CC BY
12
УДК 621.375
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СВОБОДНОЙ ГЕНЕРАЦИИ ТРЕХУРОВНЕВОЙ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ С ВЕРХНИМ РАБОЧИМ ПЕРЕХОДОМ
© 2009 г. А.Н. Майборода, В.А. Малышев
Таганрогский технологический институт Taganrog Technological Institute
Южного федерального университета, of Southern Federal University,
Некрасовский, 44, г. Таганрог, 347928, Nekrasovskiy, 44, Taganrog, 347928,
[email protected] [email protected]
На основе уравнений кинетики населенностей в трехуровневой квантовой системе с верхним рабочим переходом получено флюктуа-ционное уравнение режима свободной генерации, решение которого позволило найти области различных типов устойчивости этого режима.
Ключевые слова: свободная генерация, квантовая автоколебательная система, флюктуационное уравнение, диаграмма устойчивости.
On the base of population kinetics equation in triple level quantum systems with upper working transition the fluctuation equation of free oscillation mode, solution ofwhich allowed finding range of stability different types of this mode, has been obtained.
Keywords: free generation, quantum self system, fluctuation equation, chart resistance.
Хотя общие вопросы динамики лазеров, связанные с устойчивостью их генерации, рассматривались ранее в работе [1], конкретно анализ режимов устойчивости для наиболее распространенных трехуровневых квантовых систем с верхним рабочим переходом оставался без внимания. Поэтому ниже такой анализ
проводится в приближении адиабатического исключения поляризации [1] с использованием методики, развитой в [2].
Рассмотрим общую трехуровневую квантовую систему [2] с верхним рабочим переходом. Спонтанное заполнение верхних уровней в такой системе не-
обходимо учитывать в случае парамагнитных мазеров, когда тепловые спонтанные переходы существенно влияют на поведение системы, особенно при температурах, отличных от криогенных. В случае накачки 1-^-3 квантами света уравнения кинетики изменения населенностей (концентрации соответствующих атомов) пьп2,п3 уровней 1, 2 и 3 (без учета вырождения энергетических уровней) имеют вид с1щ
dt dn2
dt
1 = ~Р\2nl + P2ln2~Pl3«1 + РЗ 1«3 + hз(п3 ~nl)'
= ~Р2\п2 +Р\2п\ ~Р23П2+Р32П3 + I32(n3 ~nl)-
В случае же, когда кратность вырождения нижнего уровня равна g1, среднего - g2 и верхнего уровня - g3 соответственно, то те же уравнения кинетики примут вид
ёщ
— = ~Pl2nl +Р 21п2 ~Pl3nl + Р31п3 + dt
/13
+ — «з -/i3«i;
У31 dn2
— = ~Р2\п2 + Pl2nl - Р23п2 + Р32п3 + dt
+ 132Щ -132Г32п2-
(1)
Причем 11Ъ = уъ4ъ\Лгъ = 7ъгНг> гДе Уз1= ёз 'ёъУз2 = = ёз 182 ■ Так как результирующая концентрация активных атомов на всех трех уровнях п0=п1+п2+п3, то
-=-------. В приведенных уравнениях рг,-
dt dt dt
вероятности спонтанных переходов в единицу времени с г-го уровня на/-й. а I,, Ф /у, - соответствующие вероятности индуцированных переходов.
Если из уравнений найти йщ / dt и ввести обозначение у = щ- Уз2п2' т0 можно получить уравнение, определяющее йу / dt. Если все члены этого уравнения продифференцировать по времени, подставив «2 =(.пЪ-У)1 ГЪ2>п\ =«0+(>'-«з(Г32+1))/Г32' мож" но после определения йщ / dt и из подстановки вместо п3 его значения из йу / dt получить окончательное уравнение, определяющее в общем случае зависимость у=/$)
d2y dy
—^ + «1 -г- + (/32 +1)>—г- + а0у-а = 0 ; ^ dt dt
dtz
«1 = Р\+Р2+Ръ + Н2У31 +1з2Уз1Уз2 +ЬзУз1 +Ьз ;
У31
Pl =Р\2+Р\Ъ,Р2 =Р2\+Р23',РЗ = Р31+Р32> а0=1( 1 + 2тц /13 + 2Тт1Ъ2) + +13211з(Уз2Уз1 + Уз2 + Уз1)/Узь à=/(«30-«20)-
- ■noh 3 (РЗ 2УЗ1УЗ 2 + Pl 2УЗ 2 ~ Уз \Р21 ) i
ln30 =И0(Р23Л+Р21Р13); 1п20 =Щ)У32(Р32Р\ +Pl2P3Ù>
l = (P23+ Р21+ Р12 +
+ Р2зУз 1 + Р21Уз1 + Рз2Уз1)/Узъ
cîl = (P2\+P\3+P\2 + + Pl 2УЗ2 + РЗ \У32 + PlЗУЗ2)i
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
(10)
I = Р1 (Р32 +Р23) + Р21(Р13 + Р32) + + Р31(Р12+Р2)-
Полагая уъ 1 = ' • Уъ2 = ' • можно получить те же уравнения (1)-(10), соответствующие случаю отсутствия вырождения энергетических уровней.
Умножим уравнение (2) на 1/(п0и<т) «0 и введем обозначения в = у/п$ - степень инверсии населенности рабочих уровней лазера, т = п{)ио1. где и - скорость рабочих квантов; а - поперечное сечение индуцированного перехода 3<->2, причем т - безразмерное время. При этом из (2) имеем
d2d
а 1 dd , в dl т 2 + —--- + 032+1)--~ +
dz2 п0иа dr «0 У
2 2 п0(п0иа) п0(п0иа)
щиа dr = 0.
(11)
Так как в стационарном режиме, когда у=ус, аоУпд = а • то имеют место равенства
а аоУпо
~ — = !>(,, 1ДС С, =
щ
2 2 Щ(Щоо) (n0v&) no
= BÇ, где £ = (12)
В итоге получаем d2в
dr1 dz dz
M = P + Ô(y32+l)+N
731+1 Уз1
I =■
al ,q= J32
где
P = (Pl +P2 + Рз)!п0О(Т-,Ы = -
'13
rinva
 =a0/(n0vcf) =
= A + kiN + kfiÙ + C31Г32 + Уз 1 + Уз2)К0/Гз i /
(13)
(14)
(15)
где А = ■
\2
к, = ^hlL-k^ = lïçîL Причем N -
n0ua
n0ua
(п0ист)
безразмерный параметр накачки; Ф - безразмерный параметр интенсивности излучения; £ - параметр нагрузки.
Учтем, что если р - плотность энергии квантов, и -скорость потока квантов, то плотность потока квантов ри= /: ¿/г = ией; йр / Л = -р/ ту5 - в отсутствие генерации, где Гу0 - эффективное время релаксации энергии в резонаторе и нагрузке; р - энергия, запасенная в резонаторе. Тогда, учитывая, что /32 = 1(7 / кг = риа! к у, получим
й132 ■
dt
■ = vaâh2 -h2!Цо=1/2щи.
(16)
а а У<т - коэффициент усиления потока квантов средой единичного объема. Можно показать [2], что усд = 2а1 /сг = 1/ он Гу0, где а\ - усредненная с учетом прохождения зеркал постоянная затухания поля.
о
После умножения (16) на 1 /(п()и<т) и подстановки £ = 1/п0иату() получим
a
rinua
rinua
ü
о
d т
(17)
Проанализируем на основе (13) и (17) устойчивость стационарного режима генерации, когда
' = ¿;. Найдем Ф0 из условия
dO de ~ ~
-= — = 0 иО =О0;
dr dr
о
В=а0/(п0о<т) =
= A + k{N + knÖQ +0-31732 +7з1 +Гз2)КО0/ум. Так как из (12) и (15)
=
а /(щиer)
2
K + dN
В А + к{ N +OQD
/(И30-И20) , О21Г31 -Р12ГЪ2~РЪ27Ъ17Ъ2)Щ т
н--^--11
(щи а)
2
(щи а)
2
'13
А + к{ N + коО0 + (г31732 + 731 + 7З2)^О0 /Гз 1
где
= /(«30 - и2о) . d = (>21/31 - 112/32 - Р32У31732)п0 .
(n0va)2 п0ист
D = kc + (/31/32 +/31 +/зг^/з!-K + dN-fyiQ(A + k{N)
О, =-
4n0D
Предположим, что Ф и в получили малые приращения в = % + в\,6 = О0 +61,61 «¿¡,61 «60. То-
гда после соответствующей замены йОх
dr d16l
= Oo0i;
(19)
dd,
dO
+ 1 o-rL + 0'32+l)f-rL+M =0;(20)
drz ' dr M0 =P + Ö0(r32+l) + N
dr /31 +1
Г31
d2ex
dz
2
+ 1
o— + 0i((732 +iKOo+A) = O. dr
(21)
r = ~r y/l-4((y32+l)$)0+A)/I о -1
. (22)
P + O0(y32+1) + N
/31+1 /31 .
■-4^32+1)^00+BJ23)
мов с буферными возбужденными на метастабильные уровни атомами примеси (гелий-неоновые лазеры и лазеры на углекислом газе и азоте), в исходных уравнениях (1) и далее член 1цп3 будет отсутствовать. В этом случае выражения (3), (5)—(10) примут вид
«1 =Р1 +Р2 +РЗ +^32(1 + Г32) + /13;
«0 = ¿(1 + 2тп Ьз + 1тт132) + 132113(1 + У32) \
а = 1(п30 -п20)-п0113(р32у32 -Р23-Р2О'
1Щ0=П()(Р2Р13+Р21Р13У, ■ 1п20 =Пцу32(р13р32+ Р12Рз)'
^и1 = Р21+Р32'Лтс11 =
= Р21+ Р13+ Р12+ Р12Г32 + Р31Г32+ Р1373Ъ I = Р1 (Р32 +Р23) + Р21(Р13+РЗ)+Р31Р12+Р23-
Для дальнейшего анализа примем следующие упрощения: предположим, что спонтанные переходы на верхние уровни отсутствуют, т.е. р=0 для /</' (это справедливо у мазеров для случая криогенных температур и когда расстояние между энергетическими уровнями достаточно велико); также предположим, что уровни энергии не вырождены, т.е. у3 \ = \,у32 = 1 и 113=1 31,123=^32• Тогда получим _Ш-4(кИЫ + А)
Z(kc+2N)
М0 - Р + 200 +jV, А о =А + к{Ы + knÖQ
2NO.
причем общий вид уравнения (21) не изменится. В итоге выражения (22) и (23) примут вид
7 = -
I 4(2 &о+А) 1
I
подставляя (19) в (20), приходим к флюктуационному уравнению
ddl
[>+ 2О0 > 4 о +в\-
После подстановки в последнее неравенство зна-
3 2
чений Ф0 и В получим Е, + аЕ, +Ь£ + с > 0, где
_ I5 + 2]Ч)(кс + 2Ы) - 2№с; -2А^ - %Ш(кс + 2Щ .
Решение его будем искать в виде 6\ = А ехр(ут); подставив которое в (21), получим уравнение у +1 0у + ((у32 +1)^0о + А) = 0 , имеющее решение
8(kc + 2N)(Nkj +А)
Ь = -
4Nd
|p + 2N)(kc
- 2N) - 2Nk; -2А - (кс + 2NУ
8(кс + 2N)(Nkj +А)
4N 2 d 2
2
Из уравнения (21) следует, что при
2 -У -У
I о > 4((у32 +1)^0о +А) реализуется устойчивое излучение с устойчивостью типа узла; если
2 -У -У
I о <4(0^32 + - I) • то имеют место устойчи-
вые фокусы; при (у32 +1)£О0 +А < 0 (в случае совсем малой накачки) реализуются неустойчивые автоколебания с устойчивостью типа седла.
Таким образом, для получения устойчивого излучения необходимо выполнение неравенства
2
В случае, когда заполнение верхнего уровня происходит в основном при столкновении рабочих ато
8(кс + 21М)(]Чк; +А) Решение последнего неравенства будем искать в виде £,1 = 2у]~ р / 3 со8(^£> / 3) - а / 3;
£,23= -2^- р / 3 008^ /3±я /3)- а /3 ;
-ц/2^- (р/3)3 , причем р = -а2/3 + Ь;
<? = 2(а/3)3-аЬ/З + с.
Не учитывая отрицательные корни, будем считать, что искомая зависимость определяется значениями корня
Теперь рассмотрим случай 2<%б0+Л<0 и определим, в каких случаях имеют место устойчивые авто-олебания, а в каких - неустойчивые. Последнее нера венство сводится к виду К2-аК-Ь< 0, где
о
2
о
а {2кг -d(kc+{) b Z2Ä
N
И условие неустойчи- 10
+ 4 Ъ .
га 2 с)
вости автоколебаний имеет вид N <—а +—у1,
2 2
Из приведенных соотношений путем расчетов можно получить, что диаграмма устойчивости для случая лазера на углекислом газе и азоте, когда параметры атомов СО2 условно приняты такими же, как в газодинамических лазерах при температуре 354 К и давлении 9,12 кПа [2], а именнор32=2,5 с '. /ь,=273-103 сЛ о=3-108 м/с, <7 =3-10 2" м2, ;?0=1.86-1024 м-3, имеет вид, показанный на рис. 1.
Рис. 1. Диаграмма режимов устойчивости для лазера на углекислом газе и азоте: 1 - область устойчивых фокусов; 2- область устойчивых узлов; 3 - область сёдел
А в случае гелий-кадмиевого лазера, когда основные параметры имеют значения [2]: Т = 230 С, р=0,4 Па,
Р32=101 с-1,
Р21=109 с-1,
о=2-108 м/с,
а =3-1048 м2.
w0=3,2-1015 м 3, соответствующий график показан на рис. 2.
ю
10
10
10
10
1 1 — 1 1 '"+ 1 1 1 1 1 1 1
1 1 -----г---\ 1 1 2 -- l\
-4-1 1 1 1 _1 \ 1 \
1 1 1 i 1 1 1 1 \ т 1 /
-----h---1 -1 - 1 —i - уу
0.2
0.4
0.6
0.8
Рис. 2. Диаграмма режимов устойчивости для гелий-кадмиевого лазера. 1 - область устойчивых фокусов;
2 - область устойчивых узлов; 3 - область сёдел
Следует отметить, что на линиях рисунков, отделяющих области устойчивых узлов от областей устойчивых фокусов, реализуется максимальная скорость переходного процесса установления устойчивых колебаний, и соответствующие этим линиям пары значений параметров накачки N и затухания £ могут быть рекомендованы для реализации оптимальных режимов импульсной модуляции лазеров накачкой.
Литература
Степанов Б.И. Методы расчета оптических квантовых генераторов. Минск, 1968. Т. 2. 656 с. Малышев В.А. Основы квантовой электроники и лазерной техники. М., 2005. 543 с.
Поступила в редакцию
10 апреля 2009 г._
