Аналоги теоремы Крейна-Мильмана для ограниченных выпуклых множеств в бесконечномерных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Аналоги теоремы Крейна-Мильмана для ограниченных выпуклых множеств в бесконечномерных пространствах

Ф. С. Стонякин

Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь 295007. E-mail: [email protected]

Аннотация. В работе на базе предложенной ранее системы антикомпактных множеств в классе банаховых пространств, имеющих счётное тотальное множество линейных непрерывных функционалов, получены аналоги теоремы Крейна-Мильмана о крайних точках для не обязательно компактных выпуклых ограниченных множеств. В банаховых пространствах, имеющих антикомпакты, доказан аналог теоремы Хана-Банаха о продолжении всякого линейного непрерывного функционала, заданного на исходном пространстве на пространство, порождённое некоторым антикомпактом. На базе этого результата получено описание всякого ограниченного выпуклого замкнутого множества в банаховом пространстве, имеющем антикомпакт, через выпуклые компакты в пространствах, порождённые антикомпактами в исходном пространстве и сформулирован соответствующий аналог теоремы Крейна-Мильмана. Ключевые слова: банахово пространство, антикомпакт, тотальное множество линейных непрерывных функционалов, теорема Крейна-Мильмана, теорема Хана-Банаха о продолжении линейного непрерывного функционала.

Введение

Хорошо известна теорема Крейна-Мильмана, утверждающая совпадение всякого выпуклого компакта с выпуклой замкнутой оболочкой своих крайних точек [2]. Однако в бесконечномерном случае эта теорема уже, вообще говоря, неверна в классе выпуклых ограниченных замкнутых множеств[1, 2]. Более того, некомпактное выпуклое множество в бесконечномерном пространстве может вообще не иметь крайних точек [1, 2].

Существуют аналоги теоремы Крейна-Мильмана для ограниченных множеств в бесконечномерных банаховых пространствах. Наиболее известный подход заключается в выделении класса банаховых пространств E с так называемым свойством Крейна-Мильмана. Но это свойство неверно во многих важнейших банаховых пространствах, среди которых пространства числовых последовательностей со и [2]. Также следует упомянуть обобщения теоремы Крейна-Мильмана для замкнутых ограниченных множеств в банаховых пространствах, имеющих гладкое сопряжённое [3]. Задача построения аналога теоремы Крейна-Мильмана для необязательно компактных (и даже необязательно выпуклых) множеств была исследована М.В. Балашовым и Е.С. Половинкиным в [4, 5] методами сильно выпуклого анализа в классе гильбертовых пространств.

Мы же ставим задачу получить аналог теоремы Крейна-Мильмана для необязательно компактных множеств в бесконечномерном случае без столь существенных сужений класса пространств. Наш подход к рассматриваемой проблеме основан на понятии антикомпактного множества в банаховых пространствах, которое введено и исследовано

© Ф. С. СТОНЯКИН

нами ранее в работах [6, 7]. Такой подход даёт возможность рассматривать класс пространств, который существенно отличен от класса пространств со свойством Крейна-Мильмана и седержит, в частности, пространства последовательностей со и

Работа состоит из введения и трёх основных разделов. В первом разделе мы напоминаем понятие антикомпактного множества в банаховых пространствах, приведены два примера систем антикомпактов — системы эллипсоидов в сепарабельных гильбертовых пространствах, а также системы эллипсоидов в пространстве числовых последовательностей (примеры 1 и 2). Также приведены полученные ранее результаты, описывающие класс банаховых пространств, имеющих антикомпакты (теорема 1 и следствие 1).

Во втором разделе мы доказываем вспомогательный результат, который утверждает, что для всякого банахова пространства E, имеющего антикомпакт, сопряжённое ему пространство E* представимо в виде векторного индуктивного предела сопряжённых пространств E^, порождённых антикомпактами C € C(E) (теорема 2). Это, по сути,

с

аналог теоремы Хана-Банаха о продолжении линейного непрерывного функционала.

И, наконец, в третьем разделе получены финальные результаты работы — аналоги теоремы Крейна-Мильмана о крайних точках для ограниченных выпуклых не обязательно компактных множеств в банаховых пространствах, имеющих антикомпакты. Первый результат утверждает включение всякого ограниченного (не обязательно замкнутого) выпуклого множества A в некоторый компакт в Eс и, как следствие, в замкнутую выпуклую оболочку его крайних точек (лемма 3). Второй аналог теоремы Крейна-Мильмана для банаховых пространств, имеющих антикомпакты — более тонкий результат, точно описывающий всякое выпуклое замкнутое ограниченное множество в терминах крайних точек его замыканий в пространствах, порождённых антикомпактами (теорема 3).

1. Определение и примеры антикомпактов

Обозначим через Q,ac(E) набор всех замкнутых абсолютно выпуклых подмножеств пространства Фреше Е.

Определение 1. Назовем множество C € Q-ac антикомпактным в E, если:

(i) pc(a) = 0 ^ a = 0 вЕ (или f| Л • C = {0});

А>0

(ii) любое ограниченное подмножество E содержится и предкомпактно в пространстве Ec = (span C, pe(•)). Здесь под Рс(^) мы понимаем функционал Минковского абсолютно выпуклого множества C С E и считаем что Eс пополнено относительно нормы || • Ус = Рс(•). Примем обозначение: C(E) — набор антикомпактных подмножеств пространства Фреше E.

Приведём примеры антикомпактных множеств (или, сокращённо, антикомпактов) в некоторых пространствах.

Пример 1. Пусть E = H = I2 — сепарабельное гильбертово пространство. В таких пространствах существует система так называемых эллипсоидов [8]. Пусть е = (е\,£2, ■ ■■,еп, ■ ■■) — последовательность положительных чисел. Для каждой такой последовательности е эллипсоидом называется следующее множество

( ™ x \2 )

CE = < X = (X1,X2, ...,Xn, ...) € I2 I У^ —%r < 1> . { k=l £k )

Доказано, что Ce компактно тогда и только тогда, когда е ^ 0 (см. [8]). Отметим, что множество Ce абсолютно выпукло. Норма || • 1с Е, порождённая Ce в пространстве Hos = span Ce, имеет вид

(Е xrl2

\k=1 ß2k )

INI = 1/. 2

£k

2 12

Лемма 1. Если £ — ж, то C£ — антикомпакт.

Доказательство. Действительно, поскольку любое ограниченное множество B С H поглощается единичным шаром, то, не уменьшая общности рассуждений, вместо B достаточно рассмотреть единичный шар

в = jж = [xk}e I2 | ¿ x\ < lj .

Ясно, что рв(•) = II • Це2 • Так как

~ ~ I™, |2 ~ ¡X'21

|x|22 = ZIxkI2 = z£k-Xt = ZЩ k=l k=l k k=l k

где £k = -l и E = (El, Ж2,..., xn,...) € Hqs, xk = x (£ — +ж), то ввиду £k — 0 при k — ж имеем, что — B компакт в Eq£ , т.е. C£ антикомпактно в H. □

Замечание 1. Предыдущий пример позволяет объяснить смысл термина «антикомпактность». Дело в том, что условие компактности эллипсоида £ — 0 в некотором смысле есть противопоставление условию антикомпактности эллипсоида £ — +ж.

Теперь покажем, как можно строить примеры антикомпактов в сепарабельных банаховых пространствах. Для этого рассмотрим пример в «типичном» банаховом пространстве числовых последовательностей Типичность пространства последовательностей мы понимаем в том смысле, что всякое сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно подпространству E С (см. [2], стр. 556).

Пример 2. Для произвольной числовой последовательности £ = (£k > 0)^=1 назовём (невырожденным) эллипсоидом в E С множество

C£ = < x = (x\,x2, ...,xn,...) £ E

\xk| . 1 sup -—- < 1

keN

kk \

.

Ясно, что множество C£ абсолютно выпукло. Норма || • !ce, порождённая C£ в Eqs = span C£, имеет вид

||x||c :=sup Щ. (1.1)

keN I£k1

Отметим, что если последовательность £ — 0, то C£ — компакт в Iх (при этом обратное утверждение неверно). Действительно, в таком случае xk — 0 при k — ж равномерно по всем x € E. Поэтому C£ равномерно мажорируется последовательностью (£1, £2,..., £n,...) € c0, откуда вытекает компактность C£ в пространстве c0 (см. [2], стр.

336, теорема 1), а значит ив E С I(здесь мы учитываем замкнутость подпространства Со С

Покажем, что для любой возрастающей последовательности положительных чисел £ — множество Ce антикомпактно.

Лемма 2. Для всякой возрастающей последовательности положительных чисел £ — множество Ce антикомпактно в E.

Доказательство. Во-первых, по построению нормы в Eqs

\\x\\os = sup < — • sup\xk\ = K ■ \\x\\p

fceN \£k\ £1 fceN

для некоторого K > 0. Поэтому Eq£ содержит некоторый шар в E с центром в нуле.

Во-вторых, предкомпактность любого ограниченного множества B С E в пространстве Eqs вытекает из наличия последовательности , e2,-ч ~e~^ со, равномерно мажорирующей все последовательности из B по норме Eq£ = £ж (здесь мы снова учитываем замкнутость подпространства с0 С ). □

Отметим достаточно неплохо проверяемый критерий наличия антикомпактов в банаховом пространстве, полученный нами в [7].

Теорема 1. Банахово пространство Е имеет антикомпакт тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный инъективный оператор А : Е ^ 12.

Следствие 1. Банахово пространство Е имеет антикомпакт тогда и только тогда, когда над Е существует счётное тотальное подмножество линейных непрерывных функционалов.

С использованием предыдущих результатов нетрудно привести примеры банаховых пространств как имеющих, так и не имеющих антикомпакт. Так, хорошо известно, что линейно инъективно и непрерывно в £2 вложено всякое сепарабельное банахово пространство. Покажем, что такое возможно и в некоторых несепарабельных пространствах.

Пример 3. Пространство ограниченных числовых последовательностей линейно инъективно и непрерывно вложено в 12. Действительно, достаточно рассмотреть оператор А : £ж ^ 12, задаваемый следующим образом Ах = (х\, Х2, Х3, •••> П, •••) •

Также приведём пример банахова пространства, которое ни один антикомпакт не имеет. При этом такое пространство гильбертово (несепарабельно) и поэтому рефлексивно.

Пример 4. Рассмотрим пространство 12([0; 1]) таких вещественных функций / : [0; 1] ^ М, что £ Ц(¿)|2 < то . Ясно, что всякая функция / € 12([0;1]) имеет не более, чем ¿€[0;1]

счётное множество значений. Норма в этом пространстве имеет вид

у/к = (Е I/(¿И < то,

а всякий линейный непрерывный функционал I на ([0; 1]) представим в виде

1(/) = 1д(/)= Е \/(*м*)1>

¿е[0;1]

где д — некоторый фиксированный элемент из ([0; 1]).

Ясно, что какое бы счётное множество линейных непрерывных функционалов {£дп }°°_1 на 12([0; 1]) мы не выбрали, они все будут принимать нулевые значения на множестве функций из / € 12([0;1]), которые обращаются в нуль в точках Ь € [0;1], для которых дп(Ь) = 0 Ун € N. То есть всякое счётное множество линейных непрерывных функционалов на 12([0; 1]) принимает нулевые значения на ненулевых функциях и поэтому в пространстве 12([0; 1]) нет счётного тотального подмножества линейных непрерывных функционалов.

2. Аналог теоремы Хана-Банаха о продолжении линейных непрерывных функционалов в пространствах, имеющих антикомпакты

Данный раздел статьи посвящён вспомогательному результату, показывающему при наличии антикомпакта С € С(Е) представимость всякого сопряжённого пространства Е* в виде векторного индуктивного предела сопряжённых пространств Е*, порождённых антикомпактами С € С(Е). Иными словами, мы доказываем, что всякий линейный непрерывный функционал, заданный на банаховом пространстве Е, можно продолжить до линейного непрерывного функционала, заданного на некотором пространстве Е^, порождённом антикомпактом С € С(Е). Это, по сути, аналог теоремы Хана-Банаха о продолжении линейного непрерывного функционала с «уменьшением» нормы.

Теорема 2. Если в банаховом пространстве Е существует антикомпактное множество, то

Е * = и ЕС, (2.1)

СеС(Е)

Доказательство. 1) Ясно, что

УС € С(Е) ЕС с Е*. (2.2)

Действительно, по построению антикомпакта Е с Ее УС € С(Е) и поэтому всякий линейный функционал на Ее будет линейным и на подмножестве Е. Непрерывность же этого функционала вытекает из неравенства

\\х\\С < К •Ые для всякого х € Е УС €С(Е), (2.3)

справедливого для некоторого числа К > 0.

2) Докажем теперь, что любой функционал I € Е* можно продолжить на Е* при некотором С € С(Е). Рассмотрим функционал рС(0 : Е ^ М: рС(х) = \1(х)\ + \\х\\е для некоторого множества С € С(Е). Ясно, что р^(•) — норма на Е. Рассмотрим множество С = {х € Е \ р^(х) < 1}, Е= = (врС,р^(•)) — банахово пространство, порождённое С (и

С С С

пополненное по данной норме).

Любое ограниченное множество B С E предкомпактно Ec. Действительно, для всякой последовательности {yn}^L\ С B можно выбрать сходящуюся в Ec подпоследовательность {упк А в свою очередь из последовательности {£(ynk)}<k=1 также можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, которая будет сходиться в E= по построению. Итак, С Е C(E). При этом Ух Е E

\£(x)\<\£(x)\ + ||х||с = \\х\\с ■

Далее, на основании теоремы Хана-Банаха [2] о продолжении линейного непрерывного

функционала с сохранением нормы |1(х)| < \1хЦ= Ух Е E=, т.е. I Е E=.

ОС с

Таким образом, верно (2.1), чтд. □

При этом, опираясь на предыдущую теорему, возможно выяснить связь между сходимостью последовательности из E в топологии пространств Ec и слабой сходимостью последовательности в исходном пространстве Е. Если в пространстве Е существует предел хо = lim хп, то УС Е C(E) lim || х хп | с

= 0. Возникает естественный вопрос: а

п—^^о п—^^о с

если последовательность {хп}с^=1 С E сходится к х Е E в топологии любого пространства Ec, С Е C(E), то будет ли сходимость этой последовательности в Е и если да, то каков тип этой сходимости? На этот вопрос отвечает следующий результат, непосредственно вытекающий из предыдущей теоремы.

Следствие 2. Пусть в банаховом пространстве Е существует антикомпакт. Тогда последовательность {хп}'^'=1 С E сходится к х Е E в топологии любого пространства Ec, порождённого антикомпактом С тогда и только тогда, когда последовательность {хп}'^==1 слабо сходится в Е к элементу х Е E.

3. Аналоги теоремы Крейна-Мильмана для ограниченных замкнутых множеств в банаховых пространствах

Теперь перейдём к финальным результатам работы — аналогам теоремы Крейна-Мильмана для выпуклых замкнутых ограниченных множеств в банаховых пространствах, имеющих антикомпакт. Напомним, что согласно классической теореме Крейна-Мильмана всякий выпуклый компакт А есть замкнутая выпуклая оболочка крайних точек множества А [1, 2]. Пусть в банаховом пространстве Е существует антикомпакт С Е C(E). Тогда для ограниченного выпуклого множества A С E замыкание Aec — выпуклый компакт в Ec. Согласно теореме Крейна-Мильмана (в пространстве Ec)

AEC = coeC ехг (AEC) ,

где вхЬ(Х) — множество крайних точек множества Х. Это означает, что справедлив следующий аналог теоремы Крейна-Мильмана для ограниченных выпуклых множеств, утверждающий включение всякого такого множества A в некоторый компакт в Ec и, как следствие, в замкнутую выпуклую оболочку его крайних точек (замкнутость не требуется).

Лемма 3. Если в пространстве существует антикомпакт (или в существует счётное тотальное множество линейных непрерывных функционалов), то для всякого ограниченного выпуклого множества A С E

A С COecехг (AEC) ■ (3.1)

Будем интерпретировать (3.1) так: если инъективно компактно вложено в Ее и Фс : Е ^ Ее — соответствующее каноническое вложение, то 3.1 означает, что

Фс(A) с coec ext (A). В пространстве последнее равенство можно переписать так:

A с ф-1 (cöecext^c(A) П Ф(Е)) .

Теперь рассмотрим более тонкий результат — аналог теоремы Крейна-Мильмана, точно описывающий всякое выпуклое замкнутое ограниченное множество с помощью крайних точек его замыкания в пространствах, порождённых антикомпактами. Пусть

Ac = Фс(E) ПC0Ec ext фс(A), Ac := ф—1(Ac) С E. Справедлива

Теорема 3. Пусть в E существует антикомпакт. Тогда для всякого замкнутого выпуклого ограниченного множества A С E

A = П Ac-

с eC(E)

Доказательство. Включение A С П Ac вытекает из предыдущей леммы. Пусть

CeC(E)

существует x € П Ac, но x € A. Тогда по теореме Хана-Банаха существует такой с eC(E)

линейный непрерывный функционал I € E*, что l(x) > sup 1(A). По теореме 2 существует C € C(E) такой, что I € Eу и I (tpc (x)) > sup I {ф^ (A)) . Это означает, что

Фc'(x) € C0Ec (ф^(A)) = c0Ec ext (фc'(A)) . Поэтому x € Ac'. Получили противоречие, которое доказывает теорему. □

Заключение

Настоящая работа — развитие предыдущих исследований автора, связанных с предложенной ранее системой антикомпактных множеств в пространствах Фреше. В классе банаховых пространств, имеющих счётное тотальное множество линейных непрерывных функционалов, в статье получены аналоги теоремы Крейна-Мильмана о крайних точках для не обязательно компактных выпуклых ограниченных множеств. Попутно в банаховых пространствах, имеющих антикомпакты, доказан аналог теоремы Хана-Банаха о продолжении всякого линейного непрерывного функционала, заданного на исходном пространстве на пространство, порождённое некоторым антикомпактом.

Список цитируемых источников

1. Diestel J., Uhl J. J. Vector Measures, Providence, Amer. Math. Soc., 1977.

2. Кадец В. М. Курс функционального анализа. — Х.: ХНУ им. В. Н. Каразина, 2006.

3. Обен Ж.-П, Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. — М.: Мир, 1988.

4. Балашов М. В. М-сильно выпуклые подмножества и их порождающие множества пространстве / М. В. Балашов, Е. С. Половинкин // Математический сборник. — 2000. — Т. 191., № 1 — С. 26 - 64.

5. Балашов М. В. Об аналоге теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки в гильбертовом пространстве / М. В. Балашов // Математические заметки. — 2002. — Т. 71., вып. 1 — С. 37 - 42.

6. Стонякин Ф. С. Антикомпакты и их приложения к аналогам теорем Ляпунова и Лебега в пространствах Фреше / Ф. С. Стонякин // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2014. — Т.53. — С. 155-176.

7. Стонякин Ф. С. Секвенциальная версия теоремы Ула о выпуклости и компактности образа векторных мер/ Ф. С. Стонякин // Учёные записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия «Физико-математические науки.» — 2014. — Т.27(66), №1. — С. 100 - 111.

8. Орлов И. В. Гильбертовы компакты, компактные эллипсоиды и компактные экстремумы. / И. В. Орлов // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2008. — Т. 29. — С. 165 -175.

Получена 01.11.2014