CC BY
14
УДК 534.075.8
1.М. С1ВАК1, В Т. КРАВЧУК2, М.Г. Д1КТЕРУК2, Ю.В. ЧОВНЮК1,2
1Нацiональний ушверситет 6iopecypciB i природокористування Украши 2Кшвський нацiональний yнiверситет бyдiвництва i архтектури
АНАЛ1З ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ ТА РЕЗОНАНС1В У В1БРАЦ1ЙНИХ СИСТЕМАХ УЩ1ЛЬНЕННЯ ГРУНТ1В I СУМ1ШЕЙ: ОДНОВИМ1РНА ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНА МОДЕЛЬ ЗА НЕЛIНIЙНОÏ ВIДНОВЛЮВАНОÏ
СИЛИ
У межах одновим1рно '1 дискретно-континуально'1 модел1 за наявностг у в1брац1йно1 системи ущть-нення Грунтгв та сумшей нелтшног в1дновлювано'1 сили проведений анализ вимушених коливань та резонан-cie, що виникають у нт. Визначеш основш к1нематичн1 та динамгчнг характеристики таких коливань в умовах виникнення у cиcтемi основних, cупергармонiчних та субгармошчних коливань.
Ключовi слова: анал1з, вимушенi коливання, резонанси, вiброcиcтеми, ущшьнення, Трунти, cумiшi, нелттна вiдновлювана сила, супергармотчш коливання, субгармошчш коливання, оcновнi коливання.
И.Н. СИВАК1, В.Т. КРАВЧУК2, М.Г.ДИКТЕРУК2, Ю.В. ЧОВНЮК1,2
1 Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины 2Киевский национальный университет строительства и архитектуры
АНАЛИЗ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И РЕЗОНАНСОВ В ВИБРАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ УПЛОТНЕНИЯ ГРУНТОВ И СМЕСЕЙ: ОДНОМЕРНАЯ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛЕ
В рамках одномерной дискретно-континуальной модели при наличии у вибрационной системы уплотнения грунтов и смесей нелинейной восстанавливающей силы проведен анализ вынужденных колебаний и резонансов, которые возникают в ней. Определены основные кинематические и динамические характеристики таких колебаний в условиях возникновения в системе основных, супергармонических и субгармонических колебаний.
Ключевые слова: анализ, вынужденные колебания, резонансы, вибросистемы, уплотнение, грунты, смеси, нелинейная восстанавливающая сила, супергармонические колебания, субгармонические колебания, основные колебания.
I.N. SIVAK1, V.T. KRAVCHYUK2, M.G. DIKTERYUK2, Y.V. CHOVNYUK1,2
1National University of Bioresources and Life Sciences of Ukraine 2Kyiv National University of Construction and Architecture
ANALYSIS OF FORCED VIBRATIONS AND RESONANCES AT VIBRATION SYSTEMS FOR SEALING OF SOILS AND MIXTURES: ONE-DIMENSIONAL DISCRETE AND CONTINUAL MODEL
WITH NONLINEAR RESTORING FORCE
With the help of the one-dimensional discrete and continual model at the presence in vibration system for the sealing of soils and mixtures of so-called nonlinear restoring force, the analysis of forced oscillations and resonances appeared in it is presented. The main kinematical and dynamical characteristics of such oscillations are determined at the conditions of existence in the system of super-, sub harmonic vibrations and main oscillations,as well.
Key words: analysis, forced oscillations, resonances, vibration systems, sealing, soils, mixtures, nonlinear restoring force, super harmonic oscillations, sub harmonic oscillations, main vibrations.
Постановка проблеми
Сутнють процесу глибинного в1брацшного ущшьнення зернистого середовища (бетон-но17буд1вельно1 сумш1, пщаного грунту тощо) - руйнування структури цього середовища й розжиження його з метою видалення затиснутого повгтря i забезпечення щшьного укладання зерняток.
Послвдовно1 зак1нчено1 теори глибинного в1броущшьнення зернистих середовищ поки що не юнуе [1]. Ввдомосп про основш особливосп мехашзму розжиження зернистого незв'язного середовища можна знайти у роботах [2-8]. Параметри глибинних в1броущшьнювач1в обирають головним чином на основ1 виро-бничого досввду й деяких залежностей, отриманих р1зними фах1вцями при проведенш експериментальних дослвджень [3-5].
В1брацшш машини для глибинного ущшьнення грунпв за сво1м улаштуванням аналопчш шдвю-ним глибинним в1броущшьнювачам у цил1ндричному корпус з вбудованим електродвигуном для бетону [1]. Процес ущшьнення вшбуваеться за одночасного впливу на грунт в1браци й потоку води, у результат!
чого зменшуеться зчеплення м1ж часточками грунту й потоку води 1 вшбуваеться Гх перерозподш у б1льш щ1льну структуру. У зв'язку з необхвдшстю подач1 води у грунт у процес його ущшьнення у корпус в1бро-ущ1льнювача передбачеш канали, причому при зануренш корпусу у грунт вода випускаеться з каналу, який заюнчуеться у наконечнику, а при вилученш - з протилежного к1нця корпусу. Таким чином, можна здшс-нювати ущшьнення грунту поблизу юнуючих споруд без Гх руйнування, а також виконувати пвдводне ущь льнення без пошкоджень останшх. Найбшьш ефективно застосовувати щ машини при ущшьненш водонаси-чених тщаних грунпв. Продуктивнють робгг по ущшьненню тщаних грунпв на глибиш до 5м у 3-4 рази вища, н1ж при використанш будь-яких шших способ1в ущ1льнення.
Зазвичай для ущ1льнення водонасичених грунпв застосовують просторовий в1броущ1льнювач, кот-рий занурюеться 1 представляе собою металеву колону, до якоГ р1вном1рно по висоп зварюванням приеднаш пластини, а у верхнш частиш закршлений в1брозбуджувач, який генеруе вертикально спрямоваш коливання.
Склад й ф1зико-мехашчш властивосп грунпв, основ дор1г та покритпв й шших ущ1льнених середо-вищ довол1 р1зномаштш. Р1зш також 1 вимоги до ущшьнення, умови його реал1зацп, масштаб та оргашзащя роби\ Це призвело до появи ущ1льнюючих машин багатьох титв й р1зновид1в, котр1 вщр1зняються характером взаемоди з середовищем, яке ущ1льнюеться, конструктивними схемами й розм1рами [1,3,5].
За характером сил взаемоди виконавчого/робочого органу з середовищем, яке ущ1льнюеться, ва ущ1льнююч1 машини под1ляють на машини статичноГ дп (пресування, вкатування) й динам1чноГ дп (без уда-рш, в1брацшш, ударно--в1брацшш, ударш). В принцип одна й та ж в1брацшна машина для ущшьнення грунту може працювати або у без ударному в1брацшному режиму або в ударно -в1брацшному, що залежить вш статичного моменту маси й кутовоГ швидкосп дебаланс1в, маси машини, складу 1 властивостей (у тому числ1 степеня ущшьнення) грунту. Однак при проектуванш призначають параметри машини, як1 забезпечують ГГ ефективну роботу у певному режимг
За способом передач1 силового впливу оброблюваному середовищу розр1зняють поверхнев1 ущшь-нююч1 машини (наприклад, котки, трамбувальники) й глибинш (п, що занурюються у середовище, яке ущь льнюеться).
При ди робочого органу (РО) в1брацшноГ машини на грунт, дорожню основу, покриття чи шше середовище, яке ущшьнюеться, у граничному прошарку останнього з'являеться напруження, хвиля котрого розповсюджуеться в середовищ1, яке ущшьнюеться, викликаючи деформацш останнього. Динам1чну реак-цш, яка сприймаеться РО машини, для створення довол1 простоГ розрахунковоГ модел1 можна схематично подати у вигляд1 трьох адитивних компонент: пружноГ, напрямок котроГ протилежний деформацп граничного прошарку середовища; шерцшноГ, напрямок котроГ протилежний прискоренню РО (котрому зазвичай приписують властивосп незмшного твердого тша); дисипативноГ, напрямок якоГ протилежний швидкосп РО. Дисипативна компонента, у свою чергу, може складатись з двох доданшв - в'язкого й пластичного. У грунпв й цементобетонних сумшей пластична складова мае переважне значення. У асфальтобетонних су-мшей в'язкий отр, зазвичай дещо б1льший за пластичний.
Вказана вище схематизащя дозволяе пояснити деяк1 суттев1 явища при ущ1льненш грунту й шших середовищ, наприклад, наявшсть залишковоГ 1 пружноГ складових деформаци та залежшсть деформацп в1д закону руху РО. Оск1льки до складу грунту, дорожшх основ та покритпв входять тверд1 зерна, як1 дотика-ються одне до одного, при довол1 значнш штенсивносп динам1чних вплив1в вшбуваеться Гх взаемне проков-зування, яке призводить до в1брацшного зниження сухого тертя й прийнятному розжиженню середовища, яке ущшьнюеться. Одночасно розмщений м1ж зернами зв'язуючий склад, який утримуе у соб1 колоГдно-дисперсш часточки глини чи цементу, тд д1ею в1браци розжижуеться завдяки зниженню структурноГ в'язкосп й появ1 тиксотропи [3].
Грунти за кшьшстю зв'язуючоГ речовини (глини) розд1ляють на незв'язш 1з вмютом менше 4% глини, малозв'язш 1з вмютом вш 4 до 11% глини й зв'язш, яш мають у своему склад1 б1льше 11% глини. Чим б1льше зв'язний грунт, тим б1льш складно його ущшьнювати. Ущ1льнювашсть грунту суттево залежить вш його вологосп. Зазвичай для кожного заданого ущ1льнюючого впливу найб1льша щ1льшсть грунту досяга-еться при певнш вологосп, яка називаеться оптимальною. З посиленням ущ1льнюючого впливу знижуеться оптимальна волог1сть й зростае досягнута при ц1й вологост1 щ1льшсть грунту [3,5].
Не зважаючи на все згадане вище, процедура моделювання процес1в ущ1льнення грунт1в та сумшей, на думку автор1в даного дослвдження, вимагае подальшого уточнення й вдосконалення.
Аналiз останнiх дослiджень i публжацш
З метою вдосконалення Гснуючих моделей ущшьнення бетонних/буд1вельних сум1шей та грунпв ав-тори [9-11] враховують вплив оброблюваного середовища у межах дискретно-континуальних моделей. Про-те явища супер- й субгармошчних коливань, як1 неминуче виникають у РО в1бромашини за наявносп у н1й нел1н1йноГ вшновлюваноГ сили, до сих п1р не досл1джеш. Щодо моделювання вказаних коливань й резонан-с1в можна використати тдходи, розвинут1 у [12,13].
Мета роботи
Мета роботи полягае у обгрунтуванш одновим1рноГ дискретно-континуальноГ модел1 в1бращйноГ си-стеми (машини) для ущшьнення грунпв 1 сум1шей, яка адекватно описуе основш властивост1 й характеристики вимушених коливань (основного типу), суб- та суперрезонанс1в, що виникають, за наявносп у склад1
РО машини нелшшно! пружносп (котра зводить свш вплив до виникнення у CTCTeMi <^брацшна машина (РО) - оброблюване середовище» т.з. нелшшно! вщновлювано! сили). При цьому врахованi дискретнi влас-тивостi самого РО й континуальш - оброблюваного середовища.
Слiд зазначити, що у данш роботi використаш частково результати, викладенi у [9-13].
Викладення основного матерiалу дослiдження Розглянемо систему, зображену на Рис. 1, яка моделюе процесс ущiльнення грунпв/сумшей (бетон-них чи будiвельних), i е, по свош сутi, вiбрацiйною системою з нелiнiйною ввдновлюваною силою, котра мае дискретно -континуальш властивосл (оскшьки врахованi властивостi РО - дискретш й континуальнi власти-восп об'екта, що знаходиться у пол1 впливу вiбрацil). Зазначимо також, що задача мае одновимiрну постановку. Вертикальна вимушена сила Q типу:
Q(t) = A ■ sin (t, (1)
де A — амплiтуда, ( — кругова частота, t — час, дiе на тшо маси m, котре спираеться на систему нелiнiйних пружин i в'язких демпферiв; с — коефщент (лiнеаризований) жорсткостi системи пружин; b — коефiцiент в'язкостi демпферiв.
A sin (t
h
m
ъ Д о Ъд о
» ° о р 0 ^ а о о О о
о
Рис. 1. Розрахункова схема задач1
Спочатку визначимо амплиуду сили, яка передаеться на основу пружинами та демпферами. Шукана сила, яка передаеться на основу, котрою е грунт/сумш, що ущiльнюеться (товщиною h ), визначаеться вира-зом:
N = b ■ q + c ■ q, (2)
у якому q — вертикальне перемiщення тiла m (РО вiбрацiйноl системи), яке вiдраховуеться вiд стану рiвно-ваги. Нехай характеристика вщновлювано! сили мае вид:
F(q) = со ■ q + £■ q3, (3)
причому в > 0 (для жорстко! характеристики сили), в < 0 (для м'яко! характеристики сили), Со — лiнiйна складова жорсткостi пружини. Використовуючи метод прямо! лшеаризаци [13], нелiнiйна характеристика F(q) замiнюеться еквiвалентною лiнiйною, тому диференщальне рiвняння руху системи набувае вигляду:
m ■ q + b ■ q + с ■ q = A ■ sin (t, (4)
де тсля введения позначення:
' = —, k2 = с,
2m m
приходимо до рiвияния у наступнш формi:
~ 2 A q + 2hq + k q =— sin(t.
m
Його загальний розв'язок мае вид:
q = e
—ht
■(Ci ■ sink*t + C2 ■ cosk*t) + -
A ■ sin((t — y)
m ■V(k2 —(2)2 + 4~2(2
(5)
(6)
(7)
де
к* = Vк2 - к2 (8)
е частота затухаючих коливань системи, а кут у характеризуе вщставання фази перемщення в1д фази сили, й визначаеться виразом:
2к а
^ = ~2-2. (9)
к -а
Постшш С1 й С2 знаходимо з початкових умов задача
Перша частина отриманого розв'язку представляе собою коливання з частотою к*, котр1 з плином часу затухають й тсля початку процесу стають практично несуттевими. Основне значения мае друга частина загального розв'язку:
А ■ - у)
Ч =-, ^ , (10)
т ■д/ (к2-а2)2 + 4И 2а2
що описуе незатухаюч1 усталеш коливання, як1 вщбуваються з частотою збудження а. Зазначимо, що у формулах (4), (5) шд с розум1емо [12,13]:
5в А2
с = со +(11)
де А - ампл1туда усталених коливань.
При цьому встановлення стацюнарного коливного процесу з частотою а може вщбуватись за одним з трьох наведених нижче, сценарпв: 1) а << к, на початку руху основш коливання частоти а супрово-джуються затухаючими коливаннями б1льшоГ частоти; 2) а >> к - на основш коливання з частотою а на-кладаються затухаюч1 коливання з меншою частотою к ; 3) а « к - рух мае характер биття, котре поступо-во затухае.
Амплиуда усталених коливань А визначаеться виразом:
~ А
А = ■ (12)
(с0 + 5вА - та2)2 + 4И2а2т2
II
~2
яке тсля замши Z = А зводиться до куб1чного рiвияния:
Г .о .
7 ) 7
Рiвняння (13) можна розв'язати за допомогою загально вiдомоГ формули Кардано. Вщношення амплiтуди А до статичного перемщення чст = А / с дорiвнюе:
1 с
[^в] ■ Z3 + 2(с0 - та2) ■в Z2 +|(с0 - та2 )Р + 4~2а2 т2Z - А2 = 0. (13)
М =
( „2 ^2 4~2а2 д/(с - та2)2 + 4И2а2т2
+~?г
1 -а
к
V к )
(14)
Отже, коефiцiент динaмiчностi ц (14) у даному випадку е функщею А :
5в ~2 с0 А
М= , • (15)
1(с0 + в - та2)2 + 4~2а2 т2
~ 2
Тодi для N (тсля замши Ь = 2кс/к ) маемо:
. г ■ , ^ 2ка N = цА ■ ^та -у) + —— ■ со%(аг -у)]. (16)
к 2
Максимальне значення сили N дорiвнюе:
4~2а2 I 4И2а2т2
Nтах = М ^ 1 + —= М ^ 1 +---. (17)
Безрозмiрне сшввщношення Nmax / A, яке називаеться зазвичай коефiцieнтом передачi сили [13], визначае, у ск1льки разiв найбшьша сила, яка передаеться 0CH0Bi, що ущшьнюеться (грунт/сумiш), бiльше амплiтуди задано! вимушено! сили A; воно дорiвнюе:
N m
f* — -
= М-л 1 +
4_2а2
1
c 2/ m 2 + 4_2а2
(c/m-а1)2 + 4_2а2 '
(18)
А \ к
Отже, М* = М*(с) = М*(А). Анaлiз зaлежиостi /и*(а/к) при рiзних значеннях 2Н /ксввдчить про те, що всi так1 крив^ незалежно вiд коефiцiентa в'язкосл к, перетинаються у точщ з координатами (л/2;1) на площиш М*;а / к }. Отже, при а/к < в'язшсть демпферiв сприяе зниженню загальноГ сили, яка передаеться на основу (об'ект обробки вiбрaцiйним полем), а при а /к >42 (як це бувае у добре амортизованих системах - цю силу збшьшуе). Граничне значення амплиуди Агр при цьому визначаеться зi сшввщношен-ня:
а
/ k — 42
а-Ыm г- а ■ m
—^ —V 2 ^-
Vc c
— 2 ^ c —
a2m 2 '
Або:
c + ~ 2 СО2m _ _ 2 а2m/2 - c0
c0 +Т'Агр ~ Агр — (5в/7) •
Значення Агр повинно бути додатнiм, тому:
а) в> 0, а2m/2 -c0 > 0;
(19)
(20)
(21)
б) в< 0, аm/2 - c0 < 0. Розглянемо дaлi дш рiзних видiв сил Q(t) i будемо визначати закони q(t) й q(t), KOTpi, у свою чергу, за спiввiдношенням (2) визначають N • Скористаемось при цьому пiдходами роботи [13]. 1. Д1я дов№но! вимушено! сили Q(t )• У цьому випадку:
q(t) — е
- ht
Í
q0 + hq0 •
q (t) — е
- ht
k*
\
( 1 2
sink*t + q0 cosk*t
+ -
1
mk*
í _
■ j Q(4)e " h (t-4)^sin k*(t-4)d4;
0
k* q0 + hq
k
■sink*t + q0 cosk*t
^ , t _ + — ■ JQ(4)e-h (t-4) ■ cosk* (t - 4)d4 -
(22)
m
j
0
mk
■L,
де (40,Ч0) - почaтковi (при t = 0 ) умови для координати 4 та ГГ першоГ похвдноГ по часу t, а величина
L = jQ(4)e-h(t-4) • sink*(t-¿¡)d£.
0
2. Функщя Q(t) диференцшована по t, а початков1 умови нульов1 (qo = qo = 0). У цьому випадку (i наступному) наводимо формулу лише для q(t).
í ~ \ t
q(t) — ~ Q) - Q(0) ■e - _
cos k*t - — ■sin k*t |-J Q (4)
h (t-4)
0
cos k* (t - 4) +---sin k* (t - 4)
k*
3. Сила Q(t)мае скшчеш розриви Д^,Д^, - у зaдaнi моменти часу 4ъ42,.-(тобто AQj).
q(t) — -■ \Q(t)-j Q (4)е - _(t-4)
cos k*(t -4) +--sin k*(t -4)
k*
r-w !
(23)
(24)
де W — Y^Qi ■ е i—0
-h (t-4t)
cos k*(t -4) +---sin k*(t -4i)
k*
4. Сила Q(t) пеpiодична, з пеpiодом T, тобто Q(t + T) — Q(t )•
-HT
q(t ) = -
mk* -I 1 -2eHT cosk*T + e2HT
+
eHT -(C* - sink*T - S* - cosk*T) + S* eHT - (C* - cosk*T + S* - sink*T)-C
- cosk*t + sink*t
i> +
(25)
+
mk*
-J Q(t) - e - H(t-t) - sin k*(t -£)d£,
де
T
-HT
q(t ) = ■
m -I 1 - 2eHT cosk*T + e2HT
C* = j Q (t) - eHt - cos k*£d£, 0
T ~
s* = jQ(t) - eHt - sink*£d£.
eHT - (C* - sink*T - S* - cosk*T) + S* eHT - (C* - cosk*T + S* - sink*T)-C*
(26)
+
- sink*t +
- cosk*t
i> +
(27)
+ — - jQ(t) - {- Hi - e - H(t -1) - sin k* (t -1) + e - H (t-t) - k* - cos k* (t - t)}dt.
* о
Слiд зазначити, що вирази (25)-(27) описують закон руху системи й силу N (t ) у iнтервалi часу t e [0,T]. Цей закон noTiM повторюеться у наступних штервалах часу: [T,2T] [2T,3T]i т.д. [13]. Якщо по-будований графiк {q(t ), q(t ), N (t )} за формулами (25)-(27) й (2), тoдi змiщуючи його на перюд, два перioди i т.д. матимемо граф^ {q(t ), q(t ), N (t )} для наступних (чи попередшх) iнтервалiв часу.
5. У якосп вимушено! сили Q(t) виступають oднoстoрoннi перioдичнi iмпульси S.
Саме таким чином можна моделювати вiбрoударнi (ударнi) системи ущшьнення грунтiв/сумiшiв. Перioд iмпульсiв T та значення кoефiцiентiв m, b та c будемо вважати заданими.
Сумютимо початок в1дл1ку часу з моментом, який наступае одразу пiсля прикладання якогось iмпу-льсу, тoдi за формулами (26) матимемо, що C* = S, S* = 0. При цьому вираз (25) набувае виду:
S - e
- H (T -1 )
q(t ) = -
sink*(T -1) + eHT - sink*t
mk* -I 1 - 2eHT - cosk*T + e2HT
(28)
Для q (t ) замють (27) маемо:
1
e
q(t ) = -
S -\he - h(T -11
sink*(T -1) + eHT sink*t
+ e
- H (T -1)
- k* cosk*(T -1) + eHTk* cosk*t
mk*I 1 -2eHT cosk*T + e2HT
(29)
За малого ввдношення перioда T iмпульсiв до власного перioду 2п /k* системи (т.з. збудження високо! час-тоти) залежнiсть q(t) стае такою, що за один перюд T встигае реал1зуватись лише частина одного циклу вшьних коливань системи й роль в'язкого тертя вшносно невелика. У протилежному випадку, коли T/(2п/k*) >> 1 (т.з. збудження низько! частоти), залежшсть q(t) стае такою, що за один перюд T вшбува-еться бшьше одного циклу в№них коливань й стае суттевою роль в'язкого тертя. Тобто, якщо T/(2п/k*) << 1, тoдi H ^ 0;якщо T/(2п/k*) >> 1, тoдi H - немала величина, ïï треба враховувати у вах спiввiднoшеннях.
Особливо важливим стае випадок резонансу, коли перюд T iмпульсiв у цше число pазiв бiльше пе-piоду 2п /k* вiльних коливань. Позначимо вказане число буквою r, тодi маемо T — 2nr /k*. У цьому випадку sin k*T — 0, cos k*T — 1 й рух описуеться виразами:
q(t) —
S^e ht ■sink*t
mk* ■ I 1 - e
,-hT
S ■ e
-ht
i
(30), (31)
h sink*t + k* cosk*t (
mk* ■ I 1 - e
hT
q(t) —
Вiдомо [13], що однократний iмпульс викликае рух за наступними законами:
q1 (t) — S ■ е-_ ■ sink*t; mk*
^1(t) —
S
mk*
-■{- _ ■
е ht ■ sink*t + e ht ■ k* ■ cosk*t,
(32), (33)
Знаходимо, що у випадку резонансу, який викликаний перюдичними ударами, рух описуеться тим самим виразом, але з додатковим коефщентом:
q(t) — q1 (t) ■ 1
1 - e
-hT
(34), (35)
q(t) — q1(t) ■
1 - e
hT
Множник 1/1 1 - e
,-hT
характеризуе вплив процесу повторения удаpiв (при ущшьненш гpунтiв чи сумi-
k*
шей). Для цього множника наближено можна записати [13]:
в1 1
1 - е
hT hT 2nrh
При а — 2п/ T, маемо:
в _ 1 — 1а 1 — 1 а k i h2 " 2nr(_/k*) " 2n k* (_/k*) " 2n k* h ] k2 Тодi вираз для в (36) в уточненш фоpмi можна подати наступним чином:
(36)
(37)
в —
1 - exp
-л -1
2п
(
а
1 --
k
V k* /
(38)
а 1
Враховуючи ту обставину, що — — —, формули (37) й (38) можна подати наступним чином:
k* r
' ' 2 11 2
внабл. — - _2/k2 /(2nr);
Рточн. — 1 1 exp
2п
■(_/ k ) ч
Vi - _2/k2
-1
(39)
1
1
Нижче, у Таблиц наведет значення вшбл. й вточн. для (~/ k ) = 0,1 при рiзних значеннях r. До речi, якщо r > 1, це вщповвдае ситуацп субрезонаисiв ударiв (!х частоти) по вщношенню до власно! частоти системи k*. При 0 < r < 1 — ситуацй' суперрезонансiв ударних частот по вщношенню до власно! частоти системи k*.
Таблиця 1
Залежиiсть в вад r при (~/ k )= 0,1
r Тип ударного резонансу а 1 k* r вточн. внабл.
1 Основний 1 2,136 1,584*
2 Субрезонанс 2-го порядку 1/2 1,394 0,792
3 Субрезонанс 3-го порядку 1/3 1,177 0,528
4 Субрезонанс 4-го порядку 1/4 1,087 0,396
5 Субрезонанс 5-го порядку 1/5 1,044 0,317
0,5(1/2) Суперрезонанс 2-го порядку 2 3,693 3,167
0,25(1/4) Суперрезонанс 4-го порядку 4 6,847 6,334
*Примггка. Автор [13] визначае вшбл для r = 1, яке спiвпадае з отриманим у данш роботi. Всi iншi результата, як i графш в =в((/k*) ((Рис. 6.6), с. 132 [13]) - помилковь
Використаемо дат метод гармонiчного балансу й вважатимемо, що характеристика нелшшно! вь дновлювано! сили (3) симетрична ввдносно q,, а у вiбрацiйнiй системi можливi супер- та субгармотчт (як i основнi) коливання. Зпдно [12,13] маемо:
а) для супергармошчних коливань-
q(t) = A1 ■ sin (t + A3 ■ sin 3(t; (40)
б) для субгармошчних коливань -
/ч.<- , • (t
q(t) = A1 ■ sinat + A1/3 ■ sin—.
(41)
Нехтуючи в'язким тертям (у випадку визначення амплiтуд A3й A1/3, а також A1), тобто вважаючи h ^ 0, можна отримати:
3
Ai =
1 =—t-;
m ■ с / m — а I
; A3 =
ч
4m ■ Ic / m — 9(
(42)
Сл1д зазначити, що ампл1туда супергармонiчних коливань A3 мала у порiвияннi з амплиудою A1 основних
коливань (A1 = A), звичайно, при умовi, що не мала рiзниця (с / m — 9а2 )
Аналопчно до (42), у випадку (41) для субгармошчних коливань матимемо:
A1 =■
m ■ (с / m — а )
• А = A1
; A1/ 3 =--
2
1 ±
1
16(а2 — 9k02) ■ m
27A2 ■в
— 7
; k02 = с / m.
Зазначимо, що для виконання умови про дшсне значення розв'язку, необх1дно (при в > 0):
а> 3k0 ■, 11 + — в A12 . 0 16 с
(43)
(44)
тобто субгармошчш коливання можливi лише при досить великих (вщносно основно! частоти вшьних коливань (k* чи k )) частотах збудження. Якщо в < 0, тода:
A1/3 ~
1±
16(а2 — 9k02)-(a2 — k02)2 ■m3
27A2 в
—7
(45)
Для виконання умови про дшсне значения розв'язку, необхвдно (при в < 0):
с< 3ko-.ll + --в-АЛ 0 л' 16 с 1
(46)
Таким чином, субгармошчш коливання у системi вiбрацiйного типу для ущ№нення грунтiв/бетонних (чи будiвельних) сумiшей з жорсткою (в > 0) чи м'якою (в < 0) характеристикою ввдновлювано! сили мож-ливi лише при достатньо великих (для в > 0) або при достатньо малих (для в < 0) значеннях частоти а> вимушено! сили.
Слiд також зазначити, що субгармонiчнi коливання виникають тодi, коли А1 перевищуе певш «по-роговЬ> значення Ап0р0г. :
- 9с0 /т)
А1 > А,
порог.
Л
(в/т)-18,24 :
в < 0,
(47)
а супергармошчш коливання виникають тод^ коли, крiм умови (44), виконуеться ще й така:
А1 < Апорог., в> 0. (48)
Якщо субгармонiчнi коливання у вiбрацiйнiй системi виникли (виконанi умови (44), (48) для в > 0, або (46), (47) для в < 0), тодi !х амплггуди А1/ 3 можуть суттево перевищувати амплiтуди основних коливань, як1 вшбуваються з частотою со (тобто А1). Дiйсно, при 0 < в << 1 з (43) матимемо:
А1/3 1 16(с2 — 9k02) - т
А1 "2 i 27А2 -в
- 7.
(49)
Якщо врахувати сили тертя, то вони зменшують амплиуди суб- та супергармонiчних коливань, але й здатш при !х достатнiй iнтенсивностi - повнiсгю знищити коливання.
Далi, використовуючи результати робгт [9-11], встановимо закони руху середовища, яке ущшьню-еться, а також одночасно взаемодiе з РО вiбрацшно! системи. Як у [9], вважаемо, що рух середовища, яке ущшьнюеться, описуеться координатою перемщення X, котра, взагал1 кажучи, е матрицею з &ш[2 х 1]:
хн ^)
X (Г) =
хда ()
(50)
де Н — довжина (товщина) середовища (грунту чи сумгш), яка мае ск1нчене значення, а хда ^) — описуе перемщення середовища, яке ущшьнюеться, для випадку несшнченого значення по вга Ох його товщи-ни/довжини (Н ^ да). (Вшповщно, при Н сшнченому перемiщення середовища, яке ущшьнюеться, описуеться Хн (^)). Введемо позначення роботи [9] (верхш - вiдносяться до Н — сшнченого, а нижш - до Н ^ да):
' _ 5 '
М = ■
т
т
В =
м—
Н
м- 45
с =
N (Г) =
N (Г) N (Г)
(51)
де М — матриця шерцшних (масових) коефщенпв, В — матриця коефщенпв в'язкостi оброблюваного вiб-рацiею середовища, С — матриця його коефщенпв жорсткостт Континуальнi властивостi оброблюваного середовища зведеш до поверхнi контакту грунту/сумiшi з РО вiбросистеми. У (51) ~Ц — коефiцiент в'язкостi оброблюваного середовища, 5 — площа контактно! зони грунту/сумiшi з РО. Тодi рiвняння руху системи дискретно-континуального типу (РО + оброблюване вiбрацiею середовище) можна звести до наступного матричного рiвняння:
М-Х + В-Х + С-Х = N(t). (52)
Введемо позначення:
Н1 =
В
2М'
2
С
К1 = —; К1* =
М
д/К1
2 — Н12.
Тодi (52) можна подати наступним чином:
X + 2Н1 -X + К12 -X = N(0. Загальний розв'язок (54) у матричному видi мае наступний вигляд:
(53)
с
*
*
с
— — 1 г —
X(t) = e-Hjt ■ C sinK1*t + C2 cosK1*t}+--fN(t) • exp{- Hv(t - £)} • sinjKj* • (t - (55)
MKi* 0
Константи C й C2 сл1д визначати з початкових умов задач1. Зазвичай, початков1 умови нульов1
(Cj = C2 = 0), тод1 вираз для X(t) (55) суттево спрощуеться:
1 Г-
X(t) = t-t-F" ■ f N(t) ■ exp{- Hj ■ (t - £)} ■ sin[Kj* ■ (t - £)]d£. (56)
M ■ Kj* 0
Сл1д зазначити, що сила N(t), яка передаеться в1д РО до середовища, яке ущ1льнюеться, залежить в1д час-тоти його коливань со. Тому, у залежносп ввд того, на якш частот1 функц1онування (С0ф) системи збуджу-
еться в1бращя (основна- Сф = к*, A = A = Aj; субрезонансу- Сф = ®sub, A = Aj/з; суперрезонансу-
Сф = ®super, A = A3), коефщент передач! сили е функщею Сф, а не тшьки функц1ею A, тобто
U* = ¡и*(сф, A).
Висновки
1. Обгрунтована одновим1рна дискретно-континуальна модель в1брацшно! системи ущ1льнення грунпв i сум1шей (бетонних/будiвельних) за наявносп у РО вказано! системи нелшшно! пружини (або нелiнiйноi вь дновлювано! сили), яка у подальшому застосована для аналiзу вимушених коливань (основного типу), супер- та субрезонанСв, виникаючих при цьому.
2. Визначеш умови, амплiтуди та частоти, за яких юнують коливання основного типу, а також супер- та суб-резонанси аналггичним методом. Для ударних вiбрацiйних систем ущiльнення грунтiв/сумiшей детермшо-ванi амплiтуди коливань при наявносп ударних супер- та субрезонанСв.
3. Отримаш у роботi результати можуть бути у подальшому використанi для уточнення й вдосконалення iснуючих iнженерних методiв розрахунку вiбрацiйних систем ущ№нення грунтiв та сумiшей (бетон-них/будiвельних), як на стадиях !х проектування/конструювання, так i у режимах реально! експлуатаци.
Список використаноТ лiтератури
1. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т./Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). - М.: Машиностроение, 1981. - Т. 4. Вибрационные процессы и машины/Под ред. Э.Э. Лавендела. 1981. -509с.
2. Савинов О.А. О реологических моделях бетонной смеси/О.А. Савинов, И.У. Альберт//Изв. ВНИИГС. -Ленинград, 1974. - Т. 105. - С. 145-147.
3. Вибрационные машины в строительстве и производстве строительных материалов/Справочник/Под ред. В.А. Баумана, И.И. Быховского, Б.Г. Гольдштейна. - М.: Машиностроение, 1976. - 548с.
4. Савинов О.А. Вибрационное уплотнение бетонных смесей/О.А. Савинов, Е.В. Лавринович, А.Я. Лускин, Н.Я. Цукерман. - Ленинград: Энергия, 1973. - 53с.
5. Бауман В.А. Вибрационные машины и процессы в строительстве/В.А. Бауман, И.И. Быховский. - М.: Высшая школа, 1977. - 255с.
6. Гольдштейн Б.Г. Глубинные вибраторы для уплотнения бетона/Б.Г. Гольдштейн, Л.П. Петрунькин. - М.: Машиностроение, 1966. - 171с.
7. Карманов И.В. Исследование работы плоскостного глубинного уплотнителя и выбор его оптимальных параметров/И.В. Карманов//Известия ВНИИГС. - Ленинград, 1976. - Т. 114. - С. 103-108.
8. Савинов О.А. Практическая методика расчёта параметров плоскостного глубинного уплотнителя/О.А. Савинов, Е.В. Лавринович, И.В. Карманов//Известия ВНИИГС. - Ленинград, 1978. - Т. 121. - 100с.
9. Ловейшн В.С. 1дентифжащя мехашчних властивостей грунпв сшьськогосподарського призначення шляхом дослщження коливань !х зразшв/В.С. Ловейшн, Ю.В. Човнюк, Л.А. Дяченко//Автоматизацiя виробни-чих процеСв у машинобудуваннi та приладобудуваннi. - Львiв: Вид-во Львiвськоi полiтехнiки, 2011. - Вип.. 45. - С. 103-109.
10. Маслов А.Г. Исследование взаимодействия виброплощадки с бетонной смесью/А.Г. Маслов, О.О. Ко-лесник//Вюник КрНУ iменi Михайла Остроградського. - Кременчук, 2016. - Вип. 1(96). - С. 51-57.
11. Маслов А.Г. Исследование взаимодействия вибрационной плиты рабочего органа с уплотняемой бетонной смесью/А.Г. Маслов, Ю.С. Саленко, И.И. Жовтяк//Шсник КрНУ iменi Михайла Остроградського. - Кременчук, 2016. - Вип. 5(100). - С. 51-57.
12. Ландау Л.Д. Механика. Т. 1/Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1965. - 204с.
13. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний/Я.Г. Пановко. - М.: Наука, 1991. - 256с.
