Чувствительность многокритериального выбора к изменению оценок важности неоднородных критериев Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.816

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА К ИЗМЕНЕНИЮ ОЦЕНОК ВАЖНОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ КРИТЕРИЕВ

Подиновский Владислав Владимирович, д-р.техн. наук, профессор, e-mail: [email protected],

Национальный исследовательский университет ««Высшая школа экономики»,

http://www.hse.ru

Предложен подход к анализу чувствительности (устойчивости) недоминируемых альтернатив, выделяемых на основе интервальной информации о важности неоднородных критериев, к изменению границ интервальных оценок. Разработаны методы анализа чувствительности как для отдельных недоминируемых альтернатив, так и для множества таких альтернатив в целом.

Ключевые слова: многокритериальные задачи принятия решений, параметрическая важность неоднородных критериев, отношение предпочтения, недоминируемые альтернативы, анализ чувствительности.

1. Важной для приложений и интересной в теоретическом отношении является проблема оценки чувствительности, или устойчивости решения к изменению ситуации выбора. Можно

выделить непараметрический и параметрический подходы к анализу устойчивости. Первоначально подходы к параметрическому анализу чувствительности разрабатывались в предположении, что предпочтения моделируются при помощи аддитивной функции ценности, или полезности, зависящей от параметров (чаще всего от весов критериев) [1, 2], и создавались методы определения наибольших возможных изменений параметров, при которых оптимальная альтернатива оставалась оптимальной. Для параметрических отношений предпочтения, причем частичных (и без предположения о существования функции ценности), подход к анализу чувствительности был развит в [3, 4]. Он предполагает, что параметр является векторным и все его компоненты являются величинами одной и той же размерности (в частности, безразмерны). Там же были предложены методы анализа чувствительности выбора к изменению точечных оценок (коэффициентов) важности. В [5, 6] разработаны методы анализа чувствительности выбора к изменению интервальных оценок важности. Однако существуют задачи, в которых используются модели предпочтений с параметрами важности разной размерности. Примером являются отношения частичного предпочтения, рассматриваемые в теории параметрической важности (неоднородных) критериев [7 - 9]. Для таких задач требуется разработка специального подхода к анализу чувствительности. Этой цели и посвящена данная работа. Она подготовлена в результате проведения исследования в рамках Программы фундаментальных исследований Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ) и с использованием средств субсидии на государственную поддержку ведущих университетов Российской Федерации в целях повышения их конкурентоспособности среди ведущих мировых научно-образовательных центров, выделенной НИУ ВШЭ.

2. Дальнейшее изложение опирается на следующую математическую модель ситуации индивидуального выбора в условиях определенности при многих критериях:

М = < X, Л, ..., fm, Zl, ..., Zm, P >, (1)

где Х - множество альтернатив, или вариантов, планов, стратегий, ... (число их не менее двух);fl, ..., fm - критерии (m > 2), т.е. функцииf X^ Z, где Zi с Re = (-да, +да) - область значений i-го критерия (множество его шкальных оценок); P - отношение (строгого) предпочтения ЛПР. Критерии f образуют векторный критерий f = (fl, ..., fm). Предполагается, что каждый из критериев независим по предпочтению от остальных и его большие значения предпочтительнее меньших. Каждая альтернатива x из множества X характеризуется её векторной

оценкой у(х) = Дх) = (/1(х), •••,/т(х)). Множество всех векторных оценок (как достижимых, которые соответствуют альтернативам, так и гипотетических) есть Z = Zl х •.. х Zm. Предполагается, что альтернатива полностью характеризуется её векторной оценкой, так что сравнение альтернатив по предпочтительности сводится к сопоставлению их векторных оценок. Поэтому задача выбора наилучшей альтернативы из множества X сводится к выбору наиболее предпочтительной векторной оценки из множества достижимых векторных оценок У = ДX) = {yеZ \у =Дх), хеХ}.

Предпочтения ЛПР моделируются при помощи отношения (строгого) предпочтения Р на Z: уРг означает, что векторная оценка у более предпочтительна, чем г. Принимается допущение, что отношение Р - строгий (частичный) порядок, т.е. оно иррефлексивно (для любой векторной оценки у неверно уРу) и транзитивно (для любых векторных оценок у, г, и из уРг и гРи следует уРи). Отношение Р неизвестно и строится (восстанавливается) на основе информации о предпочтениях, получаемой от ЛПР и/или экспертов. Далее рассматривается случай, когда в состав такой информации входят сведения об относительной важности критериев. Поскольку большие значения каждого критерия предпочтительнее его меньших значений, то полагается, что отношение предпочтения Р согласовано с отношением Парето Р0 (т.е. верно Р0 с Р ), которое определяется так: уР0г ^yi > г7, 7 е М = {1, •.., т}, х Фу.

Приведем сведения из теории параметрической важности критериев [7 - 9], необходимые для дальнейшего изложения. При этом для векторов из Rem, т > 2, будем использовать следующие обозначения:

а ^ Ь <=> а, ' Ъ\, / = 1, 2, ..., т; а > Ь <=> (а ^ Ь, а Ф Ь); а > Ь <=> а, > 6,, 7 = 1, 2, ..., т.

Определение. Критерий/ важнее критерия/ с (положительным) параметром И7 (это сообщение обозначается так: ! = 7 ^И1]), когда векторная оценка у предпочтительнее векторной оценки г при у -г = С, где 7 > 0 и вектор С определяется следующим образом:

И71, г = 7,

(2)

с! =

-1, г = ], г Ф i, ]

Согласно данному определению, сообщение ! вводит на множестве векторных оценок Z отношение строгого предпочтения Р! следующим образом: уР!г ^ (у -г = 7 > 0). Заметим, что, согласно определению отношения Р!, уменьшение положительной величины И7 приводит к расширению этого отношения.

Информация о параметрической важности критериев Е образуется множеством накопленных (полученных) сообщений вида т.е. Е={!, !2, •.., !}. Отношение (строгого) предпочтения, порождаемое информацией Е, обозначим через РЕ. Из векторов Ск = С!, записывая их как строки, сформируем дхт-матрицу ВЕ.

Так как отношение Р в (1), согласно принятому допущению, является строгим частичным порядком, то отношение РЕ определяется как транзитивное замыкание объединения всех отношений Р! , и отношения Парето Р0. В соответствии с этим определением уРЕг выполнено в том и только в том случае, если существует цепочка уР У, г1 Р2г2, •.., гп 1Рпг, где все г е Z, а каждое

Рг есть Р0 или для некоторого ! е Е.

Отношение РЕ, определенное на Z, порождает на множестве альтернатив X соответствующее отношение предпочтения Ре следующим образом: х'Р~х" ^/(х')РЕ/(х").

Информация Е называется (внутренне) непротиворечивой, если верны q вложений

с РЕ и Р0 с РЕ. Введем в рассмотрение множества:

ЛЕ = {Л е Rem|Л > 0, ВЕЛ > 0}, Л Е= {Ле Reт|Л >0, ВЕЛ>0} . (3)

Опираясь на теорему 2 из [8], нетрудно убедиться в том, что верна следующая

Теорема. При выполнении некоторых «технических условий» справедливы утверждения:

Т1. Информация Е непротиворечива тогда и только тогда, когда ЛЕ Ф 0;

Т2. Если информация Е непротиворечива и у Ф г, то соотношение уРЕг верно тогда и

только тогда, когда для любого Л, е Л~ верно неравенство (у -г)Л • 0.

Т3. Если информация Н непротиворечива и у Ф 2, то соотношение уРН2 верно тогда и только тогда, когда для некоторого вектора и е Req, и ^ 0, верно векторное неравенство у —2 ^ и3Н.

Формулировки различных «технических условий» можно найти в [8 - 11]. Например, достаточно, чтобы все критерии были континуальны и не ограничены, или ограничены, но только строгими неравенствами.

3. Пусть информация о предпочтениях ЛПР представлена в виде информации о параметрической важности критериев Н. Заметим, что поскольку в определение множества ЛН из (3) входят линейные однородные строгие неравенства, то для проверки непротиворечивости информации Н достаточно проверить совместность системы линейных нестрогих неравенств Л ^ 3НЛ ^ ¿и2, где / и / - произвольные положительные векторы соответствующих размерностей (можно считать, например, что все их компоненты равны 1). А для этого можно воспользоваться любым пакетом компьютерных программ линейного программирования.

Далее полагаем, что информация Н непротиворечива. Множество альтернатив X считается конечным:X = (х1, ..., х1, ..., х"}.

Векторная оценка у1 = Ах1) называется недоминируемой (по РН), если не существует векторной оценки у1 = А(хк) такой, что верно у1РНу, 1 = 1, ..., "; альтернатива х1 также называется недоминируемой (по Рн). В противном случае альтернатива х1 и ее векторная оценка у1 называются доминируемыми (по Рн и РН соответственно). Множество недоминируемых векторных оценок внешне устойчиво: если у1 - доминируемая векторная оценка, то найдется недоминируемая векторная оценка у1 такая, что верно уРНу1. Поэтому оптимальную альтернативу следует выбрать среди недоминируемых.

Целью анализа чувствительности отдельной недоминируемой альтернативы или множества таких альтернатив в целом к изменению параметров И1 - компонент векторов Л; из ; е Н -является получение оценок максимально возможных изменений, при которых недоминируе-мость сохраняется. Как уже отмечалось выше, уменьшение положительных величин И может привести лишь к расширению отношения Р;, а потому и к расширению отношения РН, а их увеличение - лишь к сужению этих отношений. Но после сужения отношения РН недоминируемые альтернативы останутся недоминируемыми. Поэтому для анализа чувствительности можно ограничиться рассмотрением случая уменьшения исходным параметров И1. Обозначим через Н множество сообщений, полученное из Н путем уменьшения некоторых (в частности, всех) параметров И - компонент векторов из ; е Н, до № > 0.

Векторную оценку у назовем потенциально доминирующей над векторной оценкой у1, если найдется такое множество Н, что будет верно у1РНу]. Пусть верно укРНу1. Если у доминируема по РН, то, в силу внешней устойчивости множества недоминируемых по РН векторных оценок среди них найдется у такая, что верно уРу?. Но РН с РН и отношение РН транзитивно. Поэтому верно и у^РНу], так что у доминируется и по РН .Следовательно, при анализе чувствительности можно учитывать только те потенциально доминирующие векторные оценки, которые сами являются недоминируемыми по РН. В дальнейшем это положение специально не оговаривается.

В многокритериальных прикладных задачах критерии могут иметь разную «физическую» размерность, так что и параметры И тоже могут иметь разную размерность. Для соизмерения степеней уменьшения этих параметров для разных пар критериев будем представлять уменьшенные параметры И в таком виде:

Ик=И*=ИЧк, 0<(к- 1. (4)

Тогда соответствующие векторы 3к = 3С , согласно (2), будут иметь такие компоненты:

3к =

Нугк, г = I, —1 г = ],

0, г ФI, у.

Векторы 3к формируют матрицу 3Н .

Векторная оценка у1 будет потенциально доминирующей над векторной оценкой у1 Ф у1, если и только если найдется такое значение векторного параметра t = (¿1, t2, ..., tq), что будет

верно у1РЕу], т.е., согласно решающему правилу Т2 из теоремы, если и только если для любого ЯеЛ" верно неравенство (у -г)А 0. Проверку выполнения последнего условия можно свести к решению оптимизационной задачи:

Т!=1(у! - у] Л ^ шт (5)

при ограничениях:

Л, >0,г = 1,2, ...,т- (6)

О' (к<- 1Д= 1,2, ё (7)

БЕЛ> 0. (8)

Если оптимальное значение целевой функции в задаче (5) - (8) неотрицательно, то векторная оценка у! потенциально доминирует над векторной оценкой у. В противном случае такого доминирования нет.

Пусть Т! с Req - множество значений векторного параметра t, при которых у1 доминирует над у1. Степень устойчивости альтернативы х1 относительно потенциально доминирующей над ней альтернативы х! можно оценить с использованием расстояния Ь] от точки ^ = (1, 1, •.., 1) до множества Т!:

Ь]] = МеТ]ЙС,

В качестве формул для вычисления расстояния Ь] можно использовать, например, одну из следующих:

И тогда

Г (t', t') = ZLi\t'k - tkI, b-(f, f) = max\t'k -.

(t, t*) = Eq=i(1 - tk), b - (t, t*) = max ke{i,...,q}(1 - tk) (9)

Для нахождения следует решить задачу минимизации выбранной целевой функции (например, из (9)):

bj ^ min

при ограничениях:

lit 0,0- tf 1,к = 1,2, ...,q; y - z uD" .

Пусть N1 - множество номеров всех альтернатив, потенциально доминирующих над x1. Степень устойчивости альтернативы x1 можно характеризовать величиной

bJ = min : bjl.

j<=-NJ

Для оценки степени устойчивости множества недоминируемых альтернатив X* = {x*1,..., x*5} в целом можно было бы предложить использовать показатель b = min ;е {i, ...s}bJ. Однако он обладает тем недостатком, что учитывает возможность потенциального доминирования одних альтернатив из X* над другими, что противоречит самой идее оценивания устойчивости множества X* как единого целого. Поэтому для указанной цели предлагается использовать показатель b*, получаемый следующей модификацией показателя b*1. Для фиксированной альтернативы x*leX* пусть Xl - множество альтернатив из X\X*, потенциально доминирующих над x*1,

N*1 - множество номеров таких вариантов, b*l = min l bjl. Тогда b*= min le {i цЬ*1.

jN

4. Анализ чувствительности выбора к изменению оценок параметрической важности критериев связан с необходимостью решения нелинейных оптимизационных задач. Поэтому встает проблема разработки линейных методов анализа чувствительности для тех классов параметрической важности, для которых известны аналитические решающие правила, основанные на проверке выполнения линейных неравенств. Разработка указанной проблемы - цель дальнейших наших исследований.

5. Автор считает, что в данной работе новым является предложенный подход к анализу чувствительности недоминируемых альтернатив, выделяемых на основе информации о параметрической важности критериев, а также множества всех таких альтернатив к изменению параметров важности.

Литература

1. Insua D.A., French S.A Framework for sensitivity analysis in discrete multi-objective decision-making // European Journal of Operational Research. 1991. V. 54. P. 176-190.

2. French S. Mathematical programming approaches to sensitivity calculations in decision analysis // Journal of the Operational Research Society. 1992. V. 43. No. 8. P. 813-819.

3. Подиновский В.В. Анализ устойчивости результатов выбора при частичном отношении предпочтения // Искусственный интеллект и принятие решений. 2009. № 4. С. 45-52.

4. Podinovski V.V. Sensitivity analysis for choice problems with partial preference relations // European Journal of Operational Research. 2012. V. 221. P. 198-204.

5. Нелюбин А.П. Анализ устойчивости многокритериального выбора методами теории важности критериев при изменении интервальных оценок важности критериев // Открытое образование. 2012. № 2. С. 47-51.

6. Nelyubin A.P. Criteria importance theory: sensitivity analysis of multicriterial choice using interval importance information // American Journal of Control Systems and Information Technology. 2013.V. 1. P. 13-17.

7. Подиновский В.В. Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений // Многокритериальные задачи принятия решений / Под ред. Емельянова С.В. -М.: Машиностроение, 1978. С. 48-82.

8. Меньшикова О.Р., Подиновский В.В. Построение отношения предпочтения и ядра в многокритериальных задачах с упорядоченными по важности неоднородными критериями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1988. № 5. С. 647-659.

9. Men'shikova O.R., Podinovskii V.V. Construction of the preference relation and the core in multicriterial problems with inhomogeneous criteria that are ordered with respect to importance. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1988, V. 28. No 3. P. 15-22.

10.Подиновский В.В. Параметрическая важность критериев и интервалы неопределенности замещений в анализе многокритериальных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. № 11. С. 1979-1998.

11.Podinovski V.V. Parametric importance of criteria and intervals of value tradeoffs uncertainty in the analysis of multicriteria problems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2008. V. 48. № 11. P. 1981-1998.

Sensitivity of multi-criterial selection To change assessment assessments of inhomogeneous criteria

Vladislav Vladimirovich Podinovski, dr. Habil., professor, national research university higher school of economics

We propose an approach to the sensitivity analysis of non-dominated alternatives allocated on the basis of interval information about importance of heterogeneous criteria to changes of boundaries of the interval estimates. We develop methods of sensitivity analysis for separate non-dominated alternatives and for the set of such alternatives as a whole.

Key words: multiple criteria decision making problems, parametric importance of heterogeneous criteria, preference relation, non-dominated alternatives, sensitivity analysis.

УДК 658.314.7:330.115

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО КАТАЛОГА УСЛУГ

Савушкин Сергей Александрович, канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., вед. науч. сотр.

e-mail: [email protected] Лемешкова Алеся Валерьевна, мл. науч. сотр e-mail: [email protected] Институт проблем транспорта им. Н.С. Соломенко РАН http://www.iptran.ru Горбунов Владимир Григорьевич, зам. генерального директора e-mail: [email protected], Экспериментальный завод научного приборостроения РАН http://www.ezan.ru