Анализ устойчивости многокритериального выбора методами теории важности критериев при изменении интервальных оценок важности Текст научной статьи по специальности «Математика»

мально использовать эти модели совместно в качестве средства задания ориентирую-

щих/реперных точек в оценке основных системных событий.

У

ч-

♦

t-Ht ???

Рис. 2. «Параллельное» и «последовательное» представление «ускорения исторического времени»

3. Сам факт того, что основные вехи событий в историческом развитии Человечества могут быть рассчитаны согласно формальным числовым моделям (информатикокибернетическим и математическим), представляется важным, поскольку выявляет не-

посредственную зависимость наиболее общих этапов хода истории Человечества от фундаментальных законов Мироздания, что становится очевидным лишь на самом высоком уровне обобщения.

Литература

1. Гринченко С. Н. Системная память живого (как основа его метаэволюции и периодической структуры). - М.: ИПИРАН, Мир, 2004. 512 с.

2. Гринченко С. Н. Метаэволюция (систем неживой, живой и социально-технологической природы). - М.: ИПИРАН, 2007. 456 с.

3. Растригин Л. А. Случайный поиск. - М.: Знание, 1979. 64 с.

4. Моисеев Н. Н. Алгоритмы развития. - М.: Наука, 1987. 304 с.

5. Турчин В. Ф. Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции. - М.: ЭТС, 2000. 368 с.

6. Жирмунский А. В., Кузьмин В. И. Критические уровни в процессах развития биологических систем. - М.: Наука, 1982. 179 с.

7. Щапова Ю. Л. Хронология и периодизации древнейшей истории как числовая последовательность (ряд Фибоначчи) // Информационный бюллетень Ассоциации «История и компьютер», март 2000. № 25.

8. Щапова Ю. Л. Археологическая эпоха: хронология, периодизация, теория, модель. - М.: Ком-Книга, 2005. 192 с.

9. Гринченко С. Н., Щапова Ю. Л. История Человечества: модели периодизации // Вестник РАН, 2010. № 12. С. 1076-1084.

УДК 519.8

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНОК ВАЖНОСТИ

А. П. Нелюбин, м. н. с.

Тел.: (905) 554-12-55, e-mail: [email protected] Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН http://www.imash.ru

The author proposes analytical techniques for evaluation of the stability of multicriteria choice using criteria importance theory for changing the boundaries of the interval that restricts the possible values of the degree of superiority of one criterion over another.

Предложен аналитический метод оценки устойчивости многокритериального выбора с помощью теории важности критериев при изменении границ интервала, ограничивающего возможные значения степени превосходства в важности одного из критериев над другим.

Ключевые слова: теория важности критериев, интервальные оценки важности, анализ чувствительности.

Key words: criteria importance theory, interval estimations of criteria importance, sensitivity analysis.

. Н'елюбин

Выбор луч-Ь ших вариантов из

множества альтернатив при наличии нескольких критериев необходимо осуществлять на основе предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР). Выявление этих предпочтений обычно осуществляют в диалоговом режиме с использованием систем поддержки принятия решений (СППР). Однако в большинстве случаев дать точную оценку своих предпочтений ЛПР затруднительно. Поэтому на практике после вычисления решения бывает полезным провести анализ его устойчивости. Для этого нужно количественно оценить чувствительность (устойчивость) решения к изменению параметров, отражающих предпочтения ЛПР. То есть определить, насколько допустимо изменить значения этих параметров, чтобы результат выбора оставался прежним. Анализ устойчивости повышает доверие ЛПР к применяемому методу многокритериального анализа и используемой при этом СППР.

Известные подходы к параметрическому анализу чувствительности предполагают, что предпочтения моделируются при помощи функции ценности, а параметрами являются веса критериев (см., например, [1]). Однако для частичного параметрического отношения предпочтения эти подходы не применимы. В [2] был изложен общий подход к анализу чувствительности (устойчивости) выбора к изменению значений параметров такого отношения предпочтения, а также предложен метод оценки чувствительности к изменению количественных оценок коэффициентов важности критериев, определяемых согласно теории важности критериев [3, 4] . В данной работе в рамках указанного подхода предложен метод анализа чувствительности для случая, когда задается интервальная информация об относительной важности критериев.

Математическая модель ситуации выбора выглядит следующим образом:

<Х к, т>, ад, н>,

где X = (х1,..., хп} - множество вариантов (альтернатив), К = (Кь..., Кт) - векторный критерий, состоящий из т > 2 частных критериев, которые являются функциями, определенными на множестве вариантов X и имеющими одну и ту же область значений -общую шкалу Т0 = (1, ., q}. Номера 1, ., q градаций шкалы критериев отражают лишь упорядоченность их по предпочтительности: чем номер больше, тем градация предпочтительнее. Каждый вариант х‘еХ характеризуется соответствующим значением векторного критерия - векторной оценкой К(х‘) = (К1(х‘), ..., Кт(х*)). Я(Н) - параметрическое отношение нестрогого предпочтения (частичный квазипорядок) на множестве X. Запись х‘Я(Н)хр означает, что при заданном значении параметра Н<еН вариант х‘ не менее предпочтителен, чем вариант хр. Отношение Я(к) порождает отношение безразличия 1(Н) и (строгого) предпочтения Р(Н): х‘1(Н)хр ^ х‘Я(Н)хр л хрЯ(Н)х(; хР(Н)хр ^ х*Я(Н)хр л хрЯ(Н)х( (запись хрЯ(Н)х‘ означает, что хрЯ(Н)х‘ неверно). Отношение Я(Н), соответствующее всему множеству Н, определяется так: х‘Я(Н)хр выполняется тогда и только тогда, когда хЯ(Н)хр верно для каждого значения параметра НеН. Оно также порождает отношения строгого предпочтения Р(Н) и безразличия ДН).

Вариант х‘ называется недоминируемым по Р(Н), если не существует доминирующего над ним варианта хр, т. е. такого, что верно хрР(Н)х\ Под решением задачи выбора одного наилучшего варианта при неполной информации о предпочтениях Н понимается все множество недоминируемых по Р(Н) вариантов Х(Н).

В качестве параметров Н будем рассматривать степени превосходства в важности одних критериев над другими, полученные на основе количественной информации о важности 0, состоящей из сообщений типа «Критерий К в Ну раз важнее критерия К» [3, 4]. Если информация 0 полна и непротиворечива, то соответствующие ей величины Ну связаны с величинами важности критериев р1,...,вт следующим образом:

Нг] = Рг / в], г,7 = 1, ..., т. (1)

Для величин Н] справедливы равенства

ha = Ии

hkj, и поэтому достаточно задать

вектор h = (hb..., hm-i), где hi = hu+u i = 1,..., m - 1.

X

На практике количественные оценки относительной важности критериев целесообразно вводить после получения более простых и надежных качественных оценок [3]. Пусть О — качественная информация о важности критериев, состоящая из сообщений типа «Критерий К важнее критерия К]» (г ^]) и «Критерии К и К] равноважны» (г «]); она порождает на X отношение нестрогого предпочтения ЯО. Полная и непротиворечивая информация О позволяет нам упорядочить все критерии в порядке невозрастания их относительной важности. Тогда на степени превосходства в важности налагаются следующие ограничения: г « г +1еО ^ Нг = 1, г > г +1еО ^ Нг > 1. (2) Эти ограничения задают исходное множество Н вектора параметров Н = (Нь..., Нт-1).

Отношение ЯО на практике редко позволяет выделить один недоминируемый вариант, поэтому приходится расширять это отношение за счет уточнения предпочтений. Для этого ЛПР может ограничить каждую степень превосходства Нг интервалом, в пределах которого, на его взгляд, должно содержаться значение этой величины. Такая интервальная информация Е состоит из следующих ограничений:

1 < ¡г* < Нг < Гг*, г = 1, ..., т - 1. (3)

Отметим, что если критерии Кг и К+1 равноважны, то ¡г* = Гг* = 1. Ограничения (3) задают множество Н* параметров Н = (Нь...,

Нт-1). Будем полагать, что информация Е не противоречит информации О (т. е. выполнены условия (2)), так что Н*сН°. В данной работе исследуется устойчивость множества X* недоминируемых по Р(Н*) вариантов при изменении границ ¡* и г7* одного из параметров Н] > 1.

Оценим устойчивость отдельного варианта х'* из множества X*. Вариант хр называется потенциально доминирующим над вариантом х'*, если найдется значение Ир‘еНа параметра Н такое, при котором верно хрР(Нр')х'* [2]. Если вариантов, потенциально доминирующих над х'*, нет, то такой вариант называется абсолютно устойчивым. В [2] доказывается ряд общих утверждений, упрощающих поиск потенциально доминирующих вариантов. Поэтому здесь остановимся непосредственно на процедуре сопоставления двух вариантов х'* и хр.

Для всех x'еX вводится в рассмотрение функция /:

/к = 1 при К (х') > к,

/к = 0 при Кг (х ) < к, к = 1, ..., q - 1; г = 1, ..., т.

Решающее правило, задающее отношение нестрогого предпочтения Я(Н) на множестве объектов X для фиксированного значения Н [4] можно представить следующим образом:

хрЯ(Н)х' О ХГ=1 в (Н)(/р - /к) ^ 0 , к = 1 ., q - 1, (4)

где величины важности Д(Н), учитывая (1), могут быть выражены через Нь ..., Нт-1 с точностью до общего множителя

в(Ь) = Ьт_1 х...X Ьі, і - 1, ..., т - 1; /Зт{И) - 1.

(5)

Удобно ввести числа с] = /¡р - /, зависящие от сравниваемых вариантов хр и х'. По определению они могут принимать значения из множества (-1, 0, 1}. В итоге решающее правило (4) перепишется так:

хРЯ(И) Х - Нт-1 + С2Н2 — Нт-1 + ••• + Ст-1Нт-1 + СI ^ 0, к = 1 •", q - 1. (6)

Отметим, что хрР(Н)х' верно тогда и только тогда, когда выполняются все неравенства в (6), причем хотя бы одно из них

строгое. Вместе с ограничением (2) это условие задает множество Нр'оН° параметров Н, при которых вариант хр доминирует над вариантом х'*.

Пусть при изменении чисел ¡]* и Г]* на ¡] и Г] соответственно множество Н* преобразуется во множество Н р' . Для оценки устойчивости варианта х'* относительно варианта хр требуется найти такие минимальные изменения |1]*-1]| и |Г]*-Г]|, при которых начнет выполняться хрР( Нр' )х'* (т. е. будет выпол-

няться хрР(Н)х'* для всех параметров Не Нр'). После проведения таких изменений многомерный параллелепипед Н р' должен полностью оказаться во множестве Нр'. На самом деле для этого достаточно потребовать, чтобы во множестве Нр' оказались только вершины Нр'. Это следует из того, что минимумы линейных многочленов из (4) на множестве В значений вектора важности критериев в = (вь--, вт) достигаются в одной или нескольких крайних точках этого множества. А в [5] было доказано, что крайние точки множества В, задаваемого интервальными ограничениями (3), задаются формулами (5), где

каждое Н] равняется либо ¡]*, либо г;*. Значит, и многочлены из (6) на множестве Н р' будут принимать свои минимальные значения в каких-то вершинах этого многомерного параллелепипеда. И если во всех его вершинах эти многочлены не меньше нуля, то и на всем множестве Нр' выполняются условия (6).

Далее ограничимся рассмотрением вопроса оценки устойчивости выбора к изменению только одного параметра Н]. Используя сделанное в предыдущем абзаце замечание, мы можем подставить в (6) крайние зна-

хРЯ(И)х< ° (С1кН1 •••] + • + С]]-1 Н]-1 + С) )Н] + ] + с]+2 / Н]+1 + • + Ст /(Н]+1 •”Нт-1) - 0, к = I’-"’ q _ ^>(7) где Н* = ¡г* или г,*, г = 1,.,] - 1,] + 1,., т - 1.

Если сумма в первых скобках в (7) положительна, то получаем выражение для величины

чения всех параметров, кроме Н], и рассматривать получившиеся неравенства как линейные ограничения на Н]. В результате в явном виде получим одномерное множество Нр' значений параметра Н;, при которых вариант хр доминирует над вариантом х'* при условии, что остальные параметры могут принимать любые значения в пределах интервалов (3). Рассмотрим решающее правило (6) при крайних значениях всех параметров, кроме Н/.

к. (к*, к) = -(с;+1 +^4^ + к+-

7+1

к

7+1

■к

*) /(скк* -к*+...+с*х_1+о]),

ограничивающей параметр Н] снизу. Если эта сумма в скобках отрицательна, то получаем выражение для величины

_ О о

кі (к*, к) = -(С* + ~/^ + к

к

7+1

к

7+1

*)/(о# ••• к*-1 + ... + СІХ.1 + о] ),

ограничивающей параметр Н] сверху. А если эта сумма равна нулю, то для выполнения неравенства (7) нужно проверить условие ] + Ск+2 /Н*+1 + • + Скт /(Н*+1 ■■■Н*т-1) - 0 . Если оно не выполняется, то множество Нр' пусто и дальнейшие вычисления можно прекратить. Если пересече-

..., Нт-1*) и

(8)

ние ограничений, полученных для всех наборов параметров Н* = (Н1*,., Н;-1*, Н]+1*, всех чисел к е (1,., q - 1}, не пусто, то оно задает искомое множество Нр':

тах{Н(Н*,к), 1} < Н1 < тт(Н,.(Н*,к)}.

Н*,к 3 ] Н*,к ]

Здесь минимум ищется среди всех конечных величин Н] (Н*, к). При отсутствии таковых правая граница в (8) равна +<х>, так что интервал (8) оказывается лучом. А если это пересечение пусто, то пусто и множество Нр'. В таком случае изменением чисел ¡* и

г.* добиться выполнения хрР(Ир‘ )х * нельзя.

Найдя интервал (8), мы должны так из- тервала Нр менить границы ] и г;* на ¡] и Г] соответственно, чтобы интервал ¡] < Н] < Г] полностью

содержался в интервале (8). Причем модули ^-¡^ и |Г]*-Г]| этих изменений должны быть минимальными. Такие значения модулей изменений и будут характеризовать степень устойчивости варианта х** по параметру Н]. Полезно отметить некоторые случаи расположения границ ¡]* и г;* и подходящие способы их «минимального» перемещения внутрь ин-

к

к

і

Г

Для иллюстрации изложенных теоретических положений рассмотрим следующий численный пример. Пусть имеется т = 5 критериев с общей шкалой 20 = (1, 2, 3}. Требуется сравнить по предпочтительности два варианта: х1 = (2, 1, 1, 3, 3) и х2 = (1, 3, 2, 2, 2). ЛПР упорядочивает критерии по важности (1^2, 2^3, 3^4, 4^5} и задает следующие значения границ интервалов (3): ¡* = (1.5, 1,

1.5, 1.25), г* - (5/3, 2, 2, 2). Исследуем устойчивость недоминируемого по Р(И*) варианта х1 относительно изменения границ 12* и г2* возможных значений степени превосходства к2 второго критерия над третьим. Проверим, является ли вариант х2 потенциально доминирующим над вариантом х1 по параметру к2. Запишем решающие правила (4) и (6) для к — 1 и 2:

х2 Я(к) х1 «

- А (к) + в2 (к) + вз(к) - 0

в (к) в4 (к) -в5(к) - 0

- к1к2к3к4 + к2к3к4 + к3к4 - 0, к2 к3 к4 - к4 - 1 - 0

(1 - к1)к2 +1 - 0, (к3)к2 -1 -1/к4 - 0

Рассмотрим первое неравенство при h1 = l1* и h1 = r1*. Так как выражение в скобках отрицательно, то получаем

h2(l*) = у(1.5-1) = 2, h2(r1*) = 1/(5/3 -1) = 1.5 .

Теперь рассмотрим второе неравенство при крайних значениях параметров h3 и h4: h2(l3*, О = (1 + 0.8)/1.5 = 1.2, h2(l3*, r4*) = (1 + 0.5)/1.5 = 1, h2(r3*, l4*) = (1 + 0.8)/2 = 0.9, h2(r3*, r4*) = (1 + 0.5)/2 = 0.75.

Выбирая наименьшее ограничение свер- вости реализуются в компьютерной системе

ху и наибольшее снизу, получим множество поддержки принятия многокритериальных

H221 значений параметра h2, при которых ва- решений DASS [6].

риант х2 доминирует над вариантом х1: 1.2 < Автор благ°дарен пр°фесс°ру

h2 < 1.5. Так как l2* = 1 < 1.2 и г2* = 2 > 1.5, В. В. Подиновскому за постановку задачи и

то ситуация соответствует второму случаю конструктивные обсуждения в ходе работы.

на рисунке. Поэтому для того, чтобы выпол- Автор считает, что в данной работе но-

нялось x2P(H*)x', нужно увеличить l2* на 0.2 вым является метод анализа чувствительно-

и уменьшить r2* на 0.5. Количественной сти (устойчивости) решения многокритери-

оценкой степени устойчивости варианта х1 альной задачи выбора при помощи теории

будет 0.7 - сумма модулей этих изменений - важности критериев к изменению границ од-

или 0.5 - их максимальное значение - в зави- ного из интервалов, задающих возможные

симости от выбираемой метрики. значения степеней превосходства в важности

Предложенный метод анализа устойчи- одних критериев над другими.

Литература

1. Insua D. A., French S. A framework for sensitivity analysis in discrete multi-objective decision-making // European Journal of Operational Research, 1991. Vol. 54. P. 176-190.

2. Подиновский В. В. Анализ устойчивости результатов выбора при частичном отношении предпочтения // Искусственный интеллект и принятие решений, 2009. № 4. С. 45-52.

3. Подиновский В. В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений: Учебное пособие. - М.: Физматлит, 2007. 64 с.

4. Подиновский В. В. Количественная важность критериев // Автоматика и телемеханика, 2000. № 5. С. 110-123.

5. Нелюбин А. П., Подиновский В. В. Билинейная оптимизация в анализе многокритериальных задач методами теории важности критериев при неточной информации о предпочтениях // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2011. № 5. С. 802-813.

6. Подиновский В. В., Потапов М. А. Теоретические основы и системы поддержки принятия многокритериальных решений // Открытое образование, 2007. Приложение: Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе: Материалы XXXIV Международной конференции (Гурзуф, Украина, 20-30 мая 2007). С. 87-89.

О НЕКОТОРЫХ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВОЙСТВАХ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ

И. В. Колесников, лаборант Тел.: (903) 160-70-91, e-mail: [email protected]

В. Г. Никонов, д. т. н., член президиума Тел.: (916) 676-29-28, e-mail: [email protected] Лаборатория ТВП Российская академия естественных наук http://www.raen.info

Some theorems with estimations of the correlation coefficients of threshold functions and its variables are proved. The numerical values of such estimations for majority and dominant functions are proposed.