Научная статья на тему 'Аналогия при решении математических задач'

Аналогия при решении математических задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
688
69
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Аналогия при решении математических задач»

В.В. Афанасьев, А.А. Соловьева

АНАЛОГИЯ ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Аналогия знает все секреты природы.

И. К е п л е р

Среди различных форм умозаключений, наиболее часто используемых в практической и научной деятельности человека, важное место принадлежит умозаключениям по аналогии. Аналогия (греч. analogia - сходство, соответствие) представляет собой сходство, подобие предметов (явлений) в каких-либо свойствах, признаках, отношениях. Научных открытий, совершаемых по аналогии, множество. Закономерность распространения звука в воздухе была обнаружена на основе сравнения этого явления с распространением волн на поверхности воды, а природа света устанавливалась по аналогии со звуком. Д.И. Менделеев, открыв периодическую систему элементов, посредством аналогии предсказал свойства новых элементов. Примером использования аналогий служит и возникновение аналоговых математических машин, которые основаны на аналогии между системами физических и математических объектов.

Аналогия нашла свое применение не только в естествознании, технике и точных науках, но и в гуманитарной сфере: так, в теории стиха, например, строй русского сил-лаботонического стиха (утвердившегося со времен Ломоносова и господствовавшего до Маяковского) рассматривается по аналогии с греческим и силлабическим стихосложением на основе сходства в чередовании интенсив. В журналистике метод аналогии используется для создания креативных, ярких заголовков статей. На этом методе работают некоторые компьютерные программы по созданию заголовков, одним из примеров которых может служить программа "HeadLmer/Заголовщик" [6].

Аналогия может быть использована при экономическом анализе определенного исторического периода в развитии общества. Учитывая характер развития страны, мно-гоукладность ее экономического развития целесообразно сравнить со сходными признаками развития другой страны, прошедшей подобные периоды в своей истории. Метод аналогии в таком случае даст возможность учесть позитивное и негативное в развитии общества, избежать промахов и ошибок.

Умозаключения по аналогии присутствуют и в логике рассуждений врача, который ставит диагноз по сходству признаков болезни. С помощью суждений по аналогии юристы решают правовые вопросы. Сравнение конкретного уголовного дела с уже расследованными способствует выявлению сходства между ними, позволяет обнаружить ранее неизвестные признаки и обстоятельства преступления.

Воспитание этого необходимого во многих сферах человеческой деятельности качества ума следует начинать с малого, чтобы оно могло проявиться в большем, и занятия математикой в этом могут послужить одним из основных средств. Как известно, целью математического образования является не только усвоение определенного набора фактов, но и развитие мышления.

Сопоставление явлений и умозаключения по аналогии является основой при разработке новых гипотез, выявлении новых закономерностей. Ниже предлагаются новые варианты решений хорошо известных школьному учителю и учащимся арифметических задач, поиск которых осуществлялся на основе выводов по аналогии. Эти варианты продолжают идею геометрической интерпретации суммирования числовых рядов, изложенную одним из авторов в [1].

Пример 1. Представить выражение (а + Ъ)2 в виде суммы слагаемых.

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной (а + Ь). Разобьем его стороны на отрезки а и Ь, как показано на рисунке. Тогда площадь квадрата будет равна сумме площадей двух квадратов и двух прямоугольников:

Ь

а

Э4 Ээ

в1 Э2

а

Ь

(а + Ь)2 = (а + Ь\а + Ь )= ^ + £2 + £3 + £4 =

= а2 + аЬ + Ь2 + аЬ = а2 + 2аЬ + Ь2.

Пример 2. Представить третью степень суммы двух чисел (а + Ь)3 в виде суммы слагаемых.

Решение. Выражение (а + Ь)3 представимо как произведение сомножителей (а + Ь) и (а + Ь32. Рассмотрим прямоугольник со сторонами, равными соответствующим сомножителям, при этом сторону (а + Ь)2 разбиваем на отрезки а2, 2аЬ и Ь2, то есть возвращаемся назад к ранее разложенной на слагаемые формуле квадрата двучлена, реализуя метод рекурсии.

Ь а

Эб Э5 Э4

Э1 Э2 Ээ

2аЬ

(а + Ь)3 = (а + Ь\а + Ь)2 = ^ + £2 + £3 +

23 3 , , „1.2 . 1.3

+ £4 + + £6 = = а3 + 2а2 Ь + аЬ2 + Ь3 +

+ 2аЬ2 + а2Ь = а3 + 3а2Ь + 3аЬ2 + Ь3.

2

Ь

В приведенных примерах выражение (а + Ь)2 и (а + Ь)3 представляем как произведение двух сомножителей. В силу того, что площадь прямоугольника находится как произведение длин его сторон, формулу второй степени двучлена рассматриваем как площадь квадрата (частный случай прямоугольника) со стороной (а + Ь), куб двучлена

представляем как площадь прямоугольника со сторонами (а + Ь) и (а + Ь)2. При этом мы опираемся на выводы по аналогии свойств, которые применяются в тех случаях, когда с объекта на объект (с явления на явление) переносится информация, представляющая собой приписывание объекту (явлению) свойства [3.С. 74].

Пример 3. Представить выражение (а + Ь)4 в виде суммы слагаемых.

При разложении формулы (а + Ь)4, если размышлять по аналогии с предыдущими примерами, возможны два варианта рассуждений. Первый вариант состоит в том, что (а + Ь)4 мы видим как произведение первой и третьей степеней суммы (а + Ь), то есть (а + Ь )4 = (а + Ъ)-(а + Ь)3, и рассматриваем площадь прямоугольника со сторонами (а + Ь) и (а + Ь)3. Второй заключается в том, что (а + Ь)4 представляем как площадь квадрата со стороной (а + Ь)2.

Решение 1. Рассмотрим прямоугольник со сторонами (а + Ъ) и (а + Ъ)3, разбивая стороны в соответствии с методом рекурсии, как описано выше.

(а + Ъ)4 = (а + Ъ)а + Ъ)3 = ^ + + + + + + + =

b Se S7 Se S5

а Si S2 S3 S4

а3 3a2b 3ab2 b3

= a4 + 3a 3b + 3a2 b2 + ab3 + b 4 + 3ab3 + 3a 2b2 + a 3b = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 .

Решение 2. (а + b)4 рассмотрим как площадь квадрата со стороной (а + b)) = a2 + 2ab + b2, разбитой на отрезки.

b2 S7 Se Sg

2ab Se S5 S4

а2 Si S2 S3

а2 2ab b2

(a + b)4 = ((a + b)2) = S + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 + S9 = = a4 + 2a 3b + a 2b2 + 2ab3 + 4a 2b2 + 2a 3b + a 2b2 + 2ab3 + b4 = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 .

Два варианта решения возможны и при разложении формулы (а + b)5.

Пример 4. Представить пятую степень суммы двух чисел (а + b)5 в виде суммы слагаемых.

Решение 1. Рассмотрим прямоугольник со сторонами (а + b) и (а + b)4, разделив их, используя результат примера 3.

b Sio Sg Se S7 Se

a Si S2 S3 S4 S5

a4 4a3b 3a2b2 3ab3 b

(a + b )5 = (a + b)(a + b)4 = S, + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 + S9 + S10 = = a5 + 4a4 b + 6a3 a2 + 4a2 b3 + ab 4 + b5 + 4ab 4 + 6a2 b3 + 4a3 b2 + + a 4 b = = a5 + 5a 4b + 10a 3b2 + 10a2 b3 + 5ab 4 + b5.

Решение 2. Рассмотрим прямоугольник со сторонами (а + b)2 и (а + b )3, разделив их, как показано на рисунке.

b2 Sg Sio Sii S12

2ab Sa S7 Sa S5

a2 Si S2 S3 S4

a3 3a2b 3ab2 b3

(a + bf = (a + b)2 (a + b)3 = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 + S9 + S10 + S„ + S12 = = a5 + 3a 4b + 3a 3b2 + a 2b3 + 2ab 4 + 6a 2b3 + 6a3 b2 + 2a4 b + a3 b2 + 3a2 b3 + 3ab 4 + b5 =

= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.

Итак, ( + b) можно рассматривать как произведение двух выражений (a + b) ,

va / и представить как площадь прямоугольника со сторонами, равными соответствующим сомножителям (двухмерная геометрическая модель). Таким образом, в процессе поиска решений задач с помощью выводов по аналогии мы используем моделирование, и это не случайно, потому что умозаключения по аналогии являются логической основой метода моделирования [3].

От двухмерной модели возможен переход к трехмерной. Степень двучлена, начиная с третьей, можно рассмотреть как произведение 3-х сомножителей и представить как объем прямого параллелепипеда со сторонами, равными каждому из сомножителей. Появляется еще один вариант решения.

Решение 2 примера 2. Рассмотрим куб со стороной (a + b 3. Разделим его стороны, как показано на рисунке. Тогда объем исходного параллелепипеда будет равен сумме объемов полученных параллелепипедов:

i V5

VByK V7 /

i i i i

/ / / ✓ л ' 1 1 / —

/ /

a, ✓ b/ / V4 ✓ ✓ / e. V3

V1 ✓ ✓ V2 /

V6

(a + b)3 = V1 +V2 +V3 +V4 +V5 +V5 +V7 + V8 = = a3 + a 2b + ab2 + a2 b + ab2 + b3 + ab2 + a 2b = = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3.

b

a

b

a

При рассмотрении этого решения целесообразно обратить внимание учащихся на то, что прямоугольник на плоскости аналогичен прямому параллелепипеду в пространстве. Здесь проявляется одно из значений греческого слова «аналогия» - «пропорция, отношение», которое нашло свое отражение в еще одном основном типе логических выводов по аналогии отношений [3.С. 74]. Так, система двух чисел 4 и 6 «аналогична» системе двух чисел 8 и 12, так как отношения соответствующих членов этих двух систем согласуются, и отношение прямоугольника к плоскости такое же, как и отношение прямого параллелепипеда к пространству. С одной стороны возьмем отрезок и будем перемещать его параллельно самому себе в направлении прямой, пересекающей под прямым углом содержащую этот отрезок прямую; мы получим прямоугольник. Если возьмем прямоугольник и переместим его параллельно самому себе в направлении прямой, пересекающей под прямым углом содержащую этот прямоугольник плоскость, то получим прямой параллелепипед [4. С. 36].

Решение 3 примера 3. Рассмотрим параллелепипед со сторонами (а + Ъ), (а + Ъ), (а + Ъ)2

a2 2ab b2

(a + b)4 = (a + b))a + b )(a + b)2 = V1 + ... + V12 = = a 4 + 2a 3b + a2 b2 + ab3 + 2a2 b2 + a 3b + a2 b2 + 2ab3 + b4 + ab3 + 2a 2b2 + a3b =

= a4 + 4a3b + 6a2 b2 + 4ab3 + b 4. Решение 3 примера 4. Рассмотрим параллелепипед со сторонами (а + b), (а + b)2, (а + b)2.

2ab

(a + b)5 = (a + b)a + b)2 (a + b)2 = V1 + ... + V9 + V10 + ... + V18 =

b

a

b

a

b

a

= а5 + 2а 4 Ъ + а 3Ъ2 + 2а2 Ъ3 + 4а 3Ъ2 + 2а 4 Ъ + а 3Ъ2 + 2а2 Ъ3 + аЪ 4 + + Ъ5 + 2аЪ 4 + а2 Ъ3 + 2а3 Ъ2 + 4а2 Ъ3 + 2аЪ 4 + а2 Ъ3 + 2а 3Ъ2 + а 4 Ъ = = а5 + 5а4Ъ + 10а3Ъ2 + 10а2Ъ3 + 5аЪ4 + Ъ5.

Следует отметить, что построенные модели являются именно геометрическими (а не графическими, например), потому что при этом мы оперируем геометрическими понятиями: площадь прямоугольника, объем прямого параллелепипеда.

После рассмотрения различных вариантов решений задач с помощью геометрических моделей следует обратить внимание учащихся на то, что в случае, когда для одного и того же явления удается создать несколько разных моделей, целесообразно провести оценку средств моделирования для выбора оптимальной модели, то есть той, которая отражает все необходимые для данного исследования свойства объекта изучения и экономична в отношении затраченных ресурсов. В приведенных выше примерах представления степени двучлена в виде суммы слагаемых оптимальной является двумерная модель - площадь прямоугольника. Однако и построение более сложной трехмерной модели не лишено смысла. Это развивает наглядно-образное мышление, пространственное воображение и позволяет учащимся более глубоко вникнуть в суть метода аналогии.

Пример 1 можно продолжить, если увеличивать не степень суммы, как мы делали выше, а число слагаемых. Геометрической моделью в этом случае выступит площадь квадрата со стороной, равной сумме слагаемых.

Пример 5. Представить выражение (а + Ъ + с )2 в виде многочлена.

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной (а + Ъ + с).

Тогда площадь квадрата будет равна сумме площадей фигур, полученных при разбиении сторон на отрезки а, Ъ, с.

с Ь а

ас Ьс с2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

аЬ Ь2 Ьс

а2 аЬ ас

а Ь с

(а + Ъ + с)2 = а2 + Ъ2 + с2 + 2аЪ + 2ас + 2Ъс.

Пример 6. Представить выражение (а + Ъ + с + ё )2 в виде многочлена. Решение. Рассмотрим квадрат со стороной (а + Ъ + с + ё), состоящей из отрезков

а, Ъ, с, ё.

ас1 ЬС сс С2

ас Ьс с2 Сс

аЬ Ь2 Ьс ЬС

а2 аЬ ас аС

а Ь с с

(а + Ь + с + ё )2 = а2 + Ь2 + с2 + ё2 + + 2аЬ + 2ас + 2аё + 2Ьс + 2Ьё + 2сё .

Заметив аналогию трех формул из примеров 1, 5, 6, можно высказать предположение, что

2 2 2 2 (а, + а2 + ... + а ) = а, + а2 + ... + а +

\ 1 2 п / 1 2 п

+ 2а,а2 + 2а,а3 + ... + 2а,а + 2а2а3 + ... + 2а2а + 2а3а4 +... + 2а3а +... + 2а ,а .

12 , п 23 2п 34 3п п—! п

Учитывая, что выводы по аналогии иногда приводят к ложным предположениям, и свидетельств тому из истории развития математики множество, следует предложить учащимся сделать проверку данной гипотезы с помощью метода математической индукции.

Рассмотрим еще одну серию задач, решения которых аналогичны предыдущим

п 1П

по идее и аналогичны друг другу по структуре. Разложение двучленов вида а — Ь на множители также предлагается сделать с помощью двумерной геометрической модели.

т п—т 1Ш

Рассмотрим прямоугольник со сторонами а и а , отложив на них отрезки Ь и

—т

Ь (Ь<а) соответственно. Тогда прямоугольник, площадь которого равна а , будет

Ь

состоять из прямоугольника с площадью, равной вычитаемому , и еще из двух прямоугольников. Таким образом, двучлен а — Ь рассматриваем как сумму площадей двух прямоугольников.

Пример 7. Разложить двучлен а2 — Ь2 на множители.

Решение. Рассмотрим квадрат со сторонами, равными а. Разделим стороны, как показано на рисунке.

Ээ

Э1 Э2

0 Ь

а

а2 — = £ 2 + £ 3 = (а — а2 — Ь2 = (а — Ь)(а + Ь).

+ (а — Ь)а;

Пример 8. Представить двучлен а3 — Ь3 в виде произведения. Решение. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а и а2 .

Эз

Э1 Э2

а

а

- Б, = Б2 + Б3 = (а2 - Ъ2)ъ + (а - Ъ)а2;

- Ъ3 = (а - Ъ%а + Ъ)Ъ + а2 )= (а - Ъ)(а2 + аЪ + Ъ2)

а

2

Ь

Пример 9. Разложить двучлен а4 - Ъ4 на множители.

По аналогии с предыдущими примерами при разложении двучлена а4 - Ъ4 на

з

множители можно рассмотреть прямоугольник со сторонами а и а , площадь которого равна а4, но такую же площадь имеет квадрат со стороной а2. Следовательно, в этом случае можно предложить два решения.

Решение 1. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а и а3, разделив их, как показано на рисунке.

а 4 - Б = Б2 + Б3 = (а3 - Ъ3 )ъ + (а - Ъ)а3; а4 - Ъ4 = (а - Ъ%а2 + аЪ + Ъ2 )ъ + а3 ) = = (а - Ъ )(а3 + а2 Ъ + аЪ2 + Ъ3).

а Эз

Ь Э1 Э2

0 Ь3 а3

Решение 2. Рассмотрим квадрат со стороной а

а

Ь2

Эз

Э1 Э2

а4 -= Б2 + Б3 = Ъ4 + (а2 -Ъ2)ъ2 +(а2 -Ъ2)а2; а 4 - Ъ 4 = (а2 - Ъ2 )(а2 + Ъ2 ) = = (а - Ъ(а3 + а 2Ъ + аЪ2 + Ъ3).

0 Ь2

а

Во всех рассматриваемых примерах используется принцип наглядного изображения их решений, который позволяет учащимся более глубоко понять суть задачи и суть метода решения. Реализация принципа вариативности поиска решений обуславливает актуализацию разнообразных знаний студентов из различных областей математики и включение их в поиск нестандартных решений предлагаемых известных задач. Так же метод аналогии тесно связан с индукцией (переход от первого явления ко второму, от простого к более сложному), что и отражено в сериях примеров. Все это в совокупности способствует активизации и развитию мышления, лучшему усвоению знаний и обнаружению связей между ними.

Библиографический список

1. Афанасьев В.В. Геометрические интерпретации процесса суммирования некоторых числовых рядов //Математика в школе. 1995. №6. С. 65-67.

2. Грес П.В. Математика для гуманитариев. М.: Юрайт, 2000.

3. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Изд. 2-е. М.: Наука, 1975.

4. Уемов А.И. Логические основы метода моделирования: Монография. М.: Мысль, 1971.

5. Эрдниев Н.М. Аналогия в математике. М.: Знание, 1970.

6. HeadLiner Main Information. http://webcenter.ru/~prl/index/html

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.