CC BY
27
УДК 539.3
Канд. физ.-мат. наук А. В. Пожуев, Е. Н. Михайлуца Государственная инженерная академия, г.Запорожье
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ УПРУГОЙ ПРОСЛОЙКИ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВОБОДНЫХ ВОЛН В СОСТАВНОЙ
КОНСТРУКЦИИ
Получено решение стационарной динамической задачи о распространении вдоль бесконечной двухслойной пластины и цилиндрической оболочки с упругой прослойкой между слоями гармонических волн. Движение слоев описывается динамическими уравнениями теории упругости, а для описания поведения соединения, толщина которого незначительна в сравнении с длиной волны, используется упрощенный подход. Рассмотрены предельные случаи контакта. Построены картины распределения по толщине составной пластины и оболочки компонент перемещения и напряжения (мод движения) и показано влияние параметров соединения на динамический процесс в слоистой конструкции.
Задачи о распространении свободных волн в слоистых пластинах и оболочках в уточненной постановке, когда для описания движения слоев используются динамические уравнения теории упругости, рассмотрены в монографиях [1, 2]. При этом проанализированы два вида идеального контакта между слоями: жесткий, когда на границах слоев выполняются условия равенства всех компонент перемещений и напряжений, и скользящий, при котором на совместной границе отсутствуют касательные напряжения. Представляет практический интерес рассмотрение задачи, когда условия контакта не подчиняются этим двум идеальным вариантам, а являются промежуточными, т. е. когда соединение обладает некоторой податливостью. Например, такая ситуация возникает, когда рассматривается составной материал, состоящий из различных склеенных слоев и требуется учесть заметную податливость соединения. Ранее [3, 4] рассматривались динамические задачи для склеенного составного стержня и свободные волны в двух склеенных неодинаковых полупространствах, при этом основное внимание уделялось напряжению на склейке и нахождению решений, описывающих распространение волн вдоль поверхности раздела.
В настоящей работе исследовано распространение свободных волн в бесконечно длинных пластине и оболочке, которые состоят из двух неодинаковых по механическим параметрам и толщине слоев с тонкой упругой прослойкой. Толщина соединяющего слоя (склейки) предполагается малой по сравнению с длиной волны, что позволяет использовать для описания поведения связующего вещества упрощенный подход. Построены дисперсионные кривые для различных значений параметров слоистой системы, а также моды движения для различной длины волн. Полученные численные результаты позволили оценить влияние пара-
метров соединения на динамический процесс в составной конструкции.
1 Для исследования влияния упругой прослойки рассмотрены пластина и оболочка неограниченных в плане размеров, составленные из двух слоев и прослойки между ними. Рассматривается плоское деформированное состояние для пластины и осесимметричные волны
для оболочки, при котором их = их (X, 2, /) ,
и г = (х, г, г), движение каждого из слоев описываем динамическими уравнениями теории упругости в перемещениях.
Предполагая толщину прослойки малой по сравнению с длиной волны и пренебрегая ее инерционными свойствами, условия связи между слоями аналогично запишем в виде
ст (1) =ст (2) ст (1) =ст (2).
и гг и гг > и хг и хг >
а гг = Е ( - ^ ) а хг = О ( - и? ),(1)
где Е, О, Ь - модули Юнга и сдвига, а также толщина склейки. Для оболочки условия связи получаются за-м.ной и н д. к.. г на г.
На внешних поверхностях конструкции принимаются условия отсутствия напряжений
а) для пластины:
(г = а(1 = 0, а^ = 0; (г = а(2 = 0, а^ = 0; (2)
б) для оболочки:
при г = а : а^ = 0, а( = 0 ,
при г = ё : а(2 = 0, а( = 0 . Приведем алгоритм исследования характера распространения свободных волн в пластине и оболочке. Так как существенного различия в структуре алгорит-
© А. В. Пожуев, Е. Н. Михайлуца 2006 р.
1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2006
65
ма не наблюдается, будем указывать формулы в пунктах а) и б) для пластины и оболочки соответственно.
Для интегрирования уравнений движения слоев вводятся потенциальные функции по формулам:
) и«■ и да
дx дх дх дx
2 2
б) и(
+ 0 +1 ; и(к) = .0фТ-д ^к .(3)
дх дг2 г дг
дг дхдг
При этом необходимые нам компоненты напряжений выражаются через фк , Vк следующим образом:
а) ^) = ^кМк)
2Ск у к
1 - 2у 2
( д2Фк +дV к ^
к
дх
2
дхдх
1 - 2у
= ок
д Фк +д Vк дх 2
дхдх
^2 о2 я2 А
2 д Фк д V к +д Vk
дхдх дх2
дх
2
б) ст у/ =
2
(к ) > ож + 2(1 к
Г
С
х=^ к
дГ
д Фк д V к
дг2
дхдг2
д 2 Ф к , д 3v к д 3V к , 1 д 2v к ^ г--1------— +—
дхдг дг3
дгдх
2
г дг
2
. (4)
Рассматривая распространение вдоль пластин синусоидальных волн, решение динамических уравнений ищем в виде:
ихк), ихк), ф (к), V(к) }=
= и20), Ф0к), V 0к) }ехр - рГ), (5) где и(к), и(к) - амплитуды перемещений точек каж-
х0 г0
дого слоя; 1 = 2п / х у ; р = СуX у, Су- - длина и фазовая скорость волны.
Подставляя формулы (3) с учетом представления (5) в динамические уравнения для каждого слоя, получаем для определения амплитуд потенциальных функций видоизмененные волновые уравнения:
а) д2Фк „2 2 —"к -I2 ткФк = 0
дх 2 2
^-12т2к V к = 0;
дх 2
,ч д Фк 1 дФк „2 2
б) +—дк --I2 т2Фк = 0 дг 2 г дг
д Vк 1 дvк „22
- +-12 т\V к = 0,
дг2
г дг
где
тк =)/1 - М рк; тк =д/1 - м1к;
Су Су
мрк =тт- ; Мк =-рг СС
^ рк
«к
Общие решения уравнений (6) для представляющего наибольший практический интерес случая
Су < т^С «к, С рк } записываются в виде:
а) Ф0к) (х, |) = С[к )етк1 х + С2к)е"тк| х
V 0
(к)
(х, |) = 1 х + ^2к) е-т*1 х;
б) Ф0к) = Ак (|)К0 (тк |г )+ Вк (() (тк |г )
V 0к) = Ск (|)К 0 (тк |г ) + Б (I)/ 0 (т«к |г ),
где /п (х), Кп (х) - функции Бесселя от мнимого аргумента первого и второго рода. Аналогично записываются решения для всех других возможных скоростей распространения волн.
Подставляя выражения (7) в формулы (3), (4) и удовлетворяя затем граничным условиям (1), (2), получаем систему из восьми однородных алгебраических уравнений для определения функций
Ак (£)* Бк (|) или С1(1)(|) ■ 42)(|). Из условия нетривиальности решения этой системы находим дисперсионное уравнение задачи в виде:
ёй ШуП = 0
(', } = 1.
(8)
Для упрощения расчетов вводятся безразмерные переменные, относя все линейные параметры к толщине главного слоя (первого для пластины и внутреннего для оболочки). Вводятся также отношения модулей Юнга и плотностей, относя эти величины к соответствующим для главного слоя.
Уравнение (8) является трансцендентным относительно безразмерной фазовой скорости М^. Эта скорость зависит от безразмерного волнового числа п и, следовательно, гармонические волны диспергируют. Уравнение (8) является уравнением дисперсии, при этом имеют место следующие зависимости между числами Маха:
М22 =Р* М2/у, М 2р1 =(1 - 2У1 )М21/2/(1 -^1),
М 2р2 =(1 - 2у 2 )М22/^(1 -V 2 ).
Для свободных волн в среде без диссипации энергии фазовые скорости волновые числа являются действительными величинами, поэтому корни уравнения (8) для различных значений длин волн могут быть най-
+
дены с помощью ЭВМ без громоздкого решения задачи об аналитическом раскрытии определителя.
2 Проведено также сравнение полученных результатов с известными частными случаями задачи для идеального контакта. Если контакт между слоями считать жестким (полное склеивание без податливости), то вместо граничных условий (1) будем иметь такие:
а) (z = 0) а« = а а g =ag>,
UZ0) = ü(2), ü® = ü(2);
б) (г = b)a(l) = а(2), а()=а(),
и« = иГ2), üil) = üi2).
(9)
В случае скользящего контакта на границе слоев
а) (г = 0) а % =а а % = 0, а ^ = 0, и« = Ц(2>;
(г = Ь) а¡Г = а(2), а() = 0, а() = 0, и() = иГ2).(10) При применении граничных условий вида (9) в дисперсионном уравнении изменяются элементы седьмой и восьмой строки определителя, а для граничных условий (10) - элементы трех последних строк определителя без изменения структуры построения решения.
Для сравнения получено также решение для однослойных конструкций с суммарной толщиной ¿1 + ¿2 и изготовленной из того же материала, что и главный слой. Для этого случая условия (1) не используется и, удовлетворяя граничным условиям (2), приходим к дисперсионному уравнению в виде равенства нулю определителя четвертого порядка, элементы которого получаются, если взять первые четыре строки определителя, но в третьей и четвертой строке все индексы второго слоя заменить на индексы первого.
3 С помощью ЭВМ для всех рассмотренных случаев найдены корни дисперсионных уравнений и построены зависимости фазовой скорости от длины волны (дисперсионные кривые). Расчеты проводились при
варьировании значений таких безразмерных парамет-
*
ров, как к8, у, р , к81, У1, т.е. изменялись относительные толщины, жесткости и плотности обоих слоев и прослойки.
Рис. 1.
Рис. 2.
На рис. 1 показаны построенные на основании точного решения дисперсионные кривые для упругого контакта между слоями при различных значениях отношения модуля сдвига прослойки к верхнему слою для пластины. При этом кривая 1 соответствует значению У1 = О/О! равному 0,001, кривая 2 - 0,05, кривая 3 - 0,01. Видно, что влияние прослойки ослабевает при стремлении характеристик прослойки к характеристикам верхнего слоя. На рис.2 построены дисперсионные кривые первой моды движения для составной оболочки для различных видов контакта. Кривые 1 отвечают случаю упругого контакта между слоями, кривые 2 построены для случая жесткого контакта, случаю скользящего контакта отвечают кривые 3. Исследовалось влияние соотношения толщин слоев при постоянной полной толщине пакета, при этом сплошные линии соответствуют значению толщины
внешнего слоя 0,002 и ¿2/¿1 =20, а для пунктирных толщина равна 0,005 при к2/ =8. Из полученных результатов видно, что влияние упругих свойств прослойки более существенно для коротких волн (п > 25), в то же время при определении минимумов дисперсионных кривых (нахождении критических скоростей для соответствующей задачи о движении вдоль двухслойной оболочки осесимметричной нормальной нагрузки) разница между случаем упругого и жесткого контакта незначительна, и можно для этой цели пользоваться результатами для оболочки с полностью склеенными слоями.
Представляет практический интерес построение мод движения, которое позволяет наглядно показать влияние характера граничных условий на поверхности контакта на амплитуды перемещений и напряжений в составной конструкции. В случае точного решения задачи, когда движения слоев описываются динамическими уравнениями теории упругости, такие формы представляют собой распределение амплитуд по толщине двухслойной конструкции и строятся следующим образом. Задавшись определенной длиной волны (выбрав фиксированное значение п), из дисперсионного уравнения для соответствующего контакта между слоями, находим отвечающую ей безразмерную фазовую скорость .
ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2006
67
После этого подставляем полученную пару значений (п, М1) в систему однородных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов в формулах (7) и, так как ее определитель при этом обращается в ноль, то отбрасываем одно из уравнений, а в оставшейся системе одну из функций принимаем в качестве заданной и переносим ее в правую часть. Решая на ЭВМ полученную систему семи уравнений, после соответствующей нормировки подставляем найденные величины в выражения для амплитуд перемещений и напряжений каждого из слоев.
Иллюстрация влияния относительной жесткости упругого соединения при фиксированной длине волны п = 0,5 приведена на рис. 3 для тех же значений отношений модулей сдвига, для которых строились дисперсионные кривые на рис. 1. Построенные графики наглядно показывают влияние податливости соединения на закономерности распределения по толщине двухслойной конструкции компонент напряженно-деформированного состояния.
Для анализа упругих свойств слоистой оболочки на рис. 4 построены графики распределения по тол-
щине компонент напряженно деформированного состояния при п = 20 для различных соотношений внешнего и внутреннего слоев. При этом кривая один соответствует тонкой оболочке (отношение толщины слоя к радиусу равно 0,002), кривые 2 и 3 соответствуют значениям 0,004 и 0,005 соответственно. Хорошо видно, что при увеличении толщины внешнего слоя происходит стабилизация распределения напряжений и характерны скачки в компонентах перемещения конструкции.
Список литературы
1. Горшков А.В, Пожуев В.И. Стационарные задачи динамики многослойных конструкций. - М.: Машиностроение, 1992. - 224 с.
2. Горшков А.В, Пожуев В.И. Пластины и оболочки на уп -ругом основании при действии подвижных нагрузок. -М.: Изд-во МАИ, 1992. - 336 с.
3. Pajton R.G. Dynamic bond stress in a composite structure subjected to a sudden pressure rise// Trans. ASME. Ser.E. J.Appl. Mech. 1965.V.32., № 3. - P.190-198.
4. Jones J.P., Whitter J.S. Waves at a flexibly bonded interface// Trans. ASME. Ser.E. J.Appl. Mech. 1967.V.34., № 4. - P.178-183.
Одержано 20.03.2006 р.
Отримано розв 'язок стац1онарно'1 динам1чно'1 задач1 про розповсюдження вздовж необмеженоХ двошаровоХ пластини та цил1ндрично1 оболонки з пружною прокладкою мгж шарами гармотчних хвиль. Рух шаргв описуеться динамгчними ргвняннями теорИ пружностг, а для опису поведтки з'еднання, товщина якого незначна поргвняно з довжиною хвилг, використовуеться спрощений тдх1д. Розглянуто граничнг випадки контакту. Збудован картини розподшу по товщиш згставноЧ пластини та оболонки компонент перемщення та напруги (модируху) i показано вплив параметргв поеднання на динамгчний процесу шаруватш конструкцИ.
Solution for a stationary dynamic problem concerning the waves distribution along the infinite bilayeredplate and cylindrical shell with an elastic separator between the layers of harmonic waves. Movement of the layers is described by dynamic equations of the elascity theory, a simplified approach is used to describe the behavior of a compound whose thickness is small as compares to the wave length. Limiting cases of contact have been considered. Patterns of distribution of shift and stress components (motion modes) along the composite plate and shell have been plotted and the effect of joint parameters on the dynamic process in the laminar construction had been shown.
ISSN 1607-6885 Hoei матерiали i технологи в металургп та машинобудувант №1, 2006 69
