CC BY-NC
12
DOI: 10.24937/2542-2324-2021-4-398-138-147 УДК 534.26
А.А. Клещёв
Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, Россия
ИЗОТРОПНЫЕ И АНИЗОТРОПНЫЕ УПРУГИЕ РАССЕИВАТЕЛИ ПОДВОДНОГО ЗВУКА
Объект и цель научной работы. В статье исследуются дифракционные характеристики изотропных и анизотропных упругих рассеивателей и показано, что для трансверсально-изотропных тел при определенной ориентации их плоскостей изотропии могут использоваться характеристики изотропных рассеивателей таких же размеров, формы и физических параметров.
Материалы и методы. Методы теории дифракции при решении граничных задач, уравнения динамической теории упругости применительно к изотропным и анизотропным телам.
Основные результаты. Вычислены модули угловых характеристик, относительные сечения обратного рассеяния изотропных и анизотропных рассеивателей различных форм.
Заключение. В результате проведенных исследований удалось доказать, что для трансверсально-изотропных тел различных форм при определенной ориентации их плоскостей изотропии и волнового вектора падающей плоской волны такие характеристики отражения, как относительные сечения обратного рассеяния и угловая характеристика рассеяния анизотропного тела, совпадают с аналогичными характеристиками изотропных тел таких же размеров, формы и упругих параметров.
Ключевые слова: дифракция, рассеиватель, анизотропия, относительное сечение обратного рассеяния, угловая характеристика рассеяния.
Автор заявляет об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2021-4-398-138-147 UDC 534.26
A. Kleschev
State Marine Technical University, St. Petersburg, Russia
ISOTROPIC AND ANISOTROPIC ELASTIC SCATTERERS OF UNDERWATER SOUND
Object and purpose of research. This paper discusses diffraction parameters of isotropic and anisotropic elastic scatterers, demonstrating that transversally isotropic bodies with a certain orientation of their planes of isotropy might be regarded as isotropic scatterers with similar size, shape and physical parameters.
Materials and methods. Diffraction theory methods in solution of boundary problems and equations of dynamic elasticity theory for isotropic and anisotropic bodies.
Main results. Calculation of moduli for angular parameters, as well as of relative back-scattering sections for isotropic and anisotropic scatterers of various shapes.
Conclusion. The studies demonstrated that if transversally isotropic bodies of various shapes have a certain orientation of their planes of isotropy and a certain vector of a plane wave falling onto them, their reflection parameters, like relative back-scattering sections and angular scattering characteristic of an anisotropic body are the same as those for isotropic bodies of similar size, shape and elasticity.
Key words: diffraction, scatterer, anisotropy, relative back-scattering section, angular scattering characteristic. The author declares no conflicts of interest.
Для цитирования: Клещёв А.А. Изотропные и анизотропные упругие рассеиватели подводного звука. Труды Крыловского государственного научного центра. 2021; 4(398): 138-147.
For citations: Kleschev A. Isotropic and anisotropic elastic scatterers of underwater sound. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2021; 4(398): 138-147 (in Russian).
Системы вытянутых и сжатых (сплюснутых) сфероидальных координат представлены на рис. 1.
Обозначим межфокусное расстояние через 2к0. Вытянутые сфероидальные координаты £, п, ф показанные на рис. 1а, связаны с прямоугольными координатами х, у, z преобразованием [1]:
х = Ло(1 - п2)1/2^2 -1)1/2 cos ф ;
У = ho(1 - П2)1/2Й2 - 1)V2sin ф ; z =
(1)
Радиальная сфероидальная координата £ и две угловые координаты п и ф меняются в следующих пределах: -1 < п < 1; 1 < £ < 0 < ф < 2п.
Для сжатых сфероидальных координат £, п, ф преобразование, подобное (1), выглядит следующим образом:
х = ho(1 - n2)V2(^2 +1)1/2 cos ф ; y = ho(1 - п¥2(£2 + 1)V2sin ф ;
z = ho
(2)
где -1 < n < 1; 1 < £ < да; о < Ф < 2п
В вытянутой сфероидальной системе координат поверхность £ = const > 1 является вытянутым эллипсоидом вращения с большой осью, равной 2h0£, и малой осью, равной 2ho(£2 - 1)1/2. Вырожденная поверхность £ = 1 представляет собой отрезок оси Z, соединяющей фокусы координатной системы, т.е. концы отрезка имеют координаты от Z = -h0 до Z = +h0.
Поверхность |n| = const < 1 является двуполостным гиперболоидом вращения с асимптотическим конусом, образующие которого проходят
через начало координат и составляют угол 9 = arccos n с осью Z. Вырожденная поверхность |n| = 1 - это та часть оси Z, для которой |Z| > h0. Поверхность Ф = const есть плоскость, проходящая через ось Z и составляющая угол ф с плоскостью (X, Z).
В сжатой сфероидальной системе координат поверхность £ = const > 0 представляет собой сжатый эллипсоид вращения с большой осью, равной 2h0(£2 + 1)12, и малой осью, равной 2h0£. Поверхность £ = 0 является круглым диском радиусом a = h0, который лежит в плоскости (X, Y) с центром в начале координат. Поверхность |n| = const < 1 -однополостный гиперболоид вращения с асимптотическим конусом, образующие которого проходят через начало координат и составляют угол 9 = arccos n с осью Z. Вырожденная поверхность |n| = 1 есть ось Z. Поверхность n = 0 представляет собой плоскость (X, Y), за исключением круглого диска £ = 0. Поверхность Ф = const - плоскость, проходящая через ось Z и образующая угол Ф с плоскостью (X, Z).
В пределе, когда фокусное расстояние 2h0 стремится к нулю, обе эти координатные системы сводятся к сферической системе координат. Для конечного 2h0 поверхность £ = const в каждом случае становится сферой, когда £ стремится к бесконечности; таким образом, h0£ ^ r; n ^ cos9 при £ ^ да, где r и 9 - сферические координаты.
Как известно, вытянутая и сжатая сфероидальные координатные системы принадлежат к 11-м ортогональным криволинейным системам координат, в которых переменные разделяются в скалярном уравнении Гельмгольца.
Для записи Лапласиана А в сфероидальных координатах нужно знать выражения для масштабных
a)
Г) = const
Рис. 1. Аналитические поверхности в системе вытянутых (а) и сжатых (сплюснутых) (b) сфероидальных координат
Fig. 1. Analytical surfaces in the system of prolate (a) and oblate (b) spheroidal coordinates
d/2 = h0
d!2 = h0
T] = const
(p = 7l/2
ф = const
= const
Ф = л/2
ф = const
множителей h1 = h 4, h2 = hn, h3 = Аф, которые соответственно равны
h = 2 - п2)1/2й2 -1)-1/2;
hn = hütf -n2)V2(i-n2)-1/2;
Al = hü(1 - n2)V2(- 1)V2
(3)
для вытянутой системы и
h = Aü(42 + n2)1/20;2 + 1)-1/2;
hn = hü(^2 + n2)V2(1 - n2)-V2: Al = hü(1 - n2)V2( + 1)V2
(4)
для сжатой системы координат.
При изучении упругих изотропных рассеивателей сфероидальной формы, облучаемых гармонической волной, основополагающими являются уравнение Ламе и вытекающие из него уравнения Гель-мгольца (скалярное и векторное) для скалярного Ф и векторного Ф потенциалов соответственно.
Схема решения осесимметричной задачи дифракции звука на упругом сфероидальном теле (вытянутом или сжатом) весьма схожа со схемой, принятой для цилиндра и сферы. Как и там, векторный потенциал Ф имеет в этом случае одну ненулевую компоненту Ф = Фф. Но в отличие от упругого цилиндра неизвестные коэффициенты разложений не находятся в замкнутой форме, а отыскиваются (методом усечения) из бесконечной системы уравнений. Трехмерная задача дифракции на упругом сфероидальном рассеивателе решается с помощью потенциалов Дебая U и V, через которые выражается векторная функция Ф в соответствии с представлением:
Ф = rotrot (RU ) + ik2 rot ( RV ), (5)
где R - радиус-вектор точки наблюдения, k2 - волновое число поперечной волны.
Эффективность такого представления становится очевидной, если учесть, что потенциалы U и V подчиняются скалярному уравнению Гельм-гольца. Удобно сначала записать компоненты Ф в сферической системе координат, выразив их через U, V и R, а затем по формулам векторного анализа перейти к сфероидальным компонентам.
Выражения для сферических компонент векторной функции Ф(ФR, Ф01, Фф ) через потенциалы Дебая имеют следующий вид [2]:
Ф01 =[hü(^2 -1 + n2) 1 [d / Эе^ / дR)(д2B / dÇ2) + + d / Э01 )(dn / àR)(ô2B / д^дп) + + d / dR)(dn / д01 )(д2 B / d^dn) + + (дп / dR)(dn / д01 )(д2 B / dn2) + + (ÔB / д^)(д2^ / дЯд01) +
+ (dB / дп)(д2 n / дRдеl )] + ik2 (sin 01 )-1 (д V / дф); (6)
WR = д / дR)2(д2 B / д£2) + + 2(d^ / дR)(дn / дR)(д2 B / dnd^) + + (dn / dR)2 (d2B / dn2) + (d2£, / dR2)(dB / d^) + + (д2 n / dR2)(dB / dn) + k22 B; (7)
Фф = [(42 -1 + n2)1/2 sin01 ho J1 x x [ (dÇ / dR)(d2B / д£ дф) + (dn / dR)(d2B / dn дф)] --ik2 [[ / d01 )(dV / d£) + (dn / d01 )(dV / dn)], (8)
где B = ho(42 - 1 + n2) U.
,2 - 1 + n2)1/2'
Сфероидальные компоненты Ф(Ф?, Фп , Фф ) будут равны [2]
функции
Фо = 2 ЕЕ
¥ ¥ (iгтБщп(C1,no)Sm,„(C1,n)xö
m=ü n>m
xR(m,n (Q, ^)cos тф
(9)
Выберем в качестве рассеивателя упругую изотропную сфероидальную оболочку (рис. 2). Все потенциалы - потенциал плоской волны Ф0, потенциал рассеянной волны Ф1 скалярный потенциал оболочки Ф2, потенциалы Дебая и и V, а также потенциал Ф3 газа, заполняющего оболочку - раскладываются в ряды по волновым сфероидальным функциям
Фо = 2 Е Е
¥ ¥ ii-n£mSm,n (C1, no)Sm,n C n) Xö
xR-Tn (C1, ^)cos mL
(10)
¥ ¥
Ф1 = 2 ЕЕ Bm,nSmn (C1, n) Rm3)n (C1, ^)cos mL; (11)
m=ün>m
Ф2 = 2 Е Е
m=0 n>m
Sm,n (Cl, n)cosmLx
[cmn„R{m]„ (Cl, $+D^n C, Ç)]
ö
(12)
Фз = 2 SS EmnC (C2, S) Sm,n (C2, n)cos mp; (13)
m=0 n>m
T1 = const
U = 2 SS
m=1 n>m
Sm,n (Ct, n)sin mPx
*[Fm,nR%n (Ct, S) + GmR
(2) (C £)]
',nV-t>S /J
V = 2 SS
m=0 n>m
Sm,n (Ct, n)cos mPx
x[HmnRml!n (Ct, S) + ImA2n C, £)]
; (14)
, (15)
где Cl = ^к0; Ct = k2h0; Cl = k - волновое число звуковой волны в жидкой среде; С2 = kзк0; ^ - волновое число в газе-заполнителе; Bmn, Cm,„, Dm,„, Em,„, Fm,„, Gmn, Нтп, 1тп - неизвестные коэффициенты разложений.
Коэффициенты разложений отыскиваются из физических граничных условий на обеих поверхностях (£0 и £1, рис. 2):
1. непрерывность нормальной компоненты смещения на обеих границах: £0 и £1;
2. равенство нормального напряжения в упругой оболочке звуковому давлению в жидкости (£0) или газе (£1);
3. отсутствие касательных напряжений на обеих границах оболочки: £0 и £1.
В соответствии с этим граничные условия примут вид [2]
^)-1(д / д£)(Ф0 + Ф1) = (^)-1(дФ2 / д£) + )-1 X
хГ(д/дп)(^уф)-(д/дф)(Ап^п)] I ; (16)
(hs )-1(дФз / д£) = (hs )-1(дФ2 / dS) + (hnhp )-1 x
x [(д / dnXhpy ф ) - (д / дфХ^п )] I
"S=Sx
- Xo k2 (Ф0 + Ф1) = -Х^2Ф 2 + 2^1 [(hs hn ) x x(dhs / дп) un + (hs )-1(д^ / dS)]
S=So -1
-X2k22Ф3 = -Ф2 + 2^1 [(hShn ) x x(dhs / дп) un + h )-1 (d^S / dS)]
S=S1
О = (hn / hs )(d / dS)(uп / hn ) + +(hs / hn)(d / dn)(us / hs ) |s=S0 ;
(17)
(18)
(19)
(20)
Рис. 2. Упругая сфероидальная оболочка в поле плоской падающей волны
Fig. 2. Elastic spheroidal shell in the field of plane incoming wave
O = (Аф / h^ )(ö / d£)(M(p / \) +
+(h / hф )(ö / / hs) |s=s0. (21)
s=si
Здесь и - коэффициенты Ламе материала оболочки; - коэффициент объемного сжатия жидкости; - коэффициент объемного сжатия газа, заполняющего оболочку:
us = (hs )-1(дФ 2/ öS) +
hф )-1 [(ö / ^П^фУф) - (ö / дф )(hn ) ];
un = (hn )-1(дФ 2/ дп) +
+(hs hф)-1 [(ö / öф)(hsVs) - (ö / ös)h ^ф) ];
Uф = (Аф)-1(öФ 2/ öф) +
+(hs hn)-1 [(ö / ös)(hnVn) - (ö / ön)(hs Vs) ].
Подстановка рядов (10-15) в граничные условия (17-21) дает бесконечную систему уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов. Из-за ортогональности тригонометрических функций cosmp и sinmp бесконечная система уравнений распадается на бесконечные подсистемы с фиксированным индексом т.
Каждая из подсистем решается методом усечения. Число удерживаемых членов разложений (1015) тем больше, чем больше волновой размер для данного потенциала. При переходе к вязкоупругой оболочке ее коэффициенты Ламе ^ и ^ становятся
<*0 90 80 70 60 50 40 30 20 10
0
Геометрическая акустика
1
С
Рис. 3. Относительные сечения обратного рассеяния а0 вытянутых сфероидов
Fig. 3. Relative back-scattering sections а0 of prolate spheroids
комплексными: ^ = ХД1 + /^i), Ц1 = + ¿Пг), где П1 и - коэффициенты потерь; сфероидальные волновые функции от комплексного волнового размера описаны в [3, 4].
Замена упругой оболочки жидкой произойдет, если положить ^i = 0 и F^n = Ощп = Ищп = 1щп = 0. Полая упругая оболочка соответствует = 0 и Emn = 0. При переходе от газонаполненной упругой оболочки к сплошному упругому сфероиду раз-
3 2
ю-1
5
10
2 -2
5
2
Ю-3 5
2 10^
3
Teoiv етрическг кустика п я п
• / 1
ß л A i у / / « / л
'/ \ // I ,! \ ч f M
il it 2 i\ / 1 i i
V •1 *
1 1 * 1
1
0
Рис. 4. Относительные сечения обратного рассеяния Оо сжатых сфероидов
Fig. 4. Relative back-scattering sections o0 of oblate spheroids
ложения (10) и (11) не меняются, потенциала Ф3 не будет, а разложения для потенциалов Ф2, и и V примут вид
¥ ¥ _
Ф 2 = 2 ЕЕ (С, По) <П (С, тф;
т=0 п>т
¥ ¥ _
и = 2 ЕЕ (С, По) <П (С, тф;
т=1 п>т
V = 2 ее h
m=0 n>m
m,nSm,n (Ct, По )Rm,)n (Ct, ^ cos mL.
Граничные условия (16-21) трансформируются при этом следующим образом: непрерывность нормальной компоненты смещения на границе «упругое тело - жидкость» (16) сохраняется; равенство давления в жидкости нормальному напряжению в упругом сфероиде (18) также сохраняется; не меняется условие отсутствия касательных напряжений на границе ^ = упругого сфероида и жидкости (20, 21). Соотношения (17) и (19) исчезнут.
На рис. 3 представлены а0 вытянутых сфероидов с соотношением полуосей 1:10 (^0 = 1,005) при осесимметричном облучении (00 = 0°). Относительное сечение обратного рассеяния а0 представляет собой отношение полной мощности, которую рассеивал бы фиктивный изотропный рассеиватель к мощности падающей на отражающий объект плоской волны от источника [2].
Сплошной упругий сфероид (кривая 2) по своему поведению близок к идеально жесткому рассеива-телю (кривая 1), кривая 3 характеризует мягкий сфероид. Совпадение наблюдается всюду, за исключением резонансной точки С = 7,4. Этот резонанс вызван периферической волной типа волны Рэлея [5, 6]. При волновом размере С = 7,4 на поверхности вдоль контура стального сплошного вытянутого сфероида укладывается 2,5А,^, где Хк - длина периферической волны. Скорость этой волны С составляет 2889 м/с, в то время как скорость волны Рэлея на плоской границе «сталь - вакуум» равна 2980 м/с.
На рис. 4 изображены относительные сечения а0 сжатых сфероидов с соотношением полуосей 1:10 (£0 = 1,005) при осесимметричном облучении (00 = 0°), обозначения те же, что и на рис. 5. До резонанса периферической нулевой антисимметричной изгибной волны (С ~ 5,3)а0 стального сжатого сфероида по уровню ближе к а0 мягкого сфероида, а при С > 5,3 приближается к а0 жесткого сфероида, хотя угловая характеристика £>(0) упругого сфероида при 00 = 0° и при всех значениях волнового размера С близка к угловой характеристике £(0) жесткого сфероида.
На рис. 5 представлены модули угловых характеристик |0(9)| вытянутых сфероидальных тел. Стальной вытянутый сфероид и при 90 = 90° имеет резонанс периферической (поверхностной) волны при том же самом значении С = 7,4 (см. кривую 2, рис. 3) [5-9]. Само сечение рассеяния а0 стального сплошного сфероида (кривая 3) при 90 = 90° заметно ближе к а0 жесткого сфероида (кривая 4) по сравнению с а0 мягкого сфероида (кривая 5).
Эта близость рассеивающих свойств сплошного упругого и жесткого сфероидов проявилась уже в угловых характеристиках 0(9; ф). Частотная зависимость относительного сечения обратного рассеяния а0 вытянутой сфероидальной оболочки (кривая 1) при 90 = 0° показывает наличие существенного резонанса при С = 6,75 [5-9].
На рис. 6 показаны относительные сечения обратного рассеяния а0 вытянутых сфероидальных рассеивателей.
Кривая 1 относится к стальной газонаполненной оболочке при волновом размере С = 6,75, соответствующих ее резонансу, кривая 2 - к мягкому сфероиду, кривая 3 - к жесткому, для идеальных сфероидов волновой размер С = 10,0. Из сравнения трех кривых видно, что теневой лепесток угловой характеристики оболочки указывает на мягкий фон, а лепесток обратного отражения - на жесткий.
Относительное сечение обратного рассеяния а0 сфероидальной оболочки при 90 = 90° было вычислено вплоть до волнового размера С = 5,5. Значения а0 оболочки оказались настолько близки к а0 жесткого сфероида, что представилось целесообразным сравнить эти сечения и сечения мягкого сфероида в табличной форме. Как видно из таблицы, при этом угле облучения вплоть до С = 5,5 проявляется жесткий фон рассеяния, что сказалось и на виде угловых характеристик рассеяния 0(9; ф).
Обратимся к анизотропному (трансверсально-изотропному) сфероидальному рассеивателю. Трансверсально-изотропная среда характеризуется пятью упругими модулями: Ап, А12, А13, А33, А44, а обобщенный закон Гука для такого тела записывается в форме [10-13]
= А11 £п + ^12 £ф + А13 ;
= А12 £п + А11 £Ф + А13 ; ^ = А13 (ел + £Ф) + А33 %;
ТПФ = А44 ТпФ ; (22)
= А44 У^ф;
ТПФ = Т2(А11 - А12) УлФ,
120 90°
Рис. 5. Модули угловых характеристик |D(0)| вытянутых сфероидальных тел
Fig. 5. Moduli of angular characteristics |D(9)| for prolate spheroidal bodies
где a^, an, аф, х^ф, тПФ - компоненты тензора напряжений; s^, sn, вф, у^ф, уЛФ - компоненты деформации, которые, в свою очередь,
к I00
iozjzz3^ 2h0 Y
2 / 1 (a0/n)
J
0 2 4 6 8 С
Рис. 6. Относительные сечения обратного рассеяния а0 вытянутых сфероидальных рассеивателей
Fig. 6. Relative back-scattering sections а0 of prolate spheroidal scatterers
а0 при 00 = 90° для разных рассеивателей а0 at 60 = 90° for various scatterers
Волновой Сфероидальная газонаполненная оболочка Жесткий сфероид Мягкий сфероид
размер, С Йо = 1,005075; ^ = 1,005) Й0 = 1,005) = 1,005)
0,5 0,3012-10-3 0,2452-10-3 4,506
1,0 0,4748-10-2 0,3908 10-2 4,760
1,5 0,2365-10-1 0,1965-10-1 5,194
2,0 0,7354-10-1 0,614710-1 5,748
2,5 0,1751 0,1479 6,300
3,0 0,3470 0,3006 6,754
3,5 0,6068 0,5418 7,094
4,0 0,9736 0,8911 7,358
4,5 1,447 1,362 7,592
5,0 2,014 1,960 7,815
5,5 2,599 2,680 8,029
равны в сфероидальных координатах (вытянутых и сжатых)
ди«
дК
« = h) +hh-) • Un ;
£-=(hn )_1 - дд-+(h-h«r1 - u«;
dn
dhn
£ф = h )-
диф
dhm
-1 дК
+(hnh9) •—• u-;
дф
h _ф
д-
+(h« hф Г ^"д^ •u« +
д Ç U Л >v 0
= (h«)-1 h- • Пlh- ) + h)-1 h« • д-
т5ф=h г1 ^ • д
Л. Л
u
V hф 0
+(hФ)-1 h« • дф
œ Ui 1
Л 0; œ u л
У-Ф ■ =(h-)- hф
д-
œ иф Л V hФ 0
« 0
œ„ л
+(hфrh-- дф
V h- 0
Существуют две ориентации такого анизотропного сфероидального рассеивателя (вытянутого или сжатого), при которых его характеристики рассеяния будут совпадать с характеристиками изотропного сфероидального тела, при этом упругие
модули в плоскостях изотропии трансверсально-изотропного рассеивателя будут совпадать с упругими модулями изотропного тела:
1. угол падения 00 = 90°, угол наблюдения 9 также составляет 90°, а плоскости изотропии анизотропного сфероидального рассеивателя (вытянутого или сжатого) перпендикулярны оси вращения Z (рис. 1, 2); таким образом, кривая 3 (рис. 5), изображающая относительное сечение обратного рассеяния с0 будет общей для вытянутого стального сфероида и соответствующего ему трансверсально-изо-тропного сфероида;
2. при угле падения 90 = 0° (осесимметричная задача) плоскости изотропии анизотропного рас-сеивателя соответствуют условию ф = const и содержат ось вращения Z. Кривые под номером 2 (рис. 3, 4), характеризующие дисперсию с0 стальных сфероидов (вытянутого и сжатого), будут совпадать с соответствующими анизотропными рассеивателями. Кривая 1 относится к стальной газонаполненной оболочке и при выбранном угле облучения 90 = 0° будет иметь анизотропный аналог с такой же характеристикой. Аналогичное совпадение будет наблюдаться и для модуля угловой характеристики рассеяния |-D(9)| (кривая 1, рис. 6, 90 = 0°).
Оси 1 и 2 лежат в плоскости изотропии, а ось 3 перпендикулярна этой плоскости.
Для модели, представленной на рис. 7, выполнен расчет модуля угловой характеристики |-D(9)|
£
при 0 = 0O = 90° в диапазоне волновых размеров kR0 = 0,053-0,581. При этом модель (рис. 7) имела следующие параметры: L1 = 200,51 м; L = 100,0 м; h0 = 50,0 м; R0 = 5,04 м; R1 = 5,01 м; £0 = 1,005075; ^ = 1,005. Материал оболочки -сталь. В этих условиях |.D(90°)| изменялся в пределах 0,49-18,46.
На рис. 8 и 9 представлены модули угловых характеристик |-0(ф)| (в плоскости XOY, при 00 = 90°) упругого неаналитического рассеивателя в форме цилиндрической оболочки, сочлененной с двумя сферическими насадками (рис. 3, 4), при ka = 0,523 (рис. 8) и при ka = 0,941 (рис. 9), отношение l/2a = 11,9.
При 0 = 00 = 90° такие же угловые характеристики (как на рис. 8 и 9) получатся и для трансвер-сально-изотропной оболочки таких же размеров и формы. При этом ее плоскости изотропии должны быть параллельны плоскости XOY, а ее упругие модули в плоскости изотропии должны быть равны упругим модулям изотропной оболочки.
Отметим также ряд работ по рассеянию звука упругими телами в форме бесконечного кругового цилиндра:
1. решение задачи дифракции звука, наклонно падающего на изотропную цилиндрическую оболочку с помощью потенциалов типа Дебая [14-16];
2. использование разложений по волновым спектрам при изучении рассеяния звука от точечного источника изотропной цилиндрической оболочкой [17-18];
3. вычисление характеристик рассеяния звука трансверсально-изотропной цилиндрической оболочкой с помощью потенциалов типа Дебая [15].
Заключение
Conclusion
До настоящего времени были известны исследования по рассеянию упругих волн на трансверсаль-но-изотропном бесконечном цилиндре с помощью потенциалов типа Дебая [15]. В данной статье изучаются трансверсально-изотропные тела сфероидальной и неаналитической форм и показано, что при определенной ориентации плоскостей изотропии этих тел угловая характеристика рассеяния и относительное сечение обратного рассеяния этих тел совпадает с аналогичными характеристиками изотропных тел таких же размеров, формы и упругих параметров.
X
Рис. 7. Упругая оболочка в форме конечного цилиндра с полусферами
Fig. 7. Elastic shell (finite cylinder with hemispheres) 90
Ф
Рис. 8. Модуль угловой характеристики рассеяния |0(ф)| при ka = 0,523, Э0 = 90° Fig. 8. Modulus of angular scattering characteristic |0(ф)| at ka = 0.523, 9o = 90°
90
Ф
Рис. 9. Модуль угловой характеристики рассеяния |0(ф)| при ka = 0,941, 60 = 90°
Fig. 9. Modulus of angular scattering characteristic |0(ф)| at ka = 0.941, 90 = 90°
Список использованной литературы
1. Фламмер К. Таблицы волновых сфероидальных функций. Москва: Вычислит. центр, 1962. IV, 140 с. (Б-ка математических таблиц; вып. 17).
2. КлещевА.А., Клюкин И.И. Основы гидроакустики. Ленинград: Судостроение, 1987. 224 с.
3. Клещев А.А., Ростовцев Д.М. Рассеяние звука упругой и жидкой эллипсоидальными оболочками вращения // Акустический журнал. 1986. Т. 32, № 5. С. 691-694.
4. Oguchi T. Eigenvalues of spheroidal wave functions and their branch points for complex values of propagation constants // Radio Science. 1970. Vol. 5, № 8-9. P. 1207-1214. DOI: 10.1029/RS005i008p01207.
5. Kleshchev A.A. Hydroelastic characteristics of spheroidal shells // Proceedings of the Sixth National Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Sofia: Bulgarian Acad. of Sciences, 1989. 464 p.
6. Клещев А.А. К вопросу о низкочастотных резонансах упругих сфероидальных тел // Техническая акустика. 1993. Т. 2, вып. 4(6). С. 66-67.
7. Клещев А.А. Гидроакустические рассеиватели. Санкт-Петербург: Судостроение, 1992. 248 с.
8. Клещев А.А. Дифракция, излучение и распространение упругих волн. Saarbrucken: Lambert, 2017. 280, [2] с.
9. Kleshchev A.A. Diffraction, radiation and propagation of elastic waves in isotropic and anisotropic bodies. Newcastle: Cambridge Scholars Publ., 2019. 122 p.
10. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. 2-е изд., перераб. и доп. Москва: Наука, 1977. 415 с.
11. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах: применение для обработки сигналов. Москва: Наука, 1982. 424 с.
12. Kleshchev A.A. Elastic wave dynamics problems. Tarakeswar; London: Book Publ. Int., 2021. III, 140, [5] p.
13. The dynamics of elastic structures / Ed. A. Kleshchev. Newcastle: Cambridge Scholars Publ., 2021. VII, 231, [5] p.
14. Клещев А.А. Дифракция и распространение волн в упругих средах и телах. Санкт-Петербург: Влас, 2002. 153, [2] с.
15. Fan Y., Sinclair A.N., HonarvarH. Scattering of a plane acoustic wave from a transversely isotropic cylinder in a solid elastic medium // Journal of the Acoustical Society of America. 1999. Vol. 106, № 3. P. 1229-1236. DOI: 10.1121/1.427174.
16. Клещев А.А. Дифракция, излучение и распространение упругих волн. Санкт-Петербург: Профпринт, 2006. 156 с.
17. Фелсен Л., Маракувиц Н. Излучение и рассеяние волн: [В 2-х тт.] / Пер. с англ. под ред. Левина М.Л.. Москва: Мир, 1978.
18. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Ленинград: Судостроение, 1989. 301 с.
References
1. C. Flammer. Spheroidal wave functions. Moscow: Computation centre. Library of Mathematical Tables. Vol. 17, 1962. IV. 140 p. (in Russian).
2. A. Kleschev, I. Klyukin. Fundamentals of hydro-acoustics. Leningrad: Sudostroyeniye. 1987. 224 p. (in Russian).
3. A. Kleschev, D. Rostovtsev. Sound scattering by solid and liquid ellipsoidal shells of revolution // Akusticheskij Zhurnal (Acoustic Journal), 1986. Vol. 32. No. 5. P. 691-694 (in Russian).
4. Oguchi T. Eigenvalues of spheroidal wave functions and their branch points for complex values of propagation constants // Radio Science. 1970. Vol. 5. No. 8-9. P. 1207-1214. DOI: 10.1029/ RS005i008p01207.
5. Kleshchev A.A. Hydroelastic characteristics of spheroidal shells // Proceedings of the Sixth National Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Sofia: Bulgarian Acad. of Sciences, 1989. 464 p.
6. A. Kleschev. On low-frequency resonances of elastic spheroidal bodies // Technical Acoustics, 1993. Vol. 2. Issue 4(6). P. 66-67. (in Russian).
7. A. Kleschev. Hydroacoustic scatterers. St. Petersburg: Sudostroyeniye, 1992. 248 p. (in Russian).
8. A. Kleschev. Diffraction, radiation and propagation of elastic waves. Saarbrucken: Lambert, 2017. 280. [2] p. (in Russian).
9. Kleshchev A.A. Diffraction, radiation and propagation of elastic waves in isotropic and anisotropic bodies. Newcastle: Cambridge Scholars Publ., 2019. 122 p.
10. S. Lekhnitsky. Elasticity theory of anisotropic body. 2nd edition, rev. and enl. Moscow: Nauka, 1977. 415 p. (in Russian).
11. E. Dieulesaint, D. Royer. Ondes Elastiques dans les Solides: Application au Traitement du Signal. Moscow, Nauka, 1982. 424 p. (in Russian).
12. Kleshchev A.A. Elastic wave dynamics problems. Tarakeswar; London: Book Publ. Int., 2021. III. 140. [5] p.
13. The dynamics of elastic structures / Ed. A. Kleshchev. Newcastle: Cambridge Scholars Publ., 2021. VII. 231. [5] p.
14. A. Kleshev. Diffraction and propagation of waves in elastic media and bodies. St. Petersburg, Vlas, 2002. 153 [2] p. (in Russian).
15. Fan Y., SinclairA.N., HonarvarH. Scattering of a plane acoustic wave from a transversely isotropic cylinder in a solid elastic medium // Journal of the Acoustical Society of America, 1999. Vol. 106. № 3. P. 1229-1236. DOI: 10.1121/1.427174.
16. A. Kleshev. Diffraction, radiation and propagation of elastic waves. St. Petersburg: Profprint, 2006. 156 p. (in Russian).
17. L. Felsen, N. Marcuvitz. Radiation and Scattering of Waves. In 2 vol. / Under editorship of M. Levin. Moscow: Mir, 1978 (in Russian).
18. Ye. Shenderov. Radiation and scattering of sound. Leningrad: Sudostroyeniye, 1989. 301 p. (in Russian).
Сведения об авторе
Клещев Александр Александрович, д.ф.-м.н., профессор Санкт-Петербургского государственного морского технического университета. Адрес: 190008, Россия, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д. 3. Тел.: +7 (812) 783-15-46. E-mail: alexalex-2@yandex.ru.
About the author
Alexandr A. Kleschev, Dr. Sci. (Phys.&Math.), Prof., St. Petersburg State Marine Technical University. Address: 3, Lotsmanskaya st., St. Petersburg, Russia, post code 190008. Tel.: +7 (812) 783-15-46. E-mail: alexalex-2@yandex.ru.
Поступила / Received: 10.09.21 Принята в печать / Accepted: 26.10.21 © Клещев А.А., 2021
