Об одной проблеме многозначного анализа впространствах с несимметричной нормой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.98

MSC2010: 46A20, 46A22, 46A25

ОБ ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ МНОГОЗНАЧНОГО АНАЛИЗА В ПРОСТРАНСТВАХ С НЕСИММЕТРИЧНОЙ НОРМОЙ

© Ф. С. Стонякин

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики проспект Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

e-mail: [email protected]

On some problem of set-valued analysis in asymmetric normed spaces.

Stonyakin F. S.

Abstract.

The Schauder theorem, which claims the existence of a fixed point of every mapping f : B ^ B, where B is a compact convex set in a normed space E, is well known. If a convex set B is closed and bounded in E, then the result remains valid for the case in which f (B) is precompact.

In recent papers [1, 2] we suggest an approach to fixed-point theorems for mappings of a bounded closed set B in a normed space without the assumption that the image f(B) is precompact (which leads naturally to conditions of new type). This approach is based on injective and compact embeddings of E in some another Banach space E'. Note that such a method is applicable if and only if the space E admits a countable total set of continuous linear functionals:

To = (Mn=i С E* : Ух, y e E in(x) = ln(y) ^ x = y.

In ([2], Section 3) new analogues of Shauder fixed-point theorem were obtained for a special class of set-valued mappings in normed space.

This paper is devoted to some generalizations of these results to the class of asymmetric normed spaces. We note some applications of asymmetric normed spaces to theoretical computer science and approximation theory.

For asymmetric normed space E we consider the family CL(E) of bounded closed convex sets in E. CL(E) is a convex normed cone and it is injectively isometrically embedded in some linear normed space L(E). Let E* be a collection of linear bounded functionals £ : E ^ R. Generally, E* is a convex normed cone with a norm

l|£||* :=sup £jXr.

x=0 ||xl

The following result holds.

Theorem 1. For each £ £ E* there is a functional ( : L(E) ^ R: contained in the conjugate space L*(E) and the set {(e}geE* is total in L(E).

Theorem 2. If the conjugate cone E* is separable and E* is a countable dense subset of E*, then Ф = {( | £ £ E**} is a total set in L(E).

Let us consider one corollary of Theorem 2. We introduce following class of Ф-uniformly continuous mappings f : CL(E) ^ CL(E):

VL > 0 > 0 : | max£(x) - max£(y)| <5 ^ | max£(f (x)) - max£(f (y))| <L V£ £ E**. Note that £(x) and £(y) are segments in R.

Corollary 1. If B is a convex and bounded set in L(E), E* is a separable normed cone and a mapping f : CL(E) ^ CL(E) is Ф-uniformly continuous, then there is a sequence {xn}c^=1 £ B such that

lim max£(xn) = lim max£(f (xn)) V£ £ E**.

Keywords: asymmetric normed space, conjugate cone, compact embedding, Hausdorff metric, Shauder theorem.

Введение

Хорошо известна теорема Шаудера, утверждающая существование неподвижной точки всякого отображения f : B ^ B, где B — выпуклый компакт в нормированном пространстве E. Если же выпуклое множество B замкнуто и ограничено в E, то результат остаётся верным в случае предкомпактности образа f (B).

Ранее в [1, 2] нами был предложен подход к теоремам о неподвижных точках для ограниченных замкнутых множеств B в нормированном пространстве, но без требования предкомпактности образа f (B). Этот подход основан на понятии антикомпакта в нормированных пространствах, которое предложено нами в [3]: замкнутое выпуклое симметричное множество C в нормированном пространстве E называется антикомпактом, если в пространстве Ec = (spC', || • ||с<) содержится и предкомпактно всякое ограниченное множество B С E (|| • ||с = Рс(•) — функционал Минковского; Ec пополнено относительно || • ||с<). Иными словами, E инъективно компактно вложено в другое банахово пространство Ec/. Здесь и всюду далее под C'(E) мы понимаем набор антикомпактов в пространстве Е. Известно [2], что нормированное пространство E имеет антикомпакт тогда и только тогда, когда в пространстве Е существует счётное тотальное множество линейных непрерывных функционалов T = С E*: £n(x) = £n(y) Vn £ N ^^ x = y (здесь и всюду далее будем

полагать, что ||€га||е* ^ 1 Е М). Примером антикомпактов, соответствующих Т0 в таких пространствах Е может служить система множеств:

где £ = (£к > — возрастающая последовательность положительных чисел, схо-

дящаяся к

В [2] показано, как с использованием антикомпактов (иными словами, компактных вложений в другие банаховы пространства) можно получить аналоги теоремы Шаудера для специального класса многозначных отображений в нормированных пространствах. Точнее говоря, в [2] рассмотрена схема построения антикомпактов в специальном банаховом пространстве Ь(Е), связанном с конусом выпуклых компактов исходного нормированного пространства Е [4]. Как оказалось, систему антикомпактов и соответствующие аналоги теоремы Шаудера в Ь(Е) можно построить в случае, если сопряжённое пространство Е* сепарабельно ([2], теорема 3).

Цель данной работы — обобщить эти результаты на более широкий класс пространств с так называемой несимметричной нормой (см. например [5, 6]).

Напомним, что несимметричная норма ||-| в линейном пространстве отличается от обычной тем, что вместо стандартной однородности требуется лишь ||Ах| = А||х| при неотрицательных А. При этом, вообще говоря, || — х| = ||х|. Отметим, что пространства с несимметричными нормами были введены М. Г. Кейном (см., например [5]) в связи с известной проблемой моментов. Несимметричные нормы и расстояния активно исследовались Е. П. Долженко, А. Р. Алимовым, П. А. Бородиным и другими отечественными математиками (см., например [7, 8, 9]. Важный и естественный пример несимметричной нормы — функционал Минковского выпуклого несимметричного множества, содержащего 0.

Работа состоит из введения, трёх основных разделов и заключения.

В первом разделе мы рассматриваем конус СЬ(Е) выпуклых замкнутых ограниченных подмножеств пространства (Е, || • |) с несимметричной нормой (или несимметрично нормированного пространства) и вводим специальное нормированное пространство Ь(Е) (см. замечание 2), в которое линейно инъективно изометрично вложен конус ОЬ(Е). Как известно [8, 10], аналогом сопряжённого пространства для несимметрично нормированных пространств в общем случае может быть только некоторый выпуклый конус с нормой. Мы рассматриваем соответствующее понятие сопряжённого конуса Е* (определение 2). Для сепарабельных сопряжённых конусов

вир

к

(1)

E* в разделе 1 настоящей работы доказано существование счётного набора линейных непрерывных функционалов из сопряжённого пространства L*(E), разделяющих элементы L(E) D CL(E) (теорема 4).

Следующие 2 раздела работы посвящены приложениям полученных в первом разделе результатов к аналогам теоремы Шаудера о неподвижных точках в пространстве L(E). Во втором разделе мы приводим краткий обзор полученных ранее в [1, 2] аналогов теоремы о неподвижных точках с использованием антикомпактов. В третьем разделе на базе теоремы 4 выводятся аналоги соответствующих результатов из ([2], п.3) в нормированном пространстве L(E), где E — несимметрично нормированное пространство с сепарабельным сопряжённым конусом E*.

1. Конус выпуклых замкнутых ограниченных множеств в пространствах с несимметричной нормой

Пусть E — линейное пространство с несимметричной нормой || • |. Будем рассматривать в E стандартную транзитивную топологию, базой которой является система окрестностей {U£(x))£>0 точки x G E вида

UE(x) = x + U£(0), где U£(0) = {h G E | ||h| ^ e).

Замечание 1. Отметим, что y G U£(x) тогда и только тогда, когда ||y—x| ^ e. Поэтому x = lim xn означает lim ||xn — x| = 0. Вообще говоря, при этом lim ||x — xn| = 0.

n^-те n^-те п^те

Определение 1. Множество A С E называется замкнутым, если

A = П {A + U£(0)}.

£>0

В несимметрично нормированных пространствах можно ввести такой аналог сопряжённого пространства (см., например [6]).

Определение 2. Сопряжённым конусом E* к несимметрично нормированному пространству (E, || • |) назовём набор линейных функционалов t : E ^ R таких, что t(x) ^ C||x| Vx G E при некотором C > 0.

Известно, что для t G E* возможно — t G E*. Поэтому, вообще говоря, E* — не нормированное пространство, а нормированный конус. В E* можно ввести норму

^Н* = sup t(x).

x=0 ||x|

Действительно, если t ф 0, то t(x0) = 0 для некоторого x0 G E и t(±x0) = ±t(x0) > 0.

Для дальнейших рассуждений нам потребуется аналог теоремы Хана-Банаха о функциональной отделимости точки и замкнутого выпуклого множества в несимметрично нормированных пространствах (см. теорему 2 далее). Для доказательства теоремы 2 будем использовать ранее полученный в [10] аналог теоремы Хана-Банаха о продолжении линейного функционала c подконуса Y С X на весь конус X в классе выпуклых конусов X с законом сокращения.

Определение 3. Будем говорить, что выпуклый конус Y есть подконус X, если Y С X, а также для произвольных x Е X и y, z Е Y С X условие z = x + y означает, что x Е Y.

Сформулируем упомянутый выше аналог теоремы Хана-Банаха о продолжении функционала в классе выпуклых конусов ([10], Theorem 2.1).

Теорема 1. Пусть X — выпуклый конус с законом сокращения и р : X ^ R — выпуклый функционал на X, Y — подконус X, а также существует линейный функционал t : Y ^ R с оценкой t(y) ^ p(y) для любого y Е Y. Тогда существует такой линейный функционал L : X ^ R, что L(x) ^ p(x) для любого x Е X и L(y) = t(y) при всех y Е Y.

Ясно, что всякое несимметрично нормированное пространство будет выпуклым конусом с нормой, а всякое его подпространство — подконусом. Поэтому верна следующая

Теорема 2. Пусть A — замкнутое выпуклое подмножество E, x0 Е E \ A. Тогда существует t Е E*, ||t||* = 1 такой, что t(x0) > supt(A).

Доказательство. 1) Пусть 0 Е A. Тогда существует £0 > 0: x0 Е B = A + USo(0), B — поглощающее подмножество E. Это означает, что рв(•) — эквивалентная норма (возможно, несимметричная) в E (здесь рв(•) — функционал Минковского множества B). Поскольку B D U£o (0), то для некоторого C > 0 справедливо неравенство Рв(x) ^ C • ||x| Vx Е E. При этом рв(x0) > 1, а рв(b) ^ 1 Vb Е B. Далее достаточно применить теорему 1 для подпространства {Ax0}agr и нормы рв(•).

2) Если 0 Е A, то выберем а0 Е A и рассмотрим выпуклое замкнутое множество A — а0 и точку X0 — а0. Применим к x0 — а0 и A — а0 утверждение, доказанное выше в пункте 1. □

Рассмотрим набор CL(E) выпуклых замкнутых ограниченных подмножеств пространства E с несимметричной нормой с операциями сложения:

A 0 B := A+B,

умножения на скаляр а е К:

а • А := (аа | а е А}.

Ясно, что СЬ(Е) с введёнными операциями будет выпуклым конусом. Рассмотрим вопрос о его вложении в линейное пространство. Для этого потребуется понятие расстояния между множествами в несимметрично нормированных пространствах, которое вводится стандартно.

Определение 4. Метрикой Хаусдорфа Л-(А, В) для множеств А, В С Е будем называть величину

й(А, В) := Ы (^ > 0 | А С Ц*(0) + В и В С ^(0) + А} .

,, ,, (2х ,х ^ 0; Пример 1. Пусть X = К и ||х|| = <

I —х, х < 0.

Тогда ие(0) = (х е К | ||х|| ^ е} = [—е; §] для всякого е > 0.

А С и£(0) + В ^ (А С В +[—е; |] (2)

В С ие(0) + А | В С А + [—е; §]

Ясно, что УА, В е СХ(Е) А = [а; Ь] и В = [с; ^ для некоторых а, Ь, с, ^ е К. Тогда система 2 имеет вид

[а; Ь] С [с; ^ + [—е; |] = [с — е; d + §], [с; d] С [а; Ь] + [—е; |] = [а — е; Ь + §], откуда

Л,(А,В) = й([а; Ь]; [с; d]) = тах(|а — с|, 2|Ь — d|}. Отметим следующее

Предложение 1. Л.(А,0) = ||А| = тах(||а| | а е А} для всякого замкнутого множества А С Е.

Доказательство. Достаточно лишь заметить, что условие А С ие(0) влечет 0 е А + ие(0). □

Напомним, что согласно известной теореме Рэдстрома [11] выпуклый конус с нормой (X, || • ||) линейно инъективно изометрично вложен в некоторое линейное пространство тогда и только тогда, когда существует однородная и инвариантная относительно сдвигов метрика d : X х X ^ К+ такая, что d(x, 0) = ||х|| Ух е X.

Ясно, что метрика h : CL(E) х CL(E) ^ R+ удовлетворяет условиям однородности и инвариантности относительно сдвигов:

h(AA, AB) = Ah(A, B) VA ^ 0, h(A 0 C, B 0 C) = h(A, B) VA, B, C Е CL(E).

Поэтому ввиду предложения 1 верна следующая

Теорема 3. Конус CL(E) линейно инъективно изометрично вложен в некоторое нормированное пространство L(E).

Замечание 2. Приведем одну из возможных конструкций L(E). Мы отправляемся от стандартной схемы построения такой конструкции в нормированных пространствах, которая изложена к примеру в [4]. Всюду далее под L(E) будем понимать набор пар (A, B) выпуклых замкнутых подмножеств E со следующими операциями:

(A, B) 0 (C,D) := (A+C ,B + D), A • (A, B) := (AA, AB),

— (A,B) := (B, A)

для всяких A, B, C, D Е CL(E) и A ^ 0.

Введем отношение эквивалентности в L(E): (A, B) ~ (C, D), если A0D = B0C и полагать равными все эквивалентные пары множеств (A, B) Е L(E). Таким образом, под нулем в L(E) будем понимать множество

Ol(E) := {(A, A) | A Е CL(E)}.

Указанные соглашения позволяют ввести норму в L(E): ||(A,B)|| := h(A,B).

С использованием теоремы 2 опишем подмножество функционалов L* (E), разделяющих точки L(E).

Теорема 4. Для всякого t Е E* функционал ^ : L(E) ^ R:

^((A,B)) := maxt(A) — maxt(B)

принадлежит сопряжённому пространству L*(E). Система функционалов We}eeE* разделяет точки L(E).

Доказательство. 1) Для произвольных (A,B) и (C, D) Е L(E) и всякого t Е E* верно

<^((A, B) 0 (C, D)) = <^((A 0 C, B 0 D)) = ^((ATC, B + D)) = max t(X+C ) —

— max t(B + D) = max t(A) + max t(C) — (max t(B) + max t(D)) = = maxt(A) — maxt(B) + maxt(C) — maxt(D) = <^((A, B)) + <^((C, D));

<^(A(A,B)) = <^((AA,AB)) = A^((A,B)) при A ^ 0. Также отметим, что

<^((B, A)) = max¿(B) - max¿(A) = ((A, B)).

Итак, функционал ^ линеен W G E*.

Покажем, что ((A,B))| ^ Ct • h(A,B) VA,B G CL(E). Пусть h(A, B) = d. Тогда A С B + Ud(0) и B С A + Ud(0), откуда

¿(A) С ¿(B) + ¿(Ud(0)) и ¿(B) С ¿(A) + ¿(Ud(0)),

где ¿(Ud(0)) = {¿(u) | u G Ud(0)}. Поэтому max¿(A) ^ max¿(B) + d • |H|E* и max ¿(B) ^ max ¿(A) + d • |^||E*. Итак,

| max ¿(A) - max ¿(B) | = |^((A,B))| ^ • h(A, B),

то есть ^ G L*(E) для всякого ¿ G E*.

2) Покажем, что функционалы {^ разделяют точки L(E). Пусть

(A, B) = (C, D) (или A0D = B0C). Тогда существует x0 G A0D\(B0C) и по теореме 2 для некоторого ¿ G E * ¿(x0) > max ¿(B 0C), то есть max ¿(A 0 D) > max ¿(B 0 C), откуда max ¿(A) — max ¿(B) > max ¿(C) — max ¿(D), или <^((A,B)) > <^((C, D)), что и требовалось доказать. □

Теперь сформулируем аналог результата о существовании счетного тотального для Ь(Е) множества функционалов из Ь*(Е) в случае сепарабельного сопряженного конуса Е* для нормированного пространства Е.

В нашем случае (Е*, || • ||*) — нормированный конус. Введем в нем стандартную транзитивную топологию, образованную окрестностями элементов € е Е* вида

и|(€) := € + и|(0) = (я е Е* | 0 = € + к, ||к||* ^ е}.

Определение 5. Будем говорить, что сопряжённый конус Е* сепарабелен, если существует последовательность Е* = (€га}^=1 С Е* такая, что для всякого € е Е* найдется подпоследовательность (€Пк }£=1 С Е** функционалов, сходящаяся к €:

Уе > 0 Зке е N : Ук ^ к£ €Пк е ие*(€).

Поскольку функционалы € е Е* разделяют выпуклые замкнутые подмножества Е и для любых А, В е СЬ(Е) значения € в точках А и В близки к значениям €Пк при достаточно больших к, то верно следующее

Следствие 1. Если сопряжённый конус Е* сепарабелен и Е* = {¿п}^ — счётное плотное множество, то множество функционалов тотально (разделяет,

точки) в Ь(Е).

Комбинируя полученный результат с условиями существования антикомпакта в нормированном пространстве [2] (см. также введение к настоящей статье), получаем следующее утверждение.

Теорема 5. Если сопряжённый конус Е* сепарабелен, то в Ь(Е) существует антикомпакт

C£ = (A,B) е L(E)

((A,B))

^ 1 , (3)

sup

ke N £k

где £ = (£k > 0)^=1 — возрастающая последовательность положительных чисел такая, что lim £k =

2. Аналоги теоремы Шаудера с использованием АнтикомпАктов в нормированных пространствах: обзор

В данном пункте мы приводим обзор полученных в [1] аналогов теоремы Шаудера с использованием антикомпактов в нормированных пространствах. Условимся всюду далее через Bec, мы будем обозначать замыкание множества B С E С Ее' в пространстве Ее'. Сначала отметим практически очевидный факт, вытекающий из обычной теоремы Шаудера в пространстве Ее'.

Предложение 2. Пусть B — ограниченное выпуклое подмножество в банаховом пространстве Е, f : B ^ B и существует антикомпакт C е С(Е): BEc, = B и f : B ^ B непрерывно в пространстве Ее. Тогда существует x0 е B: f (x0) = x0.

Однако условия Вес, = В и непрерывности f в пространстве Ее выглядят несколько искусственными и трудно проверяемыми. Введём следующее понятие.

Определение 6. Будем называть отображение f : В —^ В Ее -равномерно непрерывным, если Уж, у € В

Уе > 0 35 > 0 : ||ж - у||е < 5 ^ ||f (ж) - f (у)||е < е.

Теорема 6. Пусть В — выпукло и ограничено в нормированном пространстве Е, С'(Е) = 0, f : В — В Ее-равномерно непрерывно при некотором С' € С'(Е). Тогда f можно единственным образом по непрерывности продолжить на ВЕс, С Ее (продолжение будем обозначать через f) и существует х0 € Вес, : f (х0) = жо.

Отметим, что в [1, 2] построены конкретные примеры отображений f, к которым применима теорема 6. Оказывается, при выборе системы антикомпактов (1) можно в теореме 6 заменить условие Eas -равномерной непрерывности f : B ^ B (где B — ограниченное множество в пространстве E) на следующее условие Т0--равномерной непрерывности в E, связанное с соответствующим (1) счётным тотальным в E множеством T0 С E*.

Определение 7. Пусть B С E ограничено. Будем называть f : B ^ B Т0-равномерно непрерывным, если для всякого n Е N существует mn Е N такое, что

VL > 0 35 > 0 : (x - y)| <5 ^ |4(f (x) - f (y))| < L.

Переформулируем теорему 6 в терминах Т0-равномерной непрерывности f.

Теорема 7. Если нормированное пространство E имеет антикомпакт, множество B выпукло и ограничено в E, f : B ^ B Т0-равномерно непрерывно, то существует последовательность |xn}^=1 С B:

(i) lim фп) = lim £(f (xn)) W Е To;

(ii) для любой возрастающей последовательности £ из (1) f можно единственным образом по непрерывности продолжить (продолжение мы тоже обозначим f) на BECs С ECs. При этом существует x0 Е BEc^ такое, что lim ||xn — x01|Cs = 0 и верно f (x0) = x0.

п^те

3. Аналог теоремы Шаудера для специального класса многозначных отображений в пространствах с несимметричной нормой

Теорема 5 означает, что в пространстве L(E) при условии сепарабельности сопряжённого конуса E* можно сформулировать аналог теоремы 6.

Теорема 8. Пусть B — выпукло и ограничено в L(E) и сопряжённый конус E* сепарабелен. Если f : B ^ B (L(E))C -равномерно непрерывно при некотором C Е C'(L(E)), 'то f можно единственным образом по непрерывности продолжить на B(L(e))c, С (L(E))C/ (продолжение будем также обозначать через f) и существует Xo Е B(L(E))C, : f (xo) = xo.

Теперь сформулируем аналог теоремы 7 с естественной заменой Т0-равномерной непрерывности на Ф-равномерную непрерывность для системы функционалов Ф = } Е (L(E))* из теоремы 4.

Определение 8. Пусть B С Ь(Е) ограничено, сопряжённый конус Е* сепарабе-лен. Будем называть f : B ^ B Ф-равномерно непрерывным, если при всех n е N VL > 0 35 > 0:

l^n(x) - (y)| <5 ^ (f (x)) - (f(y))| < L.

Теорема 9. Если B выпукло и ограничено в Ь(Е), сопряжённый конус Е* сепара-белен и f : B ^ B Ф-равномерно непрерывно, то существует последовательность {xra}^=1 С B :

(i) lim ^(x„) = lim <^(f (x„)) W е Ф;

и^те n^-те

(ii) найдётся возрастающая последовательность £ = (£k > 0), сходящаяся к такая, что f можно единственным образом по непрерывности продолжить (продолжение мы тоже обозначим f) на B(L(E))C£ С (Ь(Е))е, C£ удовлетворяет (3). При этом существует x0 е B(L(E))C такое, что lim ||xn — x01|= 0

га^те

и верно f (x0) = x0.

Для отображений f : K(Е) ^ K(Е) при любом x е K(Е) <^(x) = max£(x). Поэтому условие Ф-равномерной непрерывности можно сформулировать так:

VL > 0 35 > 0: | max€(x) — max£(y)| <5 ^ | max€(f (x)) — max€(f (y))| <L W е Е0*,

где Е0 — счётное плотное в Е* множество. Иными словами, верно

Следствие 2. Если B выпукло и ограничено в Ь(Е), сопряжённый конус Е* сепа-рабелен, отображение f : B ^ B Ф-равномерно непрерывно, то существует последовательность {xn}^°=1 С B:

lim max £(xn) = lim max £(f (xn)) W е Е*,

и^-те и^-те

где Е* — счётное плотное в Е* множество.

Заключение

В работе получено одно обобщение теоремы Шаудера о неподвижной точке для специального класса многозначных отображений в пространствах с несимметричной нормой, исследован ряд смежных вопросов.

Рассмотрен конус СХ(Е) выпуклых замкнутых ограниченных подмножеств пространства (Е, || • |) с несимметричной нормой. Введено специальное нормированное пространство Ь(Е) и доказано, что конус СЬ(Е) линейно инъективно изометрич-но вложен в Ь(Е) (теорема 3) В случае сепарабельности сопряжённого конуса Е* к несимметрично нормированному пространству Е доказано существование счётного набора линейных непрерывных функционалов из сопряжённого пространства Ь*(Е),

разделяющих элементы L(E) D CL(E) (теорема 4). Рассмотрены приложения этих результатов к аналогам теоремы Шаудера о неподвижных точках для отображений F : B ^ B, где множество B ограничено и замкнуто, но необязательно компактно в пространстве L(E).

Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских учёных-кандидатов наук, код проекта МК-176.2017.1.

Описок литературы

1. Стонякин, Ф. С. Аналоги теоремы Шаудера с использованием специальных свойств непрерывности / Ф. С. Стонякин // Динамические системы. - 2015. - Т. 3(31): 3-4. - C. 281-288.

STONYAKIN, F. S. (2015) Analogues of Schauder's theorem using special properties of continuity. Dynamic systems. Vol. 3(31) 3-4. p. 281-288.

2. STONYAKIN, F. S. (2016) Analogs of the Shauder theorem that use anticompacta. Math. Notes. No. 6 (Serie 99). p. 954-958.

3. Стонякин, Ф. С. Аналог теоремы Ула о выпуклости образа векторной меры / Ф. С. Стонякин // Динамические системы. - 2013. - Т. 3(31): 3-4. - C. 281-288.

STONYAKIN, F. S. (2013) An analogue of Ul's theorem on the convexity of the image of a vector measure. Dynamic systems. Vol. 3(31) 3-4. p. 281-288.

4. Половинкин, Е. С. Многозначный анализ и дифференциальные включения / Е. С. Половинкин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. - 608 c.

POLOVINKIN, E. S. (2014) Multivalued analysis and differential inclusions. Moscow: FIZMATLIT. 608 p.

5. Крейн, М. Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М. Г. Крейн, А. A Нудельман. - М.: Наука, 1973. - 552 c.

KREIN, M. G., NUDELMAN, A. A. (1973) Markov moments problem and extremal problems. Moscow: Nauka. 552 p.

6. COBZAS, S. (2013) Functional Analysis in Asymmetric Normed Spaces. Basel: Birkhauser/Springer.

7. Алимов, А. Р. Теорема Банаха-Мазура для пространств с несимметричным расстоянием / А. Р. Алимов // Усп. мат. наук. - 2003. - Т. 58 (350). - C. 159-160.

ALIMOV, A. R. (2003) The Banach-Mazur theorem for spaces with an asymmetric distance. Usp. Mat. Nauk. Vol. 58(350). p. 159-160.

8. Бородин, П. А. Теорема Банаха-Мазура для пространств с несимметричной нормой и ее приложения в выпуклом анализе / П. А. Бородин // Матем. заметки. - 2001. - Т. 69: 3. - C. 329-337.

BORODIN, P. A. (2001) The Banach-Mazur theorem for spaces with an asymmetric norm and its applications in convex analysis. Math. Notes. Vol. 69: 3. p. 329-337.

9. Долженко, Е. П. Аппроксимации со знакочувствительным весом / Е. П. Долженко, Е. А. Савостьянов // Изв. РАН. Сер. матем. - 1999. - Т. 63: 6. - C. 77-118. DOLZHENKO, E. P., SAVOSTYANOV, E. A. (1999) Approximations with sign-sensitive weight. Izv. RAS. Ser. Math. Vol. 69: 3. p. 77-118.

10. STONYAKIN, F. S. (2016) An analogue of the Hahn-Banach Theorem for functionals on abstract convex cone. Eurasian. Math. J. No. 3 (Serie 7). p. 89-99.

11. RADSTROm, J. H. (1952) An embedding theorem for space of convex sets. Proc. Amer. Math. Soc. No. 1 (Serie 3). p. 165-169.