CC BY
12
28. Росляков Г. С., Ф е д о р е н к о В. В. Исследование пространственного течения газа в сопле полностью неявным методом // Методы математического моделирования. М.: Изд-во МГУ, 1998. С. 7686.
29. Федоренко В. В. Полностью неявные методы расчета пространственных течений газа в соплах // Мат. моделирование. 2000. 12. № 4. С. 83-104.
30. Lebedev M.G. Comet Grigg-Skjellerup atmosphere interaction with the oncoming solar wind // Astrophys. Space Sei. 2000. 274. N 1-2. P. 221-300.
Поступила в редакцию 10.08.04
УДК 519.632+517.518 Е. Г. Дьяконов
АППРОКСИМАЦИИ В УСИЛЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЕЙ С НЕРЕГУЛЯРНОЙ ГРАНИЦЕЙ
(кафедра общей математики факультета ВМиК)
1. Введение. Настоящая работа тесно связана со статьей [1], в которой рассматривались аналогичные вопросы для более узких энергетических пространств и более простых трехмерных областей. Рассматриваемые усиленные пространства Соболева С1'1 строятся на базе классического пространства Ил21(<5) = Н1(С}) для случая модельной ограниченной области (5 С И.3 с, вообще говоря, нелип-шицевой кусочно-гладкой границей Г. Основное внимание уделяется, например, случаю, когда два гладких двумерных блока, входящих в состав Г, могут касаться и образовывать внутренний (относительно (5) двугранный нулевой угол. В работе, следуя [1-7], анализируются некоторые неоднородные модификации (усиления по отношению к пространству Н1{Ц)) С1'1 = С1'1 (Х'3'; X'2'), использующие наряду с основной трехмерной структурой (блоком) X'3' = (5 еще и двумерные каркасы X'2' (многообразия, подструктуры), на которых требуется дополнительная по отношению к ^1(Х'3') гладкость следов (отметим, что конструкции этих относительно новых энергетических пространств имеют родство с известными инженерными приемами усиления жесткости исходной упругой структуры, аналоги которых легко могут быть найдены и в объектах, создаваемых самой природой). В зависимости от геометрии х<3) получены прямые и обратные теоремы о следах элементов из С1'1 на X'2' (нормальная обратимость оператора следа) даже без привлечения соответствующих теорем о следах для элементов из ^1(Х'3'). На их основе доказана и центральная теорема об аппроксимациях элементов этих необычных энергетических пространств при помощи гладких функций на Х'3', имеющая фундаментальное значение как для построения аппроксимаций типа сплайнов, так и для теории проекционно-сеточных методов решения стационарных и спектральных задач в пространствах типа С1'1. Можно сделать вывод, что наличие подходящих усилений в сингулярном блоке в некотором смысле компенсирует его плохую геометрию.
2. Усиленные пространства Соболева С в случае модельного трехмерного
сингулярного блока. Ниже основной трехмерный блок х<3) = (5 берется таким, чтобы, с одной стороны, можно было продемонстрировать специфику учета наличия сингулярных точек границы (точек границы, в окрестностях которых не выполняется условие Липшица), а с другой стороны, чтобы и геометрические описания не стали чересчур громоздкими. С этой целью мы берем блок (5 гомеоморфным треугольной призме, изображенной на рисунке; его граница разбивается на пять гладких блоков — образов граней призмы, обозначенных на рисунке. Эти блоки называем квазигранями; их пересечения
называем квазиребрами; они соединяют соответствующие квазивершины; сам блок (5 называем квазипризмой. Более того, мы предполагаем, что в подходящей декартовой или даже в квазидекартовой системе координат х = (2:1,2:2,2:3) = (2:^,2:3), = (2:1,2:2), блок задается как
О ее {х : 0 «С 2:3 «С д{х^) Чх^ е А}, А ее [0, ах] х [0, а2], (1)
где функция д(х3) 6 С2 (А), д(х^) ^ 0, д(х^) = 0 только при 2:1 = 0 (на ребре Ёо). На рисунке показаны стандартная призма и используемые обозначения для граней, ребер и вершин, соответствующие нужным нам в случае квазипризмы (}] А,о = [А,о, А,о, А,од], Ад = [Ад, Ад, Адд], Ад = [А,о, Ад, Адд, А,од]; А) = [А,о, Ад]- Все сингулярные точки границы (мы обозначаем их множество как с^о) считаем принадлежащими квазиребру А) — отрезку прямой на оси 2:1 = 0; плоскость 2:3 = 0 содержит блок А,о = [А,о, А,о, Ад, Ад] и является единственно возможной общей касательной плоскостью к поверхностям, содержащим блоки А,о и Ад = [А,о. А,од, Адд, Ад]- Точнее говоря, с^о — это непустое замкнутое множество точек из А), в которых В\д(х3) = 0 (при 2:1 = 0), = д^-. Предполагаем также, что Ихд^х^) > 0 при 2:1 6 (0, ао), «о ^ «1 (это обеспечивает возможность аппроксимации элементов Н1(Ц) с любой точностью при помощи функций из см. [8]). В частности, с^о может совпадать с А), может содержать несколько непересекающихся отрезков и конечное число точек, может даже совпадать с отдельной точкой. Все двумерные блоки регулярны, за возможным исключением двух блоков А,о и Ад, которые оба могут быть сингулярными квазитреугольниками (см. [1, 9]), если квазивершины А),о и Ад принадлежат о^о- Занумеруем двумерные блоки, полагая А = Ад, А = А,о, А = Ад, А = А,о, А = Ад-
Двумерную структуру (каркас) Х'2' будем определять, используя некоторые из пяти указанных блоков (квазиграней). Укажем, в каком смысле элементы v G HX(Q) имеют следы на А- Следы
_ _ ' Г к
на всех А, за исключением А,о и Ад, могут пониматься в смысле А (А); следы же на указанных особых квазигранях должны пониматься как функции в смысле А,д(А) (см- лемму 1 из [1]); эти функции, определенные на А, обозначаются как V4 и v^. Известно (см. лемму 1 из [1]), что
/1^5 (ж3~) — vi{xz)\2 I i i2
--dx3 <: \D3v\0tX(s) . (2)
F0
Мы рассмотрим типичные примеры
5
ее а , = A U А, = у А = 0Q, (3)
к= 1
определяя пространство G1'1 = б?1'1 (Q; Х'2') С H1(Q) как совокупность элементов H1(Q), у которых следы на каждом блоке А из являются элементами iA(A); ПРИ этом
IMIgm = IMIi.q + llalli,f* ; (4)
k,Fk CK2>
в (4) под v на А понимается след на А-
Теорема 1. Определенное выше линейное нормированное пространство G1,1 (см. (4), (1), (3)) является гильбертовым пространством.
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 из [1]: нужно использовать факторизованное гильбертово пространство
Hf = Н1 (Х'3') х
к= 1
и установить, что наши условия принадлежности элемента пространству G1'1 равносильны условиям принадлежности соответствующего элемента из Hf пересечению ядер линейных ограниченных операторов, определенных на Hf и переводящих его в некоторое гильбертово пространство, используемое склейкой на F^ (именно для этой цели мы обращали особое внимание на определение каждого оператора следа).
Ниже К обозначает константы, зависящие лишь от геометрии рассматриваемых блоков.
Лемма 1. Для любого v G G1'1 существует продолжение до функции v G H1(Q), где Q — регулярный блок такой, что Q С Q и
IMIl,Q ^ Я"1Н1сМ • (5)
Доказательство. Можно положить Q = {х : 0 ^ Х3 ^ b Ух% G Fq}, где b > max^(i^).
Этот блок имеет липшицеву кусочно-гладкую границу, как и Q \ Q, на которой и надо осуществить продолжение по заданному следу на блоке Эта задача на элементе G ií1(i?s) легко решается, так как продолжение можно взять не зависящим от
Заметим, что нужная продолжимость также легко следует из известной продолжимости функции v\p G tf1/2(F5) С Hl(F$) до элемента H1(Q\Q) (см., например, [10]). Здесь под H1!2(Fq) понимается хорошо известное пространство (см. [2, 8, 11]) с
12 _ И..И2 , [ [ М^з") ~ {Уз)\2 ¿
сз" ~ Уз'3
Mll/2,F0 — IMIo,F0 + / / | , ,3 dx3 ^УЗ ■
Fn Fn
Подобные продолжения с части границы многократно использовались, например, в [2] при анализе метода фиктивных сеточных областей; (5) можно переписать в виде ||и||с1д (д-х<2)) ^ К Н^Нс^Цх^ьх*2)) и трактовать лемму 1 как теорему продолжения для пространства С1'1.
3. Основные свойства следов на X'2'. Под следом (2) для V С С1'1 = Н\ на структуре всегда будет пониматься совокупность следов на всех входящих в состав Очевидно,
что всегда £ Ьг(Х'2') и что для X'2' = ^ можно сразу найти точную характеристику следов;
для того чтобы элемент V 6 ¿г(Х'2') был следом (2) для некоторого элемента из Н\, необходимо и достаточно, чтобы V 6 = Н1^^). Другими словами, оператор ¿2,1 = Тгх<2) взятия следа на X'2' принадлежит £(Н1', Н2) и является нормально обратимым (его образ совпадает с Н2; функцию из Н^ (¿5) можно просто продолжить, полагая продолжение не зависящим от жз).
Для других X'2' из (3) нахождение аналогичного Н2 становится более сложным делом, так как приходится учитывать согласование следов на двумерных блоках, имеющих общее квазиребро (уже отмечена необходимость (2)).
Из леммы 1 следует, что для V 6 С1'1 следы на двух гладких пересекающихся блоках должны быть согласованы так, как требует теория пространства Н1(С}) для трехмерного регулярного блока (эти условия склейки аналогичны (2) и содержались в работах Г. Н. Яковлева; см. также [10]). В частности, для следов на и ^ для некоторого во > 0 должно выполняться аналогичное (2) условие склейки
а 1 во 2
Р2Л ЕЕ [ [ М*Ь«) 2)1 <
0 0
Определим Н1(Хкак подпространство функций из Н^р = П Н1(Е}~) с
№ схи
и^Иячх«2)) = и^и^х«2) = X] и^и!^' (6)
№ схи
удовлетворяющих условиям агрегирования блоков из разбиения структуры (они требуют, чтобы для любых двух пересекающихся блоков элементы соответствующих Н1(А) имели бы общий след на пересечении (на квазиребре). Ясно, что Н1(Х'2') является гильбертовым пространством и прямым обобщением пространства Соболева Н1(£1).
4. Пространство следов Н2 на структуре X'2' = А и А. Для X'2' = А и А и и = щ = (г^, ^5) следует взять Н2 с
2 2 [ кб (®з") — (®з") Р |М|#2 = ||и||Я1(Х(2)) + -Р(и) < ОО, -Р(и) = / -—¡-- <1Х1<1Х2 (7)
5(Жз
((2) означает, что 1т ¿2,1 С Н2).
Лемма 2. Пространство Н2 (см. (7)) с X'2' = А и А гильбертово и вложено в Н1(Х'2') (см. (6)); Н2 = ^1(Х'2'), если существует такое V > 0, чтоо
д(х^))^их1 УЖ1 Е (0,ах]. (8)
Доказательство. Гильбертовость довольна очевидна. Нужно доказать, что функции (к = = 4,5) имеют общий след щ = щ(х2) на ребре Ео (при х\ = 0). Из (7) следует, что при любом
5 е (0,а1)
а2 <5 | , , |2 а2 <5 | | | |2
к>5 (ж§-) — (ж§-) _ (' [ к>5 (ж§~) — (ж§~)
]-^-— (1x1(1x2 К / -1---1--—(1x1(1x2 (9)
Ч ■) ■) <7(®з")
0 0 0 0
и стремится к нулю при 8 —> 0. Каждая из функций 6 Н1(Ео) (к = 4,5) имеет след г к 6 Н1/2(Ео) на Ео (этот факт хорошо известен). При этом несложно проверяется, что при 6 —> О
а2 <5 2
0 0 1
Отсюда и из (9) и следует совпадение следов.
Имеем г>5 — г>4 6 Н1(Ео]Ео). Поэтому при выполнении (8) и при А,<5 = [0,5] X [0, <22] несложно проверить, что
а2 <5 , . | |2 5
к>5 (жд ) — и4(Жз ) и 2
-—2-(1х1(1х2 «С К (Ык,^ О-
о о 1 к=±
Заметим, что в доказательстве можно использовать гладкие функции на А в силу плотности таких функций в Н1(Ео). В дальнейшем это можно делать и для других пространств после доказательства соответствующей полноты.
Элементы и пространства Н2 (см. (7)) называем гладкими функциями, если и 6 С(Х'2') и их сужения на А принадлежат С1(А) (к = 4,5). Аналогично поступаем и в случае пространства С1'1.
Л е м м а 3. В пространстве Н2 из (7) с X'2' = А и А множество гладких функций всюду плотно.
Доказательство. Прежде всего воспользуемся тем, что оператор следа Тг£0 6 С(Н2] Н1!2(Е^)) нормально обратим (это следует из нормальной обратимости оператора следа Тг^ 6 С(Н1(Ео)]Н112(Ео))). Поэтому достаточно доказать лемму для элементов и 6 Н2 с гладкими
следами на Более того, вычитая соответствующую гладкую функцию из указанного элемента Н2, можно даже свести наше рассмотрение к случаю нулевых следов на Итак, пусть и £ Н2 и имеет нулевой след на Ео. Покажем, что и £ Н2 можно аппроксимировать с любой точностью гладкими функциями, равными нулю в соответствующей окрестности ребра Ео. Для этого, как в теореме 2 из [1], выберем при £ ^ 0 гладкую функцию 0(£) (функцию срезки) такую, что 0(£) £ [0,1], |[©(£)]'| ^ к, ©(£) = 0 при £ £ [0,1/2] и 0(£) = 1 при £ ^ 1. С помощью параметра 8 £ (0, ах/4) определим аппроксимации ид;д(жз") = Ук(хз")0 к = 4,5. Функции 2^д = — могут отличаться от и нуля лишь при жх £ (¿/2,5), и можно проверить, что при 8 —> 0 векторы ^4д,^5д стремятся к нулю в Н2. В самом деле, сложности вызывает лишь оценка для р, , где ^ 6 = {8/2, 8) X [0, <22]; для ее
' 0, <5 '
получения помогает оценка \D\Vk,! (жз") | ^ | + 8~2 |иА:(жз")| ], в которой можно заменить
8 соответствующей меньшей величиной жх и после этого воспользоваться известным неравенством Харди. По построенным г^д нужные гладкие аппроксимации можно получить, взяв усреднения по Соболеву с малым параметром к > 0 от продолжений этих функций на некоторый более широкий прямоугольник.
Заметим, что если все рассматриваемые поверхности, на которых лежат ^ (к = 4, 5), бесконечно дифференцируемы, то возможны аппроксимации с сужениями на ^ из
5. Нормальная обратимость оператора следа на структуре X'2' = и ^5.
Лемма 4. В случае пространства Н2 из (7) с X'2' = ^4 и оператор следа Ь2д £ С(Нх; Н2) нормально обратим.
Доказательство. Достаточно показать, что для любой гладкой функции й2 £ Н2 (й2 = (^4,^5)) можно найти функцию щ £ Н\ с Ьгд^х = й2 и с ЦйхЦд- ^ ^СЦйгЦ^ . Более того, можно даже ограничиться функцией щ £ Н1{Ц) со следом й2 на X'2' и с 11глх11х д ^ К ЦйгЦ^. Для ее построения можно просто воспользоваться линейными интерполяциями по Ж3 пары функций [^4,^5]: можно найти функцию и £ Н1^), равную ^(ж^-) при жх = 0 и определяемую при жх > 0 формулой
и(ж^",ж3) ЕЕ Vi{x^) + -
9{Хз )
В самом деле, |й|0 д ^ К[|г>4|0 Ро + — и4|0 Ро], а нормы производных легко оцениваются:
\Оки\о д ^ К ^(^^(о ^ + \Оку5 - Оку4\О Ро + Это позволяет заключить, что и £ Н1{Ц).
и5 - У4\
а
< ос, к = 1,2.
о,(3/
6. Аппроксимации в С1'1 при X*2' = Е4 и X*2' = Е4и Е5.
Теорема 2. В гильбертовом пространстве С1'1 с X'2' = Е4 и с X'2' = ^ и множество гладких функций всюду плотно.
Доказательство. Доказательство проводится за счет перехода к подпространству С1'1 (Х'3'; [X'2']) в С1'1, состоящему из элементов с нулевыми следами на и совпадающему с
подпространством Я1(Х'3'; [X'2']) в Я1(Х'3'). Для последнего полнота функций из , равных
нулю на X'2', относительно мало известна; для случая X'2' = ^ можно просто сослаться на теорему 5 из [1], в которой доказывалась теорема продолжения элементов V £ ^1(Х'3'; [X'2']) до элементов V £ Н$(В), где В — ограниченная область, содержащая в себе область (5, и такая, что дВПдС^ = X'2' и для нее известна плотность функций из С£°(В) в Н$(В).
Для случая же
и вначале отобразим нашу функцию V £ Н1(С}',\Е4 и -Рб]) четно относительно плоскости Ж2 = 0, а затем и плоскости х2 = а2, получая элемент V £ Н1(Ц), где (5 состоит из исходной квазипризмы (5 и ее двух образов. Квазигрань (5, содержащую старый блок обозначим через Очевидно, что V имеет нулевые следы на ^4 и и что, умножая V на подходящую функцию срезки ©2^2), равную единице на [0, а2] и нулю на [—а2,—а2/2] и [3/2а2,2а2], мы получим функцию т £ Н1 ((¿^[дСд \ Е\]), имеющую, возможно, ненулевой след только на квазиграни ^ (при
Х\ = (ц). Последнюю функцию уже легко получить как предел гладких тп и равных нулю в точках, достаточно близких к д(5 \ А •
Таким образом, надо обосновать переход к задаче из С1'1 (Х'3'; [X'2']) = [Х'2']). Помо-
гает нормальная обратимость оператора следа на и возможность аппроксимировать с любой
точностью элементы Н2 гладкими функциями. В силу этого достаточно доказать возможность аппроксимировать гладкими функциями с любой точностью элементы С1'1 в случае гладких следов. По гладким следам на X'2' легко строится функция из С'1(0), вычитание которой из заданной и дает нужное сведение к случаю нулевых следов на Х'2'.
7. Пространство Н2 в случае структуры
Лемма 5. Пусть Х'3' = (5, X'2' = дСпространство Н\ = С1'1 определено при помощи (4). Пусть на X'2' определено пространство ^(Х'2') как подмножество элементов в пространстве Н1(Х(см. (6)), удовлетворяющих (7). Тогда Н2 гильбертово и совпадает с Н1(Х^) при выполнении условия (8); оператор следа £2д на
принадлежит С(Н\; Н2).
Доказательство. Гильбертовость Н2 довольно очевидна. При выполнении (8) функционал склейки -Р(и) из (7) оценивается сверху, как в доказательстве леммы 2. Напомним, что была доказана продолжимость функций V 6 Н\ до V 6 Н1(С}), где (5 — регулярный блок (см. доказательство теоремы 1), и указаны необходимые условия согласования (склейки, эквивалентности) следов на А (к ^ 5) в окрестностях каждого квазиребра Е^ для V 6 Н1(Ц). Напомним также, что для V 6 ^1(Х'2') условия агрегирования требовали наличия единого следа на каждом квазиребре Ej, принадлежащем каким-либо двум пересекающимся квазиграням. Поэтому 1т ¿2,1 С Н2.
Заметим, что можно даже доказать нормальную обратимость оператора следа, но мы обойдемся рассмотрением более частных случаев, используемых ниже для теоремы аппроксимации в Н\.
Лемма 6. Пусть Нобозначает подпространство в Н\ = С1'1, образованное элементами с нулевыми следами на А и А. Тогда множество гладких функций всюду плотно в Н\ = С1'1, если множество гладких функций всюду плотно в Нх^-
Доказательство. Проверим, что оператор следа ¿21 на -А и А принадлежит С(Н1]Н'2) с #2 = Н1(Е2) X Н1(Ез) и является нормально обратимым. В самом деле, воспользуемся тем, что элемент V 6 ^(Х'2') имеет на каждом квазиребре Е^ след, принадлежащий пространству Н1/2(Е^) с квадратом нормы
м м2 - I I2 , I 12 112 - [ [ И5) - и(5')12 л л /
где в — локальный параметр дуги для Е^ (Ej принадлежит одному регулярному блоку А, а свойства Н1(Е}~) хорошо известны). Рассматриваемые блоки А и А суть квазитреугольники (оба сингулярные, если (5 есть сингулярный блок типа 1). В любом случае из-за наличия указанных следов на ребрах у элемента V 6 он может быть продолжен до элемента V 6 ^¿(А), где А — грань некоторого
куба (5 такого, что С} С С}. Элементы допускают продолжения на (5 в виде функций, не
зависящих от Х2] при умножении их на подходящие функции срезки можно учесть и след на А, что и дает нормальную обратимость оператора Ь'2 1.
Элементы суть пределы гладких функций; их сужения на А также суть пределы соот-
ветствующих гладких функций. Поэтому в силу нормальной обратимости оператора Ь'2 г достаточно строить аппроксимации с любой точностью для элементов V 6 Н\ с гладкими следами на А и А. Для последних же легко построить гладкую функцию в Н\. Вычитая ее из рассматриваемого элемента V Е Н1, перейдем к элементу с нулевыми следами на А и А.
Лемма 7. Множество гладких функций всюду плотно в Нх^-
Доказательство. В рассмотрим оператор следа Агд на А и А; он принадлежит
С(Н 1,2',У2), где У2 — подпространство в Н2 для случая
Х<2> ЕЕ А
и А, образованное элементами,
сужения которых на Fk, к = 4, 5, не только принадлежат H1(Fk), но и имеют нулевые следы на квазиребрах с Х2 = 0 и с Х2 = а,2- Поэтому этот оператор Агд является нормально обратимым (применимы рассуждения из доказательства леммы 4 с Х<2' = Fa U F^j] см. также лемму 3 из [1]). Используя еще плотность множества гладких функций в V2 (это фактически следует из доказательства теоремы 2), можно свести вопрос о плотности гладких функций в к такому же вопросу для подпространства #1,2,3 в -#1,25 образованного элементами с нулевыми следами на F4 U (с нулевыми следами на всех квазигранях, кроме F\ = -Р\д, где следы принадлежат Hq(Fi)).
Если на #1,2,3 рассмотреть оператор следа £2,1 на Fi, то он принадлежит £(#i,2,3; #0 (-^l))- Более того, он нормально обратим, так как задача восстановления функции из #1,2,3 с заданными следами становится почти очевидной: можно построить функцию из #1(Qi,2; dQi^XFi) и продолжить ее нулем на Q, где Qi,2 есть часть Q, состоящая из точек с х\ ^ а/2. Используя еще плотность множества гладких функций в #q (.Fi), сводим вопрос о плотности гладких функций в #1,2,3 к уже известному вопросу для пространства Hq(Q), образованного элементами Hl(Q) с нулевыми следами на всех квазигранях (см. [1]).
Из лемм 5-7 вытекает, что справедлива важная
ТеоремаЗ. В гильбертовом пространстве G1'1 cl(2' = dQ множество гладких функций всюду плотно.
8. Обобщения и замечания. Все результаты относились к случаю трехмерного сингулярного блока Q из (1), все квазиграни которого были частями (кусками) гладких поверхностей {д{х3-) £ £ C2(Fq)). На самом деле такая гладкость является завышенной и можно заменить, например, отмеченное условие более общим д{х^ ) £ C(Fo) с аналогичными условиями для сужений функции д: д(х£) £ C2(F0,1), д(х^) £ C2(F0j2), где F0,i = [0, <ц] X [0,а'2], F0j2 = [0, cti] X [а'2,а'2], а'2 £ (0, а2) (этот новый трехмерный блок можно рассматривать как объединение двух ранее рассмотренных квазипризм). Нетрудно проверить, что приведенные результаты остаются справедливыми и для нового более общего блока. В еще более общем случае анализ свойств нашего энергетического пространства естественно проводить локально на основе подходящего разбиения единицы и аналогичного примененному в [9] для двумерного случая. Но такой анализ в трехмерном случае более громоздок и требует рассмотрений трехмерных блоков более сложных типов (см. [6]), в которых, например, одна квазивершина является точкой пересечения нескольких гладких квазиграней (мы рассмотрели случай только трех пересекающихся квазиграней и не более чем одного двумерного нулевого угла). Все же некоторые модельные структуры оказываются довольно простыми и для этих геометрий.
Например, в плоскости Х2 = 0 рассмотрим сингулярный квазитреугольник
Т = {(жь х3) : Х\ £ [0, ai], ж3 £ [0, /(жi)]},
функция / гладкая, f{x\) > 0 при х\ > 0, /(0) = 0 = /'(0) = 0. Вращая Т вокруг оси x4l получим тело вращения (квазиконус) с единственной сингулярной точкой у границы. В роли двумерной
структуры возьмем пересечение и плоскости Ж3 = 0. Можно показать, что след на обязан принадлежать ¿2,д(Х'2') с д(х^ ) = [/2(х\) — Ж3]1/2 (несколько иные свойства следов для v £ #1(Х'3') изучались в [8]). Поэтому пространство — гильбертово. Для него применимы также
теоремы аппроксимации, подобные приведенным.
Если в данном пространстве
определить его подпространство G1'1 (Х'3'; Х'2'; [Xq2']) за счет условия равенства нулю следов элементов на [Xq2'] ([Xq2'] есть часть поверхности вращения, состоящая из точек с Ж3 ^ 0), то и в этом случае можно также получить
(2)
теоремы аппроксимации при помощи гладких функций, равных нулю на [Х^ ].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Д ьяконов Е.Г. Аппроксимации в усиленных пространствах Соболева для трехмерных областей с нерегулярной границей // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2004. № 1. С. 16-24.
2. D'yakonov Е. G. Optimization in solving elliptic problems. Boca Raton: CRC Press, 1996.
3. D'yakonov E.G. Operator problems in strengthened Sobolev spaces and numerical methods for them // Lect. Notes Сотр. Science. 1997. 1196. P. 161-169.
4. Дьяконов Е.Г. Оценки iV-поперечников в смысле Колмогорова для некоторых компактов в усиленных пространствах Соболева // Изв. вузов. Математика. 1997. № 4 (119). С. 32-50.
5. Дьяконов Е.Г. Энергетические пространства и их применения. М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2001.
6. Дьяконов Е.Г. Некоторые типы усиленных пространств Соболева в случае многомерных областей с нерегулярной границей // Докл. РАН. 2003. 390. № 1. С. 19-23.
7. D'yakonov E.G. Asymptotically optimal algorithms for stationary problems in energy spaces // HERMIS-дтг. 2002. 3. P. 25-50.
8. Maz'ya V.G., Poborchii S.V. Differentiable functions on bad domains. Singapore: World Scientific Publishers, 1997.
9. Дьяконов Е.Г. Усиленные пространства Соболева для областей с нерегулярной границей // Тр. МИАН. 2003. 243. С. 213-219.
Ю.Дьяконов Е.Г. Метод разрезов для некоторых многомерных стационарных задач // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1999. № 2. С. 9-16.
11. Волевич Л.Р.,Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // УМН. 1965. XX. Вып. 1 (121). С. 3-74.
Поступила в редакцию 07.06.04
УДК 517.958:533.9
В. А. Вознесенский, Д. Ю. Сычугов
МОДЕРНИЗИРОВАННЫЙ ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА МГД-РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЕННОГО ШНУРА В ТОКАМАКЕ
(кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМиК, Российский научный центр "Курчатовский институт")
1. Введение. Задача расчета МГД-равновесия является классической и включается во всякий пакет программ, моделирующих процессы в плазме токамака. Первые работы в этом направлении появились свыше 20 лет назад [1, 2]. По мере развития эксперимента требования к таким программам ужесточались. Примером современного высокоразвитого кода может служить ЕР1Т [3], а также ТОКАМЕС] [4], применяемый при проектировании токамака Т-15М [5, 6].
В данной работе проведена модернизация классической схемы расчета МГД-равновесия. Создан код ТОРОЬ, не требующий подбора параметров для сходимости итерационных процедур. Результаты методических и физических расчетов показывают высокую эффективность нового метода.
2. Постановка задачи. Рассмотрим уравнения МГД-равновесия в токамаке (расстояние измеряется в метрах, ток в мегаамперах (MA), магнитное поле в теслах (Тл), магнитный поток в вольт-секундах (B.c.)) [7]:
±Д*ф ЕЕ #-г r or
1 дгр
г дг
+ = -0,8тг2<|
' jv{r, ф-фр), ф > фр, (в плазме),
JV
Ф{ 0,г) = 0,
lim ф(г, z) = 0.
Е hS(r -rk,z- zk), ф < фр, k= 1
r.z^-oс
