CC BY
10
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2001. №.1. С.15-17. © Омский государственный университет, 2001
УДК 519.8
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ L-СТРУКТУРЫ ЗАДАЧ БУЛЕВА ПРОГРАММИРОВАНИЯ
М.В. Девятерикова
Омский филиал института математики СО РАН 644099 Омск, ул. Певцова 13
Получена 5 декабря 2000 г.
Stability of the relaxation set of the boolean programming problem is investigated on the basis of ¿-partition. Upper bounds on cardinalities of the ¿-intervals under small variations of this set are obtained.
Значительное число исследований в области целочисленного программирования (ЦП) проведено на основе метода регулярных разбиений [1]. В последнее время развивается новое направление применения метода - исследование вопросов устойчивости задач ЦП [2-4]. В отличие от традиционных постановок [5,6], в которых рассматривается, как правило, устойчивость оптимальных решений, нами изучается в основном устойчивость релаксационных множеств задач. Суть подхода состоит в следующем. Выбирается регулярное разбиение евклидова пространства [1] и с его помощью в фактор-пространстве проводится сравнение исходного релаксационного множества и множества, полученного путем достаточно малого его изменения. В частности, нас интересует соотношение мощностей дробных накрытий, характеризующих сложность решения задач [1]. В данной работе проводится анализ устойчивости задачи булева программирования (БП) с помощью ¿-разбиения.
менты этого разбиения, называемые ¿-классами. Для произвольного множества X С. Д" его разбиение на ¿-классы обозначим Х/Ь. Отметим ряд важных свойств ¿-разбиения.
1) Каждая точка г £ 2п образует отдельный класс ¿-разбиения, остальные классы состоят из нецелочисленных точек и называются дробными.
2) Если X С Я" ограничено, то фактормножество Х/Ь - конечно.
3) Пусть X, X - непустые множества в Лп. Будем считать,что X лексикографически больше X ^Х У X ), если х у х для всех х 6 X и х £ X . Тогда для любых различных ¿-классов V, V из Я" выполняется либо V У V , либо
I
V у V. Если X - ограниченное множество, то X/¿ можно записать следующим образом:
Х/Ь = {Уи...,Ур},Ц у 1.....Р-1.
1. Предварительные сведения
Пусть П - замкнутое, ограниченное множество в Кп . Рассматривается задача ЦП в лексикографической постановке:
найти г* = 1ехтах(С1 П Яп). (1)
Многие результаты, относящиеся к анализу задачи (1). и алгоритмам ее решения, получены на основе ¿-разбиения, которое можно определить следующим образом. Точки х,у £ Нп (х >- у) являются ¿-эквивалентными, если не существует отделяющей их целочисленной точки, т.е. не найдется х £Ъп, для которой х У г У у. Здесь - символы лексикографического
сравнения. Эквивалентные точки образуют эле-
Пусть X - непустое множество в Яп. Точки х,У £ X (х у у) называются ¿х-эквивалентными, если не существует целочисленной точки г 6 (X П Zn) такой, что х У г У у. Непустое подмножество нецелочисленных точек Ш С X называется дробным интервалом, если оно удовлетворяет условию: если х £ Ж, то любая Ьх -эквивалентная ей точка у £ X также содержится в У/. Фактор-множество V//¿ называется Ь-интервалом. Через С(Х) обозначим совокупность всех дробных интервалов, порождаемых X. Интервал \¥ £ С(Х) называется внутренним, если существуют г, г £Х(Л2п такие, что г У Ш у г . В противном случае интервал V/ называется внешним.
16
М.В. Девятерикова
2. Типы ¿-классов и их свойства
С целью исследования устойчивости релаксационного множества задачи ЦП в [2] была введена классификация элементов ¿-разбиения пространства ВР относительно указанного множества.
Пусть X С ЯР и V - некоторый ¿-класс из (Яп\Х)/Ь. Класс У называется смежным с X, если р(Х, V) = 0, где р - некоторая метрика в Яп , Если р(Х, V) > 0, то V называется несмежным. Далее для определенности будем полагать, что р - евклидова метрика.
Особую роль при исследовании устойчивости играют смежные ¿-классы. Далее будет показано, что при достаточно малых расширениях релаксационного множества его ¿-разбиение содержит только ¿-классы исходного множества и смежные к исходному релаксационному множеству ¿-классы. Приведем верхние оценки количества смежных ¿-классов для общей задачи целочисленного программирования [2].
Теорема 1. Пусть Г2 - замкнутое, ограниченное множество в Кп, г* = 1ехтах С1 и г" Е . Тогда число смежных с ^ классов V £ ВР ¡Ь таких, что У >- 2* , равно п.
Для задачи ЦП типа (1) на минимум справедливо аналогичное утверждение.
Пусть VV - некоторый дробный интервал множества !Г2, а - число смежных с П дробных ¿-классов, которые неотделимы от \У целыми точками из П. Положим
*(И0 =
0, еслиОП£п=0;
1, если ф 0) жУ/ - внешний интервал;
2, если — внутренний интервал.
Теорема 2. Пусть £1 - замкнутое, ограниченное множество в ВР и УУ - некоторый дробный интервал из С(£2), тогда
£(И0 < а(И/)п + 2(п - 1) | Ш/Ь |.
В данной работе получена верхняя оценка количества смежных ¿-классов для задачи булева программирования.
Пусть Вп = {х : 0 < х{ < 1, г - 1, ...,п} и П - непустое замкнутое множество в В" . Для произвольного дробного интервала У/ из О определим как число смежных с П дробных ¿-классов из Вп/¿, неотделимых от И7 целыми точками из П. Тогда для функции г] справедлива теорема, аналогичная теореме 2.
Для доказательства нам потребуется следующее свойство ¿-разбиения [1]. Любой дробный Ь-класс У множества X можно представить в виде:
V — ХП{х : Хг — а,-, г = 1, г — 1; аг < хг < аг +1}, где все оц, аг - некоторые целые числа.
Теорема 3. Пусть П - замкнутое множество в Вп . Тогда
7](Ш) < а{УУ)п + (п - 1) | У//Ь |.
Доказательство. Пусть У\[ - произвольный дробный интервал из С(0) и | Ш/Ь А. Очевидно, что все смежные с <Л дробные ¿-классы из Sn/¿ содержатся в ВР/Ь, следовательно, Т](\У) < £(^0- Так как задача булева нрогра-мирования является частным случаем общей задачи ЦП, то для величины выполняется оценка теоремы 2. Пусть г1 = 1ехтах{г £
апгп:
г -< \У} и г2 = 1ехтт{г € П П гп : г \¥}, если они существуют.
Ранее было доказано, что все ¿-классы из Яп/Ь, смежные с О и неотделимые от Ш целыми точками из О, содержатся в множествах
та {^ык1}, га, те
Ун = \х . Х{ — а?,* = 1 Л- 1
= {* : Хг = к ■ а* ,г = 1 Л- 1
г = г к - 1 ;* = 1, ...
К1 . — г = 1, е - 1;
У/ = {х : Х{ = г?, г — 1, 6' - 1; г] - 1 < х, < г^}; в = 1,п,
причем в зависимости от типа дробного интервала множества { V/}, { V,2} могут быть пусты.
Покажем, что не все ¿-классы из этих множеств содержатся в В"/X.
Рассмотрим произвольный дробный ¿-класс 14 из . Он имеет вид Ук = \¥Г){х:х^ г*, г = 1,гк-1; 0 < хг„ < 1} , где XI £ {0,1}. Если ^ = 0, то ¿-класс не содержится в Вп/Ь, т.к. для него Х{ < 0. Если г,■ = 1, то Ь-класс У^ не содержится в Вп , т.к. для него ж,- > 1. Следовательно, суммарная мощность множеств и {У^} для любого к не превышает (п — 1). Отсюда следует требуемое утверждение. Теорема доказана.
Легко показать, что верхняя оценка в теореме достижима. Отметим также, что полученные свойства ¿-структуры не зависят от выбранной метрики.
3. Исследование устойчивости
Полученные свойства ¿-структуры задачи (1) можно применить для анализа ее устойчивости при достаточно малых изменениях релаксационного множества П.
Пусть £ - любое положительное число. Множество
Ще) = {х : р{П,х) < е}
Анализ устойчивости L-структуры задач.
17
называется е-расширением множества Г2. Будем говорить, что непустое множество Г2~ является е-допустимым сужением Q, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1) П" С 0;
2) £Г П Z" = fi П Zn ;
3) p(x,Q~) < е для любого х £ П \ Sl~ . Множество называется е-допустимым изменением множества Г2, если Q~ С Q,v С Г2(г), где О- - некоторое е-допустимое сужение Q.
Теперь введем аналогичные определения для дробных интервалов. Так как Q - замкнутое множество в Вп, то существует е > 0 такое, что fi(e') П2" = 0(1^". Для е £ (0,е) определим е-допустимое расширение W(e) как дробный интервал множества ii(e), который содержит W. Аналогично е-допустимым сужением дробного интервала W назовем дробный интервал множества Q" , содержащийся в W . Обозначим его W~ . Через Wv обозначим g-допустимое изменение W, которое является дробным интервалом множества fi", причем W~ С W" С W{e) для некоторого W~ .
Пусть К(£1) - множество несмежных с ß дробных ¿-классов и /и(Г2) — infv£K(0.)P(Vity ■ Так как замкнутое, ограниченное множество, то > 0.
Теорема 4. Пусть fi - замкнутое множество в 5°, W - некоторый дробный интервал из Q. Тогда для произвольного е -допустимого изменения Wv при е £ (0,тгп(е , ¿¿(ß))) имеет место соотношение
О <| Wv/L |< п | W/L | +a(W)n.
Доказательство. Так как произвольное е-допустимое изменение дробного интервала W удовлетворяет условию Wv С W(e), то имеют место оценки:
О <| Wv/L |<| W{e)/L \ .
Так как е < /^(П), то фактор-множество W(e)/L содержит ¿-классы из W/L и смежные с Q классы, неотделимые от W точками из Ü. Поэтому
| W(s)/L |=| W/L | +r]{W).
Используя оценку для rj(W), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.
Важную роль в исследовании задач и алгоритмов ЦП играет множество
= {х £ Q : х у z для всех г £ (Q П Zn)},
которое называется дробным накрытием задачи (1). Очевидно, что Г2* является внешним дробным интервалом.
В алгоритмах отсечения и ряде других методов решения задач ЦП, основанных на аппарате
непрерывной оптимизации, в процессе решения задачи (1) из должны быть исключены все точки множества Г2* . В алгоритмах отсечения это обычно делается с помощью дополнительных линейных ограничений. В терминах дробных накрытий получены верхние оценки числа итераций для двойственных дробных алгоритмов отсечения.
Из теоремы 4 вытекает важное следствие для дробных накрытий.
Следствие. Пусть О - замкнутое множество в Вп . Тогда для любого е £ (0,тт{е , и
произвольного множества П , удовлетворяющего условию О С О С Й(е), имеет место соотношение
| О */£ |<| П[/Ь \< п | | +а(Г2+)тг,
где а (О») принимает только значения 0 или 1.
Утверждение следует из того, что дробное накрытие П* является внешним интервалом.
Из следствия вытекает, например, что для новой задачи ЦП, полученной путем достаточно малого расширения релаксационного множества, верхняя оценка числа итераций двойственных дробных алгоритмов с ¿-регулярными отсечениями может возрасти, однако этот рост как функция от п будет линейным.
Представляет интерес получение оценок величины £ для различных классов задач ЦП, в частности, для задач линейного булева программирования.
[1] Колоколов А. А. Регулярные разбиения и отсечения в целочисленном программировании//Сиб. журнал исслед. операций. 1994, N2. С. 18-39.
[2] Девятерикова М.В., Колоколов А.А. Устойчивость ¿-структуры задач целочисленного выпуклого программирования // Вестник Омского университета. Омск, 2000. С. 21-23.
[3] Девятерикова М.В. Об устойчивости ¿-накры-тий задач булева программирования // Международная конференция "Дискретный анализ и исследование операций": Тезисы. Новосибирск, 2000. С. 145.
[4] Devyaterikova M.V., Kolokolov A.A. On ¿-structure stability of integer convex programming problems // International Conference on Operations Research: Abstracts. Dresden, 2000. P. 37.
[5] Леонтьев В.К., Гордеев Э.Н. Качественное исследование траекторных задач// Кибернетика. 1986. N 5. С. 82-89, 105.
[6] Сергиенко И.В., Козерацкая JI.H., Лебедева Т.Т. Исследование устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач. Киев: Наукова думка, 1995. 170 с.
