CC BY
159
атематические проблемы управления
УДК 519.816
АНАЛИЗ ИЕРАРХИЧЕСКИХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ1
О.В. Подиновская, В.В. Подиновский
Предложены решающие правила, позволяющие в рамках разработанной ранее авторами модели ситуации принятия решений при многих критериях, образующих многоуровневую систему, сравнивать по предпочтительности варианты решения с учетом различных видов информации о важности критериев и о характере роста предпочтений вдоль их шкалы. Создана методология, свободная от неустранимых принципиальных недостатков, присущих методу анализа иерархий и всем другим известным методам, ориентированным на решение задач с иерархической структурой.
Ключевые слова: многокритериальные задачи принятия решений, иерархическая структура, важность критериев, шкалы критериев, теория важности критериев, метод анализа иерархий.
ВВЕДЕНИЕ
Сложные многокритериальные задачи принятия решений часто формализуются с помощью иерархических структур. Для анализа таких задач в 1980 г. Т. Саати представил метод анализа иерархий [1], который стал одним из наиболее известных и распространенных методов решения практических многокритериальных задач самого различного характера и сложности. Это объясняется привлекательными для пользователей достоинствами, присущими самому методу, наличием отработанных коммерческих компьютерных систем поддержки принятия решений, реализующих этот метод, а также активным его продвижением.
К сожалению, этот, по сути, эвристический метод, а также все его модификации и обобщения обладают рядом принципиальных, причем неустранимых недостатков. Это отмечалось во многих работах (см., например, [2—6]). К основным таким недостаткам относятся отсутствие точного определения понятия важности критериев, а также независимость процедур оценивания важности критериев и нормализации критериальных оценок альтернатив, что нарушает требование математической
1 Работа выполнена в рамках Программы «Научный фонд НИУ ВШЭ» в 2013-2014 гг. (проект № 12-01-0059).
теории измерений (такой недостаток назван «интеллектуальной ошибкой» [7]). Более того, в свете современных исследований по теории измерений возможность оценивания предпочтений в шкале отношений (на что претендует метод анализа иерархий) исключается [8]. Все это не позволяет считать рекомендации, получаемые при решении практических задач этим методом, научно обоснованными.
Поэтому актуальной является проблема разработки корректных методов анализа многокритериальных задач с иерархической критериальной структурой. Для ее решения авторами была предложена новая математическая модель с иерархической системой критериев [9]. Она свободна от указанных недостатков и позволяет применять подходы теории важности критериев (ТВК) [10—12] для анализа задач с иерархической структурой. В настоящей статье изложен ряд решающих правил (методов сравнения вариантов решений по предпочтительности), разработанных в рамках этой модели на основе ТВК.
1. ИЕРАРХИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ
1.1. В качестве исходной принимается математическая модель ситуации принятия индивидуаль-
ного решения в условиях определенности, положенная в основу ТВК:
<X, f Z0, R>,
(1)
где X — множество альтернатив (в конкретных задачах это могут быть варианты решения, стратегии, планы и др.), / = (£, ..., £т) — векторный критерий,, т > 2, £ — частные критерии, Z0 — общая область значений («шкала») частных критериев, Я — отношение нестрогого предпочтения. Под критерием £ понимается функция с областью определения X и областью значений с (—ад, Таким образом, каждый вариант х характеризуется т числами — значениями £(х) всех критериев,
образующими векторную оценку этого варианта У = £(х) = (/](х), ...,/т(Х)). Сравнение вариантов по предпочтительности сводится к сопоставлению их векторных оценок. Множество всех векторных оценок (как реальных, т. е. соответствующих вариантам из множества X, так и гипотетических)
есть Z = . Предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР), моделируются с использованием отношения нестрогого предпочтения Я на множестве векторных оценок ^ запись уЯг означает, что векторная оценка У не менее предпочтительна, чем г. Отношение Я считается (частичным) квазипорядком: оно рефлексивно (гЯг верно для всех г е Z) и транзитивно (из уЯг и гЯи следует уЯи при любых у, г, и е Z). Отношение Я порождает отношения (строгого) предпочтения Р и безразличия I. Соотношение уРг (которое означает, что векторная оценка у предпочтительнее, чем г) верно, когда верно уЯг, а гЯу неверно. Соотношение у1г (т. е. у и г одинаковы по предпочтительности), когда верны уЯг и гЯу. Если неверно ни yЯz, ни гЯу, то у и г несравнимы по Я (несравнимы по предпочтительности).
В модели (1) все частные критерии £ однородны, т. е. имеют общую шкалу. В практических задачах однородными являются, например, критерии, имеющие общую балльную или же вербальную шкалу. Если изначально критерии имеют разные шкалы, то их нужно привести к единой шкале специальными приемами [11, 13].
1.2. Иерархическая модель, предложенная в работе [9], предполагает, что частные критерии £ формируют критерии всех уровней критериальной структуры. Под критерием любого уровня понимается группа составляющих его частных критериев. Критерии каждого уровня в совокупности охватывают все частные критерии, и каждый частный критерий входит в состав только одного критерия этого уровня.
Пример 1. Рассмотрим иерархическую модель, приведенную на рисунке. Она содержит две альтер-
Пример пятиуровневой иерархической системы с коэффициентами важности критериев а
нативы х1 и х2, расположенные на нижнем уровне иерархии (I = 4), и семь частных критериев, образующих четырехуровневую критериальную структуру (уровни I = 0, 1, 2, 3). Обозначения критериев включают в себя два индекса: верхний указывает номер уровня, на котором находится критерий, а нижний содержит номера частных критериев, которые входят в его состав. Нижний уровень критериальной структуры (I = 3) образуют семь частных
критериев £3 = /1, ..., /73 = £ (для простоты обозначений они занумерованы слева направо в порядке расположения их на этом уровне). На уровне I = 2 частные критерии сгруппированы так, что
они образуют три группы — критерии ^ = {£1, £}, £3245 = {£з, >4, и ^ = {£б, £7}. Уровень I = 1 составляют два критерия £112 = {£, £2} и £314567 = {£3, £4, £5, £6, £7}, полученные группированием критериев £12, £3245 и £627 уровня I = 2. Наконец, верхний
уровень I = 0 образуется только одним критерием, который включает в свой состав все частные критерии: £102345б7 = {£1, £2, £3, £4, £5, £б, £7}. Каждый критерий удобно рассматривать не только как группу из составляющих его частных критериев, но и как векторный критерий, образованный этими
частными критериями. Например, £2 = {£1,£2} или £2 = (£1, £2). На рисунке указаны также коэффи-
циенты важности а
2 12 ,
а 7 критериев всех уров-
ней, кроме верхнего (формально можно положить
а 1234567 = 1). Точный их смысл определяется согласно ТВК, о чем речь пойдет далее. ♦
Подчеркнем, что описанная критериальная система принципиально отличается от принятой в методе анализа иерархий, так как в нем (как и во всех других предлагавшихся методах анализа иерархических систем) понятие критерия, не находящегося на нижнем уровне, не структурируется и поэтому не определено, какие значения он может принимать.
1.3. При решении практических задач иерархическая критериальная система может формироваться как «сверху вниз» (критерии рассматриваемого уровня «делятся» на несколько критериев следующего, более низкого уровня), так и «снизу вверх» (критерии очередного уровня «группируются» в критерии следующего, более высокого уровня). Каждый критерий любого уровня должен иметь содержательный смысл, понятный ЛПР. Поясним это на примере.
Пример 2. Предположим, что надо выбрать одно из двух мест (альтернатив x1 и x2) для расположения нового химического предприятия и необходимо учесть экономические (критерий f1^) и экологические (критерий ) последствия выбора
конкретного места. При более подробном анализе
1
этих критериев выясняется, что критерий / 2) можно представить в виде двух критериев, отражающих влияние предприятия на среду обитания и
здоровье людей (критерий /2) и влияние на существующие отрасли хозяйства (критерий /3), а критерий /1) на данном этапе можно не конкретизировать (так что /1 = /1)). Наконец, полученные критерии второго уровня можно разложить на более простые. Критерий /21) можно представить
33
в виде совокупности двух критериев /(1) и /2), учитывающих стоимость и срок создания предприятия соответственно. Критерий /2 можно рассматривать как совокупность трех критериев /(3), /(4) и /(35), характеризующих соответственно загрязнение атмосферного воздуха, источников воды и почвы. А критерий /2) можно представить
в виде совокупности двух критериев — /6) (отражает влияние нового предприятия на сельскохозяйственное производство) и /7) (характеризует
его влияние на туризм). Таким образом, для первоначально принятых обозначений критериев разных уровней имеем:
/( 1) = = /р /( 2) = Л = Л, /(3) = Л = Л, /(4) = л = Л, Л(5) = Л = /5, Л6) = Л =
'(5)
'(6)
/(7) /7 Л' /(1) /12 , /(2) /з
'(1)
/(2)
66 2,
345 ,
/•2 _ -/*2 />1 _ р 1 р 1 _ р 1
/(3) = Л67 ' -/(1) = /12 , Л(2) = Л34567 .
Полученная многоуровневая критериальная структура соответствует рисунку. ♦
1.4. Приведем необходимые для дальнейшего изложения сведения из ТВК [13—15], которая была разработана для задач с одноуровневой критериальной системой, т. е. применительно к модели (1). Далее примем, что множество значений критериев конечно: = {1, ..., к, ..., #}, q > 2, и будем называть его множеством градаций. Если не оговорено иное, то шкала критериев полагается порядковой (т. е. числа к — это номера градаций в порядке возрастания их предпочтительности: их можно только сравнивать по величине). Например, для задачи со структурой, изображенной на рисунке, все критерии могут быть приведены к единой вербальной шкале (и тогда к — номер словесной градации, скажем, 1 — «очень плохо», ..., 5 — «очень хорошо») или же к q-балльной шкале (в частности, для пятибалльной шкалы q = 5). Будем считать, что большие значения критериев предпочтительнее меньших. Поэтому на множестве векторных оценок Z определено отношение
нестрогого предпочтения Я0 — отношение Парето (частичный квазипорядок):
уЯ0г ^ у > г, I = 1, ..., т.
Обычно этого отношения для получения требуемого решения задачи недостаточно: остается слишком много пар альтернатив, чьи векторные
оценки несравнимы по Я0. Поэтому его нужно расширить. Для этого требуется дополнительная информация о предпочтениях ЛПР. В качестве такой информации выступают сведения о важности критериев и о росте предпочтений вдоль их шкалы [11].
В ТВК предложены строгие определения понятий качественной и количественной важности критериев [13—15]. Информация о качественной важности О состоит из сообщений вида «обе группы критериев равноважны» и «одна группа критериев важнее другой», а информация о количественной важности — из сообщений вида «одна группа критериев важнее другой в к раз». Информация о количественной важности состоит из сообщений вида «одна группа критериев важнее дру-
гой во столько-то раз». Отметим, что группа может содержать только один критерий. Качественная информация о важности О и количественная информация о важности © порождают на множестве векторных оценок Z отношения нестрогого пред-
пП г>®
почтения Я и Я соответственно.
Далее полагаем, что количественная информация © является непротиворечивой и полной, т. е. позволяет для любой пары критериев £ и £ установить степень к,., превосходства в важности первого из них над вторым (т. е. что критерий £ важнее, чем £, в к..раз). Такая информация порождает } и
количественные, или кардинальные коэффициенты важности критериев а,. — положительные числа, в сумме равные единице и удовлетворяющие условию: а/а,- = к.., I, у = 1, ..., т. Коэффициенты важности аг единственны.
Для векторной оценки у вводятся в рассмотрение пороговые коэффициенты важности отдельных критериев для градаций их шкалы
2. РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА ДЛЯ ЗАДАЧ С ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ
а1к(у) =
а„ у, < к,
0, у, > к,
I = 1, ..., т; к = 1, ..., 4 — 1,
(2)
и суммарные пороговые коэффициенты важности всех критериев для каждой градации
ак(у) = а^ОО + ... + атк^), к = 1, ..., 4 - 1. (3)
Решающее правило, задающее отношение Я ®, таково [15]:
уЯ®г о ак(у) < ак(г), к = 1, ..., 4 - 1. (4)
Пусть число градаций 4 > 2 и дополнительно стало известно, что рост предпочтений вдоль множества градаций Z0 замедляется (информация Д^). Это означает, что при переходе от градации к к градации к + 1 предпочтения возрастают больше, чем при переходе от к + 1 к к + 2, к = 1, ..., 4 — 2. Разработаны специальные способы получения такой информации [11].
Введем в рассмотрение кумулятивные суммарные коэффициенты важности критериев а1 к(у) = = а1^) = ... + ак(у), к = 1, ..., 4 — 1. Решающее правило для отношения Я ®А^, задаваемого информацией ©&Д^, имеет вид [16]:
уЯвА1г о а1 - к(у) < а1 - к(г), к = 1, ..., 4 — 1. (5)
Если в правилах (4) или (5) хотя бы одно неравенство выполняется как строгое, то векторная оценка у предпочтительнее оценки г. А если все нестрогие неравенства оказываются равенствами, то оценки у и г одинаковы по предпочтительности.
2.1. В задачах с иерархической структурой под критериями { можно понимать, как указывалось выше, группы, состоящие из частных критериев £ , ..., £ . При анализе практических задач
11 11
вопросы ЛПР можно задавать о сравнении по важности критериев одного и того же уровня с общим «родителем». При сравнениях таким критериям можно приписывать значения шкалы частных критериев следующим образом: считать, что значение
критерия . соответствует градации к е Z0, когда значения всех входящих в его состав частных
критериев , ..., равны к. Например, если грач
дации являются лингвистическими и оценка к — это номер градации «хорошо», то при выполнении
указанного условия критерию { можно приписать «интегральную» оценку к — «хорошо».
Для получения качественной информации о важности О можно исходить непосредственно из определений понятий равенства и превосходства в важности для групп критериев [11, 13]. На основе собранной информации О с учетом наличия сведений о характере роста предпочтений вдоль шкалы критериев определяется отношение нестрогого
предпочтения Яп. Для его построения, в принципе, можно воспользоваться общим методом из работы [17]. Однако он предполагает матричное представление бинарных отношений, и поэтому уже при сравнительно небольшом числе критериев и небольшом числе градаций оказывается неподъемным даже для современной вычислительной техники. К сожалению, разработать аналитические методы построения таких отношений нам пока не удалось. Однако при некотором дополнительном предположении несложно сконструировать оптимизационные методы (см. далее пример 4).
Количественную информацию о важности критериев можно собирать с помощью методов из работ [11, 13], используя «интегральные» оценки сравниваемых критериев. Информацию о степенях превосходства в важности можно получать как в виде точных, так и интервальных оценок путем попарного сравнения критериев, а затем рассчитывать коэффициенты важности методом главного собственного вектора [1] или другим подходящим методом, например, из работы [18].
2.2. Для построения отношения нестрогого предпочтения, порождаемого собранной количественной информацией о важности критериев и имеющихся сведений о характере роста предпоч-
тений вдоль их шкалы, согласно результатам работ [19, 20], можно вначале рассчитать коэффициенты важности критериев разных уровней и вычислить итоговые коэффициенты важности частных критериев по обычным правилам, используемым при анализе иерархических систем. (Обоснование такого способа расчета применительно к используемой нами иерархической модели дано в работах [19, 20].) А затем для сравнения альтернатив по предпочтительности следует воспользоваться подходящим аналитическим решающим правилом, например, (4) или (5), в которых под коэффициентами важности аг- следует понимать итоговые коэффициенты важности частных критериев. Сформулированные положения иллюстрирует
Пример 3. Пусть в задаче из примера 1 множество градаций = {1, 2, 3, 4, 5} и имеется количественная информация о важности критериев:
г1 р3/2 г1
-/12 Р Л34
/з3 Р1 Л3,
34567 3
/345 Р7/3
/43 р2 /3,
/67 •
/1 Р1 /23 ,
/б Р1 /У ,
(6)
1
т. е., например, критерий /12 важнее критерия
/34567 (иначе говоря, группа критериев {/х, /2} важнее группы критериев {/3, /4, /5, /6, /7}) в 1,5 раза, а
критерии /13 и /23 (т. е. частные критерии /1 и /2
равноважны). На основе этих данных получаются значения коэффициентов важности, представленных на рисунке:
а12 = 0,6; а34567 = 0,4; а12 = 1; а345 = 0,7;
а67 = 0,3; а1 = 0,5; а2 = 0,5; а3 = 0,4; а3 = 0,4; а3 = 0,2; а3 = 0,5; а3 = 0,5.
Действительно, например, а^ / а^4567 = 3/2. Полученные коэффициенты важности позволяют рассчитать итоговые коэффициенты важности аг- частных критериев/. (см. рисунок):
а = 0,6-1-0,5 = 0,3;
2
= 0,6-1-0,5 = 0,3; а3 = 0,4-0,7-0,4 = 0,112 а4 = 0,4-0,7-0,4 = 0,112 а5 = 0,4-0,7-0,2 = 0,056 а6 = 0,4-0,3-0,5 = 0,06; а7 = 0,4-0,3-0,5 = 0,06.
Пусть для альтернатив х1 и х2 значения векторного критерия / таковы:
у = /(х1) = (4, 4, 3, 5, 3, 1, 2), г = /(х2) = (5, 3, 2, 4, 4, 3, 1). (7)
Если информации о характере роста предпочтений вдоль шкалы критериев нет, т. е. она является порядковой, то для сравнения альтернатив можно воспользоваться решающим правилом (4). Поскольку
а1(у) = 0,06 = а1(г); а2(у) = 0,12 < а2(г) = 0,172; а3(у) = 0,288 < а3(г) = 0,532; а4(у) = 0,888 > а4(г) = 0,7,
то, согласно правилу (4), неверно ни уЯ®г, ни гЯ0у,
1
т. е. альтернативы х и х2 несравнимы по предпочтительности.
Пусть теперь стало известно, что рост предпочтений вдоль шкалы критериев замедляется. Тогда для чисел
а1—1(у) = 0,06; а1—2(у) = 0,18; а1—3(у) = 0,468; а1—4(у) = 1,356; а1—1(г) = 0,06; а1—2(г) = 0,232; а1—3(г) = 0,764; а1—4(г) = 1,464
справедливо 1-1
а
а1—2(у) < а1-2(г), а1—3(у) < а1—3(г), а1—4(у) < а1—4(г).
(у) = а1—1(г),
Поэтому, согласно правилу (5), альтернатива х1
2
предпочтительнее альтернативы х . ♦
Замечание 1. Анализ чувствительности полученной оптимальной альтернативы к изменению значений коэффициентов важности можно провести с помощью метода из работы [21].
2.3. Ранее предполагалось, что коэффициенты важности критериев известны точно. Однако при получении количественной информации о важности естественным образом возникают не точные (точечные), а множественные (в частности, интервальные) оценки [11]. Поэтому, если не принимать дополнительных допущений, позволяющих рассчитать точные значения коэффициентов важности, то приходится признать, что для вектора коэффициентов важности а = (а1, а2, ..., ат) известно лишь некоторое (непустое) множество возможных его значений А. В этом случае, согласно известному в теории принятия решений подходу (см., например, статьи [22, 23]) отношение нестрогого предпочтения Я(А), порождаемое на множестве Z информацией о важности критериев с использованием множества А, определяется так:
уЯ(А)г о уЯ(а)г верно при любом а е А, (8)
где Я(а) — отношение нестрогого предпочтения, задаваемое подходящим решающим правилом при известном значении а. Рассматриваемый подход позволяет, в частности, построить решающие правила и для качественной информации о важности критериев.
Пример 4. Пусть в задаче из примера 3 вместо количественной информации (6) имеется лишь качественная информация:
Л2 Р /34567 ; /345 Р Л7 ; Л ~ Л ; Л ~ /4
3 .
4 '
/4 P . f6 P f7 '
/4 ^ ./5 > J6 ' J7
1
т. е. известно только, что критерий /12 важнее критерия /314567 , критерии /13 и /23 равноважны и т. д. Для этой информации множество А возможных значений количественных коэффициентов важности частных критериев задается системой соотношений (см. рисунок):
а1 > 0, а2 > 0, а3 > 0, а4 > 0, а5 > 0, а6 > 0, а7 > 0, а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7 = 1, + а > а, + а + а + а +
а^ + а2 > а3 + а4 + а5 + а6 + а7, аб
а > а, а — а •
а3 + а4 + а5 > а6 + а7, а! — а2, а3 — а4,
^4 > ^5, а6 а7. (9)
Если шкала критериев порядковая, то, согласно правилу (4) и отношению (8), отношение Я(А) задается так:
уЯ(А)г о при любом а е А верны неравенства ак(у) < ак(г), к = 1, ..., q - 1. (10)
Сравним по предпочтительности альтернативы
х1 и х2 с векторными оценками (7). Согласно выражениям (2) и (3) для у имеем:
а11(у) = 0, а21(у) = 0, а31(у) = 0, а41(у) = 0, а51(у) = 0, а61(у) = а6, а^ОО = 0;
а12(у) = 0, а22(у) = 0, а32(у) = 0, а42(у) = 0,
а52(у) = 0, а62(у) = а6, а72(у) = а7; а13(у) = 0, а23(у) = 0, а33(у) = а3, а43(у) = 0,
а53(у) = а5, а63(у) = а6, а73(у) = а7; а14(у) = а1, а23(у) = а2, а33(у) = а3, а43(у) = 0, а53(у) = а5, а63(у) = а6, а73(у) = а7; а1(у) = а6, а2(у) = а6 + а7,
а3(у) = а3 + а5 + а6 + а7, а4^) = а1 + а2+ а3 + а5 + а6 + а7
Аналогично для г получаем
а1(г) = а7, а2(г) = а3 + а7,
а3(г) = а2 + а3 + а6 + а7,
а4(г) = а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7
Теперь (10) можно записать в развернутом виде: уЯ(А)г верно тогда и только тогда, когда для любого а е А справедливы неравенства
а6 < а7, а6 + а7 < а3 + а7, а3 + а5 + а6 + а7 < а2 + а3 + а6 + а7,
а1 + а2+ а3 + а5 + а6 + а7 < а2 + а3 + а4 + + а5 + а6 + а7.
Поскольку, согласно соотношениям (9), а6 = а7, то последнее условие равносильно выполнению трех неравенств
maXae A (а6 - аз) < 0
max
(а5 — а2) < 0,
е A 5
max
¡(а1 + а5 - а4) < 0,
(11)
где A — множество, определяемое системой, получаемой из соотношений (9) заменой всех строгих неравенств на нестрогие (эту замену можно сделать, так как множество A не пусто [23]). Для проверки справедливости неравенств (11) нужно решить три задачи линейного программирования. Первая из них записывается так:
аб — а3 ^ max (12)
при ограничениях:
а! > 0, а2 > 0, аз > 0, а4 > 0, а5 > 0, аб > 0, а7 > 0,
а1 + а2 + аз + а4 + а5 + аб + а7 — 1,
а! — а2 — 0, аз — а4 — 0, аб — а7 — 0, —а! — а2 + аз + а4 + а5 + аб + а7 < 0, —аз — а4 — а5 + аб + а7 < 0, —а4 + а5 < 0. (13)
Решив задачу (12), (13) на компьютере (например, с помощью программы MS Excel), найдем, что максимальное значение целевой функции равно 0,4166667 > 0, так что уже первое неравенство в системе (12) не выполнено. Поэтому yR(A)z неверно. Аналогично можно убедиться в том, что и zR(A)y неверно. Следовательно, альтернативы
x1 и x2 несравнимы по предпочтительности. Этот результат ожидаем, так как даже при точных значениях коэффициентов важности эти альтернативы несравнимы по предпочтительности (см. пример 2).
Замечание 2. Рассмотренный в примере 3 подход к построению решающих правил для качественной информации о важности критериев Q предполагает существование количественных коэффициентов важности. Полезно иметь в виду, что при порядковой шкале критериев принятие допущения о существовании количественных коэффициентов важности не приводит к расширению
отношения Rп. Но если известно, что рост предпочтений вдоль шкалы критериев замедляется, то
такое допущение расширяет отношение R(см. работу [24]).
Замечание 3. Были рассмотрены только те случаи, когда шкала критериев порядковая или же известно, что рост предпочтений вдоль множества градаций Z0 замедляется. Понятно, конечно, что для анализа многокритериальных задач в рамках предложенной иерархической модели можно использовать и другие решающие правила, разработанные в ТВК для случаев, когда критерии имеют более совершенную шкалу [25].
a t
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решающие правила, базирующиеся на новой иерархической модели, целесообразно применять для решения практических многокритериальных задач в соответствии с итеративно-фрагментарным подходом [25], согласно которому вначале следует получать и использовать простую и потому надежную информацию о предпочтениях (в частности, качественную информацию о важности критериев). И лишь затем, если этой информации недостаточно для получения решения в требуемом виде (например, для выделения одной наилучшей альтернативы), нужно собирать и использовать более сложную, но менее надежную информацию (например, количественную информацию о важности критериев; при этом вначале следует получать интервальные, а затем уже точные оценки важности).
Авторы благодарны Л.Г. Егоровой и А.П. Нелюби-ну за полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1993. — 320 с.
2. Belton V, Stewart T.J. Multiple criteria decision analysis: an integrated approach. — Boston: Cluwer, 2003. — 372 p.
3. Подиновская О.В. Метод анализа иерархий как метод поддержки принятия многокритериальных решений // Информационные технологии моделирования и управления. — 2010. — № 1 (60). — С. 71—80.
4. Barzilai J. Notes on the analytic hierarchy process // Proc. of the NSF design and manufacturing research conference. — Tampa, Florida, 2001. — P. 1—6. — URL: http://scientific-metrics.com/downloads/publications/Barzilai_2001_Notes_on_ the_Analytic_Hierarchy_Process.pdf (дата обращения: 20.11.2014).
5. Подиновский В.В., Подиновская О.В. О некорректности метода анализа иерархий // Проблемы управления. — 2011. — № 1. — С. 8—13.
6. Подиновский В.В., Подиновская О.В. Еще раз о некорректности метода анализа иерархий // Проблемы управления. — 2012. — № 4. — С. 75—78.
7. Edwards W, Barron F.H. SMARTS and SMARTER: improved simple methods for multiattribute utility measurement // Organization behavior and human processes. — 1994. — Vol. 60. — P. 306—325.
8. Barzilai J. Preference function modelling: the mathematical foundations of decision theory // Trends in multiple criteria decision analysis / M. Ehrgott, J.R. Figueira, S. Greco (Eds.). — New York: Springer, 2010. — P. 57—86.
9. Подиновский В.В., Подиновская О.В. Подход теории важности критериев к задачам принятия решений с иерархической критериальной структурой // Научно-техническая информация. Сер. 2. Информационные процессы и системы. — 2014. — № 1. — С. 1—6.
10. Podinovski V.V. Multicriteria optimization problems involving importance-ordered criteria // Modern mathematical methods of optimization / Elster K.-H. (Ed.). — Berlin: Akademie Verlag, 1993. — P. 254—267.
11. Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений / Учебное пособие. — М.: Физматлит, 2007. — 64 с.
12. Подиновский В.В., Потапов М.А. Важность критериев в многокритериальных задачах принятия решений: теория, методы, софт и приложения // Открытое образование. — 2012. — № 2. — С. 55—61.
13. Подиновский В.В. Аксиоматическое решение проблемы оценки важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений // Современное состояние теории исследования операций / Под ред. Н.Н. Моисеева. — М.: Наука, 1979. — С. 117—145.
14. Подиновский В.В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важности однородными критериями // Автоматика и телемеханика. — 1976. — № 11. — С. 118—127.
15. Podinovski V.V. The quantitative importance of criteria for MCDA // Journal of multi-criteria decision analysis. — 2002. — Vol. 11. — P. 1—15.
16. Podinovski V.V. On the use of importance information in MCDA problems with criteria measured on the first ordered metric scale // Journal of multi-criteria decision analysis. — 2009. — Vol. 15. — P. 163—174.
17. Осипова В.А., Подиновский В.В, Яшина Н.П. О непротиворечивом расширении отношений предпочтения в задачах принятия решений // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1984. — № 6. — С. 831—840.
18. Podinovski V.V. Interval articulation of superiority and precise elicitation of priorities // European journal of operational research. — 2007. — Vol. 180. — P. 406—417.
19. Подиновский В.В., Подиновская О.В. Информация о важности групп критериев в многокритериальных задачах принятия решений. I. Качественная информация. Равно-важные группы критериев равной важности // Информационные технологии моделирования и управления. — 2014. — № 1 (85). — С. 58—67.
20. Подиновский В.В, Подиновская О.В. Информация о важности групп критериев в многокритериальных задачах принятия решений. II. Количественная важность // Там же. — № 3 (87). — С. 238—247.
21. Podinovski V.V. Sensitivity analysis for choice problems with partial preference relations // European journal of operational research. — 2012. — Vol. 221. — P. 198—204.
22. Weber M. Decision making with incomplete information // European journal of operational research. — 1987. — Vol. 28. — P. 44—57.
23. Подиновский В.В. Анализ решений при множественных оценках коэффициентов важности критериев в целевой функции и вероятностей значений неопределенных факторов // Автоматика и телемеханика. — 2004. — № 11. — С. 141—159.
24. Нелюбин А.П, Подиновский В.В. Взаимосвязь качественной и количественной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений // Открытое образование. — 2011. — № 6 (89). — С. 108—115.
25. Подиновский В.В. Анализ задач многокритериального выбора методами теории важности критериев при помощи компьютерных систем поддержки принятия решений // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2008. — № 2. — С. 64—68.
Статья представлена к публикации членом редколлегии Ф.Т. Алескеровым.
Подиновская Ольга Владиславна — мл. специалист, Мак-Кинзи и Компания СиАйЭс, г. Москва, И [email protected],
Подиновский Владислав Владимирович — д-р техн. наук, профессор, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва, S (495) 621-13-42, И [email protected].
