CC BY-NC
11
DOI: 10.24937/2542-2324-2022-3-401-139-144 УДК 621.372.8+534.13
А.А. Клещёв
Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, Санкт-Петербург, Россия
АНИЗОТРОПНЫЕ ТВЕРДЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫ
Объект и цель научной работы. В статье изучается поведение анизотропных упругих тел цилиндрической формы (ортотропной оболочки и трансверсально-изотропного стержня). Цель - нахождение фазовых скоростей упругих волн в этих телах с помощью приближений тонких оболочек и строгого подхода на основе динамической теории упругости с использованием потенциалов «типа Дебая». В предыдущих исследованиях анизотропных структур использовались анизотропные среды или анизотропные полупространства.
Материалы и методы. В работе используются как приближенный метод тонких оболочек, так и строгий подход на основе динамической теории упругости и потенциалов «типа Дебая».
Основные результаты. Получены уравнения для нахождения фазовых скоростей упругих волн в анизотропных телах цилиндрической формы. Вычислены фазовые скорости продольных и изгибных волн в анизотропном цилиндрическом стержне.
Заключение. В результате проведенных исследований удалось найти соотношения для вычисления фазовых скоростей упругих волн в ортотропной оболочке и трансверсально-изотропном стержне.
Ключевые слова: анизотропия, потенциалы «типа Дебая», ортотропная оболочка, динамическая теория упругости, фазовая скорость.
Автор заявляет об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2022-3-401-139-144 UDC 621.372.8+534.13
A.A. Kleschev
Saint Petersburg State Marine Technical University, St. Petersburg, Russia
ANISOTROPIC SOLID CYLINDRICAL WAVEGUIDES
Object and purpose of research. The article studies the behavior of anisotropic elastic bodies of cylindrical shape (orthotopic shell and transversely isotropic rod). The intention is to find the phase velocities of elastic waves in these bodies using thin shell approximations and a rigorous approach based on the dynamic theory of elasticity using "Debye type" potentials. In previous studies of anisotropic structures, anisotropic media or anisotropic half-spaces were used. Materials and methods. Both an approximate thin shell method and a rigorous approach based on the dynamic theory of elasticity and "Debye type" potentials are used in the paper.
Main results. Equations for finding the phase velocities of elastic waves in anisotropic cylindrical bodies are obtained. Phase velocities of longitudinal and bending waves in anisotropic cylindrical rod are calculated.
Conclusion. As a result of the conducted research relations for calculating the phase velocities of elastic waves in an ortho-tropic shell and a transversely isotropic rod were found.
Keywords: anisotropy, Debye-type potentials, orthotopic shell, dynamic theory of elasticity, phase velocity. The author declares no conflicts of interest.
Плоский жидкий волновод с анизотропным (транс-версально-изотропным) дном подробно исследован в [1]. А в этой статье мы сосредоточимся на изучении твердых анизотропных волноводов цилиндрической формы.
Подобные изотропные цилиндрические волноводы (сплошные и оболочечные) достаточно хорошо исследованы, но в прикладных задачах часто приходится иметь дело с анизотропными цилиндрическими телами, поэтому изучение фазовых
Для цитирования: Клещёв А.А. Анизотропные твердые цилиндрические волноводы. Труды Крыловского государственного научного центра. 2022; 3(401): 139-144.
For citations: Kleschev A.A. Anisotropic solid cylindrical waveguides. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2022; 3(401): 139-144 (in Russian).
скоростей упругих волн в подобных структурах является актуальным.
Рассмотрим бесконечную ортотропную тонкую цилиндрическую оболочку, у которой ось Z, вдоль которой бежит упругая волна, направлена вдоль третьей оси симметрии второго порядка.
Материал, из которого изготовлена оболочка, характеризуется девятью упругими модулями: A1b A12, A13, A22, A23, A33, A44, A55, Agg. Обобщенный закон Гука для ортотропного тела записывается в форме [2, 3]:
or = Aii£r + Ai2 еф + Ai3&z;
L12cф "
Оф = А12еr + А22£ф + A23ez ;
- A13er + А23£ф + A33ez ;
О
Тф - A44 У
где Or, с
фz
Trz - A55 Yrz ; TГф - A66Y
t гф •
(1)
ф, сг, тфг, тгг, тГф - компоненты тензора £<р, ег, Тгг, Тф^, Тгф - компоненты деформации, которые, в свою очередь, равны [3]:
£r -"
дг
1 дПф и
1 dU, уф z ----+
r дф
dUm dU.
Yrz-—- +
dz
dU,
г дф dz
диф иФ 1 dUr
dz dr
(2)
У Г ф л ^ л
дг г г дф
Уравнения динамического равновесия в круговой цилиндрической системе координат (при гармонической зависимости от времени ехр(/ю/) имеют вид [3]: д хг
Гф
дог 1 д t
—- + -
r дф
dr д t
1 2
-+-(Оr -Оф) + рю2^г - 0; dz r
r ф
1 д оф д t
dr д тГ,
+ —
r дф
Ф z
1 д T +--
dr r дф
dz д о .
Фz+-2t
Г ф
+ P®U - 0:
+ —- +1 Trz + pra2Uz - 0, dz r
(3)
где
Or - An
ОФ - A12
о - A-
dU A12 дUф a
dr dUr dr dUr dr
A
дф
dU,„
дф
+-J2 Ur + A
+ A22 n + A,
A23 U + A23 „ + A
ТФ z
A44 dUz + A
+ A,
"r ф
дф
- a U- a66 ч
dr
дф dU_ф
dz
U ■
dz '
dU z
3 dz
dU z
' dz
44
dUr dU:
- ^55 Â + ^55
dz
dr
As6 и + A66 dUr r Ф r дф
(4)
Компоненты вектора смещения и(ПГ,иф)
в бегущей вдоль оси 2 упругой волне запишем в виде следующих разложений [3]:
Ur - elkz S со8(даф) Um (г);
m-0
да
Uф - elkz S зт(тф) Vm (г);
Uz - elkz S cos (тф) Wm (г),
m-0
(5)
где к - искомое волновое число упругой волны.
Подставляя (4) в (5), получим уравнения динамического равновесия в перемещениях [3]:
d2UГ dr2
d2UФ
-+ a2
d2U z
d2UФ
dUФ
r дф dr dzdr r дф dr r дф
a3 d2U, r дф
d2Ur
- + a4
d2U,
drdz
1 dUr a2 dU7 +--L + - 2 z
dr
dz
дUФ
дф
Ur--
a dU,
dz
- + a7Ur - 0,
(6)
где a, -
A
12 . _ _ A13 . „ _ Аб
A11
A
A11
A11
_ A55 . _ A22 . a л — ; aс — .
4 A A
11 11
A
A-
l23- a - -P®
au
d2Uф +1 d2UГ a8 d2UГ
д2UФ
dr r дф dr r д^ф r дф2
a9 dUr a10 d2Uz a11 d2 Uz
г дф r дzдф r дф dz
1 дUф
-+ a,
d2U ф
11 iz2"
ф 1 rr 1 dUr
+—-Г2 Ф + 7"U + a12UФ - 0,
r dr
где a8 - -
A12 A66
A22 A66
u10
A23
A66
A44 A66
рю
(7)
2
12
A66
d2Ur + + Oil dU +
dzdr dr2 r2 дф2
r дzдф
+ au
d2U r drdz
-+ a.
d2 U z 16 dz2
a15 d Uф r дф dz
a15 dUr 1 dUr 1 dUz -- +--- + —
dz r dz r dr
+ a^Uz - 0,
где a13 -
A A
44
14
.AU A
15
'A-
^16
A3
A
рю
(8)
2
17
A
+
Если теперь компоненты вектора смещения и (иг, иф, иг) заменить их разложениями (5) и подставить (5) в (6)-(8), то для радиальных функций ит (г), Ут (г), Шт (г) получим следующие уравнения [3]:
д1Um m(а1 + a3) дУт . д^т
т- +——-——т + (а2 + а4) гк т
дr 2
r
дr
дr
Vm -a3m2Um - a4^U +1 U + r r
r дт
(a2 - a6);!
a^
ikWm +1 a7 --5. Um _ 0
17 ' 2 I w m
r2 1
d2Vm + m (1 + a8) dUm _ m1 a9 y - ^^ J +
дт 2
дт
+ \_dVm_ _ m (a10 + a11) ikw _ k2y + T ln-,r m "11Л "m T
r дт T
( 1 ] m
+ 1 a12 _ ~ï I Vm _ Um = 0
(1 + a14) ik-
ди^ д2Wm m2 a13
дт дт
,2 „2
w +
дV 1 m ,
m J_y и _ 0-
m m
дт т т дW„
r _a r _b
i k ^Jm +-
дт
- 0.
r _a r _b
Um (r) _S Xnf
Vm (r) _S Уп t"
n_0
Wm (r) _S Zn t"
Разложения (15) подставим в граничные условия (12)—(14), в результате получим 6 уравнений относительно 3(М + 1) неизвестных коэффициентов х„, у„, [3]:
, N ( к V1 N
^ 2 хпп£ 1)п-1 + а,тI Я0 + к | 2: упп(^)п +
2 j n _ 0 V1
+a11 ^0 + S Xnn(t1)n + a2ik S Znn(t1)n _ 0, (16)
2 j n _ 0 n _ 0
(9)
„ a _ R0 , . где t1 _-0 ; h _ a - b ;
R
0
N,
h ]-1 N1
Ro S xnn(_t1)n-1 + am| r0-- I S УпП("t +
n _ 0 v 2 j n _ 0
+ a U _ -] S Xnn(_t1)n + a2ikS Znn(_t1)n _ 0, (17)
v 2 j n _ 0 n _ 0
(10)
i N1 i ( h ]_' N1
тгк 2
+-(а13 + а15)Ут - к аЛ -
Г
-гк^ит +1 ^ + а17 ^ = 0. (11)
г г дг
К уравнениям (9)—(11) добавляются граничные
условия об отсутствии напряжений сг, тгф, тгг, на
внешней (г = а) и внутренней (г = Ь) поверхностях
оболочки [3]:
дит + ^ т^ + ^ ит + а2гкГт|г=а = 0; дг г г г=ь
R0-1 Sупп(t1)n-1 _l R0 + 2 Г Sуп (t1)n _
n _ 0 v 2 j n _ 0
h ]-1 N1
-m|R0 + - I S Xn (t1)n _ 0,
2 j n_0
(18)
1 N1 1 ( h ]-1 N1 Ro1 УпП (_t1)n-1 -| R0 -- I S УП (_t1)n
n_0 V 2 J n_0
( h ]-1 N1 -m | R0 - - I Xn (-t1)n _ 0,
V 2 J n_0
(19)
(12)
(13)
(14)
Для тонких оболочек целесообразно использовать разложения по степеням £ = 2/Я0, где Я0 = (а + Ь)/2 - средний радиус, а г = г - Я0 - координата, отсчитываемая от средней поверхности [2-4]:
(15)
N N
гк II хпп(Ъ)п + Я--11 2пп&)п-1 = 0, (20)
п=0 п=0
N N1
г к 2 Хпп )п + Я0-12 2пп )п-1 = 0 . (21)
п=0 п=0
Остальные уравнения можно получить, подставив разложения (15) в уравнения (9)-(11) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях £ [3]:
хп+2 (п + 2)( п +1) + хп+1 (п +1)(2 п + 1) +
[ 2 2 2 2 П
п - т а3 - а5 + Я0(а7 - к а4) I +
+ хп-12Я02(а7 - к 2 а4) + хп-2 Я2(а7 - к 2 а4) +
+ уп+2 (п + 1) т(а1 + а3) + упт [п(а1 + а3) - а3 - а5 ] +
+ гп+1гк (а2 + а4) Я0 (п +1) +
+ гпЯ0гк [2п(а2 + а4) + а2 - а6 ] +
+ гп-1Я0гк [(п -1)(а2 + а4) + а2 - а6 ] = 0; (22)
r
- xn+1m(1 + a8)(n + 1) - xnm [n(1 + a8) + R0 a9 +1] -
- Xn-R ma9 + >>n+2 (n + 2)( n + 1) + yn+1 (2 n +1)( n + 1) + + yn |^n2 - R0m2a9 -1 + R2(a12 - k2an)] +
+ Уп-Л(2Roa12 -m2a9 -2Rqa„k2) +
+ Уп-2RO (a12 -ank2)-ZnR0ikm(ai0 + a11)-
- z^R^km^^ + an) = 0; (23)
xn+1ik(1 + a14)R0 (n + 1) + xnikR0 [2n(1 + a14) +1 + a15 ] +
+ xn_1ikR0 [(n -1)(1 + a14) +1 + a15 ] + ynikmR0 (a15 + a13) +
+ yn-1ikmRo (% + %) + Zn+2 (n + 1)(n + 2) +
+ z„+1 (n +1)(2n +1) + zn \n2 - m2a13 + Rq2 (an - k2a^)] +
+ Zn-12R(3 (a17 - k2a^) + z„-2RW - k2= 0. (24)
Необходимо использовать 3(N1 + 1) - 6 уравнений (22)-(24), при этом для n = 0 и n = 1 коэффициенты с отрицательными индексами следует считать равными нулю. Тогда совместно с уравнениями (16)-(21) образуется однородная система 3(N1 + 1) уравнений относительно коэффициентов xn, yn, zn. Приравнивая определитель (порядка 3N1 + 3) этой системы к нулю, что обеспечивает ее нетривиальное решение, и раскрывая его, мы получим характеристическое уравнение для отыскания волновых чисел k упругих волн моды m в ортотропной цилиндрической оболочке.
Фазовые скорости упругих волн в трансвер-сально-изотропном упругом стержне изучены в работе [5]. Автор использовал представление вектора смещения и, предложенное еще В.Т. Бухвальдом в [6] при изучении волн Рэлея в трансверсально-изотропной полубезграничной среде.
Это представление отличается от традиционного появлением дополнительного слагаемого:
U = grad Ф - rot A - grad W,
(25)
при этом grad Ф имеет компоненты только на г и ф, а grad ¥ - только на г, векторный потенциал А имеет только одну отличную от нуля компоненту Аг: А (0,0, Аг).
С учетом сказанного компоненты вектора смещения и принимают вид в круговой цилиндрической системе координат [5]:
д Ф 1 дАг
U
—
дr r дф
U = 1 дФФ - .
ф r дф дr д W
U, =-
дz
(28)
Тогда уравнения динамического равновесия принимают вид [5] :
A
( д2 Ф 1 д Ф 1 д2 Ф —
дr2 r дr r дф2
. чд2W д2Ф
- ( A13 - A4A)~T = Pi"
- A.
д2 Ф дz
дz
дt2
(29)
(A13 - A44)
д2Ф 1 д Ф 1 д2Ф
--
дr2 r дr r2 дф2
- A,
д2 W 1 д W 1 д2 v
—7-—
дК r дr r дф2
- A.
д^ д2 W
L33 , 2 = pi . 2
дz2 дг2
(30)
2 (A11 A12)
( д2A -1 д A 1 д2A,
- A,
д2 A,
v дr2 r дr r2 дф2 j д2 A,
-44 . 2 = pi . 2
дz2 дг2
(31)
где р1 - плотность материала стержня.
Уравнение (31) для А2 отделилось, а уравнения (29) и (30), содержащие потенциалы Ф и ¥, оказались связанными. В окончательном виде разложения для потенциалов Ф, ¥ и Аг по цилиндрическим функциям (при гармонической зависимости от времени) принимают вид [5]:
ф _ £ (Р1Г) + д2Ст1т (р2г)]осз(тф)х] ^
т_о [х ехр [г (кг - Ш)] ]'
^ _ £ Г^ BmJm Ф1 Г) + CmJm (Р 2Г)]сс5(тф) х] ^ т_0 [х ехр [г (кг - Ш/)]
Az = g DmJm(у r)sinm0exp[i(kz - at)],
(34)
где к - волновое число упругой волны в стержне; Вт, Ст и Бт - неизвестные коэффициенты разложений.
12 , , 4 1 2 „
А 11
?1 _
Ajißi - (A44k2 - Pi®2). (A13 - A44)k
(26) q2 = -
(A13 - A44)k
Aiiß2 - ( A44 k2 - pi a2)
2 = 2(ptm2 - A44к2). A11 - A12 ß? = (E - А)/(2 AnA44); ß 2 = (E + А )/(2 An A44); А = yjE2 - 4 A11A44 F; F = (р1Ю2 - A44k2)(р1ю2 - A33k2); E = (A13 + A44)2 к2 + А11(р1ю2 - A33k2) + +A44(p1ra2 - A44к2).
Фазовые скорости продольных и изгибных волн представлены на рис. 1 и 2 соответственно. Эти значения пронормированы скоростью
Св =4 Eal Pl >
где Ea = A33 - 2 A2 /(An - A12).
Из последних по времени исследований упругих волн следует отметить работы [7, 8]. Автор статьи [7] рассмотрел напряженно-деформированное состояние упругой неограниченной пластины в процессе распространения фундаментальной моды симметричной волны Лэмба. Авторы работы [8] построили математическую модель динамики геометрически нелинейных (гибких) микрополярных упругих тонких пластин в декартовых и криволинейных координатах.
В результате выполненных исследований, описанных в статье, удалось получить соотношения для вычисления фазовых скоростей упругих волн в ортотропной цилиндрической оболочке и транс-версально-цилиндрическом стержне. В последнем случае были вычислены фазовые скорости продольных и изгибных волн.
Список использованной литературы
1. КлещёвА.А. Плоский волновод с анизотропным упругим дном // Акустика океана : доклады XVII школы-семинара им. акад. Л.М. Бреховских, совмещенной с XXXIII сессией Рос. акустического о-ва. Москва : Ин-т океанологии им. Ширшова, 2020. С. 60-65.
2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. 2-е изд., перераб. и доп. Москва : Наука, 1977. 415 с.
3. Клещёв А.А. О фазовых скоростях упругих волн в тонкой ортотропной цилиндрической оболочке // Сборник трудов XI сессии Рос. акустического о-ва. Москва : ГЕОС, 2001. Т. 1. С. 241-244.
4. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Ленинград : Судостроение, 1989. 301 с.
С/С„ 2,5 2 1,5 1
0,5 0
(0,4)
\0,3)
(0,1) (0,2) v
1
fa, мм МГц
Рис. 1. Фазовые скорости продольных волн в трансверсально-изотропном стержне
Fig. 1. Phase velocities of longitudinal waves in a transversely isotropic rod
c/c,
0
1
fa, мм МГц
Рис. 2. Фазовые скорости изгибных волн
в трансверсально-изотропном стержне
Fig. 2. Phase velocities of bending waves
in a transversely isotropic rod
5. Ahmad F. Guided waves in a transversely isotropic cylinder immersed in a fluid // Journal of the Acoustical Society of America. 2001. Vol. 109, № 3. P. 886-890. DOI: 10.1121/1.1348299.
6. Buchwald V.T. Rayleigh waves in transversely isotropic media // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1961. Vol. 14, No. 3. P. 293-318. DOI: 10.1093/qjmam/14.3.293.
7. Мокряков В.В. Напряжения в симметричной волне Лэмба среднего диапазона. Исследование внутренней волны // Акустический журнал. 2022. Т. 68, № 2. С. 119-128. DOI: 10.31857/S032079192202006X.
8. Саркисян А.А., Саркисян С.О. Собственные колебания микрополярных тонких пластин в декартовых и криволинейных координатах // Акустический журнал. 2022. Т. 68, № 2. С. 139-151. DOI 10.31857/ S0320791922020083.
References
1. Kleshchev A.A. A planar waveguide with an anisotropic elastic bottom // Ocean Acoustics : reports of the XVII school-seminar of Academician L.M. Brekhov-skikh, combined with the XXXIII session of the Russian Acoustic Institute. Moscow : Shirshov Institute of Oceanology, 2020. P. 60-65 (in Russian).
2. Lehnitsky S.G. Theory of elasticity of an anisotropic body. 2nd edition, updated and revised. Moscow : Nauka, 1977. 415 p. (in Russian).
3. Kleshchev A.A. On phase velocities of elastic waves in a thin orthotropic cylindrical shell // Transactions of the XI session of the Russian Acoustic Society. Moscow : GEOS, 2001. Vol. 1. P. 241-244 (in Russian).
4. Shenderov E.L. Radiation and sound scattering. Leningrad : Sudostroenie, 1989. 301 p. (in Russian).
5. Ahmad F. Guided waves in a transversely isotropic cylinder immersed in a fluid // Journal of the Acoustical Society of America. 2001. Vol. 109, No. 3. P. 886-890. DOI: 10.1121/1.1348299.
6. Buchwald V.T. Rayleigh waves in transversely isotropic media // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1961. Vol. 14, No. 3. P. 293-318. DOI: 10.1093/qjmam/14.3.293.
7. Mokryakov V.V. Stresses in the symmetric Lamb wave of the middle wavelength range. Investigation of the internal wave // Acoustic Journal. 2022. Vol. 68, No. 2. P. 119-128. DOI: 10.31857/S032079192202006X (in Russian).
8. SarkisyanA.A., Sarkisyan S.O. Natural oscillations of micropolar thin plates in Cartesian and curvilenear coordinates // Acoustic Journal. 2022. Vol. 68, No. 2. P. 139-151. DOI 10.31857/S0320791922020083 (in Russian).
Сведения об авторе
Клещёв Александр Александрович, д.ф.-м.н., профессор Санкт-Петербургского государственного морского технического университета. Адрес: 190121, Россия, Санкт-Петербург, Лоцманская ул., д. 3. Тел.: +7 (812) 783-15-46. E-mail: alexalex-2@yandex.ru.
About the author
Alexander A. Kleschev, Dr. Sci. (Phys.&Math.), Prof., St. Petersburg State Marine Technical University. Address: 3, Lotsmanskaya st., St. Petersburg, Russia, post code 190121. Tel.: +7 (812) 783-15-46. E-mail: alexalex-2@yandex.ru.
Поступила / Received: 23.05.22 Принята в печать / Accepted: 27.06.22 © Клещёв А.А., 2022
