Анализ устойчивости координаты границы фазовых переходов при промерзании-оттаивании грунтов деятельного слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

НАУКИ

УДК 625.73 : 517.9 Д. М. ЗАВЬЯЛОВ

М. А. ЗАВЬЯЛОВ Е. А. БЕДРИН

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия, г. Омск

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ КООРДИНАТЫ ГРАНИЦЫ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ПРИ ПРОМЕРЗАНИИ-ОТТАИВАНИИ ГРУНТОВ ДЕЯТЕЛЬНОГО СЛОЯ_____________________

Проведен анализ устойчивости координаты границы фазовых переходов при геокриологических процессах в грунтах деятельного слоя. Установлено, что рассматриваемая точка является асимптотически устойчивой (аттрактором). Ключевые слова: асимптотическая устойчивость, условие Стефана, координата границы фазовых переходов, грунты деятельного слоя.

Расчет процессов промерзания — оттаивания деятельного слоя грунта, как правило, сводится к решению системы дифференциальных уравнений теплопроводности в талом и мерзлом грунтах совместно с условием Стефана на движущейся границе фазовых переходов.

Условие Стефана запишем в виде

1 т тп 1 м Т0 1 йХ

------1---------= аю — )

Х т -1 Х й' 1

здесь 1 , 1м — коэффициенты теплопроводности талого и мерзлого грунтов соответственно; Х — координата границы фазовых переходов (глубина промерзания-оттаивания грунта); Тп, Т0 — значения температуры соответственно на поверхности деятельного слоя грунта при х=0 и на границе годовых нулевых температурных амплитуд при х=Я; с — удельная теплота плавления льда; ю — объемная влажность (льдистость) грунта; т=Я/Х; ^ — время.

Интегрирование уравнения (1) позволяет получить

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (110) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

19

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (110) 2012

~777 777~

щшштшттштт

ШШШш 'ШШш ШШШт тшштштшштшттштш.

0 < V < ;

0 < л < »

тшштштшштшттштш.

~777

-777-

I -.она

'шттттттттш.

тшштшттшт

т.

'тттжршпшпш

" -"на

тшштшштштшштштшшт.

X < л < К

гттштттшттштттттттт

тттштттттш-

'шттттттж.

./ттштттшттштттттттт

Рис. 1. Расчетная схема промерзания - оттаивания деятельного слоя грунта:

I зона - выше границы фазовых переходов;

II зона - ниже границы фазовых переходов

зависимость движения координаты границы фазовых переходов от времени

2і

1 т Тп + -

1 м Т0

т -1

(2)

Введение в расчетную схему постоянного во времени отношения радиуса влияния к глубине расположения границы фазовых переходов — т позволяет записать в зоне грунта, расположенной ниже границы фазовых переходов Х<х<Я (рис. 1), следующее выражение стационарного распределения температуры:

ехр

24а

(6)

С другой стороны, величину теплового потока при введении радиуса влияния можно определить как

Ч

х=Х

= 1-

Т — т

10 1 зам

Я — а04і

(7)

Приравнивая правые части выражений (6) и (7), получим

я 4ж

т = — = 1 +----------------егіс

где

2у

у = «о/^л/а.

(У) ехр (у 2)

(8)

(9)

Как видно из выражений (8) и (9), отношение т= =Я/Х не зависит от времени. Однако процесс вычисления значения т весьма трудоемкий.

Проанализируем теперь устойчивость по Ляпунову устойчивость координаты границы фазовых переходов при промерзании — оттаивании деятельного слоя грунта для случая, когда эта координата определяется по формуле (2).

Иначе говоря, обратимся к качественному исследованию следующего обыкновенного дифференциального уравнения:

Ш =, к) = —»,

Л дX

(10)

— (х - X)

(3) где и = -1ї(г)ёг, X(о) = Хо, функция и — потенциал.

Исследование величины т как функции скорости движения границы фазовых переходов и коэффициента температуропроводности гранта в зоне Х<х<¥ приведено в работе [1] на основе квадратурных решений задачи фазовых переходов с подвижной границей.

Математическая постановка задачи имеет вид [1]

Хо

Вернувшись к условию Стефана и продифференцировав выражение (2), получим формулу (10) в виде

2а а і

я - X

д и

дX '

(11)

д2Т

дх

дТ дґ

Т (х, 0) = То Т (X, і) = Тз, т К ґ) = То X = а0л/1,

(4)

здесь Тзам — температура грунта на границе фазовых переходов; а — коэффициент температуропроводности грунта в области Х<х<¥; а0 — параметр, характеризующий скорость движения границы фазовых переходов.

Решение этой системы имеет вид

Т(х,і) = То - -

:(а0/2л/а)

егіс

( \ х

2л[а1

(5)

Определим наличие особых точек из условия

ди

=0

дX

или ї (X) = 0.

Тогда

X = о.

Откуда следует, что

Я 1м То т = — = 1--------------

X

Ят Тп

(12)

(13)

(14)

А значение особой точки X0 определится как

Xо =

(15)

Дифференцируя выражение (5) по переменной х и умножая на 1, найдем величину теплового потока Ч к границе x=X

Кроме того, минимум потенциала и соответствует неустойчивым, а минимум — устойчивым точкам. Условие экстремума в точке Х0 запишем в виде

Т - Т

0 зам

1

а

0

Ч

X

К

л

X

X

а а

1

Т -Т

0 зам

З 2и (Хо)

* о

Зі (Хо)

или

* 0

(16)

д£2 “““ д%

В нашем случае для любого X имеет место неравенство

1

З2и 1

ЗХ2 2

1

2ст® і 1

2аю і (Я - Х)2

я - Х

> о

(17)

Значит, в точке Х0, определяемой формулой (15),

З 2и

имеем минимум потенциала, так как выражение

ЗХ2

всегда положительно при любом значении £■ А это, в свою очередь, означает, что в точке Х0 состояние равновесия асимптотически устойчиво, то есть точка Х0 является аттрактором [2].

Покажем также, что именно потенциал и и является функцией Ляпунова [3], действительно

.£и.,(Х).-,2({)£ 0

йі ЗХ йі ЗХ

Таким образом, координата границы фазовых переходов в процессе промерзания-оттаивания является асимптотически устойчивой точкой, то есть не зависящей фатально от малых колебаний начальных температур. Безусловно, при изменении значений начальных температур инерционно будут меняться и теплофизические параметры грунта деятельного слоя, что повлечет за собой изменение исследуемой координаты, но все-таки более существенное влияние на устойчивость координаты границы оказывают различные техногенные процессы, происходящие в деятельном слое грунта.

Выводы.

1. Координата границы фазовых переходов в процессе промерзания — оттаивания грунта деятельного

слоя, когда значения величин его теплопроводности и температуропроводности инвариантны, является асимптотически устойчивой точкой, то есть аттрактором.

2. Устойчивость координаты границы фазовых переходов означает ее малую чувствительность к начальным значениям температуры при условии стабильности значений основных теплофизических параметров грунта деятельного слоя.

3. Реализованный подход позволил получить формулу, выражение (14), для вычисления значения, не зависящего от времени, отношения т, которое играет важную роль в расчетах динамики геокриологических процессов.

Библиографический список

1. Фельдман, Г. М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов / Г. М. Фельдман. — М. : Наука, 1973. — 254 с.

2. Странные аттракторы / Под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Ши-льникова. — М. : Мир, 1981. — 256 с.

3. Райсенг, Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Райсенг, Г. Сансоне, Р. Конти. — М. : Наука, 1974. — 318 с.

ЗАВЬЯЛОВ Александр Михайлович, заслуженный работник высшей школы РФ, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры высшей математики.

ЗАВЬЯЛОВ Михаил Александрович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры высшей математики.

БЕДРИН Евгений Андреевич, кандидат технических наук, доцент, докторант кафедры экономики и управления дорожным хозяйством.

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 11.01.2012 г.

© А. М. Завьялов, М. А. Завьялов, Е. А. Бедрин

2

Х

Я

Книжная полка

51/К19

Канева, О. Н. Основы дискретной математики : учеб. пособие для вузов по направлению подгот. ВПО 010400 «Информационные технологии» (010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии) / О. Н. Канева ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. - 83 с. - 1БВЫ 978-5-8149-1158-2.

В учебном пособии даны основы дискретной математики, необходимые для успешного освоения дисциплин, связанных с информатикой и программированием. Приведены необходимые фундаментальные понятия: множества, графы, отношения и булевы функции.

51/К95

Кучеренко, М. В. Применение программно-статистических комплексов при обработке данных : учеб. пособие / М. В. Кучеренко, Р. Н. Иванов, П. В. Одинцов ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. - 83 с. -1БВЫ 978-5-8149-1164-3.

Рассмотрены основные вопросы, касающиеся применения программно-статистических комплексов для анализа и обработки статистических данных. В практической части пособия даны решения конкретных статистических задач при помощи различных пакетов прикладных программ.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (110) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ