отдельные составляющие горных хребтов. В относительно короткое время (годы, месяцы) вследствие выемки и первичной переработки руды образуются конусообразные карьеры, отвалы. В этом случае возникают ситуации ощутимого изменения локального поля силы тяжести в относительно короткие периоды времени [1].
Выражение гравитационного или электростатического потенциала конкретных тел в элементарном виде или через хорошо известные функции имеет определенные трудности. Есть частные решения для фигур равновесия небесных тел [2], для прямоугольной призмы бесконечного простирания [3],
для прямоугольного параллелепипеда и вертикального цилиндра для точки на его оси [4]. В работе [5] предлагаются формулы вычисления гравитационного потенциала однородного эллиптического конуса через однократные интегралы. В случае кругового конуса они сводятся к элементарным функциям, но имеют практическое приложение для пространства вблизи вершины конуса.
При решении прямых и обратных задач физической геодезии предпочтительнее использовать аппроксимационные модели. Самой удобной для вычислителя моделью аппроксимации гравитационного влияния конуса является точка (сфера, шар, маскон)/ Шаровая модель была использована, например, при аппроксимации гравитационного влияния конуса вулкана в работах [6-9]. В работе [10] представлена пятиточечная модель, причем для вычисления координат центров тяжести пяти равнообъемных масс, аппроксимирующих гравитационное влияние усеченного конуса, аналитически выведены строгие математические формулы. В работах [11, 12] приведены результаты вычислительного эксперимента по оценке степени влияния конусообразного тела на результаты геодезических измерений.
Здесь описан алгоритм, позволяющий аппроксимировать гравитационное влияние конуса, как сумму влияний конечных элементов -кольцевых секторов.
Дано:
Круговой конус с радиусом основания R, высотой Н (рисунок 1), плотность пород 5.
Найти:
Гравитационный потенциал тК0НуСа, вызываемый этим конусом в любой
точке С окружающего пространства.
Алгоритм решения:
1. Делим конус К-1 горизонтальными плоскостями на К объемных тел: К-1 усеченных конуса и один (верхний) неусеченный. Радиусы оснований этих тел, начиная с нижнего гь г2, ..., гК. Высота каждого конуса h=H/K. На рис. 1 показано вертикальное сечение этого деления для К=10.
Рис. 1. Вертикальное сечение деления конуса для К=10
2. Заменяем каждый к-й конусообразный слой с радиусом нижнего основания Гі и радиусом верхнего основания гі+1 на его аппроксимирующий к-й цилиндрический слой той же высоты її под условием равенства их объемов:
^конуса (гі ■> /7+1) = Уцилиндра(гк X
или
Уъ ттк{г~ + /7/7+1 + /7+1 ) = ттИгк.
Таким образом, радиус основания аппроксимирующего цилиндра может быть вычислен
3. Делим каждый цилиндрический слой на Jk концентрических колец с радиусами через равное расстояние dг=гk/Jk. Каждое кольцо делим на N кольцевых секторов (криволинейные параллепипеды) через угол а=360/М На рис. 2 показан пример такого конечноэлементного разбиения при к=1, 2, ..., 10; Дк=2*(11-к); а=6°.
4. Для того, чтобы заменить каждый объемный конечный элемент на точечную массу, найдем координаты его центра масс. Нахождение координаты z (по вертикали) не представляет трудностей. Очевидно, что для любого кольцевого сектора к-го цилиндрического слоя:
=к=% + Кк~1)-
Координаты х, у будем находить, используя известные в теории сопротивления материалов формулы для кольцевого сектора и его свойство симметрии. Для сектора угловой величины а, внутренним радиусом г^, внешним радиусом г^+і может быть найдено расстояние тц ( / /+1) - от
центра образующего кольца О до центра масс кольцевого сектора т (рис. 3).
Рис. 3. Нахождение центра масс кольцевого сектора
Для угла а, выраженного в радианной мере
Л/^4%) (4,1+\-гк,;)
гткш+1)=уз----------^----- ---------—.
/ ^ а (г;1 -г72 \
^к,]+1 гКр
5. Зная радиус ^^(7-7+1)’ можно вычислить координаты х, у центра масс каждого конечного элемента: хк,(у,]+\\п = ггпк,ии+\) С0^Рп
УкХг,]+\\п = гтк,(7';7+1)
где Дг=^ + а(/7-1); и = 1,2,...,Ж.
6. Объем каждого кольцевого сектора вычисляем
2 2 ^(Л/+1) =а(Г£, 7+1 ~Гк, 7^’
и, с учетом плотности пород 5, вычисляем массу сектора j-го кольца к-го
слоя
тк,ии+1) = ^к,ии+1)^-
Гравитационный потенциал в точке С окружающего пространства, вызываемый точечной массой величины пц (//+1) с координатами
-к/
^,(7;7+1),« ’ Л,(7;7+1),/7 5 -к /2 + Ь(к 1) определяем как
ТС г,тк,(],]+1),п п
1£ (у. у+1) п = ^ с — — ’ _ гравитационная постоянная,
г^,0';7+1),и
с
гАг'(7'7+1) и " Расстояние от центра масс конечного элемента до точки С.
Общий гравитационный потенциал в точке С окружающего пространства, вызываемый конусом, вычисляем как сумму потенциалов точечных масс:
грС V у 1)>и
1 конуса ~ ^ ^ ^ с
к=1п=1 Гк,(_/;_/+1), П
Таким образом, здесь представлен алгоритм аппроксимации гравитационного влияния конуса, как типичной формы земного рельефа.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мазуров, Б.Т. Математическая обработка нивелирных и гравиметрических наблюдений в условиях извлечения и перемещения больших объемов руды и пород / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2006. - № 4. - С. 99 - 104.
2. Антонов, В.А. Введение в теорию ньютоновского потенциала / В.А. Антонов, Е.И. Тимошкова, К.В. Холшевников // М.: Наука, 1988.
3. Бровар, В.В. Теория фигуры Земли / В.В. Бровар, В.А. Магницкий, Б.Л. Шимбирев // М.: Геодезиздат, 1961.
4. Торге, В. Гравиметрия / В. Торге // Пер. с англ. - М., Мир, 1999. - 429 с.
5. Антонов, В.А. Аналитическое представление потенциала однородного эллиптического конуса / В.А. Антонов, Баранов А.С. // «Журнал технической физики», -2001, т. 71, вып. 10, с. 8 - 12.
6. Мазуров, Б.Т. Модель вертикальных движений земной поверхности и изменений гравитационного поля в районе действующего вулкана [Текст] / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, - 2007. - № 2. С. 97 - 106.
7. Мазуров, Б.Т. Модель системы наблюдений за вертикальными движениями земной поверхности и изменениями гравитационного поля в районе действующего вулкана / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2007. - № 3. С. 93 -101.
8. Мазуров, Б.Т. Совместная математическая обработка разнородных комплексных геодезических и геофизических наблюдений за движениями земной поверхности и изменениями аномальных масс / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 6.
С. 30 - 38.
9. Мазуров, Б.Т. Идентификация напряженно-деформированного состояния вулканической области по результатам математической обработки разнородных геодезических и геофизических наблюдений / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 7. С. 58 - 62.
10. Мазуров, Б.Т. Пятиточечная модель гравитируещего усеченного конуса / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2008. - № 5. С. 58 - 62.
11. Мазуров, Б.Т. Некоторые модели аппроксимации гравитируещего влияния усеченного конуса. Сб. материалов V Международного научного конгресса «ГЕО-СИБИРЬ-2009», т. 1, ч. 2. - Новосибирск, 2009. - С. 35-39.
12. Мазуров, Б.Т. Влияние перемещаемых гравитирующих масс на результаты наблюдений и их интерпретацию, Междунар.конф. «Геодинамика и напряженное состояние недр Земли», ИГД СО РАН, - Новосибирск, 2009.
© Б.Т. Мазуров, О.И. Некрасова, 2010
