CC BY
25
УДК 539.3
Канд. физ.-мат. наук А. В. Пожуев, Е. Н. Михайлуца Государственная инженерная академия, г. Запорожье
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ДВУХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ С НЕИДЕАЛЬНОЙ СВЯЗЬЮ
Исследуется нестационарная реакция двухслойной конструкции конечных размеров с упругой прослойкой между слоями на действие нормальной нагрузки. Для построения модели использовались динамические уравнения теории упругости для слоев, прослойка подчиняется модели Jones-Whittier. Решения как для прогиба, так и для напряжения в каждой точке конструкции, полученные разложением в ряды Фурье и методом интегрального преобразования Лапласа, сопоставлены с результатами для идеального и жесткого контактов между слоями.
Ключевые слова: пластина, прослойка, деформация, волновое уравнение, ряд Фурье, преобразование
Лапласа, пространство изображений, многочлен Лежандра.
Рассматривается слоистая конструкция, ограниченная в плане размерами а х Ь , составленная из двух слоев, толщиной к и ^2 , и прослойки толщиной к между ними. Пластина нагружена нормальным давлением. Начало координат выбрано на границе слоев, ось 2 направлена вверх. Нижний слой жестко сцеплен (полное склеивание без податливости) с абсолютно жестким полупространством.
Для описания движения слоев используются динамические уравнения теории упругости, записанные здесь в виде:
(Хк + )gradи(к) - №кго{ гоШ (к ) =
52 и(к >
= Рк‘
к = 1, 2.
(1)
Здесь индекс 1 относится к верхнему (нагружен-
—(к)
ному) слою, а 2 - к нижнему; и - вектор перемещений срединной поверхности слоев пластины в направлении осей х, у, г ; Xк, цк, рк - параметры Ламе и массовая плотность слоев.
Предполагая толщину прослойки малой по сравнению с длиной волны, и, пренебрегая ее инерционными свойствами, условия связи между слоями аналогично [2] запишем в виде:
при 2 = 0 а)) = 42>, ст® = 42),
,<« = Е ( - и<2)) ст) = £ ( - и®),
СТ8 = £ (( - и?>)
где Е, G - модули Юнга и сдвига склейки.
Верхний слой нагружен нормальным давлением
Р(х, у, t), равномерно распределенным по полосам шириной 2/г- по координате х, которое приложено в начальный момент времени и аналитически описывается функцией Хевисайда. Граничные условия на внешних поверхностях пластины записываются следующим образом:
при г = ^2 и{2 = и У2) = и() = 0,
при г = к а*1 = стОО = 0 , ст(1) = -р .
(3)
Принимая во внимание наличие торцевых диафрагм для слоев жестких в своей и гибких из своей плоскости, запишем для каждого слоя:
при х = 0 и а : и(к) = 0 , стк = 0,
при у = 0 и Ь : и() = 0 , стк = 0. (4)
Перейдем в уравнениях движения к безразмерным переменным по формулам, отнеся все линейные величины к толщине верхнего слоя
их), иУ), и^ )}= -1 {), иу), иЧ)},
I* * * I 1 ( }
^ , У ,г ]=-r\Х,y,г},
«2 Рі
У = £-> Р1 = ~т
£
к, = к2. (5)
к
Ч Р2 "1
Для интегрирования уравнений движения введем скалярный и векторный потенциалы Ф и V по формуле:
© А. В. Пожуев, Е. Н. Михайлуца, 2011
1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2011
и(к) = gradФ() + гоґц)(к).
(6)
Тогда получаем волновые уравнения и дополнительное условие:
АФ
(к )> , А^«к ^). 0,(7)
2Ш(к)
срк дґ2
2 яЛ
С$к дґ
22
где ерк, е8к - скорости распространения растяжения-сжатия и сдвига в заполнителе
с2 = 2Ск -(1 ~ук) 2 = Ск
рк (л ^ \ 5 сзк = •
рк •(1 -2^ к) рк
Применяя преобразование Лапласа по времени и разложение в двойные ряды Фурье перемещений и напряжений с чередованием синусов и косинусов по
* * ^ / Л\
х и у для удовлетворения условий (4):
и(к )(х*, у*, р)~-
<х> <х>
= ууй
^ ^ ^ тп п=1т=1
пп * тп *
БІЙ х • БІЙ —у
5 Е
(8)
приходим к следующим обыкновенным дифференциальным уравнениям:
d Ф\т) т ф(к) = 0 d Ч'іпп т ш(к)
—“Ї2---------Х1Ф тп = 0, -*2-----т2ш тп =
dz dz
= 0, (9)
где Х11 = N 2 +П1р , Х21 = ^2 + р ,
Х12 = N2 + ПР- , Х 22 = N2 + —, Пк = .
У1Р1 У1Р1 2(1 -^к)
Решения данных уравнений записываем в виде:
ФтП = с() • ехр(2* 7Х1к')+ с2к) • ехР(- л/^к ),
а=с3к) • ^р^у/ь!)+с(к) • ехр(- ^
^Хп = с5к) • ыр^т^)+ с6к) • ехР(- ),
А = с7к) • exP(z^л/X-k)+ с|к) • ехР(- ). (10)
Используя третье уравнение из (7), выражаем функции с7к) и с():
•\/Т2к V8
с(к) —^_________(п. с3к.+ті. с()
■\/Т2к V8
с(к п. с(к .+ ^ с6к )
(11)
Компоненты перемещения находятся подстановкой (10) с учетом (11) в (6) после перехода в них к безраз-
мерным переменным, применении преобразования Лапласа и разложения потенциальных функций в ряды Фурье. Компоненты напряжения вычисляются с использованием закона Гука. В результате, в пространстве изображений перемещения и контактные напряжения в произвольной точке двухслойной конструкции могут быть вычислены по формулам:
итп) = лі^їк (с1(к) )-с2к) ехр(-1+
р(- ))-
(к)ехр(- )),
+^ )ехр()^7т2;)+)к )ехр(- /(Х^))
-пп(с5к) ехр(т 2к)+сбк) ехр(- 2
и
(с1к} ехр()*у[кк)+ с2к} ехр(- 2*(1Хй))+
IX п 2 п2
/х 2к -^/Т
• (с3к} ехр()*у[х2к)-с4к} ехр(- )*л[х2к ))-
8ел/Х
(с5к) ехр(*(Х2к )-
с£'' ехр (- г
с (к),
итпх = ■пП(с1(к) ехр()^л/Х1к‘)+ с2к) ехр(- )) +
(3к) ехр()^>/Х27)- с4к) ехр(- -г^л/х2к ))+
• (с5к) ехр()^л/Х2І")- с6к) ехр(- )*^Х2к )),
5еУХ 2к Ґ
2 2 т п
- - Д
■=^зк ) ехр()^л/х1^)-
(к)с(к) ехр(- ^^7X1^)+^пп^л/X2^c3k) ехр^ )-(- )*^Х2к )-
- ехр(- ^^(Х2Т)- ^л^с® ехр()^,/Х2к)+
+ 2~'1Х1к с6к) ехр(- )^у1Х2к ),
«к е
^ т2п2 п2п2 — + 2к
Е2 82
2птп
8е
= ■Їпп^л/Xїk"(с1(к) ехр()^л/ХІТ)- с2к) ехр(- ))+
• (с3к) ехр((2~)+ с4к) ехр(- (/х2к ))-
(с5к) ехр{),у1Х2к )+ с6к) ехр(" ^^(х2к'Ц
л/хік(с1(к) ехр()^л/Х1к)- с2к) ехр(- )^Л/Х1к))+
(с3к) ехр()^>/Х2А )+ с4к) ехр(- )^л/Х2^))-
- +Х 2к ^'(с5к) ехр((^)+ с6к) ехр(- (Х2к ))-^)
Ок 8
2птп +---:---с”7 ехр1
Удовлетворяя затем граничным условиям (2), (3) с использованием зависимостей (12), получаем систе-
+
2
ст
тпг
Ок
ст
му линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ^ , i = 1,...,12, которая затем решается численно по методу Гаусса. После этого, с использованием (12) и условий (3), получаем коэффициенты Фурье для нормальных перемещений слоев в пространстве изображений в виде:
ит*
рт
О,
и
(13)
Выражения для нахождения перемещения и напряжения в любой точке конструкции являются линейной комбинацией найденных коэффициентов, зависящих от вида внешней нагрузки.
Пусть в начальный момент времени к верхней границе первого слоя прикладывается нормальная нагрузка, равномерно распределенная по участкам длинной
21к на расстоянии ак (к = 1, 2) от оси у . Аналитически такая нагрузка описывается следующим образом:
Рбк (, х у) = Р0% (х)Н(t )(у - <Лк),
кк (х)=
1, ак < х < ак + 21к
0, 0 < х < ак и ак + 21к < х < а
(14)
где Н() - функция Хевисайда, 8(у - dk) - дельтафункция Дирака.
*
Раскладывая нагрузку (14) в ряд Фурье по х и применяя преобразование Лапласа по т, получаем для трансформант нагрузки следующие выражения:
р8птк (р) р0 /пк (р)Ьтк,
(15)
где
/пк (р) = —— • ппр
пп * I ( пп
СОБІ--------ак I - СОБІ —
5 к) V 5
• {21к + ак )
1к 1к/к1 , ак ак/к1 , 4 = ^/к1 •
После подстановки (15) в (13) задача сводится к суммированию двойных рядов Фурье и обращению преобразования Лапласа.
и
ЬІ * *
) \p, х , у , г ) =
1 “ “ * / «V Ь Ь \ . (тп *I . (пп *I
— Ь^ттУ) )р5п\ + рЗп^' Н-------У Ь Н х !(16)
Ч т=1п=1 Vй у V ^
Окончательное решение задачи сводится к вычислению двойного обратного преобразования Фурье и обращению преобразования Лапласа. Предложен специальный численный алгоритм, основанный на двукратном применении метода Файлона для вычисления двойных интегралов Фурье и привлечении смещенных многочленов Лежандра. Оригиналы искомых величин по времени вычисляются по формулам [3]:
к=0
ак = £ а<к)О( +1), а(к ) = (-1)>+( к |.%+4
і=0
МП
(17)
.(18)
О (і +1) - изображение искомой величины по Лапласу, которое получается после двукратного применения метода Файлона, р^ (е-) - смещенный многочлен Лежандра.
Отметим, что при таком подходе к проблеме обращения преобразования Лапласа задача по сути сводится к нахождению функции по ее «взвешенным моментам» или к нахождению функции по значениям изображения некоторой функции в целочисленных точках
р = к (к = 0,1,2, к), а не к вычислению собственно интеграла обращения. В теоретическом плане вопрос о сходимости представления вида (17) и об оценке остаточного члена до сих пор не доказан [3], поэтому необходимы численные эксперименты, которые и были проведены. Показано, что для обеспечения надежных результатов как по перемещениям, так и по напряжениям, необходимо в рядах и по х и по у брать по пятьдесят членов, а необходимая точность во всем временном диапазоне получается, если в формулах вида (17) брать восемь членов.
Расчеты проводились для таких значений безразмерных параметров:
V = V! = V 2 = 0,25, у = 0,2, У1 = 0,05, р = 0,2,
$ #
5 = 10, е = 10, х я = 3, х л = 0,1, а* = 4, Ь = 1.
На рисунках приведена иллюстрация установления процесса в точке под серединой нагрузки на примере нормальной составляющей тензора перемещений (рис. 1) и тензора напряжений (рис. 2). При этом кривая 1 соответствует границе раздела слоев, а кривая 2 - середине первого слоя.
1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2011
141
Полученные результаты наглядно демонстрируют установление переходного процесса и возникающие при этом динамические перегрузки. Также проведен сравнительный анализ влияния упругой прослойки на картину напряженно-деформированного состояния конструкции.
Рис. 3 и 4 иллюстрируют влияние демпфирования на картину установления процесса. При этом кривые 1-3 соответствуют упругому, жесткому и скользящему контактам соответственно. На рис. 5 и 6 приведены графики распространения нормальных компонент перемещения и напряжения по толщине конструкции для различных моментов времени. При этом кривые 1-3 соответствуют безразмерным моментам времени т = 1, 3 и 5 соответственно. Графики демонстрируют картину перегрузки и стремления характеристик к стационарным значениям в каждом слое.
Построенные графики наглядно иллюстрируют влияние учета податливости соединения на закономерности распределения перемещений и напряжений. Предложенный алгоритм позволяет рассчитывать картину деформации в произвольной точке конструкции с неидеальными связями.
Перечень ссылок
1. Горшков А. В. Пластины и оболочки на упругом на упругом основании при действии подвижных нагрузок / А. В. Горшков, В. И. Пожуев. - М. : Изд-во МАИ, 1992. -336 с.
2. Jones J. P. Waves at a flexibly bonded interface / J. P. Jones, З. Крылов В. И. Справочная книга по численному интег-
J. S. Whitter // Trans/ ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. - 1967. - рированию / В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина. - М. : На-
Vol. З4. - N 4. - P. 178-18З. ука, 1966. -З70 с.
Одержано 29.11.2010
Пожуєв А.В., Михайлуца О.М. Нестаціонарна просторова деформація двошарової пластини скінчених розмірів з неідеальним зв’язками
Досліджується нестаціонарна реакція двошарової конструкції скінчених розмірів із пружним прошарком між шарами на дію нормального навантаження. Для побудови моделі використовувалися динамічні рівняння теорії пружності для шарів, прошарок підкоряється моделі Jones-Whittier. Рішення як для переміщення, так і для напруги в кожній точці конструкції отримані розкладанням у ряди Фур ’є й методом інтегрального перетворення Лапласа, зіставлені з результатами для ідеального й жорсткого контактів між шарами. Ключові слова: пластина, прошарок, деформація, хвильове рівняння, ряд Фур ’є, перетворення Лапласа, простір зображень, багаточлен Лежандра.
Pozhuev A., Mihaylutsa E. Non-stationary spatial deformation of the final sizes two-layer plate with nonideal communication
Non-stationary reaction offinal sizes two-layer construction with an elastic filler between layers over action of normal loading is investigated. For model construction the dynamic equations of elasticity theory for layers were used, the filler submits to model Jones-Whittier. Decisions both for a deflection, andfor Pressure in each Point the designs received by decomPosition in Furie numbers and a LaPlasa method of integrated transformation, are comPared with results for ideal and rigid contacts between layers
Key words: Plate, layer, deformation, the wave equation, number of Furie, transformation of LaPlasa, s'Pace of images, multinomial of Lezhandra.
ISSN 1607-6SS5 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2011
143
