CC BY-NC
24
ФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ КОРАБЛЯ
Б01: 10.24937/2542-2324-2021-3-397-97-114 УДК 534.26+621.372.8
А.А. Клещёв
ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет», Россия
ДИФРАКЦИЯ ЗВУКА НА УПРУГОЙ СФЕРОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКЕ
Объект и цель научной работы. В обзоре получены решения и выполнены расчеты характеристик отражения и рассеяния звука идеальными и упругими телами различных форм (аналитических и неаналитических), находящихся либо у границы раздела сред, либо в подводном звуковом канале, либо в плоском волноводе с твердым упругим дном. Материалы и методы. При изучении гармонических сигналов используется метод нормальных волн, опирающийся на фазовую скорость распространения сигналов, а для импульсных сигналов, связанных с переносом энергии, применяется метод действительных и мнимых источников и рассеивателей, основанный на групповой скорости распространения.
Основные результаты. Выполнен расчет рассеянного звукового поля для идеальных сфероидов (вытянутых и сжатых), находящихся у границы раздела «жидкость - идеальная среда». Вычислен спектр рассеянного импульсного сигнала для тела, помещенного в звуковой канал. Найдены первые отраженные импульсы для идеального сфероида, находящегося в плоском волноводе с анизотропным дном.
Заключение. При изучении дифракционных характеристик тел, находящихся у границы раздела сред, оказалось, что основной вклад в рассеянное поле дает не взаимодействие рассеивателей (действительных и мнимых), а интерференция рассеянных полей. Показано, что на больших дистанциях главенствующую роль играют спектральные характеристики самого канала. При использовании импульсных звуковых сигналов в плоском волноводе нужно применять метод действительных и мнимых источников и рассеивателей, опирающийся на групповую скорость распространения звука. Ключевые слова: дифракция, плоский волновод, подводный звуковой канал, мнимый источник, рассеиватель, импульсный сигнал, спектральная характеристика. Автор заявляет об отсутствии возможных конфликтов интересов.
SHIP SIGNATURES
DOI: 10.24937/2542-2324-2021-3-397-97-114 UDC 534.26+621.372.8
A. Kleschev
St. Petersburg Marine Technical University, Russia
SOUND DIFFRACTION ON AN ELASTIC SPHEROIDAL SHELL
Object and purpose of research. This paper obtains solutions and performs estimations of characteristics of sound reflection and scattering by ideal and elastic bodies of various shapes (analytical and non-analytical) near media interface, or underwater sonic channel, or in a planar waveguide with a solid elastic bottom.
Materials and methods. The harmonic signals are investigated with the method of normal waves based on the phase velocity of signal propagation, and impulse signals related to the energy transfer are studied using the method of real and imaginary sources and scatterers based on the group velocity of propagation.
Main results. The scattered sound field is calculated for ideal spheroids (elongated and compressed) at fluid - ideal medium interface. The spectrum of a scattered impulse signal is calculated for a body placed in a sonic channel. First reflected impulses are found for an ideal spheroid in a planar waveguide with anisotropic bottom.
Для цитирования: Клещёв А.А. Дифракция звука на упругой сфероидальной оболочке. Труды Крыловского государственного научного центра. 2021; 3(397): 97-114.
For citations: Kleschev A. Sound diffraction on an elastic spheroidal shell. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2021; 3(397): 97-114 (in Russian).
Conclusion. In the studies of diffraction characteristics of bodies at media interfaces it was found that the main contribution to scattered field is given by interference of scattered fields rather than interaction of scatterers (real or imaginary). It is shown that at long distances the spectral characteristics of the channel itself have a prevalent role. When impulse sound signals in the planar waveguide are used, it is necessary to apply the method of real and imaginary sources and scatterers based on the group velocity of sound propagation.
Keywords: diffraction, planar waveguide, underwater sonic channel, imaginary source, scatterer, impulse signal, spectral characteristic.
The author declares no conflicts of interest.
Взаимодействие рассеивателя и границы раздела сред рассмотрим на примере рассеяния звука упругим сфероидальным телом, находящимся у границы «жидкость - упругая среда» [1]. Пусть упругая газонаполненная вытянутая сфероидальная оболочка с внешней радиальной координатой и внутренней координатой ^ помещена вблизи границы «жидкость - упругая среда» (рис. 1). Ось вращения оболочки Z1 параллельна плоской границе раздела, ось X1 перпендикулярна ей.
Рассмотрим две системы вытянутых сфероидальных координат п» ф* ( = 1, 2), первую из них (* = 1) свяжем с рассеивателем, вторую (* = 2) -с плоскостью границы раздела.
Начало декартовой системы координат 02 и фокусы второй сфероидальной системы определим как проекции соответственно 01 и фокусов первой координатной системы на плоскость границы Z2Y2, так что межфокусное расстояние 2к0 оказывается общим для обеих координатных систем. Плоскость границы раздела представляет собой две координатные полуплоскости (ф'2 = п/2 и ф"2 = -п/2) второй координатной системы. Для того чтобы связать это решение с решением задачи дифракции на упругой
02
У///////У///////А
У//////У///////////Ту
Рис. 1. Упругая сфероидальная оболочка вблизи границы раздела «жидкость - упругая среда»
Fig. 1. Elastic spheroidal shell near the interface "liquid - elastic medium"
сфероидальной оболочке, упростим постановку задачи и будем полагать, что волновой вектор к падающей волны находится в плоскости (и, соответственно, Х^2), т.е. ф0* = 0° (рис. 1). Теперь наряду с потенциалом Ф/1-1 волны, рассеянной оболочкой, появится потенциал рассеянной волны Ф1(2) от упругого полупространства
¥ ¥
Ф(2) = 22 X Кт^т,пСъХП(С!,Шф2. (1)
т=0 и>т
Потенциал Ф/2-1 раскладывается по радиальным функциям 1-го рода, формально это связано с тем, что фокусы второй координатной системы лежат в плоскости границы раздела; физически это означает искажение взаимодействующими рассеивате-лями полей двух плоских волн - падающей и отраженной (границей раздела сред). К разложениям потенциалов оболочки добавляются разложения потенциалов упругого полупространства:
Ф(22) = 2 S S (С,, (С., ^)cos шф2; (2)
(1)
^22) = 2S SMm,„Sm,„(С2,Л2)Л« (С2,^2)sinШф2, (3)
m=1 n>m
W(2) = 2 Ц Nm,„Sm,„ (Ct2, n2 )<!, (Ct2, ^ ) cos Отф2, (4)
m=0n>m
где Q2 и Ct2 - волновые размеры продольной
и поперечной волн соответственно в упругом полупространстве.
Потенциал падающей волны Ф0 также записывается в двух координатных системах [2, 3]:
Фо =
¥ ¥ _ _
= 2 S S i ^mSm,n (C1, n0)Sm ,n
(Ci, ns ) R^n (Ci, ^ )cosmфs,
m=0n>m
(s = 1,2).
(5)
Потенциал дифрагированного поля Ф2 = = Ф0 + Ф1(1) + Ф2(2) подчиняется одновременно граничным условиям на поверхности оболочки и плоской границе раздела «жидкость - упругая среда».
К граничным условиям на поверхности оболочки добавятся условия на плоскости раздела «жидкость - упругая среда»:
Х0 к 2(Ф0 + Ф((1) + Ф(2)) =
= X 2 к? Ф 22) + 2ц 2и,(2)'
1ф=п/2;-п/2 (й®/ йф2)) (д / дф) («<2)/ <2)) + +(йф2)/ <2)) (д / дп)(мф2) / Ч2)) |ф=п/2;-п/2
(йф2)/ А^)(д / д^)(мф2)/ йф2)) +
ф=п/2;-п/2
= 0;
= 0;
(6)
(7)
(8)
-(йф Г(д / дф)(Фо + ф[1) + ФГ) = = (йф2))-1(дФ2/ дф) + (й(2)йП2))-1 X
х^(д / Ф(й<2)у П2) ) - (д / dn)(Ä(2V f)]
ф=п/2;-п/2
(9)
где Х2 и ц2 - коэффициенты Ламе упругого полупространства; к/2) - волновое число продольной волны упругого полупространства.
В нашей постановке задачи из-за четности решения относительно плоскости XX граничные условия при ф = -п/2 полностью повторяют условия при ф = +п/2, т.е. в данном случае они не дают никакой дополнительной информации.
При подстановке разложений потенциалов в граничные условия для оболочки и плоской границы раздела при нахождении коэффициентов разложений используется теорема сложения для волновых сфероидальных функций [3]:
ЩМЬ (С, \;) ^ (С, п;) ехр (/>Ф;) =
= 2 S C , ks ) X
n=0 m=-n
xQlüd C, Cs ; i; e js ) C, n ) exp арф s ),
где
(10)
¥ ¥
Qifl=2(-i)n-q 2 ' 2 'dp9 (Cj )dmn (cs )x
x 2 (-'№ +p,pj+m,m) z ®,(3)(k/ ) pgp-m (e js ) x
--m,n, p,q
r+p+t+m 2
C=| r + p-t - m|
xexp [( p - m)ф js ],
где - полярный угол точки О5 - начала 5-й локальной системы координат в ]-й системе (рис. 2);
Йь Ль 9i)
Рис. 2. Системы сфероидальных координат, связанные с двумя взаимодействующими рассеивателями
Fig. 2. Systems of spheroidal coordinates associated with two interacting scatterers
pfe, ns, <Ps) z
Рис. 3. Идеальный сфероид у границы раздела сред Fig. 3. Ideal spheroid at the interface
l - расстояние между О/ и Os; drpq(Cj) и dtmn(Cs) -коэффициенты разложений функций Sp,q (С/,П/) и Sm,n (Cs,ns) по функциям Д%) и Ptm(n.s), которые с точностью до постоянного множителя совпадают с нормированными присоединенными функциями Лежандра; Zc(1) = j0(kl) - сферическая функция Бесселя; Zn(3) = hj}\kl) - сферическая функция Ханкеля
получаются
1-го рода; коэффициенты b0(rtp p, t+m, m)
из коэффициентов b
(r+p, p, t+m, m)
[3] с учетом связи
о
РГ(Чэ) и присоединенных функций Лежандра; штрих у знаков Е означает, что суммирование ведется по четным г и если, соответственно, д-р и п-т - четно, и по нечетным г и ,, если д-р и п-т - нечетно.
Строгое решение можно получить и при другой ориентации сфероидальной оболочки относительно плоской границы, а именно при условии перпендикулярности оси вращения оболочки 2 к плоскости раздела сред (рис. 3). Рассмотрим такую ориентацию подробнее, заменив сфероидальную оболочку идеальным вытянутым мягким сфероидом, а упругое полупространство идеальной средой (жесткой или мягкой) [4]. Отобразим рассеиватель и источник зеркально относительно плоской границы и сведем задачу к дифракции полей двух источников (действительного и мнимого) двумя сфероидальными рассеивателями (действительным и мнимым). Потенциалы Ф, (£ = 1, 2) рассеянных сфероидами волн выбираются в форме разложений (с учетом осевой симметрии):
¥ _
ф, &, п,) = 2 (С,, п, )ОС, ^). (11)
п=0
Поскольку сфероиды (действительный и мнимый) звукомягкие, то на их поверхностях (£0 = £01 = = £02) выполняется однородное условие Дирихле
Рис. 4. Модули угловых характеристик одиночного и взаимодействующих сфероидов
Fig. 4. Modules of angular characteristics for single and interacting spheroids
Фо + S Ф« = 0
«=1
¡Ко; «=1,2 '
(12)
Потенциал падающей плоской волны дается разложением
Ф0(4 « , П«) =
¥
= 2 S (С«, п« ) RI (C«, 4« )(C«, 1),
(13)
n=0 « = 1,2.
Неизвестные коэффициенты В0п разложений (11) отыскиваются из бесконечной системы уравнений, появляющейся из граничных условий (12):
¥ Г П-1
В0,п + 2 Д0,дЛ0!П(С,,^)И3П(С,,^)] х
д=о
хё03п0д (С,, С,; I; е,,) =
= -2Г%п (С, ,1) ^0Щ(С,, ^,) [О^, ^) , (14)
5 = 1,2; , = 1,2; , ^ ,,
где I - расстояние между центрами координатных систем 01 и 02; в нашем случае
^12 = 0; 0 21 = п;
_ ¥ ¥
<3®9(С,,С,;I;е,,) = 2Гп+д 2 ' 2 (С,)/(С,)х
r=0,1 j=0,1
r+j
X S r^,0,j,0)h0\kl)P. (cos % );
Нг - ]\
¿(г ,0,} ,0) = (г/00 |о О)2.
Для регуляризации системы (14) относительно неизвестных коэффициентов В0,п введем новые неизвестные Х0п из соотношения
B0,n = R0,n (С«, 40« )X0,n
(15)
В результате бесконечная система (14) для неизвестных Бх0п сведется к другой бесконечной системе относительно новых неизвестных Х0п:
¥ Г
Х0,п + 2 Пд^С,£0,)Мс,^)] х
д=0
хё0Х (С,, С,; I; 0,,) =
-2i-n\n(C« ,1) [ОС, 40« ) ]Ч.
(16)
Решение регулярной бесконечной системы (16) находится методом усечения. Первоначально были вычислены угловые функции рассеяния Д,(0,) двух
взаимодействующих мягких сфероидов, искажающих поле плоской монохроматической волны. На рис. 4 представлены модули угловых характеристик 1^(9^)1 взаимодействующих сфероидов (кривая 1 относится к первому сфероиду, кривая 2 - ко второму). Кривая 3 показывает в другом масштабе |D(9)| одиночного мягкого сфероида в безграничной среде. Масштаб пришлось изменить, чтобы кривая 3 не сливалась с кривыми 1 и 2. Кривая 4 характеризует модуль |iD£(9i)| суммарной угловой характеристики в координатах первого сфероида (рис. 1):
| D (01) | = | D1(91) + D2(91) exp(ikl cos 91) |.
Расчеты были выполнены при C1 = C2 = 10,0, £,oi = £,02 = £,0 = 1,005, полуфокусном расстоянии h01 = h02 = 1 м, l = 8h0. Анализ представленных на рис. 4 кривых показывает, что при выбранных параметрах (C1, C2, l) взаимодействие рассеивателей оказалось малым, из-за этого кривые 1, 2 и 3 так близки друг другу. Основную же роль играют интерференционные эффекты (особенно в теневой области), поэтому кривая 4 резко выделяется (опять же в области тени) на фоне остальных кривых. На втором этапе (на основе расчета рассеянного поля двух сфероидов) были вычислены угловые характеристики Ds(9) мягкого вытянутого сфероида (£,0 = 1,005; C = 10), находящегося на расстоянии l0 = 4h0 = 4 м от границы раздела жидкой и идеальной сред.
Результаты вычислений |DS(9)| представлены на рис. 5. Кривая 1 соответствует границе раздела жидкой и мягкой сред, кривая 2 - границе жидкой и жесткой сред. Определяющий вклад в Ds(9) вносит мнимый источник и связанные с ним интерференционные лепестки. Математически это объясняется интерференцией теневых (для мнимого источника) лепестков обоих сфероидов, физически интенсивное рассеяние в освещенной области возникает из-за переотражения рассеянных сфероидами волн плоской границей раздела сред. Нельзя забывать и о том, что в данном случае речь идет не об искажении плоской бегущей волны (как это было в безграничной среде), а об искажении поля стоячей волны, образованной действительным и мнимым источниками.
Строгое решение имеет и задача рассеяния звука сфероидальным полутелом (упругим или идеальным), помещенным на границе раздела «жидкость - идеальная среда». При зеркальном отображении рассеивателя и источника относительно плоской границы получаем сфероидальный рассеи-ватель, находящийся в поле двух источников (дей-
Рис. 5. Модули угловых характеристик мягкого сфероида, помещенного у границы раздела сред
Fig. 5. Modules of angular characteristics for soft spheroid placed at the interface
ствительного и мнимого). Фаза потенциала волны от мнимого источника на плоской границе раздела совпадает с фазой потенциала падающей волны на этой плоскости, если жидкость граничит с идеально жесткой средой, и фазы этих волн отличаются на границе на 180°, если жидкость граничит с идеально мягкой средой. На рис. 6 представлены модули
Рис. 6. Модули угловых характеристик сфероидальных полутел, находящихся на границе раздела сред
Fig. 6. Modules of angular characteristics for spheroidal half-bodies located at the interface
Рис. 7. Относительные сечения обратного рассеяния сжатых полусфероидов
Fig. 7. Relative cross sections of backscattering of compressed hemispheroids
угловых характеристик |-D(0)| в разных масштабах сфероидальных полутел, находящихся на границе жидкости с идеальной средой. Кривая 1 соответствует половине полой стальной сжатой оболочки, помещенной на границе жидкости I с идеально мягкой средой II. Внешняя радиальная координата оболочки = 0,1005, внутренняя - = 0,07669, волновой размер тела C = 7,1, угол облучения
L...........М
Рис. 8. Взаимная ориентация совмещенной системы и полусфероида (1 вариант)
Fig. 8. Mutual orientation of the combined system and hemispheroid (option 1)
0О = 0° (осесимметричная задача). Две другие кривые (рис. 6) соответствуют модулям угловых характеристик мягкого сжатого полусфероида, граничащего с мягкой (кривая 2) и жесткой (кривая 3) средами при том же угле облучения 90 = 0° и волновом размере тела С = 10,0; радиальная координата мягкого сжатого сфероида = 0,1005.
На рис. 7 представлены относительные сечения обратного рассеяния с0 сжатых идеальных полусфероидов, помещенных на границе раздела. При расчетах с0 под D(0; ф) подразумевалась суммарная угловая характеристика (от истинного и мнимого источников). Кривые (рис. 7) соответствуют осе-симметричному облучению (90 = 0°) сжатого полусфероида (мягкого или жесткого) с радиальной координатой = 0,1005. Кривые 1 и 3 относятся к жесткому полусфероиду, помещенному на границе с жесткой (1) и мягкой (3) средами (жидкая среда обозначена цифрой I, мягкая - цифрой II, жесткая -цифрой III). Кривые 2 и 4 соответствуют мягкому полусфероиду, находящемуся на границе с мягкой (2) и жесткой (4) средами. Кривые 5 и 6 дают представление об изменении с0 жесткого (5) и мягкого (6) сжатых сфероидов (£0 = 0,1005) в безграничной жидкой среде. Нетрудно видеть, что если полусфероид и идеальная полубесконечная среда одинаковы (жесткие или мягкие, кривые 1 и 2), т.е. полутело представляет нарушение только формы плоской границы, то граница скрадывает эту неровность, и с0 растет медленно, а при малых волновых разме-
L..........М
Fig. 9. Mutual orientation of the combined system and hemispheroid (option 2)
рах тела близко к нулю; и наоборот, при разных материалах полусфероида и полубесконечной идеальной среде сечение о0 значительно больше (кривые 3 и 4) во всем исследованном диапазоне волновых размеров. В то время как кривые 5 и 6 асимптотически стремятся к значению геометрической акустики, остальные кривые неограниченно возрастают. Математическое и физическое объяснения этому явлению были даны в комментариях к рис. 5.
Обратимся к проходным характеристикам (индикатрисам рассеяния) полусфероидов, находящихся на границе «жидкость - идеальная среда». Для этого представим себе, что на достаточно большом расстоянии от границы вдоль прямой LM перемещается совмещенная система («источник - приемник») и нас интересует отраженный сигнал в точке ее нахождения. Перемещение системы настолько медленно, что эффект Доплера можно не учитывать. Возможны две ориентации полутел, которые допускают строгое решение, обе они изображены на рис. 8 и 9 (на них декартовы координаты x, y, z относятся к вытянутому сфероиду, x', y', z' - к сжатому). На рис. 10 в разных масштабах представлены |DsO(0)| для вытянутого мягкого полусфероида на границе жидкости с идеально жесткой средой (кривая 1, ее масштаб слева от вертикальной оси, = 1,005, С = 10) и сжатого жесткого полусфероида на границе с мягкой средой (кривая 2, ее масштаб справа от вертикальной оси, = 0,1005; С = 10). Ориентация полутел соответствует рис. 8, направления лучей - сжатой системе координат.
На рис. 11 изображены |_Ds0(0)| для вытянутого жесткого полусфероида на границе жидкости с идеально мягкой средой (кривая 1, £q = 1,005, С = 10) и сжатого жесткого полусфероида на границе мягкой средой (кривая 2, £q = 0,1005; С = 10). Ориентация полутел соответствует рис. 9, направления лучей - вытянутой системе координат. Анализ представленных проходных характеристик (индикатрис рассеяния) показывает преимущество 2-го типа ориентации (рис. 9), поскольку при этом появляется интенсивная незеркальная составляющая, вызванная переотражением звука границей раздела. При ориентации первого типа (рис. 8) интенсивное обратное отражение при 0 = 0° будет замаскировано отражением от плоской границы раздела.
От стационарного (гармонического) облучения перейдем к нестационарному в виде звуковых импульсов с прямоугольной огибающей и монохроматическим заполнением. Как и раньше, будем рассматривать границы раздела сред 3-х видов: «жидкость - упругое дно» (упругая граница); «жидкость -
Рис. 11. Модули индикатрис рассеяния сфероидальных жестких полутел
Fig. 11. Modules of scattering indicatrices of spheroidal rigid half-bodies
Рис. 10. Модули индикатрис рассеяния сфероидальных мягких полутел
Fig. 10. Modules of scattering indicatrices of spheroidal soft half-bodies
идеально мягкая среда» (условие Дирихле); «жидкость - идеально твердая среда» (условие Неймана).
Если рассеиватель (сжатый жесткий сфероид) помещен у границы раздела сред («жидкость -упругое дно»), то в точку наблюдения сначала придет импульс зеркального отражения.
На рис. 12а показан импульс rr^St) зеркального отражения для жесткого сжатого сфероида при облучении его под углом 01 = 30°; нормированный модуль спектра импульса r1 • ^Sf) виден из рис. 12b. Через некоторое время точки P1 достигнет импульс Ys(t'), отраженный от упругого дна и дифрагированный на сфероиде.
На рис. 13а показан импульс Ys(t), а нормированный модуль спектра |Sx(v)| импульса Ys(t') представлен на рис. 13b.
Сориентируем жесткий вытянутый полусфероид таким образом, что его большая полуось будет находиться в плоскости границы раздела сред, и вычислим зеркально отраженные импульсы ^(t*) при угле падения 0j = 60° для двух вариантов: 1) жесткий вытянутый полусфероид на границе с жесткой средой; 2) жесткий вытянутый полусфероид на границе с мягкой средой. На рис. 14 представлен импульс Ys(t) (а) и нормированный модуль
№(V)|
-0,004 -0,002 0 0,002 t = f-t0,c
a)
b)
Рис. 12. Импульс зеркального отражения г^Фг^) (а); нормированный модуль спектра |SS(v)| импульса /1-Ф3(£'') (b)
Fig. 12. Mirror reflection pulse ГгФ5(0 (a); normalized modulus for the spectrum |Ss(v)| of the pulse г1-Ф5(?') (b)
I
-0,004 -0,002 0 0,002 t = f-t0, с
a) b)
Рис. 13. Дифрагированный импульс ФгО (а); нормированный модуль спектра |Sz(v)| импульса ^i(t') (b) Fig. 13. Diffracted pulse Фг(?) (a); normalized modulus for the spectrum |Sz(v)| of the pulse Фг(?') (b)
ЧШ
-0,004 -0,002 0 0,002 t = f-t0,c
a)
1 104 2-Ю4 3-Ю4 4-104 v, Гц
b)
Рис. 14. Импульс зеркального отражения ФгСО для жесткого вытянутого полусфероида на границе с жесткой средой (а); нормированный модуль спектра |Sz(v)| (b)
Fig. 14. Mirror reflection pulse Фг(0 for a rigid elongated hemispheroid at the boundary with a rigid medium (а); normalized modulus of the spectrum |Sz(v)| (b)
-0,004 -0,002
0,002 t = f-t0,c
4-10* v, Гц
Рис. 15. Импульс зеркального отражения Ф1(£) для жесткого вытянутого полусфероида на границе с мягкой средой (а); нормированный модуль спектра |Sz(v)| (b)
Fig. 15. Mirror reflection pulse Фг(0 for a rigid elongated hemispheroid at the boundary with a soft medium (a); normalized modulus of the spectrum |Sz(v)| (b)
-0,004 -0,002
0,002 t = i-tQ,c
Рис. 16. Импульс зеркального отражения Ф1(£) для жесткого сжатого полусфероида (а); модуль спектра |Sz(v)| импульса Фе(^) (b)
Fig. 16. Mirror reflection pulse Фг(0 for a rigid compressed hemispheroid (a); spectrum module |Sz(v)| of the pulse ФгОТ (b)
-0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 t=t'-t0, с
a)
M04
3-10* v, Гц
Рис. 17. Импульс зеркального отражения Ф1(£) для мягкого вытянутого полусфероида (а); модуль спектра |Sz(v)| импульса Фе(^) (b)
Fig. 17. Mirror reflection pulse Фг(0 for a soft elongated hemispheroid (a); spectrum module |Sz(v)| of the pulse Фг^") (b)
спектра (Ь) для 1-го варианта, а на рис. 15 -
эти же характеристики для 2-го варианта.
На рис. 16 мы видим дифрагированный импульс и модуль его спектра |£е(у)| по направлению зеркальной составляющей для сжатого жесткого полусфероида, расположенного на границе «жидкость - идеально мягкая среда» таким образом, что его большая ось находится в плоскости границы. Угол облучения 90 остался прежним: 90 = 30°.
На рис. 17 изображен дифрагированный импульс в направлении зеркальной составляющей и модуль его спектра для мягкого вытянутого полусфероида, размещенного на границе «жидкость - идеально жесткая среда». Размеры, ориентация полусфероида, соотношение полуосей такое же, как и на рис. 16. Отметим, что для полу-тел (вытянутых и сжатых полусфероидов), находящихся на границе раздела сред, дифрагированный импульс в направлении зеркальной составляющей представляет собой наложение двух отраженных сигналов (от полутела и самой границы), поэтому он и обозначен как дифрагированный импульс
Картину отражения звука сфероидальным телом, находящимся у границы «вода - упругое дно», дополним угловыми характеристиками рассеяния Я(В, ф) для стационарного звукового сигнала с фиксированной частотой
На рис. 18а представлен модуль ^(б, ф)| угловой характеристики при облучении мягкого вытянутого сфероида плоской волной под углом 01 = 60°
а)
и модуль |^(0, ф)| угловой характеристики при облучении его плоской волной, отраженной от дна.
Изучение влияния двух границ на поле сфероидального рассеивателя начнем с идеального сфероида, помещенного в подводный звуковой канал с неотражающими границами [5] и облучаемого импульсным сигналом с монохроматическим заполнением [6]. На глубине г0 такого волновода расположим точечный источник импульсного сигнала, а на горизонтальном расстоянии г от него и на глубине 22 - сфероидальный рассеиватель (рис. 19а). Профиль скорости звука в симметричном подводном звуковом канале представлен на рис. 19Ь. Приемник рассеянного сигнала совместим с источником, т. е. будем рассматривать совмещенную систему и найдем спектр рассеянного сигнала в этой точке. Поскольку по условию скорость звука зависит только от вертикальной координаты 2, в горизонтальной плоскости лучи не искривляются, и в каждой вертикальной полуплоскости, проходящей через центр рассеивателя, звуковое поле будет независимо от соседних полуплоскостей, и в каждой полуплоскости возникают свои комплексные коэффициенты возбуждения мод звукового канала. В результате в каждой из таких полуплоскостей наблюдается своя, независимая от соседних полуплоскостей интерференционная картина мод, и угловое распределение в горизонтальной плоскости становится функцией расстояния от рассеивателя. Но нас интересует поле в одной вертикальной полуплоскости Р, содержащей совмещенную точку источника-приемника и центр рассеивателя. По-
90°
>(0, Ф)1
150
1*1(0,9)1
\ 90°
°'2 m = 0° 60
Ф= 180°
Рис. 18. Модули угловых характеристик рассеяния звука идеальным сфероидом в свободной среде (a) и в присутствии границы «вода -упругое дно» (b)
Fig. 18. Modules for the angular characteristics of sound scattering by an ideal spheroid in a free medium (a) and in the presence of the "water - elastic bottom" boundary (b)
скольку рассеянное поле в ней не зависит от поведения этого же поля во всех других полуплоскостях, то примем его одинаковым во всех вертикальных полуплоскостях и равным полю в полуплоскости Р. Приближенно (без учета влияния среды на угловую характеристику рассеяния) спектр рассеянного сигнала в месте нахождения источника будет равен [6]
м Ит
т =1 п =1
ХеХР [-(Кт1 + КптГ - П /2)], (17)
где Рт = рт(р0) ф
(гОфт^); Рт - коэффициент возбуждения моды т; фт(г2) - собственная функция волновода, определяемая граничными условиями; р0 - плотность на глубине расположения источника (и приемника, в нашем случае); Рпт = (1/Р2)фп(^2)фп(^о); Р2 - плотность на глубине расположения центра рассеивателя; Опт(ю) - пространственно-передаточная функция рассеяния тела для т-й моды источника и п-й моды рассеивателя; кт и кпт - горизонтальные компоненты волновых чисел мод падающей и рассеянной волн соответственно; М - наибольшая допустимая мода источника; Ыт - наибольшая допустимая мода рассеива-теля для т-й моды источника.
Зависимость скорости звука от координаты г для симметричного волновода (рис. 19Ь) имеет вид [5]
С( 2) = (Р\2\+Ц)У2.
Найдем спектр ^2(ю) в совмещенной точке источника и приемника для идеального мягкого рас-сеивателя в форме вытянутого сфероида с координатой внешней поверхности = 1,005. Источник (приемник) и рассеиватель поместим на оси симметричного волновода (г2 = г0 = 0), большая ось сфероида при этом перпендикулярна оси 2. Межфокусное расстояние сфероида 2к0 примем равным 9,7 м. Источник создает импульсный сигнал длительностью т0 = 0,05 с при частоте заполнения /0 = 400 Гц (С = 8,0). Пространственно-передаточная функция Опт(ю) определяется частотной и угловой (в плоскости Х02) характеристиками рассеяния сфероида. При выбранном профиле скорости звука (рис. 19Ь) наибольший угол между волновыми векторами в падающей и отраженной волнах составит приблизительно 16°. Обратившись к амплитудно-фазовой угловой характеристике рассеяния Б(9, ф) мягкого сфероида в плоскости Х02 (9 = 90°, п = 0) замечаем, что даже при максимальном используемом в расчетах волновом размере
Рис. 19. Взаимное расположение сфероидального рассеивателя и источника в звуковом канале (a) и профиль скорости звука в звуковом канале с неотражающими границами (b)
Fig. 19. The relative position of the spheroidal scatterer and the source in the sound channel (a) and the profile of the acoustic speed in the sound channel with non-reflecting boundaries (b)
(С = 10,0), угловая характеристика D(90°; ф) = = |D(90°; ф)|ехр[/'у(90°; ф)] оказывается практически ненаправленной в пределах углов ф = 0-16° (рис. 20). Такой подход, при котором моды подводного звукового канала рассматриваются в виде плоских волн,
90°
Рис. 20. Амплитудно-фазовая характеристика рассеяния звука мягким сфероидом в плоскости
Fig. 20. Amplitude-phase characteristic of sound scattering by a soft spheroid in the plane
облучающих наш сфероидальный рассеиватель, также является приближенным. Кривая 1 (рис. 20) относится к |£>(90°; ф)|, кривая 2 характеризует фазу у (90°; ф), увеличенную для всех углов ф на п. При меньших волновых размерах характеристики будут еще ближе к круговым. Поэтому (с учетом первого предположения о равномерном рассеянии в горизонтальной плоскости) можно считать, что каждую падающую волну из набора допустимых мод тело будет рассеивать равномерно по всем направлениям (как ненаправленный рассеиватель) с постоянным по углам 9 и ф коэффициентом возбуждения -О(ю), в который превратится пространственно-передаточная функция Дит(ю). В результате спектр рассеянного сигнала £2(ю) будем вычислять по формуле
5 2(и) = О (Ю)р2(г1)-1 X
м м
Х22 РтРпт еХР (КтГ + КптГ - П / 2)]. (18)
т=1 п=1
Обобщение этого решения в трехмерном случае рассмотрим на примере сфероидального рассеива-теля, помещенного в плоский волновод с идеально отражающими границами (рис. 21) и постоянной по глубине скоростью звука. Будем, как и раньше, пренебрегать вторичным рассеянием на теле волн, отраженных от границ. На верхней границе волновода выполняется условие Дирихле, на нижней -условие Неймана. Давления в падающих плоских волнах р'л1 = ри ехр(/'к/^)ехр(/к; и р"и =
= р11ехр(1к"Я)ехр(/'к"г\) и давления в соответствующих им рассеянных волнах р'щ и р'м раскладываются в ряды по сфероидальным волновым функциям ¥ ¥ _ _
Р1 = 2риехр(1к;к) 2 2 '-пЕт$тп (С,Ли)(С,П ')х
т=0п>т
х*т>п (С, £) С08 т(ф - ф'ц); (19)
ра! = 2РИ ехр('к; Я)х
¥ ¥ _
Х2 2 ^т,п^т3)п (С, ^п (С, П ')0О8 тф, (20)
т=0 п>т
где Втп - неизвестные коэффициенты разложений, определяемые граничными условиями; Я - расстояние от источника до центра рассеивателя, которое намного больше максимального размера рас-сеивателя. Аналогичные выражения можно записать для волн р''П1 и р''3ц, заменив в (20) п'п на п'1 и ф! на ф",.
Обратимся к знакомой задаче дифракции звука на сфероидальных телах [7-10], сохранив на верхней границе условие Дирихле, а также размеры волновода и расположение точечного источника и рассеивателя относительно границ, заменив только идеально твердую нижнюю границу на трансвер-сально-изотропное упругое дно. Физические параметры подстилающей нижней среды будут соответствовать параметрам трансверсально-изотропной осадочной породы - алевролита [11]. Сориентируем плоскость изотропии алевролита таким образом, чтобы она совпадала с плоскостью падения волны на изотропное дно, это позволяет нам перейти к изотропной среде в плоскости падения волны, т. е. решать задачу уже для изотропной среды и иметь дело с продольной и поперечной волнами. При использовании и в этом случае метода мнимых источников нужно ввести коэффициент отражения V для каждого из источников [12]. При отображении источников относительно верхней границы источники, как и раньше [7-10, 13, 14], будут менять знак на противоположный, что соответствует изменению их фазы на п. Известно [16], что в методе мнимых источников граничные условия строго не выполняются ни на одной из границ волновода даже в случае идеальных граничных условий Дирихле и Ней-
Рис. 21. Сфероидальный рассеиватель в плоском волноводе
Fig. 21. Spheroidal scatterer in a plane waveguide
мана. Для лучшего выполнения этих условий в дифракционных задачах [7-10, 13-15] были введены мнимые рассеиватели путем зеркального отображения относительно границ. Точно так же введем мнимые рассеиватели и в нашей задаче и сравним последовательность отраженных импульсов [7, 8, 16-18] в случае идеальных границ и при наличии в волноводе такого анизотропного дна при двух значениях их физических параметров. Вторая трансвер-сально-изотропная среда имеет скорость квазипродольной волны 4472,1 м/c и скорость квазипоперечной волны 2449,5 м/с, плотность второй анизотропной среды составляет 5000 кг/м3. В [12] показано, что метод мнимых источников применим и в том случае, когда коэффициент отражения V будет являться функцией угла падения волны от источника относительно нормали к границе. В нашем случае этот угол будет определяться взаимным положением источника (действительного или мнимого) и рассеивателя (действительного или мнимого), на который падает волна от данного источника.
Т.к. приемник совмещен с действительным источником Q, то последовательность отраженных импульсов будет определяться количеством и амплитудами отраженных сигналов (от различных рассеивателей), имеющих одинаковое время распространения от источников до рассеивателя и от рассеивателя до точки Q. Параметры волновода, положение действительного источника Q (совмещенного с приемником) и действительного рассеи-вателя сохраним неизменными по сравнению с [7, 8, 16-18]: L = 1000 м, H = 400 м; действительный источник Q и действительный рассеиватель находятся на глубине 200 м, рассеиватель в виде идеально мягкого вытянутого сфероида имеет соотношение полуосей a/b = 10 (a = 0,279 м), а его ось вращения направлена перпендикулярно плоскости рисунка (рис. 22). Формула для коэффициента отражения V0N, где N - номер источника, дана в [12].
Для вычисления первых четырех отраженных импульсов нам нужны следующие коэффициенты отражения: V03 в направлении на первый (действительный) рассеиватель (01 рас.), V05 в направлении на второй (мнимый) рассеиватель (02 рас.). В результате несложных расчетов с помощью [12] получаем V03 = 0,8423 + i 0,5390; V05 = 0,8423 + i 0,5390.
Коэффициенты получились комплексными, что означает полное внутреннее отражение на границе «жидкость - упругое твердое дно», вследствие этого модули коэффициентов отражения равны 1,0, а вещественные части первых двух коэффициентов близки к +1,0, что характерно для границы «жид-
09
Z 1,6
06 1,2 05 0,8
02 0,4 0,2
01 0 0,2
03 -0,4
04 -0,8
07 -1,2
08 -1,6
® 09
® 06
® 05
® 02
Н О)
к')
01
X
® 03
® 04
® 07
® 08
Рис. 22. Вытянутый сфероид в плоском волноводе с анизотропным упругим дном
Fig. 22. Elongated spheroid in a plane waveguide with an anisotropic elastic bottom
кость - абсолютно твердое дно». Полученные в результате расчетов последовательности из первых четырех отраженных импульсов для первой и второй анизотропных сред представлены на рис. 23 и 24. Сравним их с последовательностью импульсов на рис. 25 для идеальных границ: 1-й и 4-й импульсы (рис. 23 и 24) полностью совпадают с 1-м и 2-м импульсами (рис. 25); что же касается 2-го и 3-го импульсов (рис. 25), то, с одной стороны, в случае идеальных границ и симметричного расположения действительных источника и рассеивателя относительно границ волновода они компенсируются другими отраженными импульсами, т.е. 2-й и 3-й импульсы (рис. 23 и 24) показывают различие в последовательности отраженных импульсов при замене абсолютно твердого дна на трансверсально-изотропное, а с другой - позволяют оценить влияние физических параметров (скоростей упругих волн и плотности анизотропной среды) на картину отраженных импульсов.
Опираясь на полученное решение, рассмотрим более общую задачу дифракции импульсного звукового сигнала на упругом рассеивателе неаналитической формы в виде конечной цилиндрической оболочки, дополненной двумя полусферическими
ЧЬЮ-,-,-,-,-,-
0,4 -0,3 -0,2 -0,1-1
о----
-0,1-1 -0,2 --0,3 --0,4 -
-0,5 -1-1-1-1-1-
-0,2 -0,1 0 0,1 0,2 t,
Рис. 23. Нормированная последовательность первых четырех отраженных импульсов в волноводе с 1-м вариантом анизотропного упругого дна Fig. 23. Normalized sequence of the first four reflected pulses in a waveguide with the 1st variant of anisotropic elastic bottom
ЧЪ(0-1-1-1-1-1—
0,4 -0,3 -0,2 -
I . |--:
-од - I 1 -0,2 --0,3 --0,4 -
-0,5 -1-1-1-1-1-
-0,2 -0,1 0 0,1 0,2 t,
Рис. 24. Нормированная последовательность первых четырех отраженных импульсов в волноводе с 2-м вариантом анизотропного упругого дна Fig. 24. Normalized sequence of the first four reflected pulses
in a waveguide with the 2nd variant of anisotropic elastic bottom
-,-,-,-,-,-
0,4 -
0,3 -0,2 -
-0,2 --0,3 --0,4 -
-0,5 -1-1-1-1-1-
-0,2 -0,1 0 0,1 0,2 t,
Рис. 25. Нормированная последовательность первых трех отраженных импульсов в волноводе с идеальными границами
Fig. 25. Normalized sequence of the first three reflected pulses in a waveguide with ideal boundaries
оболочками (рис. 26), и помещенным в волноводе с упругим твердым дном (рис. 27), используя метод интегральных уравнений [16, 19-23]. Отметим, что подобную задачу можно решить и с помощью других методов, в частности метода граничных элементов [22, 24], метода Т-матриц [25], метода потенциала [26], метода конечных элементов [27] и метода функций Грина [28]. На первом этапе решим задачу дифракции гармонической волны на такой оболочке. Плотность материала оболочки рь коэффициенты Ламе - 1 и д. Оболочка заполнена внутренней жидкой средой с плотностью р2 и скоростью звука С3 и помещена во внешнюю жидкую среду с плотностью р0 и скоростью звука С0. На оболочку падает плоская волна с давлением р, в ней под углом 00 и с волновым вектором к (рис. 26).
Исходным в данном случае, как показано в [16, 19-23], является интегральное уравнение, имеющее смысл обобщенного принципа Гюйгенса, для вектора смещения и (г) упругой оболочки:
и (г) = //{? (?')О (Г; г) - и (г') [п '2 (Г ; г)]} (?'), (21) г е V,
где I (г' ) = п' Т (г' ) - вектор напряжения; п' ° п'(г') = п'(г') - единичный вектор внешней по отношению к 5 нормали; Т(г') - тензор напряжений изотропного материала; О (г'; г) - тензор перемещений Грина; 2 (г' ; г) - тензор напряжений Грина; если г относится к точке поверхности 5, то в левой части будет и (г ) / 2.
Вектор смещения и (г), тензор напряжений Т (г), тензор перемещений Грина О (г'; г) и тензор напряжений Грина 2 (г' ; г) связаны между собой следующими соотношениями [16, 23]:
Т (г) = 1/Уй (г) + д (Ум + йУ), (22)
где I = 1Ь + 1Т; 1Ь = (УУ)/У2; 1Ь • 1Т = 0; 1Т =
= -[У(У1)]/ У2, 1ь
и 1Т - продольный и поперечный единичные тензоры для оператора Гамильтона У;
2 (г' ; г) = 11У О (г' ; г) + д [У О (г'; г) + О (г'; г) У]; (23)
О (г' ; г) = (1/ 4пр, ю2) {к1 (к2 | г ' - г |) +
+ У '[ (к | г' - г |) - я (к2 | г' - г |)]У}, (24)
где к1 и к2 - волновые числа продольной и поперечной волн в материале оболочки; я(k2| г ' - г |) = = ехр(/'к2 | г' - г |) / 4п | г' - г | - функция Грина.
Второе интегральное уравнение представляет, по сути, интеграл Кирхгофа для дифрагированного давленияps(Pi) во внешней жидкой среде: C (P) ръ (P) =
f f[{Ръ (Q)(d/ dn')[exp(/kr0 / r,)]-]
= -JJ I 2 \dSa +
sa |-[exp('kro / r,)]poю (Un') I
+4пд. ( P),
(25)
где р2(Р1) = рР + ps(Pl); Рs(Pl) - рассеянное давление в точке Р1; С(Р1) - численный коэффициент, равный 2п, если Р1 е и 4п, если Р1 вне -
внешняя поверхность оболочки; Q - точка внешней поверхности оболочки.
Для давления р2(М1) во внутренней жидкой среде в точке М1 получается третье интегральное уравнение
С (М1) р2(М1) =
f f[Р2©')(д / d«')[exp(/ÄT3)/Г3 ]-]
: II i ('S
sb [-[expOb,)/г,]2(un') J
(26)
где Q' - точка внутренней поверхности оболочки.
Г4п, если М, вне 8Ь; С (М1) = <! 1 Ь
[2п, если М1 е БЬ;
где 8Ь - внутренняя поверхность оболочки.
К трем интегральным уравнениям (20), (22) и (23) добавляются граничные условия на внешней (<%,) и внутренней (£Ь) поверхностях оболочки: 1) на обеих поверхностях оболочки отсутствуют касательные напряжения
=T-L
0; i = 1,2;
(27)
2) нормальное напряжение на внешней поверхности оболочки равно дифрагированному давлению р^, а на внутренней - давлению р2:
On' L = ръ; On' Üb
n is
= Р2;
(28)
в силу условий (27) и (28) вектор напряжения t (r') в уравнении (24) равен
t(r') = Ръ n'\ ; t(r') = p2 n'
Sb
(29)
3) нормальная компонента вектора смещения непрерывна на границах оболочки:
Un' = (1/Р0Ю2)(Эръ / C»n')| S
lOa
Un'= (1/ p2Ю2)(др2/ dn')\s
(30)
Рис. 26. Упругая оболочка в форме конечного цилиндра с полусферами
Fig. 26. Elastic shell in the form of a final cylinder with hemispheres
Ист. 09
Ист. 06
Ист. 05
Ист. 02
Ист. 01 Пр. q
Ист. 03
Ист. 04
Ист. 07
Ист. 08
<9 09 Рас.
06 Рас.
<9 05 Рас.
Ч) 02 Рас.
Я
ж-йр 01 Рас.
—--X
03 Рас.
<9 04 Рас. 07 Рас.
<9 08 Рас.
Рис. 27. Неаналитический рассеиватель в волноводе с твердым упругим дном
Fig. 27. Non-analytical scatterer in a waveguide with a solid elastic bottom
Подставляя интегральные уравнения (26), (21), (28) в граничные условия, получим систему уравнений относительно неизвестных функций p2, p2 и компонент вектора смещения u на обеих поверхностях оболочки. Для численного решения системы интегральных уравнений они заменяются квадратурными формулами, а на обеих поверхностях оболочки выбирается сетка узловых точек, подобно
т
S
b
a
a
тому как это было сделано для идеальных неаналитических рассеивателей [16, 19].
Интегралы в граничных условиях бывают двух типов: с изолированной особой точкой и рассматриваемые в смысле главного значения. Способ вычисления вторых из них описан в [16].
Вычисленные таким образом характеристики отражения гармонического сигнала с частотой V позволяют определить спектральную функцию отражения 5х(2пу), а с ее помощью, применяя преобразования Фурье, мы получаем временную функцию отраженного импульса [29]:
■] ¥
¥S (t') = -Re J SS (2nv) e+2mV(2nv).
(34)
Подобным же образом, используя спектральные характеристики отражения упругих тел сфероидальной формы [16, 30-35], мы можем вычислить последовательности отраженных импульсов в волноводе с упругим твердым дном и для них.
Заключение
Conclusion
В результате проведенных исследований можно сделать 4 основных вывода.
1) При изучении задач распространения и дифракции импульсных сигналов в плоском волноводе нужно использовать метод мнимых источников, поскольку импульсы, являясь сгустками энергии, распространяются по любому направлению (в т.ч. и вдоль оси волновода) с групповой скоростью, не превышающей скорость звука, а именно на групповую скорость опирается метод мнимых источников.
2) Замена твердого упругого дна на абсолютно твердое дно вполне допустима для тех источников (действительного и мнимых), волны от которых при падении на упругое твердое дно испытывают полное внутреннее отражение.
3) Принятая нами модель мнимых источников и мнимых рассеивателей вполне допустима (из-за полного внутреннего отражения), по крайней мере, для первых пяти отраженных импульсов;
4) Изменения физических параметров трансвер-сально-изотропного дна проявляются не на всех отраженных импульсах.
Список использованной литературы
1. Клещев А.А. Рассеяние звука сфероидальными телами, находящимися у границы раздела сред // Акустический журнал. 1977. Т. 23, № 3. С. 404-410.
2. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. Москва: Изд-во иностранной лит., 1950. 456 с.
3. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 583 с.
4. Клещев А.А. Рассеяние звука сфероидальным телом, находящимся у границы раздела двух сред // Акустический журнал. 1979. Т. 25, № 1. С. 143-145.
5. Толстой И., Клей К.С. Акустика океана: теория и эксперимент в подводной акустике. Москва: Мир, 1969. 301 с.
6. Клещев А.А., Клюкин И.И. Спектральные характеристики рассеяния звука телом, помещенном в звуковой канал // Акустический журнал. 1974. Т. 20, № 3. С. 470-473.
7. Клещев А.А., Кузнецова Е.И. Рассеяние импульсных звуковых сигналов сфероидальным телом, находящимся в плоском волноводе // Сессия Научного совета РАН по акустике и XXIV сессия Российского акустического общества: сборник трудов науч. конф. Москва: ГЕОС, 2011. С. 198-201.
8. Kleshchev A.A., Kuznetsova E.I. Diffraction of impulse signals on spheroidal body, put in plane waveguide // International Journal of Theoretical and Mathematical Physics. 2012. Vol. 2, № 6. P. 211-214. DOI: 10.5923/j.ijtmp.20120206.06.
9. Kleshchev A.A. Diffraction of pulse sound signals on elastic spheroidal shell, put in plane waveguide // Advanced Studies in Theoretical Physics. 2013. Vol. 7, № 15. P. 697-705. DOI: 10.12988/astp.2013.3554.
10. КлещевA.A. Дифракция импульсных звуковых сигналов на упругих телах сфероидальной формы, находящихся в плоском волноводе // Морские интеллектуальные технологии. 2015. № 2(28), Т. 1. С. 77-81.
11. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. 2-е изд., перераб. и доп. Москва: Наука, 1977. 416 с.
12. БреховскихЛ.М. Волны в слоистых средах. Москва: Изд-во Акад. наук СССР, 1957. 502 с.
13. Kleshchev A.A. Diffraction of sound signals at elastic shell of non-analytical form put in plane waveguide // Advances in Signal Processing. 2014. Vol. 2, № 2. P. 46-49. DOI: 10.13189/asp.2014.020202.
14. Kleshchev A.A. Diffraction of pulsed sound signals by elastic bodies of analytical and non-analytical forms, put in plane waveguide // Zeitschrift fur Naturforschung A. 2015. Vol. 70, № 6. P. 419-427. DOI: 10.1515/zna-2015-0062.
15. Kleshchev A.A. Diffraction, radiation and propagation of elastic waves in isotropic and ani-sotropic bodies. Newcastle-upon-Tyne: Cambridge Scholars Publishing, 2019. VI, 114 p.
0
16. Клещев А.А. Гидроакустические рассеиватели. 2-е изд. Санкт-Петербург: Прима, 2012. 266, [1] с.
17. Клещев А.А. Плоский волновод с анизотропным упругим дном // Акустика океана: доклады XVII школы-семинара им. акад. Л.М. Бреховских. Москва: Ин-т океанологии РАН. 2020. С. 60-65. DOI: 10.29006/978-5-9901449-5-8-9.
18. КлещевА.А. Дифракция, излучение и распространение упругих волн. Saarbrucken: Lambert, 2017. 280, [2] c.
19. Клещев А.А. Рассеяние звука идеальными телами неаналитической формы // Общесудовые системы: сб. науч. трудов. Ленинград, 1989. С. 95-99. (Труды ЛКИ; вып. 233).
20. Клещев А.А. Метод интегральных уравнений в задаче дифракции звука на упругой оболочке неаналитической формы // Техническая акустика. 1993. Т. 2, Вып. 4(6). С. 65-66.
21. Клещев А.А. Метод интегральных уравнений в задаче дифракции звука на телах неаналитической формы // Морской вестник. 2013. Спец. вып. 1. С. 94-98.
22. SeybertA.F., Wu T.W, WuX.F. Radiation and scattering of acoustic waves from elas-tic solids and shells using the boundary element method // Journal of the Acoustical Society of America. 1988. Vol. 84, № 5. P. 1906-1912.
23. Подстригая Я.С., Поддубняк А.П. Рассеяние звуковых пучков на упругих телах сферической и цилиндрической формы. Киев: Наукова думка, 1986. 261, [1] с.
24. Бреббиа К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. Москва: Мир, 1982. 248 с.
25. Peterson В., Strom S. Matrix formulation of acoustic scattering from multilayered scatterers // Journal of the American Statistical Association. 1975. Vol. 57, № 1. P. 2-13.
26. Купрадзе В.Л. Методы потенциала в теории упругости. Москва: Физматгиз, 1963. 472 с.
27. Применение метода конечных элементов к решению задач излучения звука упругими оболочками / Ду-шин А.Ю., Ильменков С.Л., Клещев А.А., Пост-нов В.А. // Взаимодействие акустических волн с упругими телами: докл. Всесоюз. симпоз. Таллинн: [Б. и.], 1989. С. 89-91.
28. Ильменков С.Л., Клещев А.А., Клименков А.С. Метод функций Грина в задаче дифракции звука на упругой оболочке неканонической формы // Акустический журнал. 2014. Т. 60, № 6. С. 579-586.
29. ХаркевичА.А. Спектры и анализ. 3-е изд., перераб. Москва: Гостехиздат, 1957. 236 с.
30. Клещев А.А. Трехмерные и двумерные (осесиммет-ричные) характеристики упругих сфероидальных рассеивателей // Акустический журнал. 1986. Т. 32, № 2. С. 268-270.
31. Клещев А.А, Клюкин И.И. Основы гидроакустики. Ленинград: Судостроение, 1987. 224 с.
32. Клещев А.А. Потенциалы Дебая и «типа Дебая» в задачах дифракции, излучения и распространения упругих волн // Акустический журнал. 2012. Т. 58, № 3. С. 338-341.
33. Клещев А.А. Резонансное рассеяние звука на упругих сфероидальных телах и оболочках // Акустический журнал. 2014. Т. 60, № 3. С. 253-261.
34. Kleshchev A.A. Elastic wave dynamics problems. Tara-keswar; London: Book publisher international, 2021. III, 140, [5] p.
References
1. A.A. Kleshchev. Physical model of sound scattering by a school of fish located near an interface. // Acoustic journal. 1977. Vol. 23, No. 3. P. 404-410 (in Russian).
2. A. Sommerfeld. Partial differential equations of physics. Moscow: Foreign Literature Publishing House, 1950. 456 p. (Russian translation).
3. E.A. Ivanov. Diffraction of electromagnetic waves by two bodies. Minsk: Science and Technology, 1968. 583 p. (in Russian).
4. A.A. Kleshchev. Physical model of sound scattering by a school of fish located near an interface. // Acoustic journal. 1979. Vol. 25, No. 1. P. 143-145 (in Russian).
5. I. Tolstoy, K.S. Clay. Ocean acoustics: theory and experiment in underwater acoustics. Moscow: Mir, 1969. 301 p. (in Russian).
6. A.A. Kleschev, I.I. Klyukin. Spectral characteristics of sound scattering by a body placed in a sound channel // Acoustic journal. 1974. T. 20, No. 3. P. 470-473 (in Russian).
7. A.A. Kleschev, E.I. Kuznetsova. Scattering of pulsed sound signals by a spheroidal body in a plane waveguide // Session of the Scientific Council of the Russian Academy of Sciences on acoustics and XXIV session of the Russian Acoustic Society: collection of works of scientific. conf. Moscow: GEOS, 2011. P. 198-201 (in Russian).
8. A.A. Kleshchev, E.I. Kuznetsova. Diffraction of impulse signals on spheroidal body, put in plane waveguide // International Journal of Theoretical and Mathematical Physics. 2012. Vol. 2, № 6. P. 211-214. DOI: 10.5923/j.ijtmp.20120206.06.
9. A.A. Kleshchev. Diffraction of pulse sound signals on elastic spheroidal shell, put in plane waveguide // Advanced Studies in Theoretical Physics. 2013. Vol. 7, № 15. P. 697-705. DOI: 10.12988/astp.2013.3554.
10. A.A. Kleschev. Diffraction of pulsed sound signals on elastic spheroidal bodies located in a plane waveguide // Marine Intellectual Technologies. 2015. No. 2 (28), T. 1. P. 77-81 (in Russian).
11. S.G. Lekhnitskiy. The theory of elasticity of an anisotropic body. 2nd ed., Rev. and add. Moscow: Nauka, 1977. 416 p. (in Russian).
12. L.M. Brekhovskikh. Waves in layered media. Moscow: Publishing house Acad. Sciences USSR, 1957. 502 p. (in Russian).
13. KleshchevA.A. Diffraction of sound signals at elastic shell of non-analytical form put in plane waveguide // Advances in Signal Processing. 2014. Vol. 2, № 2. P. 46-49. DOI: 10.13189/asp.2014.020202.
14. Kleshchev A.A. Diffraction of pulsed sound signals by elastic bodies of analytical and non-analytical forms, put in plane waveguide // Zeitschrift fur Naturforschung A. 2015. Vol. 70, № 6. P. 419-427. DOI: 10.1515/zna-2015-0062.
15. Kleshchev A.A. Diffraction, radiation and propagation of elastic waves in isotropic and ani-sotropic bodies. Newcastle-upon-Tyne: Cambridge Scholars Publishing, 2019. VI, 114 p.
16. A.A. Kleschev. Hydroacoustic diffusers. 2nd ed. St. Petersburg: Prima, 2012. 266, [1] p. (in Russian).
17. A.A. Kleschev. Plane waveguide with an anisotropic elastic bottom // Ocean Acoustics: reports of the XVII School-Seminar. acad. L.M. Brekhovskikh. Moscow: Institute of Oceanology RAS. 2020. P. 60-65. DOI: 10.29006 / 978-5-9901449-5-8-9 (in Russian).
18. A.A. Kleschev. Diffraction, radiation and propagation of elastic waves. Saar-brucken: Lambert, 2017. 280, [2] p. (in Russian).
19. A.A. Kleschev. Scattering of sound by ideal bodies of non-analytical form // General ship systems: collection of articles. scientific. works. Leningrad, 1989. P. 95-99. (Proc. of LCI; issue 233) (in Russian).
20. A.A. Kleschev. The method of integral equations in the problem of sound diffraction on an elastic shell of nonanalytic shape // Technical Acoustics. 1993. Vol. 2, Issue. 4(6). P. 65-66 (in Russian).
21. A.A. Kleschev. The method of integral equations in the problem of sound diffraction by bodies of non-analytical form // Morskoy Vestnik. 2013. Special. no. 1.PP. 94-98. (in Russian).
22. A.F. Seybert, T.W. Wu,X.F. Wu. Radiation and scattering of acoustic waves from elas-tic solids and shells using the boundary element method // Journal of the Acoustical Society of America. 1988. Vol. 84, № 5. P. 1906-1912.
23. Y.S. Podstrigach, A.P. Poddubnyak. Scattering of sound beams on elastic bodies of spherical and cylindrical shape. Kiev: Naukova Dumka, 1986. 261, [1] p. (in Russian).
24. K. Brebbia, S. Walker. Application of the boundary elements method in technology. Moscow: Mir, 1982. 248 p. (Russian translation).
25. B. Peterson, S. Strom. Matrix formulation of acoustic scattering from multilayered scatterers // Journal of the American Statistical Association. 1975. Vol. 57, № 1. P. 2-13.
26. V.L. Kupradze. Potential methods in the theory of elasticity. Moscow: Fizmatgiz, 1963. 472 p. (in Russian).
27. Application of the finite element method to solving problems of sound radiation by elastic shells / A.Yu. Dushin, S.L. Ilmenkov, A.A. Kleschev, V.A. Postnov // Interaction of acoustic waves with elastic bodies: reports of the AllUnion Symposium Tallinn: [B. I.], 1989. P. 89-91 (in Russian).
28. S.L. Ilmenkov, A.A. Kleschev, A.S. Klimenkov. Green's function method in the problem of sound diffraction by an elastic shell of non-canonical shape // Acoustic journal. 2014. Vol. 60, No. 6. P. 579-586 (in Russian).
29. A.A. Kharkevich. Spectra and Analysis. 3rd ed., Rev. Moscow: Gostekhizdat, 1957. 236 p. (in Russian).
30. A.A. Kleschev. Three-dimensional and two-dimensional (axisymmetric) characteristics of elastic spheroidal scat-terers // Acoustic journal. 1986. T. 32, No. 2. P. 268-270 (in Russian).
31. A.A. Kleschev, I.I. Klyukin. Fundamentals of hydroacous-tics. Leningrad: Shipbuilding, 1987. 224 p. (in Russian).
32. A.A. Kleschev. Debye and "Debye-type" potentials in problems of diffraction, radiation and propagation of elastic waves // Acoustic journal. 2012. T. 58, No. 3. P. 338-341 (in Russian).
33. A.A. Kleschev. Resonant scattering of sound on elastic spheroidal bodies and shells // Acoustic journal. 2014. Vol. 60, No. 3. P. 253-261 (in Russian).
34. KleshchevA.A. Elastic wave dynamics problems. Tara-keswar; London: Book publisher international, 2021. III, 140, [5] p.
Сведения об авторе
Клещёв Александр Александрович, д.ф.-м.н., профессор Санкт-Петербургского государственного морского технического университета. Адрес: 190008, Россия, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д. 3. Тел.: +7 (812) 783-15-46. E-mail: alexalex-2@yandex.ru.
About the author
Alexandr A. Kleschev, Dr. Sci. (Phys. & Math.), Prof., St. Petersburg State Marine Technical University. Address: 3, Lotsmanskaya st., St. Petersburg, Russia, post code 190008. Tel.: +7 (812) 783-15-46. E-mail: alexalex-2@yandex.ru.
Поступила / Received: 11.05.21 Принята в печать / Accepted: 22.07.21 © Клещёв А. А., 2021
