К обоснованию степенного метода определения долей остаточного члена Текст научной статьи по специальности «Математика»

Моделирование. Математические методы

УДК 330.4/590.32

А. В. Орлов

К ОБОСНОВАНИЮ СТЕПЕННОГО МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДОЛЕЙ

ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА

Исходные положения и выбор критерия достоверности

От основоположников математического анализа унаследована проблема остаточного члена в виде разности между величиной Дг и символом dz. Считается, что эта разность представляет бесконечно малую величину более высокого порядка малости по сравнению со значениями Дг и dz. Замена величины полного приращения Дг на величину дифференциала dz допускается, когда разность между ними принимается в виде линейного приближения, а поставленная задача позволяет пренебречь величинами более высокого порядка малости. Если членами более высокого порядка пренебречь нельзя, надо рассматривать нелинейные приближения, т. е. учитывать следующие члены разложения. Для подобных случаев учеными предложен ряд способов по определению влияния долей остаточного члена на факторы, но «различные предложения ... не были логически безупречно мотивированы и остались непринятыми» [1]. Стояла задача показать, что любое «число» (в данном случае остаточный член) есть не только результат произведения, но и выражает сумму некоторых слагаемых, соответствующих количеству сомножителей, — проблема, которая считалась неразрешимой. В статье предложено обоснованное разделение остаточного члена между вызвавшими его факторами, которое в литературе отсутствует.

Проблема остаточного члена с особой остротой встала в экономике при определении долей прироста производной двухфактороной функции, общая формула которой имеет вид

Дг = ДхУп + ДуХ + ДхДу,

(1)

где ДхГ0 и ДуХ0 — факторы, а произведение ДхДу — остаточный, или третий, член, являющийся результатом взаимодействия независимых факторов. При дифференциальном исчислении третий член, как известно, интерпретируется как логическая ошибка и отбрасывается. Отбросить и исключить его из рассмотрения можно при заведомо допустимой точности вычисления и этому есть объяснение: точность вычисления не может быть выше точности измерения. Но при решении определенного класса задач приходится учитывать влияние частей остаточного члена на факторы. Возникает желание «разобраться» с этим членом и обоснованно распределить его между факторами. На основе графической интерпретации выражения (1) практически невозможно оценить влияние остаточного члена на каждый из факторов и разложить произведение из двух сомножителей на сумму из того же числа слагаемых. Различные варианты по его распределению известны под рубрикой «Экономический факторный анализ» [2].

В процессе длительного обсуждения этого вопроса сложилось негативное отношение к предложениям по разделению остаточного члена. Любое из них воспринимается как «очередное бесперспективное упражнение», утверждается, что произведение разложить в сумму функций от сомножителей вида АкД!' = = ф(Д^) + ф(Д/) нельзя, поскольку задача имеет целый континуум решений [3]. Действительно, количество способов по разделению произведения на части не имеет ограничений, но решение, отвечающее заданному критерию достоверности, может быть только одно.

Критерием достоверности предлагаемого метода выступает требование по представлению

результирующего показателя (Дг) в виде суммы приведенных факторов без остатка, т. е. без конструирования дополнительных условий и использования метода последовательных приближений. Присоединение долей остаточного члена к факторам и будет соответствовать их приведенным значениям (в данном случае ф(ДА) и ф(ДР) — приведенные факторы).

Метод должен оставаться справедливым вне зависимости от абсолютных значений анализируемых величин, количества задействованных факторов и их одно- или разнонаправленного действия.

При определении долей остаточного члена выполнение этих требований является обязательным. Результат деления остаточного члена отражает аналогичные изменения факторов, а равенство факторов сопровождается равенством долей остаточного члена.

Задача исследования состоит в обосновании метода по точному и однозначному определению доли влияния каждого в отдельности фактора на результирующий показатель (общий прирост Дг). Алгебраическим путем предполагается получить алгоритм, с помощью которого достигаются однозначный результат вычисления долей остаточного члена и их участие в определении приведенных значений факторов. Алгоритм позволит разложить приращение функции нескольких независимых переменных на равное числу сомножителей количество независимых слагаемых. Каждое слагаемое должно обладать однородными признаками и содержать только ему присущую величину влияния на результирующий показатель. Вопрос касается установления правил по определению долей независимых слагаемых, в соответствии с которыми формируется величина остаточного члена.

Приступая к обоснованию решения, обратим внимание на следующее обстоятельство, которое является основополагающим. Принято считать, что сомножители, определяющие площадь, представляют результат произведения: налицо переход от независимых величин-факторов к их гибриду — объединению «разных» сомножителей. Представим иной подход к нахождению размера площади (в данном случае остаточного члена). Считаем, что каждый фактор-сомножитель участвует в его образовании как самостоятельная

и независимая величина, а в сумме они заполняют всю площадь.

В качестве необходимого признака долей остаточного члена принимаем условие о независимости определяющих его частей. Каждая доля включает только однородные и однопо-рядковые составляющие. Такое решение было найдено и его практическая работоспособность подтверждена в ряде публикаций на конкретных примерах и в сравнении с другими предложениями [4—7]. В качестве достаточного признака для определения долей остаточного члена принимаем условие об ограничении его величины конкретными границами, выход за которые недопустим.

Соблюдение необходимого и достаточного признака принимаем за выполнение критерия достоверности по определению долей остаточного члена.

Нахождение алгоритма для определения долей остаточного члена

В качестве типичного случая рассмотрим произвольную функцию двух независимых переменных, производная произведения которых в развернутом виде представлена выражением (1).

Имеются два независимых компонента X и У, произведение которых равно 2. Их начальные значения обозначим как Х0, У0, последующие — через X, У, 2. Переход от начальных величин к последующим дискретный, между ними не существует промежуточных значений, т. е. предполагается мгновенное изменение величин. Абсолютный прирост обозначим соответственно через Дх = X — Х0, Ду = У— У0, Дг = = Z — 2й. Общий прирост находим по формуле

^ + Дг = (X + Дх)(У) + Ду).

После умножения и сокращения приходим к формуле (1):

Дг = ДхУ0 + ДуX0 + ДхДу.

С целью упрощения дальнейших выкладок представим компоненты и факторы в относительных величинах — темпах роста I, I, I

г х у' г

и темпах прироста I, у I..

Достоинство относительных величин — в их универсальности, что обеспечивает сопо-

ставимость и соизмеримость анализируемых факторов. Они обладают всеми необходимыми качествами для проведения исследования.

Начальные значения темпов роста равны единице, а темпов прироста — нулю. Разделив выражение (1) на Х0У0 = получаем

= Дх/Х0 + Ду/у + ДхДу/Х0У0,

здесь каждая часть в темпах прироста равна соответственно гг = Дг/^, 1х = Дх/Х0, гу = Ду/У0. В относительных приростных величинах общий прирост (результирующий показатель) представляет формула

г = г + г + г г, (2)

г х у х у' ^ '

где г г — остаточный член.

ху

Требуется определить доли остаточного члена, которые должны быть присоединены к факторам (гх и гу) с тем, чтобы получить их приведенные значения:

г = гпр + гпр

г х у,

где гпр = г + К г г и гпр = г + К г г при К = 1 - К.

х х 1 ху у у ^ х^ ^ " 1

Выражение (2) позволяет с необходимой наглядностью дать геометрическое истолкование производной функции двух переменных в относительных величинах (см. рис. 1, на

X

А,

С,

ь2

А

С

О

D

У

Рис. 1. Геометрическое истолкование производной функции двух переменных в относительных величинах

котором остаточный член представлен в качестве самостоятельного объекта исследования). На рис. 1 представлено следующее: первоначальная площадь квадрата ОАСВ,

равная ¿0аСТ = 1х0 •у = 1 = К

прирост первоначальной площади по оси X—

^всвв, = гх • 1у0 = 1 ■ К =

прирост первоначальной площади по оси У —

^ааас = 'у ' 1х0 = 1 ■ 'у = 'у;

площадь остаточного члена — $сс 0 0 = 11;

прирост общей площади — «Уда одвс =

= г = г + г + И .

г х у ху

Требуется определить, из каких независимых и однородных частей образуется площадь остаточного члена с последующим присоединением полученных долей к своим однородным факторам (г или г) для получения их при-

ху

веденных значений гпрх, гпру .

С целью дальнейшего упрощения изложения произведем замену обозначений ¡х = а, гу = Ь; 11у = аЬ и сделаем дополнительное построение на рис. 1. В прямоугольнике СС^^ проведем диагональ С^, которая является гипотенузой для двух равных прямоугольных треугольников: ДСС^ и АC1DD1. На смежных сторонах прямоугольника построим квадраты, соответственно равные а2 и Ь2, которые представляют собой составные части прироста площадей (по оси X — 1S'BCDBl, по оси у — ^да^.

По условию задачи факторы а и Ь — независимые величины, следовательно, и их квадраты а2 и Ь2 также независимы друг относительно друга. Величины а и а2, Ь и Ь2 — однородные пары относительно друг друга. Площадь остаточного члена равна произведению 0 0 = 11у, которое по определению есть среднегеометрическая величина относительно значений а2 и Ь2, что доказывается алгебраически. Поочередно умножая неравенство а < Ь на а и Ь, получаем эквивалентные ему неравенства с2 <|«й|; |яй|<62, объединяя которые имеем геометрическую

О I I о

прогрессию а <\аЬ\<Ь со знаменателем Ь/а.

Обоснованным и, что естественно, единственным будет решение, в соответствии с которым каждая доля остаточного члена включает только часть величины а2 либо часть величины Ь2. Соблюдение этого условия означает, что необходимый признак по разделению остаточного члена на две независимые друг от друга части выполняется, и такое решение может быть только единственным. Для доказательства

2

а

его выполнения сделаем на рис. 1 дополнительное построение. В ДСС^ опустим на гипотенузу высоту СК и получим два подобных прямоугольных треугольника ДCDK ~ ДСС1К, которые подобны и треугольнику ДСС^. Из подобия этих треугольников и свойства теоремы Пифагора находим, что

26ДОТк = а2 аЬ/(а2 + Ь2),

Кьа* = Ь2 аЬ/(а2 + ь).

(3)

(4)

Эти площади в сумме определяют величину остаточного члена ^ = аЬ = 11у. Получено решение, в соответствии с которым одна доля остаточного члена пропорциональна только величине а2, другая — только Ь2. Очевидно, что решение единственное. Найденные выражения для долей позволяют заключить, что площадь остаточного члена представляет не механическое соединение двух независимых величин (аЬ), как принято считать, а образуется из двух разнородных долей, содержащих конкретную информацию о своем составе. Происходит не смешивание двух независимых величин, а их сложение, и получается нечто единое, или общее.

На основе представленного решения можно заключить, что фактически единого остаточного члена не существует, а есть две независимые друг от друга величины — доли, сумма которых и определяет величину остаточного члена. Его площадь в качестве единицы размерности содержит два различных квадрата, между тем как стороны остаточного члена имеют другую единицу размерности — длину.

В качестве иллюстрации необходимого признака приведем пример с двумя несмешивающи-мися жидкостями. Каждая из них растекается по всей площади остаточного члена и полностью заполняет ее. Графическая интерпретация процесса представлена на рис. 2.

На рис. 2 показано, что остаточный член образуется из двух независимых друг от друга частей (а2 и Ь2) аналогично независимым между собой величинам (а и Ь). Кривая Ь, соединяющая точки С и D1, находится методом вариационного исчисления, все данные для этого известны: CD = а; DD1 = Ь; SCLDlD = а2аЬ/(а2 + Ь2).

Отношение долей остаточного члена принимаем за коэффициент его деления: d = = „ = а2/Ь2. Точно такое же отношение

ДCDK' ДСС1К '

имеет и квадрат, построенный на диагонали С^ прямоугольника, площадь этого квадрата равна сумме а2 + Ь2, т. е. состав остаточного члена и квадрата подобен и однороден. Отсюда следует: площадь любого прямоугольника делится в том же самом отношении, что и площадь квадрата, построенного на диагонали этого прямоугольника (любой квадрат является частным случаем своего прямоугольника). Равенство коэффициентов деления прямоугольника и квадрата есть следствие, непосредственно вытекающее из теоремы Пифагора и характеризующее прямую зависимость между ними.

Пропорцию, в соответствии с которой находится площадь остаточного члена относительно суммы квадратов (а2 + Ь2), принимаем за алгоритм (Ал). Для двухфактороной функции он равен

Ал = аЬ/(а2 + Ь2).

(5)

Учтем следующий момент: а и Ь — независимые величины, следовательно, и отношения п = а/Ь и п2 = а2/Ь2 независимые. Заменив в выражении (5) а на пЬ, получим

Ал = п/(п2 + 1).

Это означает, что найденный алгоритм — независимая величина относительно значения остаточного члена.

С,

D,

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + +++ + ■

+++ + + + ++ + + ++ + + + ++ + ++ ++■!_

++ + + +

I- + + + + + + + + + + + ++ + + + ++ + + + - + »- + + ++ + ++ + + ++ ++ + ++ ++ + ++ +++,

С

шп»

и V V Щ и V V (ККШЮОО

ооооюоо

пи ид м;К1 о

Рис. 2. Образование независимых долей остаточного члена

Алгоритм характеризует удельный вес остаточного члена (прямоугольника) относительно долей квадратов, построенных на смежных сторонах прямоугольника. Числитель алгоритма есть среднегеометрическая величина по отношению к квадратам а2 и Ь2, которые определяют границу существования остаточного члена. Предложенное разделение представляет единственно обоснованное решение, поскольку одна часть площади остаточного члена пропорциональна только а2, а другая — только Ь2. При этом остаточный член находится в границах величин, отвечающих за его разделение и четко определяющих его местоположение.

Алгоритм получен на основе ясного геометрического построения и простых алгебраических преобразований. Благодаря этому любое произведение можно обоснованно разложить на сумму слагаемых без остатка при соблюдении необходимого и достаточного признаков (выполнение критерия достоверности). Для этого необходимо представить любое число-произведение частью общей системы, которая включает компоненты (начальные и последующие), их разность в виде факторов и произведение этих факторов — остаточный член. Достоверность решения, полученного на основе алгоритма, подтверждается выполнением критерия достоверности: деление остаточного члена происходит в отношении а2/Ь2, а его величина аЬ ограничена «снизу» и «сверху» квадратами а2 и Ь2 как среднегеометрическая величина в геометрической прогрессии. Область, ограниченная квадратами а2 и Ь2, включает множество чисел, но только одно из них соответствует значению остаточного члена.

При вещественных значениях а и Ь доли остаточного члена на основе алгоритма определяются точно и без всякого остатка единственно возможным способом на основе правил элементарной математики. Обоснованность предлагаемого метода подтверждается следствием, вытекающим из теоремы Пифагора: прямоугольник делится в том же самом отношении, что и квадрат, построенный на диагонали этого прямоугольника.

На основе предложенного алгоритма можно эффективно находить производную функцию при ее существовании, однозначно и обоснованно разложить остаточный член между вызвавшими его факторами, т. е. от

мультипликативной формы перейти к аддитивной с тем же самым числом слагаемых. В качестве подтверждения работоспособности предложенного метода рассмотрим конкретный пример.

Пример 1. Дано число а, которое представим произведением 1а (остаточный член), где г = 1; г = а. По формуле г = г + г + г г находим:

х 'у -гг.? г х у х у

г = 1 + а + а = 1 + 2а при = 1 + а/(1 + а2), г^ = а + аа2/(1 + а2), сумма которых равна г = = /7 + ф = 1 + 2а.

Пример 2. Дано I = I I , где темпы роста раз-нонаправлены: I = 0,8; I = 1,4; I = 1,12. Темпы

г х ' ' у ' ' г '

прироста и остаточный член соответственно равны г = 0,12; г = -0,2; г = 0,4; И = -0,08,

г ' ' х у ' ' х у

т. е. 0,12 = — 0,2 + 0,4 — 0,08. Геометрическая прогрессия имеет вид 0,04; 0,08; 0,16. Используя формулы приведенных значений гпрх = = г г12 /(г2 + г2) и /пр = г г12 /(г2 + г2), находим их

х у х х у у х у у х у

численные значения: г^ = -0,2 - 0,008-0,4/(0,04 + 0,16) = -0,216; г^ = 0,4 - 0,2-0,064/(0,04 + 0,16) = 0,336; г = /?р + С = -0,216 + 0,336 = 0,12.

г х у ' ' '

При факторах, изменяющихся в противоположных направлениях, закон распределения остаточного члена подчинен общему правилу.

Имея методику разложения для двухфак-тороной модели, несложно вывести формулу для трехфакторных и более моделей. В темпах роста трехфакторная модель имеет вид 1к = = III, а в темпах прироста —

г = г + г + г + г г +г г + И + г г г. (6)

V х у г х у х г у г х у г

С учетом зависимостей (3) и (4) получаем трехчленную формулу

г = &+ С+

V X У 2 '

где /^Р, — приведенные значения темпов

прироста трехфакторной модели. Алгоритм для трехфактороной модели имеет вид

Ал3 = УЛ/Ох+£+'«).

или

аЬс/(а3 + Ь3 + с3).

Этот алгоритм выступает вослед предшествующему алгоритму — Ал.

17 = /„ I, к + 1, I

.2 1х1у

Уо 20 х

2»х ;2+/2 'х у

,2 , ,2 "'"'г

•пр • .2 'Л -2 -3

* 'х .2 .2 Л .2,-2 X .3

; (А)

+ 1.

х -3 -3 -3 + + г> х у 1г

•пр = . -2 'Л -2 У; -3 . (В)

У У У ■2 .2 У .2 .2 У .3 .3 .3 ' * ' 1+1 1+1 1+1+1 1Х т 1у 1у т 'г 'г

/Щ» -1 +/2 'Л -2 -3

г г г .2 -2 " "

ЧуЬ

г .2 .2 2 .3 .3 .3 I"+ 1" 1+1 1 +1 +1

1х т 'г '.у 'г 1хт V г

• (С)

Пример 3. Дано / , = / 1у I, где темпы роста разнонаправлены: / = 1,2; I = 0,7; I = 1,5; /, = 1,26. Темпы прироста и остаточный член равны соответственно г = 0,26; г = 0,2; г =

Г м ' ' х ' ' у

= -0,3; г = 0,5; Ш = -0,03, т. е. 0,26 = 0,2 -

'' г х у г

- 0,3 + 0,5 - 0,06 - 0,15+ 0,1 — 0,03. Подставив принятые значения темпов прироста в формулы (А), (В), (С), получим

= 0,2 - 0,0184615 + 0,0137931 - 0,002264 = = 0,193066;

^ = - 0,3 - 0,041534 — 0,039706 + 0,00764 = = -0,3736;

= 0,5+ 0,086207 - 0,110294 — 0,035378 = = 0,440535;

г = 0,193068 - 0,3736 + 0,440535 = 0,26.

По аналогии с определением алгоритма для трехфактороной функции находим алгоритм для четырехфакторной функции:

Ал. = ш//(£ + £+14+

4 х у г V ^ х У 2 V7

который выступает вослед предшествующему Ал3 при сохранении однопорядковости.

Однопорядковость достигается в результате учета соответствующих начальных значений компонентов, дополняющих и конкретно определяющих соответствующие слагаемые приведенных значений факторов, т. е. за счет содержательной стороны явления. Например, при трехфакторной функции приведенные значения фактора гпрх с учетом начальных значений компонентов имеют вид

Здесь каждая доля остаточного члена состоит из однородных и однопорядковых частей, что придает методу универсальный характер, а учет коэффициента перед алгоритмом в показательной степени, соответствующий количеству сомножителей, позволяет назвать предложенное решение степенным методом.

Графическая интерпретация трехфакторной функции может быть представлена параллелепипедом, на трех сопряженных ребрах кото-

3 3 3

рого построены соответствующие кубы гх, 1у, /г. Для объектов четырехмерных и более высокого порядка размерности графическая интерпретация затруднена, но сохраняется закономерность в отношении способа получения всех последующих алгоритмов.

Универсальность степенного метода позволяет получить общее выражение итогового приращения (гп) для любой п-мерной функции. Степенной метод позволяет: с помощью простых алгебраических действий получить результат, который может быть определен с точностью до любого наперед заданного знака без остатка;

автоматически учитывать степень функции и знак ее членов; методом можно пользоваться долго не размышляя и не задумываясь, что важно для практики;

выражение алгоритма для п-мерной функции остается справедливым вне зависимости от абсолютных значений анализируемых величин;

многофакторные функции соответствуют объектам от прямоугольника до п-мерных фигур. Их разделение на слагаемые подчинено правилам элементарной математики, на основе которых достигается полная и достоверная информативность решения;

каждая доля остаточного члена состоит из однородных и однопорядковых значений в соответствии со степенью анализируемой функцией, которая определяется количеством сомножителей, входящих в нее;

при темпах прироста в пределах от 0 до 1 величина остаточного члена уменьшается; при

темпах прироста больше единицы она увеличивается;

однопорядковость членов, входящих в состав приведенных формул, обеспечивается в соответствии с содержательной стороной производимых над анализируемым объектом операций.

На основе степенного метода и его графической интерпретации можно:

предложить решение по разделению акватории Каспийского моря между сопредельными государствами математически обоснованным способом. Предложенный подход может быть взят за основу и при решении других аналогичных проблем;

дать оценку различным приближенным способам, которые существуют и вполне пригодны для практики [8];

наглядно пояснить, почему при умножении (+ 5) ■ (-2) = -10, а при умножении (-5) ■ (-2) = = + 10.

Степенной метод позволил получить общее выражение итогового приращения (Дг или г) не только для двучленной, но и для л-мерной функции. Он не зависит от абсолютных значений величин, представляющих остаточный член, а также их направленности и количества. Предложенный метод сам по себе имеет познавательную ценность. Вполне возможно, что он окажется востребованным не только для экономико-статистических расчетов оценки экономического роста (что, безусловно, важно), но и в иных областях и сферах научно-практической деятельности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Экономическая энциклопедия. Политическая экономия. [Текст]: Т. 1 / Гл. ред. А.М. Румянцев. — М.: Сов. энциклопедия, 1972. — С. 554.

2. Блюмин, С.Л. Экономический факторный анализ [Текст] / С.Л. Блюмин и др. — Липецк: Изд-во ЛЭГИ, 2004. — 148 с.

3. Раяцкас, Р.Л. Количественный анализ в экономике [Текст] / Р.Л. Раяцкас, М.К. Плакунов. — М.: Наука, 1987. — С. 135, 136.

4. Орлов, А.В. Два подхода к разложению прироста по факторам [Текст] / А.В. Орлов // Вестник статистики. — 1987. — № 3. — С. 61-66.

5. Орлов, А.В. Степенной метод разложения прироста по факторам [Текст] / А.В. Орлов; АН СССР, ЦЭМИ // Вероятностно-статист. мето-

ды в экономико-матем. моделировании. — М., 1988. — С. 99-119.

6. Орлов, А.В. Оценка эффективности примененных ресурсов [Текст] / А.В. Орлов // Вестник статистики. — 1989. — № 12. — С. 54-57.

7. Орлов, А.В. Степенной метод разделения дополнительного прироста между вызвавшими его факторами [Текст] / А.В. Орлов // Науч.-техн. ведомости СПбГТУ. — 2007. — № 3 (51). — С. 193-204.

8. Орлов, А.В. Очерки общей экономической теории. Рационалистический подход [Текст] / А.В. Орлов. — СПб.: Изд-во Политех. ун-та, 2004. — С. 124-125.