Аналогия при решении математических задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.В. Афанасьев, А.А. Соловьева

АНАЛОГИЯ ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Аналогия знает все секреты природы.

И. К е п л е р

Среди различных форм умозаключений, наиболее часто используемых в практической и научной деятельности человека, важное место принадлежит умозаключениям по аналогии. Аналогия (греч. analogia - сходство, соответствие) представляет собой сходство, подобие предметов (явлений) в каких-либо свойствах, признаках, отношениях. Научных открытий, совершаемых по аналогии, множество. Закономерность распространения звука в воздухе была обнаружена на основе сравнения этого явления с распространением волн на поверхности воды, а природа света устанавливалась по аналогии со звуком. Д.И. Менделеев, открыв периодическую систему элементов, посредством аналогии предсказал свойства новых элементов. Примером использования аналогий служит и возникновение аналоговых математических машин, которые основаны на аналогии между системами физических и математических объектов.

Аналогия нашла свое применение не только в естествознании, технике и точных науках, но и в гуманитарной сфере: так, в теории стиха, например, строй русского сил-лаботонического стиха (утвердившегося со времен Ломоносова и господствовавшего до Маяковского) рассматривается по аналогии с греческим и силлабическим стихосложением на основе сходства в чередовании интенсив. В журналистике метод аналогии используется для создания креативных, ярких заголовков статей. На этом методе работают некоторые компьютерные программы по созданию заголовков, одним из примеров которых может служить программа "HeadLmer/Заголовщик" [6].

Аналогия может быть использована при экономическом анализе определенного исторического периода в развитии общества. Учитывая характер развития страны, мно-гоукладность ее экономического развития целесообразно сравнить со сходными признаками развития другой страны, прошедшей подобные периоды в своей истории. Метод аналогии в таком случае даст возможность учесть позитивное и негативное в развитии общества, избежать промахов и ошибок.

Умозаключения по аналогии присутствуют и в логике рассуждений врача, который ставит диагноз по сходству признаков болезни. С помощью суждений по аналогии юристы решают правовые вопросы. Сравнение конкретного уголовного дела с уже расследованными способствует выявлению сходства между ними, позволяет обнаружить ранее неизвестные признаки и обстоятельства преступления.

Воспитание этого необходимого во многих сферах человеческой деятельности качества ума следует начинать с малого, чтобы оно могло проявиться в большем, и занятия математикой в этом могут послужить одним из основных средств. Как известно, целью математического образования является не только усвоение определенного набора фактов, но и развитие мышления.

Сопоставление явлений и умозаключения по аналогии является основой при разработке новых гипотез, выявлении новых закономерностей. Ниже предлагаются новые варианты решений хорошо известных школьному учителю и учащимся арифметических задач, поиск которых осуществлялся на основе выводов по аналогии. Эти варианты продолжают идею геометрической интерпретации суммирования числовых рядов, изложенную одним из авторов в [1].

Пример 1. Представить выражение (а + Ъ)2 в виде суммы слагаемых.

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной (а + Ь). Разобьем его стороны на отрезки а и Ь, как показано на рисунке. Тогда площадь квадрата будет равна сумме площадей двух квадратов и двух прямоугольников:

Ь

а

Э4 Ээ

в1 Э2

а

Ь

(а + Ь)2 = (а + Ь\а + Ь )= ^ + £2 + £3 + £4 =

= а2 + аЬ + Ь2 + аЬ = а2 + 2аЬ + Ь2.

Пример 2. Представить третью степень суммы двух чисел (а + Ь)3 в виде суммы слагаемых.

Решение. Выражение (а + Ь)3 представимо как произведение сомножителей (а + Ь) и (а + Ь32. Рассмотрим прямоугольник со сторонами, равными соответствующим сомножителям, при этом сторону (а + Ь)2 разбиваем на отрезки а2, 2аЬ и Ь2, то есть возвращаемся назад к ранее разложенной на слагаемые формуле квадрата двучлена, реализуя метод рекурсии.

Ь а

Эб Э5 Э4

Э1 Э2 Ээ

2аЬ

(а + Ь)3 = (а + Ь\а + Ь)2 = ^ + £2 + £3 +

23 3 , , „1.2 . 1.3

+ £4 + + £6 = = а3 + 2а2 Ь + аЬ2 + Ь3 +

+ 2аЬ2 + а2Ь = а3 + 3а2Ь + 3аЬ2 + Ь3.

2

Ь

В приведенных примерах выражение (а + Ь)2 и (а + Ь)3 представляем как произведение двух сомножителей. В силу того, что площадь прямоугольника находится как произведение длин его сторон, формулу второй степени двучлена рассматриваем как площадь квадрата (частный случай прямоугольника) со стороной (а + Ь), куб двучлена

представляем как площадь прямоугольника со сторонами (а + Ь) и (а + Ь)2. При этом мы опираемся на выводы по аналогии свойств, которые применяются в тех случаях, когда с объекта на объект (с явления на явление) переносится информация, представляющая собой приписывание объекту (явлению) свойства [3.С. 74].

Пример 3. Представить выражение (а + Ь)4 в виде суммы слагаемых.

При разложении формулы (а + Ь)4, если размышлять по аналогии с предыдущими примерами, возможны два варианта рассуждений. Первый вариант состоит в том, что (а + Ь)4 мы видим как произведение первой и третьей степеней суммы (а + Ь), то есть (а + Ь )4 = (а + Ъ)-(а + Ь)3, и рассматриваем площадь прямоугольника со сторонами (а + Ь) и (а + Ь)3. Второй заключается в том, что (а + Ь)4 представляем как площадь квадрата со стороной (а + Ь)2.

Решение 1. Рассмотрим прямоугольник со сторонами (а + Ъ) и (а + Ъ)3, разбивая стороны в соответствии с методом рекурсии, как описано выше.

(а + Ъ)4 = (а + Ъ)а + Ъ)3 = ^ + + + + + + + =

b Se S7 Se S5

а Si S2 S3 S4

а3 3a2b 3ab2 b3

= a4 + 3a 3b + 3a2 b2 + ab3 + b 4 + 3ab3 + 3a 2b2 + a 3b = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 .

Решение 2. (а + b)4 рассмотрим как площадь квадрата со стороной (а + b)) = a2 + 2ab + b2, разбитой на отрезки.

b2 S7 Se Sg

2ab Se S5 S4

а2 Si S2 S3

а2 2ab b2

(a + b)4 = ((a + b)2) = S + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 + S9 = = a4 + 2a 3b + a 2b2 + 2ab3 + 4a 2b2 + 2a 3b + a 2b2 + 2ab3 + b4 = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 .

Два варианта решения возможны и при разложении формулы (а + b)5.

Пример 4. Представить пятую степень суммы двух чисел (а + b)5 в виде суммы слагаемых.

Решение 1. Рассмотрим прямоугольник со сторонами (а + b) и (а + b)4, разделив их, используя результат примера 3.

b Sio Sg Se S7 Se

a Si S2 S3 S4 S5

a4 4a3b 3a2b2 3ab3 b

(a + b )5 = (a + b)(a + b)4 = S, + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 + S9 + S10 = = a5 + 4a4 b + 6a3 a2 + 4a2 b3 + ab 4 + b5 + 4ab 4 + 6a2 b3 + 4a3 b2 + + a 4 b = = a5 + 5a 4b + 10a 3b2 + 10a2 b3 + 5ab 4 + b5.

Решение 2. Рассмотрим прямоугольник со сторонами (а + b)2 и (а + b )3, разделив их, как показано на рисунке.

b2 Sg Sio Sii S12

2ab Sa S7 Sa S5

a2 Si S2 S3 S4

a3 3a2b 3ab2 b3

(a + bf = (a + b)2 (a + b)3 = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 + S9 + S10 + S„ + S12 = = a5 + 3a 4b + 3a 3b2 + a 2b3 + 2ab 4 + 6a 2b3 + 6a3 b2 + 2a4 b + a3 b2 + 3a2 b3 + 3ab 4 + b5 =

= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.

Итак, ( + b) можно рассматривать как произведение двух выражений (a + b) ,

va / и представить как площадь прямоугольника со сторонами, равными соответствующим сомножителям (двухмерная геометрическая модель). Таким образом, в процессе поиска решений задач с помощью выводов по аналогии мы используем моделирование, и это не случайно, потому что умозаключения по аналогии являются логической основой метода моделирования [3].

От двухмерной модели возможен переход к трехмерной. Степень двучлена, начиная с третьей, можно рассмотреть как произведение 3-х сомножителей и представить как объем прямого параллелепипеда со сторонами, равными каждому из сомножителей. Появляется еще один вариант решения.

Решение 2 примера 2. Рассмотрим куб со стороной (a + b 3. Разделим его стороны, как показано на рисунке. Тогда объем исходного параллелепипеда будет равен сумме объемов полученных параллелепипедов:

i V5

VByK V7 /

i i i i

/ / / ✓ л ' 1 1 / —

/ /

a, ✓ b/ / V4 ✓ ✓ / e. V3

V1 ✓ ✓ V2 /

V6

(a + b)3 = V1 +V2 +V3 +V4 +V5 +V5 +V7 + V8 = = a3 + a 2b + ab2 + a2 b + ab2 + b3 + ab2 + a 2b = = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3.

b

a

b

a

При рассмотрении этого решения целесообразно обратить внимание учащихся на то, что прямоугольник на плоскости аналогичен прямому параллелепипеду в пространстве. Здесь проявляется одно из значений греческого слова «аналогия» - «пропорция, отношение», которое нашло свое отражение в еще одном основном типе логических выводов по аналогии отношений [3.С. 74]. Так, система двух чисел 4 и 6 «аналогична» системе двух чисел 8 и 12, так как отношения соответствующих членов этих двух систем согласуются, и отношение прямоугольника к плоскости такое же, как и отношение прямого параллелепипеда к пространству. С одной стороны возьмем отрезок и будем перемещать его параллельно самому себе в направлении прямой, пересекающей под прямым углом содержащую этот отрезок прямую; мы получим прямоугольник. Если возьмем прямоугольник и переместим его параллельно самому себе в направлении прямой, пересекающей под прямым углом содержащую этот прямоугольник плоскость, то получим прямой параллелепипед [4. С. 36].

Решение 3 примера 3. Рассмотрим параллелепипед со сторонами (а + Ъ), (а + Ъ), (а + Ъ)2

a2 2ab b2

(a + b)4 = (a + b))a + b )(a + b)2 = V1 + ... + V12 = = a 4 + 2a 3b + a2 b2 + ab3 + 2a2 b2 + a 3b + a2 b2 + 2ab3 + b4 + ab3 + 2a 2b2 + a3b =

= a4 + 4a3b + 6a2 b2 + 4ab3 + b 4. Решение 3 примера 4. Рассмотрим параллелепипед со сторонами (а + b), (а + b)2, (а + b)2.

2ab

(a + b)5 = (a + b)a + b)2 (a + b)2 = V1 + ... + V9 + V10 + ... + V18 =

b

a

b

a

b

a

= а5 + 2а 4 Ъ + а 3Ъ2 + 2а2 Ъ3 + 4а 3Ъ2 + 2а 4 Ъ + а 3Ъ2 + 2а2 Ъ3 + аЪ 4 + + Ъ5 + 2аЪ 4 + а2 Ъ3 + 2а3 Ъ2 + 4а2 Ъ3 + 2аЪ 4 + а2 Ъ3 + 2а 3Ъ2 + а 4 Ъ = = а5 + 5а4Ъ + 10а3Ъ2 + 10а2Ъ3 + 5аЪ4 + Ъ5.

Следует отметить, что построенные модели являются именно геометрическими (а не графическими, например), потому что при этом мы оперируем геометрическими понятиями: площадь прямоугольника, объем прямого параллелепипеда.

После рассмотрения различных вариантов решений задач с помощью геометрических моделей следует обратить внимание учащихся на то, что в случае, когда для одного и того же явления удается создать несколько разных моделей, целесообразно провести оценку средств моделирования для выбора оптимальной модели, то есть той, которая отражает все необходимые для данного исследования свойства объекта изучения и экономична в отношении затраченных ресурсов. В приведенных выше примерах представления степени двучлена в виде суммы слагаемых оптимальной является двумерная модель - площадь прямоугольника. Однако и построение более сложной трехмерной модели не лишено смысла. Это развивает наглядно-образное мышление, пространственное воображение и позволяет учащимся более глубоко вникнуть в суть метода аналогии.

Пример 1 можно продолжить, если увеличивать не степень суммы, как мы делали выше, а число слагаемых. Геометрической моделью в этом случае выступит площадь квадрата со стороной, равной сумме слагаемых.

Пример 5. Представить выражение (а + Ъ + с )2 в виде многочлена.

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной (а + Ъ + с).

Тогда площадь квадрата будет равна сумме площадей фигур, полученных при разбиении сторон на отрезки а, Ъ, с.

с Ь а

ас Ьс с2

аЬ Ь2 Ьс

а2 аЬ ас

а Ь с

(а + Ъ + с)2 = а2 + Ъ2 + с2 + 2аЪ + 2ас + 2Ъс.

Пример 6. Представить выражение (а + Ъ + с + ё )2 в виде многочлена. Решение. Рассмотрим квадрат со стороной (а + Ъ + с + ё), состоящей из отрезков

а, Ъ, с, ё.

ас1 ЬС сс С2

ас Ьс с2 Сс

аЬ Ь2 Ьс ЬС

а2 аЬ ас аС

а Ь с с

(а + Ь + с + ё )2 = а2 + Ь2 + с2 + ё2 + + 2аЬ + 2ас + 2аё + 2Ьс + 2Ьё + 2сё .

Заметив аналогию трех формул из примеров 1, 5, 6, можно высказать предположение, что

2 2 2 2 (а, + а2 + ... + а ) = а, + а2 + ... + а +

\ 1 2 п / 1 2 п

+ 2а,а2 + 2а,а3 + ... + 2а,а + 2а2а3 + ... + 2а2а + 2а3а4 +... + 2а3а +... + 2а ,а .

12 , п 23 2п 34 3п п—! п

Учитывая, что выводы по аналогии иногда приводят к ложным предположениям, и свидетельств тому из истории развития математики множество, следует предложить учащимся сделать проверку данной гипотезы с помощью метода математической индукции.

Рассмотрим еще одну серию задач, решения которых аналогичны предыдущим

п 1П

по идее и аналогичны друг другу по структуре. Разложение двучленов вида а — Ь на множители также предлагается сделать с помощью двумерной геометрической модели.

т п—т 1Ш

Рассмотрим прямоугольник со сторонами а и а , отложив на них отрезки Ь и

—т

Ь (Ь<а) соответственно. Тогда прямоугольник, площадь которого равна а , будет

Ь

состоять из прямоугольника с площадью, равной вычитаемому , и еще из двух прямоугольников. Таким образом, двучлен а — Ь рассматриваем как сумму площадей двух прямоугольников.

Пример 7. Разложить двучлен а2 — Ь2 на множители.

Решение. Рассмотрим квадрат со сторонами, равными а. Разделим стороны, как показано на рисунке.

Ээ

Э1 Э2

0 Ь

а

а2 — = £ 2 + £ 3 = (а — а2 — Ь2 = (а — Ь)(а + Ь).

+ (а — Ь)а;

Пример 8. Представить двучлен а3 — Ь3 в виде произведения. Решение. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а и а2 .

Эз

Э1 Э2

а

а

- Б, = Б2 + Б3 = (а2 - Ъ2)ъ + (а - Ъ)а2;

- Ъ3 = (а - Ъ%а + Ъ)Ъ + а2 )= (а - Ъ)(а2 + аЪ + Ъ2)

а

2

Ь

Пример 9. Разложить двучлен а4 - Ъ4 на множители.

По аналогии с предыдущими примерами при разложении двучлена а4 - Ъ4 на

з

множители можно рассмотреть прямоугольник со сторонами а и а , площадь которого равна а4, но такую же площадь имеет квадрат со стороной а2. Следовательно, в этом случае можно предложить два решения.

Решение 1. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а и а3, разделив их, как показано на рисунке.

а 4 - Б = Б2 + Б3 = (а3 - Ъ3 )ъ + (а - Ъ)а3; а4 - Ъ4 = (а - Ъ%а2 + аЪ + Ъ2 )ъ + а3 ) = = (а - Ъ )(а3 + а2 Ъ + аЪ2 + Ъ3).

а Эз

Ь Э1 Э2

0 Ь3 а3

Решение 2. Рассмотрим квадрат со стороной а

а

Ь2

Эз

Э1 Э2

а4 -= Б2 + Б3 = Ъ4 + (а2 -Ъ2)ъ2 +(а2 -Ъ2)а2; а 4 - Ъ 4 = (а2 - Ъ2 )(а2 + Ъ2 ) = = (а - Ъ(а3 + а 2Ъ + аЪ2 + Ъ3).

0 Ь2

а

Во всех рассматриваемых примерах используется принцип наглядного изображения их решений, который позволяет учащимся более глубоко понять суть задачи и суть метода решения. Реализация принципа вариативности поиска решений обуславливает актуализацию разнообразных знаний студентов из различных областей математики и включение их в поиск нестандартных решений предлагаемых известных задач. Так же метод аналогии тесно связан с индукцией (переход от первого явления ко второму, от простого к более сложному), что и отражено в сериях примеров. Все это в совокупности способствует активизации и развитию мышления, лучшему усвоению знаний и обнаружению связей между ними.

Библиографический список

1. Афанасьев В.В. Геометрические интерпретации процесса суммирования некоторых числовых рядов //Математика в школе. 1995. №6. С. 65-67.

2. Грес П.В. Математика для гуманитариев. М.: Юрайт, 2000.

3. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Изд. 2-е. М.: Наука, 1975.

4. Уемов А.И. Логические основы метода моделирования: Монография. М.: Мысль, 1971.

5. Эрдниев Н.М. Аналогия в математике. М.: Знание, 1970.

6. HeadLiner Main Information. http://webcenter.ru/~prl/index/html