Анализ вероятности ложной тревоги при уровневой обработке сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

DOI: 10.18454/IRJ.2016.49.022 Плаксиенко В.С.1, Плаксиенко Н.Е.2, Хадыка И.В.3

1 Доктор технических наук, 2кандидат технических наук, 3аспирант, Южный федеральный университет АНАЛИЗ ВЕРОЯТНОСТИ ЛОЖНОЙ ТРЕВОГИ ПРИ УРОВНЕВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ

Аннотация

В статье проведен анализ вероятности ложной тревоги при уровневой обработке сигналов дискриминаторами с взаимными обратными связями в условиях значительной априорной неопределенности для случая, когда переходные процессы в приемном устройстве установились. Методом итераций, путем размыкания то одной, то другой обратной связи получено аналитическое выражение для расчета вероятности ложной тревоги при реализации алгоритма уровневой обработки, приемлемое для инженерных расчетов. Проведено сопоставление вероятности ложной тревоги при обычной обработке и при обработке дискриминаторами с обратными связями.

Ключевые слова: анализ, вероятность ложной тревоги, метод итераций, моделирование.

Plaksienko V.S.1, Plaksienko N.E.2, Hadyka I.V.3

1PhD in Engineering, 2PhD in Engineering, 3Postraduate student, Southern Federal University

THE ANALYSIS OF PROBABILITY OF THE FALSE ALARM AT LEVEL PROCESSING OF SIGNALS

Abstract

In article the analysis of probability of a false alarm at-level processing of signals is carried out by discriminators with mutual feedback in the conditions of considerable aprioristic uncertainty for a case when transition processes in an intake were established. The method of iterations, way of disconnection one, other feedback have received the analytical expression for calculation of probability of a false alarm at realization of algorithm of-level processing accepted for engineering calculations. Comparison of probability of a false alarm at usual processing is carried out and when processing by discriminators with feedback.

Keywords: analysis, probability of a false alarm, method of iterations, modeling.

При обработке импульсных сигналов различают две практически важные ситуации: обработку связных с игналов, манипулированных по амплитуде, и обработку радиолокационных сигналов. Первый случай, с точки зрения анализа, можно рассматривать как частный случай второго.

При анализе радиолокационных сигналов имеют дело с двумя статистическими ситуациями. Первая - сигнал отсутствует, и суммарные шумы определяют основной параметр помехоустойчивости: вероятность ложной тревоги F. Вторая - сигнал присутствует, и его энергетические характеристики определяют второй по значимости параметр помехоустойчивости: вероятность правильного обнаружения D.

Плотность вероятностей распределения шума - W2 (x) и смеси сигнала с шумом Wj (x) поясняют динамику связи вероятности ложной тревоги F и пропуска сигнала 1 — D, где

да

F = J W (x) dx ;

U П U п

1 — D = J W (x) dx ,

0

да

где D = J W (x) dx - вероятность правильного обнаружения.

'1'

ип

Обычно "" (х) подчиняется закону Райса, а (х) закону - Релея.

Для обеспечения минимальных значений Б и 1 — О необходимо точное согласование параметров сигналов и приемных устройств. Однако, иногда, в реальных условиях, когда произведение полосы сигнала М на его длительность Т меняется в широких пределах, даже приближенное согласование по длительности невозможно. В таких условиях, как показано в работе [1], эффективно применение метода комбинированного сложения, а при

Д^Т » 1 его частного случая - уровневой обработки.

Процедуры, основанные на учёте информативных параметров взаимных превышений процессов, автовыбор и метод взаимного преобразования, следует отнести к алгоритмам оптимизации некогерентного широкополосного приёма [1, 2].

Наиболее простым является алгоритм уровневой обработки, представляющий сочетание двух процедур: автовыбора и фильтрации. Аавтовыбор исходных процессов Х^) и Х2(Г) реализуется процедурой

X 1п (О = Хх(0 1[Хх(0 - X2(t)]; X2И (0 = X2(t) - ^(0],

где 1[z(t)]=

1 z(t) > 0; —

единичная ступенчатая функция или функция Хэвисайда.

0 z(t) < 0.

Причем полоса фильтров должна быть не уже ширины спектров исходных процессов, определяемой обычно полосой УПЧ приемника. Такая обработка эффективна только при значительном рассогласовании ширины спектра сигнала с полосой пропускания приемника ДП, т.е. при ДТ >> 1. В условиях, когда ДГГ меняется в широких пределах, начиная от значений, близких к согласованным (Д:1Т~1), эффективнее алгоритм уровневой обработки вида

Хп (?) = [X! (?) - КХ2п (?)] 1 [X, (г) - КХ2 (г)]; Х2и (г) = [ Х2(г) - кх1п (г)] 1 [ х2(г) - кад].

При анализе помехоустойчивости реальных устройств, для случая согласованного приема, вместо текущих значений процессов в каналах обработки, которые в значительной своей части являются переходными процессами от одного символа к другому, пользуются отсчетами, взятыми в определенных точках элементарного сигнала, и поэтому законы распределения отсчетов, взятые в установившемся режиме, могут быть описаны аналитически.

В случае, когда априорные сведения недостаточны, необходимо учитывать весь ход процессов, т.е. при анализе следует рассматривать только случай, когда ДТ >>1. При этом переходными процессами в каналах дискриминаторов можно пренебречь и пользоваться статистическими характеристиками процессов. В результате такого приближенного анализа могут быть получены соотношения, по которым с достаточной для практики точностью можно произвести инженерную оценку помехоустойчивости анализируемых алгоритмов обработки, отличающихся от линейной.

Нахождение точного аналитического выражения для вычисления вероятности ложной тревоги при обработке дискриминаторами с обратными связями, реализующими различные алгоритмы обработки от автовыбора, при коэффициентах обратной связи, равных единице [1-3], до обычной линейной обработки, при коэффициентах обратной связи, равных нулю, а также алгоритмы уровневой обработки, при которых 0<К<1, является сложной задачей.

На рис. 1 представлен дискриминатор с взаимными обратными связями, реализующий в зависимости от глубины обратных связей все указанные выше алгоритмы обработки, где ВУ - вычитающие устройства; Огр - ограничители; ФНЧ - фильтры нижних частот [1].

Для нахождения необходимых распределений плотностей вероятностей в каналах дискриминатора, реализующего уровневую обработку по модифицированному алгоритму комбинированного сложения, воспользуемся итерационным методом [1] - поочередно размыкая то одну, то другую обратную связь между каналами и поэтапно уточняя законы распределения на выходах каналов.

1 „ ВУ1 Огр1

ио 2 —м

> <

ФНЧ1

ВУ2 Огр2

ФНЧ2

А к

1 Выход г

ВУЗ

1 к

Рис. 1

Для уменьшения числа итераций первой размыкаем связь от канала, в котором среднее значение процесса заведомо меньше.

При рассмотрении приняты следующие ограничения:

- переходные процессы в каналах дискриминатора закончены, то есть ЛГГ> 4 (где л: - ширина спектра сигнала, Т - длительность сигнала);

- ФНЧ цепей взаимных обратных связей идеально пропускают огибающие процессов;

- для простоты полагаем величину коэффициентов обратной связи К=1, это позволяет получить предельно возможное значение вероятности ложной тревоги Б.

Пусть на первый вход дискриминатора подается нормальный шум, огибающая которого распределена по закону Релея [1, 2]

Ш (х) = ехр [ ; (1)

а на второй вход - пороговое напряжение ио.

С учетом (1) величина порогового напряжения И0 определяет требуемую вероятность ложной тревоги Б [1,3]

F = J W (x )dx = J x • exp

U„

r x

2

dx = exp

J

U±

2a

(2)

а а

и 0

где-- безразмерное пороговое напряжение (а = 1).

а

Учитывая, что значение порога превышает среднее значение входного процесса, разомкнем, в первом приближении, связь от канала с шумом к каналу с порогом, что позволит записать распределение огибающей шума в канале

W ( 1 1еых M = (х+

ехр

+ QiS(x).

dx.

Влияние напряжения порога приводит к сдвигу распределения огибающей шума влево на величину U0/o, а дельта-функция учитывает условия нормировки

Uni

о / и \ V~1—

Qi = J_uo (x + -f) exp

Для нахождения распределения огибающей процесса на выходе канала порога замкнем ранее оборванную связь от канала с шумом к каналу с порогом и разомкнем связь от канала с порогом к каналу с шумом, тогда

(Шь-Г21

W ( «овых W = (2 ^-х)

ехр

V <7

О

где

о (2U° х)2 Ç2 (х) = /^ — х ) ехр [---] dx - значение дельта-функции при Х=0;

Q-i (x) = juo - х) ехр [-

] dx - значение дельта-функции при х = —.

Точку пересечения кривых распределения на выходах каналов найдем из решения уравнения

М ( ^ (х) — М ( ^овых (х) . Получим х о — с учетом этого вероятность ложной тревоги равна

Jr СО

W( 1)1 1вых 00 (х = ехр

Хг,

m

■>х0

Для повышения точности оценки вероятности ложной тревоги следует учесть, что на канал с шумом действует не

и0

постоянное значение порога, а случайная величина, среднее значение которой равно--т 1 , где

т-

— — 2 U

= [ " W^ (x)dx = f 17 x f— - x) J0 Jq V о J

exp

dx.

После подстановки — x = Ç и несложных вычислений получим

i/n / Un \ Ш . / u0\

m-,

и о ( и0 \ |7Г Г / (У0\ ( 2и0\]

где ег/ (х)—-/0 ехр (—£2)<2 £ - интеграл вероятности.

Будем считать, что это эквивалентно сдвигу распределения М ( 1 вых (х) влево на величину т1 , тогда распределение шума на выходе

' (х + ^-пг,)2

W ( 1 иьа: (х) = (х + ^— mi )

ехр

+ Ç(11)<5(x),

где

<?(11) = JiL+mi (* + т -

ехр

(х - значение дельта-функции при Х=0.

Точку пересечения распределений на выходах каналов найдем из уравнения

М ( 1 1 1ы (х) — М ( 1 ) о вых (х) . По результатам численного решения данного уравнения зависимости

х ( ^о — / и г^ — / на интервале 0,75^3 могут быть аппроксимированы выражениями х ( 1) о — 0, 6 9 (-^)1,

т — Ф ^ехр [—I] .

С учетом этих обозначений вероятность ложной тревоги определится выражением

F = (x)dx = (^-m1 + xè)

ехр

(3)

2

v

п

Зависимости вероятности ложной тревоги от значения порогового напряжения р = f I I представлены

на рис. 2,

F

10-1

10-2

10-3

10-4

1

3 > Д 2

1,5

2,0

2,5

Рис. 2

где: 1 - кривая, соответствующая обычной обработке (2);

2 - кривая, построенная по выражению (3);

3 - кривая, построенная по результатам моделирования на ЭВМ.

U,

3,0

а

i

Из сопоставления кривых 2 и 3 следует, что принятая методика дает хорошее совпадение с результатами статистического моделирования. Дальнейшее повышение точности оценки вероятности ложной тревоги может быть получено путем итерационных уточнений законов распределения на выходах каналов. Однако, достигнутая точность вполне удовлетворительна для инженерных расчетов.

Литература

1. Плаксиенко В.С. Уровневая статистическая обработка дискретных сигналов. М.: Учебно-методический и издательский центр «Учебная литература», 2006. - 274 с.

2. Радиоприемные устройства: Учебник для вузов/Н.Н. Фомин, Н.Н. Буга, В.С. Плаксиенко и др. - М.: Радио и связь, 2003. - 520 с.

3. Плаксиенко В.С., Плаксиенко Н.Е., Хадыка И.В. Исследование уровневой обработки сигналов. У1Межд. НПК «Новое слово в науке: перспективы развития» (Чебоксары, 20 нояб. 2015 г.) ЦНС «Интерактив плюс», 2015 - № 4 (6). С.158-161.

References

1. Urovnevaya statisticheskaya obrabotka diskretnyih signalov / V.S. Plaksienko. M.: Uchebno-metodicheskiy i izdatelskiy tsentr «Uchebnaya literatura, 2006. - 274 s.

2. Radiopriemnye ustrojstva: Uchebnik dlja vuzov/N.N. Fomin, N.N. Buga, V.S. Plaksienko i dr. - M.: Radio i svjaz', 2003. - 520 s.

3. Plaksienko V.S., Plaksienko N.E., Hadyika I.V. Issledovanie urovnevoy obrabotki signalov. U1Mezhd. NPK «Novoe slovo v nauke: perspektivyi razvi-tiya» (Cheboksaryi, 20 noyab. 2015 g.) TsNS «Interaktiv plyus», 2015.