Аппарат математического моделирования процессов промерзания протаивания грунтов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

%

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

НАУКИ

УДК 625-855-3 А. М. ЗАВЬЯЛОВ

Е. А. БЕДРИН М. А. ЗАВЬЯЛОВ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия, г. Омск

АППАРАТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ПРОМЕРЗАНИЯ - ПРОТАИВАНИЯ ГРУНТОВ__________________________________________________

Рассматриваются уравнения математической физики: уравнение Фурье и уравнение теплопроводности как аппарат математического моделирования процессов промерзания— протаивания грунтов. Приводятся квадратурные решения рассматриваемого процесса. Ключевые слова: процесс промерзания — протаивания; закон Фурье; уравнение теплопроводности; теплообмен.

Прогноз возможного состояния, деформаций и показателей водно-теплового режима дорожных конструкций требует выполнения теплотехнических расчетов промерзания и протаивания грунта. Направленное регулирование водно-теплового режима дорожных конструкций позволяет добиться сезонной стабильности деформационных и прочностных характеристик грунтов в зависимости от температуры и влажности и является одним из наиболее эффективных путей обеспечения прочности и долговечности дорожных конструкций.

Основным аппаратом, применяемым для математического моделирования процессов промерзания — протаивания грунтов, являются следующие фундаментальные законы и уравнения. Закон Фурье:

q =-1 grad (T) , (1)

где q — плотность теплового потока (количество переносимой энергии); grad(T) — градиент температур; T— температура; 1 —коэффициент теплопроводности; вектор градиента.

-if} ї 2 Рис. 1. График функции erfc( U)

, ,T) I -Т -Т -Т

grad (T)=l>-I- <2>

Иначе, используя оператор Гамильтона

v-fA ААЇ

_ I дх ’ -у ’ -z I' вектор градиента температур можно записать

grad(T) - V • T , (3)

а закон Фурье представить как

q — -1 • V • T . (4)

Уравнение теплопроводности:

ST

C’< її ——V1'V T), (5)

где Cg — объемная теплоемкость; /—обозначения грунтовых слоев; i — время.

Выражение (5) можно записать также в виде

где

А —

dh

St

Ід2 д2 д2 ^

-------1--------1-----

дх ду dz

— ai А Ti

(6)

Ti — Ti +1 — 0.

(8)

ятельном слое) и многолетнемерзлой толще, если тепло переносится посредством теплопроводности, запишутся в виде [2]

Cgn дГП = V(VVTn); с>д it=v(l«V T");

-т

сум -Гг — v(1m •v^TM).

"gM dt На границе оттаивания

Лд •V •Тд - 1м •V^ Tm ) dS — s W —

ТД — TM — 0 '

(9) (10) (11)

dV

d7' (12)

(13)

— оператор Лапласа; х, у, z —

= А_

метрические координаты; а с —коэффициент

П

температуропроводности г-го слоя грунта.

А также граничные условия, прежде всего на границах фазовых переходов, которые обычно представляются одной из форм условия Стефана [ 1 ]

-V. Т -1+1 -V. Т+1) dS = sWdV, (7)

здесь S — поверхность границы фазового перехода; а—удельная (скрытая) теплота плавления льда; Ш— влажность грунта; У—объем зоны фазового перехода, и начальными условиями

В общем случае уравнения переноса тепла в надпочвенном покрове, слое сезонного промерзания (де-

где П, Д, М — индексы величин, характеризующих напочвенный, деятельный и многолетнемерзлый слои соответственно.

В задачах, исследующих процессы теплообмена, как правило, известными предполагаются следующие параметры:

— температура воздуха, скорость ветра, мощность и плотность снежного покрова (климатические параметры);

— затрата тепла на испарение, радиационный баланс поверхности, коэффициент турбулентного обмена;

— скрытая (латентная) теплота фазовых переходов воды (льда), коэффициенты тепло- и температуропроводности, объемная теплоемкость (теплофизические свойства грунта);

— зависимость количества незамерзшей влаги в мерзлых грунтах от температуры.

Решениями поставленной задачи являются такие зависимости и величины, как:

— изменение температуры грунта на подошве деятельного слоя;

— глубина слоя годовых нулевых амплитуд;

— зависимость температуры от глубины слоя годовых нулевых амплитуд;

— динамика процессов промерзания — протаива-ния и мощность деятельного слоя.

Для решения задач с фазовыми переходами часто применяют метод Лейбензона [3], заключающийся в том, что нестационарный процесс теплообмена представляется последовательной сменой стационарных состояний.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

Анализ методов решения рассматриваемых уравнений показывает, что получаемые решения весьма чувствительны к краевым условиям задачи. Последнее обстоятельство позволяет высказать гипотезу о принадлежности задач, моделирующих процессы промерзания — протаивания грунтов к объектам нелинейной науки [4].

В условиях установившегося режима теплового процесса, в частности, одномерного кондуктивного теплообмена, дифференциальное уравнение (1) при наличии источников и стоков p(x), распределенных в исследуемой зоне, имеет вид

_-_

дх

А( )-Т

А(х )~дГ

дх

- Р(х) — 0.

(14)

В результате интегрирования выражения (14) получаем следующее распределение температуры по глубине рассматриваемых грунтов

Г2

Т — 1 Г1

1

IH

А(х)

Y

1 р( x)dx

V о

dx

(15)

здесь граничные условия при x=0, T=T 1; при x=H,

T=T.

2

В том случае, когда 1(x)= l = const; p(x) = p = const, уравнение (14) принимает более простой вид

-Г |-Р — 0

dx V дх 1 .

(16)

После интегрирования с учетом граничных условий получим формулу, описывающую распределение температуры грунтов при наличии равномерно распределенных источников (или стоков) тепла

- 2Г

■ — a——; Х<х<ю;

9T

dt дхг

T(x, 0) = To; T(X, t) = Ti;

T(¥, t) = T0; X = a04t , где a0 - const.

В данном случае имеется квадратурное решение [ 1]

T — T0 -

erfc

2^a

erfc

2^~at

(20)

где ег^с(^) рІе & (рис. 1); ^—аргумент.

Если X = а0л// рассматривать как координату подвижной границы фазовых переходов грунтов, то дифференцируя выражение (20) по х, находим плотность теплового потока |д| = q к этой границе х= X

q — А-

1

erfc| -^°= 42v a

exp

a0

2^[a

(21)

Таким образом, при описании тепловых процессов математический аппарат закона Фурье и уравнения теплопроводности взаимосвязаны и взаимодополняемы.

Вывод. Рассмотренный аппарат математического моделирования тепловых процессов, имеющих место при промерзании — протаивании грунтов, является достаточно полным.

Т=21 + Н - Т1- 21 Рн 2) *+Т1. (17)

При наличии источников (или стоков) тепла температурное поле грунтов (17) является нелинейным.

При отсутствии источников (или стоков), то есть при q=0, из выражения (17) получается линейное температурное поле

Г — H (Т2 - Ті) х + Ті.

(18)

-г

-х

/ х—H

pH , Т2 - Ті

21

- +

H

(19)

Библиографический список

1. Фельдман, Г.М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов / Г.М. Фельдман.—М.: Наука, 1973. — 254 с.

2. Шур, Ю.Л. Термокарст (к теплофизическим основам учения о закономерностях развития процесса) / Ю.Л. Шур.—М.: Недра, 1977. — 80 с.

3. Лейбензон, Л.С. Движения природных жидкостей и газов в пористой среде / Л.С. Лейбензон. — М.: ОГИЗ, 1947. — 244 с.

4. Пригожин, И. Неравновесная статистическая механика / И. Пригожин.—М.: Мир, 1964. — 314 с.

Формулы (17) и (18) позволяют определить распределение температуры грунтов по глубине при их заданной мощности.

Из формулы (17) следует также, что значение градиента температуры грунтов при x=H определяется как

Рассмотрим также в режиме одномерного теплового процесса уравнение теплопроводности (5). В ряде случаев это уравнение имеет квадратурные решения. Например, математическая формулировка задачи имеет вид

ЗАВЬЯЛОВ Александр Михайлович, доктор технических наук, профессор, проректор по научной работе. БЕДРИН Евгений Андреевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Экономика и управление дорожным хозяйством».

ЗАВЬЯЛОВ Михаил Александрович, доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики. Адрес для переписки: 644080, г. Омск, пр. Мира,5.

Статья поступила в редакцию 11.05.2010 г.

© А. М. Завьялов, Е. А. Бедрин, М. А. Завьялов

х

а

0

2