Устойчивость L-структуры задач целочисленного выпуклого программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2000. N.l. С.21-23. © Омский государственный университет, 2000

УДК 519.8

УСТОЙЧИВОСТЬ L-СТРУКТУРЫ ЗАДАЧ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

М.В. Девятерикова, A.A. Колоколов

Омский филиал института математики СО РАН, 644099 Омск, ул. Певцова 13 1

Получена 20 октября 1999 г.

New properties of ¿-structure of the relaxation set are obtained for the integer convex programming problem. Upper bounds on cardinalities of the ¿-intervals under small enough extensions of this set are found.

Значительное число исследований в области целочисленного программирования (ЦП) проведено на основе метода регулярных разбиений [1]. На его основе получены новые существенные результаты, в частности, оценки числа итераций для ряда алгоритмов отсечения, ветвей и границ, предложены алгоритмы перебора ¿-классов для анализа и решения задач ЦП. В последнее время развивается новое направление применения метода - вопросы устойчивости задач ЦП [2-4]. В отличие от классических постановок [5,6] мы изучаем не только условия устойчивости оптимальных решений, по и устойчивость структуры разбиений релаксационного множества задачи. В данной работе исследуются указанные вопросы на основе /^-разбиения для задач целочисленного выпуклого программирования. Получены новые свойства ¿-структуры релаксационного множества, построены верхние оценки мощности ¿-интервалов этого множества при его достаточно малых расширениях. Эти результаты развивают исследования, о которых сообщалось в [3.4]. Для ¿-накрытия задачи ЦП (частного случая ¿-интервала) аналогичные оценки были получены в [2].

1. Основные определения и обозначения.

Пусть - непустое множество в Д" . Рассматривается задача целочисленного программирования в лексикографической постановке:

найти z* = lcxrnax{Q П Zn).

(1

Многие результаты, относящиеся к анализу задачи (1) и алгоритмам ее решения, получены на основе ¿-разбиения, которое можно определить следующим образом. Точки х,у 6 Я" (х >-у) являются Ь-эквивалентными, если пе существует отделяющей их целочисленной точки, т.е. не найдется 2 £ '¿п , для которой х X г > у. Эквивалентные точки образуют элементы этого разбиения, называемые Ь-классами. Для произвольного множества X С Я" его разбиение на ¿-классы обозначим Х/Ь. Отметим ряд важных свойств ¿-разбиения, которые используются в данной работе.

1. Каждая точка г € 2Г" образует отдельный класс ¿-разбиения, остальные классы состоя т из нсцелочисленных точек и называются дробными.

2. Если X С Я" ограничено, то фактормножество Х/Ь - конечно.

3. Любой дробный класс V Е Х/Ь можно представить в виде:

V = X П {ж : хJ

а ь а,-

, Xr-i 1}>

. J, аг < X,- <

1 e-mail: koloffiitam.omsk.net.ru

где а $ - некоторые целые числа, ] — 1.....г.

4. Пусть Х,Х - непустые множества в Я" и Р - некоторое регулярное разбиение. Вудем считать,что А' лексикографически больше X (А' >-X ), если х у х для всех х £ X и х 6 X . Если данное отношение в фактор-пространстве Я" /Р является линейным порядком, то говорят, что разбиение Р согласовано с лексикографическим порядком, ¿-разбиение обладает этим свойством.

22

М.В. Дсаятерикова, А. А. Колоколов

Если X - ограниченное множество, то X/Ь можно записать следующим образом:

Х/Ь = {Ух,..., V],}, Уг у 1/'! + ьг = 1, ...,Р-I.

Изучение разбиения множества на £,-классы, т.е. его ¿-структуры, необходимо в связи с тем, что ее свойства используются при построении и анализе алгоритмов. Кроме того, эти вопросы имеют и самостоятельный интерес.

Пусть X С Й"Д ^ 0. Подмножество нецелочисленных точек Й'С! называется дробным интервалом., если оно удовлетворяет условию: если х <Е IV, то любая точка у 6 X, которая неотделима от х некоторой целой точкой из X, также содержится в V/. Фактор-множество Ш/Ь называется Ь-интервалом. Через С(Х) обозначим совокупность всех дробных интервалов, порождаемых X. Интервал УЧ 6 С(X) называется внутренним,, если существуют г, 2 £ X П 2п такие, что г У V/ у г .В противном случае интервал IV называется внешним.

Важную роль в исследовании задач и алгоритмов ЦП играет множество

О, - {х £ Й : г для всех гб(АП %п)} ,

которое называется дробным накрытием задачи (1). Отметим, что если Г2 Г) Zn = 0, то

что других таких L-классов нет. Предположим противное, т.е. найдется смежный с Q класс V ,

V у z*, V ф Vk, к — 1, ..., п. Тогда существует номер к £ {1, ...,п} такой, что

V С {ж : ®j = z*, xfc_i = zl_vXk > г*к + 1> -Так как V - смежный с П, то p(Q. V ) — 0. Поскольку - замкнутое, ограниченное множество, то существует у Е О, для которого р(у, V ) — 0. Из условия у € Q, вытекает, что у -< z*.

Рассмотрим два случая: у — z' и у -< г*. Если у — z*, то р(у, V ) = p(z*, V ) =

infxtV'P(z* 'Х) ~ infz<iV' I 4 ~ хк |> I > 0. Получили противоречие. Пусть теперь у -< z* . Тогда существует j 6 {1, ...,п] такой, что

У1

!

•У} <

Если к < j, то р(у, V ) = infxeV,p(y, х) = = inf^v' I Ук-хк |= infx€V- ]z*k- хк |> 1 > 0, что противоречит тому, что V - смежный L-класс. Предположим, что к > j . Тогда р(у, V ) = infxeV'p(y,x) > infx€V> | у3 - Xj |= = 1 У) ~ zj l> 0.

что опять противоречит условию смежности V . Теорема доказана.

Для задачи ЦП тина (1) на минимум справедливо аналогичное утверждение.

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть W - некоторый дробный интервал мно-{}* = S2. Множество Q*/L называется L-накрытием.жества S2, a £(И/) - число смежных с Q дробных

Очевидно, что является внешним дробным интервалом.

В алгоритмах отсечения и ряде других методов решения задач ЦП, основанных на аппарате непрерывной оптимизации, в процессе решения задачи (1) из П должны быть исключены все точки множества Г2„ . В алгоритмах отсечения это обычно делается с помощью дополнительных .; I и н е й н ы х о г р ад и ч с н и й.

2. Свойства А-структуры.

Пусть X С Нп и V - некоторый Ь-класс в Я" //,. Класс V называется смежным с X , если X П V = 0 и р{Х, V) = 0, где р - некоторая метрика в Н" . Если р(Х, V) > 0, то V называется несмежным. Далее для определенности будем полагать, что р - евклидова метрика.

Теорема 1. Пусть - замкнутое, ограниченное множество в Я" , z* — 1схтах Й и Й, =0. Тогда число смежных с £1 классов V £ Нп/Ь таких, что V У г" , равно п.

Л,оказательство. Рассмотрим следующие Л-класс.ы VI:

Ь~классов, которые неотделимы от IV целыми точками из П. Положим

0, если О П = 0;

1, если П П ф 0 и IV - внешний интервал,

2, если И7 — внутренний интервал.

Для замкнутого, ограниченного множества и £ Яп в [4] получена следующая оценка

f(W) <ап + 2(71 - I) | W/L j

(2)

В данной работе получена аналогичная оценка при дополнительном условии выпуклости П. Пусть

/3 =

2п - 2, если либо IV = 0, либо ( И///, | = и УЧ — внутренний интервал;

1, если | Ш/Ь |= 1, О Г) ф 0

и IV — внешний интервал

2, в противном случае.

14

хг

, .■-, Хк-У

"fe-H

< Хк <

zl + 1 }>к= 1 ,-..,п. Пет|)удно проверить, что любой Z,-класс Vf, является смежным с П и 14 у z*. Покажем,

Теорема 2. Пусть О - замкнутое, ограниченное, выпуклое множество в К" , тогда

ЦШ) < 2(п - 2) | Ш/Ь | -а(п - 2) + /? .

Доказательство этой теоремы основано на рассмотрении множества ¿-классов, используемых при выводе оценки (2), и исключении из него несмежных Л-классов.

Устойчивость L-структуры задач целочисленного еыпуклого программировамия

Отметим, что полученные свойства /^-структур не зависят от выбранной метрики.

3. Анализ устойчивости.

Полученные свойства L-структуры задачи (1) можно применить для анализа ее устойчивости. В настоящем параграфе мы рассмотрим, каким образом меняется ¿-структура задачи (1) при достаточно малых изменениях релаксационного множества il.

Пусть £ - любое положительное число. Множество

= {ж : < е)

называется е-расишрснием il. Теперь определим е-расширение для любого дробного интервала W. 'Гак как Ü замкнутое, ограниченное множество, то существует е > 0 такое, что О,(в )ПZ" = f}DZn . Для е 6 (0, е) положим

W(e) — {х £ 0(e): х неотделима от W целой точкой из S1}.

При таком определении W(e) также будет дробным интервалом в Q(e) и W С W{e).

Пусть K{i1) - множество несмежных с Q дробных L-классов и /i(f2) = infveK(n)p{V, fi). Так как Q замкнутое, ограниченпое множество, то ß(ü) > 0.

Теорема 3. Пусть Q - замкнутое, ограниченное, выпуклое множество в Rn , W - некоторый дробный интервал из О. Тогда для любого £ е (0, min(p.(£l), £ )) и произвольного S такого, что W С S С W(e), имеет место соотношение

j W/L |<| S/L |< (2п - 3) | W/L | -а(п - 2) + ß.

Доказательство. Для произвольного множества S, удовлетворяющего условию W С SC W(e), имеют место оценки:

\W/L\<\S/L\<\W(e)/L\.

Рассмотрим £-окрестность произвольного интервала W , е £ (0, min(fi(Q), е')) ■ Так как £ < /i(ß), то фактор-множество W(e)/L содержит ¿-классы из W/L и смежные с О классы, неотделимые от W точками из il. Поэтому

\W(e)/L\ = \W/L\+S(W).

Используя оценку для £,{W), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.

Условия, наложенные на множество Q , являются существенными. Нами построены примеры, когда при их нарушении мощность дробного L-интервала при малых расширениях релаксационного множества может увеличиваться сильнее, чем в указанной теореме.

Следствие 1. Пусть О - замкнутое, ограниченное, выпуклое множество в Ип. Тогда для любого е £ (0, тгп(ц(£1), £ )) и произвольного множества Т2 , удовлетворяющего условию $2 С О С Г2(е), имеет место соотношение

| П./1, |<| |< (2п — 3) 1 I -0.(71-2) + ,^,

где а принимает только значения 0 или 1.

Утверждение следует из того, что дробное накрытие является внешним интервалом.

Из следствия 1 вытекает, например, что для новой задачи ЦП, полученной путем достаточно малого расширения релаксационного множества, верхняя оценка числа итераций двойственных дробных алгоритмов с ¿-регулярными отсечениями может возрасти, однако этот рост, как функция от п. Будет линейным.

Представляет интерес получение оценок величины £ для различных классов задач ЦП, и частности, для задач целочисленного линейного программирования.

Работа выполнена при частичной поддержке: РФФИ, проект N 97-01-00771 и ШТА8, проект 96-820.

[1] Колоколов A.A. Регулярные разбиения и отсечения в целочисленном программировании//Сиб. журнал исследования операций. - 1994. о 2. - С. 18-39.

[2] Девятерикова М.В., Колоколов A.A. Об устойчивости дробных накрытий задач целочисленного программирования // Проблемы оптимизации и экономические приложения: Мсждунар. конф.: Тез. докл. - Омск, 1997. - С. 59-61.

[3] Kolokolov A.A., Devyaterikova M.V. On stability of L-structure of integer programming problems. International Conference on Operations Research, Abstracts. Zurich, 1998. - P. 52-53.

[4] Колоколов A.A., Девятерикова M.B. Регулярные разбиения и устойчивость задач целочисленного программирования// Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования, о 8. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. - С. 161-162.

[5] Леонтьев В.К., Гордеев Э.Н. Качественное исследование траекторных задач// Кибернетика. - 1986. - о 5. - С. 82-89, 105.

[6] Сергиенко И.В., Козсрацкая Л.Н., Лебедева Т. Г Исследование устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач. -Киев: Наукова думка, 1995. - 170 с.