Сравнение алгоритмов одного класса вполне регулярных процессов отсечения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ОДНОГО КЛАССА ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОЦЕССОВ ОТСЕЧЕНИЯ

А.Л. Евстифеева

In this paper, we pose and discuss a number of questions about the cutting planes algorithm for trying to solve integer programming problems.

1. Введение

Пусть Rn - n-мерное вещественное пространство, Zn - множество его целочисленных точек (векторов). Задача целочисленного программирования (ЦП) может быть сформулирована следующим образом:

/(ж) —у max, (rn

ж G М С R11, (1,2)

ж G УД (1.3)

то есть нужно найти ж, максимизирующий /(ж), при условии, что ж целочисленный.

Сложность решения задач ЦП существенно определяется свойствами целевой функции (1.1) и допустимой области (1.2)-(1.3). Наиболее изученными являются задачи целочисленного линейного программирования (ЦЛП), у которых функция (1.1) линейна, а М задается конечной системой линейных уравнений и неравенств.

Нас интересует задача ЦП в лексикографической постановке. Отношение лексикографического порядка введем с помощью функции :

у(ж,у) = гшп|г | ж i ф уг, г = 1,...,п|, ж, у £ Rn, ж фу- номер первой координаты различия точек ж и у.

0 1999 А.Л. Евстифеева

E-mail: siman@univer.omsk.su Омский государственный университет

Определение . Вектор х лексикографически больше (меньше) вектора у, х У у (х -Д у), если х ф у и хш > уш (хш < уш) для ш = г](ж, у).

Без ограничения общности, задачу ЦП в лексикографической постановке определим как задачу поиска:

Существующие подходы к решению задач ЦП достаточно разнообразны. К ним относятся метод отсечения, метод ветвей и границ, динамическое программирование и др. Принцип метода отсечения заключается в том, что допустимая область дискретной задачи погружается в некоторое выпуклое множество, которое последовательно «обрезается» с помощью вводимых линейных ограничений (отсечений) до получения непрерывной задачи с необходимыми свойствами.

Методы отсечения различаются между собой выбором релаксационного множества и способом построения ограничений [8]. В данной работе будут рассматриваться линейные отсечения, которые строятся на основе й-разбиений пространства Rn.

2. Регулярные отсечения и алгоритмы

Будем предполагать, что существует ж = 1ехтах(0),ж ^ Zn.

Определение . Линейное неравенство (у, х) < у0 называется отсечением (для задачи (1.4)), если (у, ж) > у0 и (у, z) < у0 для всех ж £ О П Zn.

Замечание . Линейное неравенство (у, ж) < у0 определяется своими коэффициентами уг-,г = 1,. . ., га, у0, , поэтому будем ассоциировать его с вектором

Через А обозначим процесс отсечения (без отбрасывания неравенств) для решения задачи (1.4), использующий на каждом шаге конечную совокупность отсечений G. Подробнее этот процесс выглядит так :

Шаг 0. Полагаем О1 = О. к-я итерация.

Шаг 1. Находим хк = lexmaxOfc. Если хк £ Zn или Qk = 0, то процесс завершается. В первом случае получено оптимальное решение задачи (1.4), во втором - решения нет.

Шаг 2. Выбираем конечную совокупность неравенств Gxk. Полагаем 0fc+1 =

ходим к [к + 1 )-й итерации (на шаг 1).

Будем говорить, что процесс А решает задачу (1.4), если он за конечное число итераций либо находит ж*, либо устанавливает отсутствие допустимых решений.

1ехтах(0 П Zn), О С Rn ■

(1.4)

7 = (70.71. £ Д“+1

Увеличиваем fc на 1 и пере-

Определение . Точки ж, у £ Rn будем называть L-эквнвалентными, если не существует такой z £ что либо х У z У у, либо х У z У у.

Е-эквивалентность является отношением эквивалентности. Порождаемое им фактор - пространство Rn/L называется Е-разбиением пространства Rn, а его элементы - Е-классами. Е-разбиение пространства естественным образом индуцирует Е-разбиение произвольного множества S С Rn, которое обозначим S/L.

Отметим некоторые свойства Е-разбиения[2]:

1) Всякая целочисленная точка образует отдельный Е-класс; остальные Е-классы состоят только из нецелочисленных точек и называются дробными.

2) Если V £ Rn/L - дробный Е-класс, то существуют такие г £ {1,. . . , п} и о, £ Z,j = 1,. . . ,г, что

V = | ж £ Rn | х j = aj, j = 1,. . . , г — 1, ar < xr < ar + 1 j.

3) Если S C ограничено, то S/L - конечно.

4) Е-разбиение согласовано с лексикографическим порядком в том смысле, что если Vi, V2 £ Rn/L и ж1 У у1 для некоторых ж1 £ Vi, у1 £ V2, то ж У у для всех ж £ Vi, у £ У2 •

Особый интерес в задаче (Е4) представляет множество:

О* = |ж £ 0|ж У z,\/z £ ОП j,

называемое дробным накрытием задачи (Е4). Оно в некотором смысле характеризует «расстояние» между непрерывным и целочисленным оптимумами задачи (Е4). Фактор-множество О*/Е будем называть L-накрытием задачи (Е4).

Определение . Отсечение 7 называется регулярным, если (7, ж) > 70 для всех ж £ Т4(П), гДе Vjg(fi) - Е-класс множества О, содержащий точку ж.

Двойственные дробные процессы отсечения (см. [3]), использующие на каждой итерации регулярные отсечения, называются регулярными.

Свойства Е-разбиений позволяют получать в терминах Е-классов оценки числа итераций регулярных процессов. Для этого введем определение.

Определение . Глубиной Н(7,0) отсечения 7 (относительно задачи (1.4)) называется количество полностью исключаемых им элементов Е-накрытия.

Теорема 2.1. [4] Пусть для всех отсечений 7 регулярного процесса выполня-

ется неравенство Н(7, ОД < h, где О* - множество, полученное uat-й итерации. Тогда число итераций этого процесса заключено между числами ^|0*/Е| и |0*/Е|. ■

Отметим, что приведенное выше свойство Р-разбиения под номером 3) обеспечивает конечность регулярных процессов при ограниченном О*. Нужно сказать, что получение нетривиальной верхней оценки для глубин отсечений является достаточно трудной задачей. Одним из классов отсечений, для которых такая оценка построена, является класс Р-отсечений [3], содержащий в себе вполне регулярные отсечения .

Р-отсечения определяются следующим образом . Пусть задан параллелепипед

где a,j,bj £ Р, j = 1, ...,га. Рассмотрим класс задач (1.4), удовлетворяющих условиям : О С Р, ж = lexmaxO, ж ф Zn.

Определение . Регулярное отсечение у называется Р-отсеченнем, если (7, z) < у0 для всех таких г £ РП что z Р ж. Соответствующие процессы отсечения называются Р-процессами .

Теорема 2.2. [3] Пусть О С Р, у - Р-отсечение .Тогда Я"(у,0*) < п. Ш

Определение . Р-отсечение у называется вполне регулярным отсечением (относительно точки ж и параллелепипеда Р ), если (у, ж) > у0 для всех ж £ 14(Р), ГДе Ух(Р) ~ P-класс параллелепипеда Р, содержащий точку ж. Соответствующие процессы отсечения назовем вполне регулярными. Класс вполне регулярных отсечений будем обозначать через У(ж,Р).

Условие, сформулированное в данном определении, обеспечивает определенную «силу» вполне регулярных отсечений, ибо точка ж должна отсекаться вместе с некоторым непустым множеством (Р). В то же время, условие сохранения точек z £ Р П Zn, z -Д ж, напротив, делает отсечения класса У(ж,Р) «осторожными». На сегодня отсутствует конструктивное описание класса Р-отсечений. Для класса У (ж, Р) такое описание получено в [6].

Введем следующие обозначения :

(д(ж) = ппп|г|жг- ф |_жг_| , г = 1,. . . , raj, для ж ф Zn, - номер первой дробной координаты точки ж;

для ж £ P\Zn положим

J-(x,P) = \j\x3 = азЛ <3< <Р(Х) ~ if,

3. Сравнение вполне регулярных отсечений

Jr(ж,Р) = [з с Jr(x,P)\j > А;},

Пусть О С Р, и существует ж = lexmaxO, ж ^ У”.

Теорема 3.1. [6] Отсечение (7, ж) < 70 является вполне регулярным (от-

носительно точки х и параллелепипеда Р ) тогда и только тогда, когда его коэффициенты удовлетворяют условиям :

1) 4<рР) ^ О;

2) 7^ = 0 для всех к > <р(х);

3)

Ik Р 'У ] 7i(^i — Р?) + 'У ] Ъ{Ь] ~ Pj) + ЗтР) ~ ?

j£Jo(x,P) j£JkO,P)r/]>0

для всех к £ Jo(x, Р) U «/+(ж, Р);

4) 70 = (7, |Л_|), где [х\ = (|zij ,. . ., [хп\ ].

■

Пусть 7 - отсечение вида (7, ж) < 70. Положим

Qp(7) = |ж £ Р|(7,ж) < 7о| - множество точек параллелепипеда Р, сохраняемых отсечением 7.

Определение . Будем говорить, что отсечение 7’ не сильнее отсечения 7, если Qp(7) С <5р(7’)-

Из теоремы 3.1 следует, что для всякого вполне регулярного отсечения выбор коэффициентов 7^ при к £ J_(ж, Р) произволен. Выделим в Л(ж, Р) подкласс

Р(ж,Р) = {7 £ S(7,P)|7fc > О, Р £ 7_(ж,Р)|.

Лемма 3.1. [7] Для всякого 7 £ Л(ж, Р) существует такое 7’ £ Р(ж,Р);

что 7 не сильнее, чем 7’. ■

Определение . Отсечения 7,7’ £ Р(ж,Р) назовем ^-эквивалентными, если 7fc = %, при к £ 7_(ж, Р) U 70(ж, Р).

Это отношение является отношением эквивалентности и, следовательно, порождает фактор-множество Р(ж,Р)/ф В каждом классе эквивалентности выделим по одному представителю 7* определенному условием

lk= Y - Xj) + 7ф)(Кр) - [хду\), при k £ J+. (3.1)

зеДиР

Легко доказать, что любое отсечение из элемента фактор-множества U(x,P)/( не сильнее соответствующего отсечения 7* . Объединим эти «самые сильные» отсечения в самостоятельный подкласс, который обозначим через U*(x,P) . Отметим для ясности, что 7 £ Р*(ж,Р) тогда и только тогда, когда 7 £ Р(ж,Р) и удовлетворяет условию (3.1). Очевидна следующая теорема

Теорема 3.2. [7] Для любого 7 £ Л(ж,Р) существует такое 7’ £ Р*(ж,Р) ;

что 7 не сильнее, чем 7’. ■

4. Сравнение вполне регулярных процессов, основанных на отсечениях классов U(x,P) и U*(x,P)

Пусть Г(ж,Р) - отсечения (7, ж — |_ж_|) < 0, коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям:

1. 7^ = 0 при k £ J-(x, Р);

2.

7к = ^2 7j(bj ~ Xj) + Дф)(Ъф) - для всех к £ J0(x,P);

зехфдр)

7к> ^2 “ хз) + Ъ(х) (Ко ~ 1_ЖЧП_|) ’ 4ЛЯ всех ^ G Mxi ^)-

Пусть вполне регулярный процесс А (для решения задачи (1.4)) использует на каждом г-ом шаге некоторое отсечение из совокупности вполне регулярных отсечений Г(ж*,Р) класса £7(ж,Р)/£, где ж* = lexmaxO*.

Через А* обозначим вполне регулярный процесс, использующий на каждом шаге отсечение у*(ж\Р) из класса П*(ж,Р), коэффициенты которого удовлетворяют условиям:

1. = 0 при k £ J_(х\ Р);

2.

зеЛ(р,р)

7* = V 7j (bJ “ ж}) + МА)[К(А) ~ xUp) ) ’ для всех G J°(x\ Р)

3.

7fc = 2^ 7j (bJ “ ж}) + MA)[K(A) - xUp) ) ’ для Bcex k G

зеЛ(р,р)

Ясно, что отсечение д*(х\Р) отличается от (3.1) наличием условия 2. Выясним, как выглядят коэффициенты отсечения 7*(жг, Р).

Пусть класс Jo(x\ Р) содержит р индексов, т.е. Jo(x\ Р) = {щ,. . . фр}. Тогда, полагая 7*^7 = 1, из 2. получим

% = К(р) - Км

ъ*Р-1 = PSK ~ xV + ъа-') -

'Ах')

= ь,

С(хг)

уДх1)

(b3p ~ ж}р + !)

Ъ„-2 = ~ Х1-г) + lUK ~ Х)Р) + ЪФА ~

УЧ>{Х')

= ь,

Мж9

'4>{х')

) ((Ь3Р ~ х)р + 1)(Ь3Р-1 - Х)р-г) + Ь3р ~ х)р + Х) -

= ь.

}Дхг)

сДх1)

)(ЬзР - х)р + 1)(ЬзР-1 - ж}р_! + !) -

= ъ,

VP9

'Ах')

П (h — х] + 1).

ief0p~2

Продолжая аналогичные выкладки для каждого г = 3,.

чим, что в общем случае при k £ Jq(x\ Р);

7 к \Ь<р(хг)

'т(х')

П (h ~ х\ + !)•

• ,Р - 1, полу-(4.1)

ге-^о

Рассмотрим условие 3: Пусть к £ 7+(жг, Р). Если к > jp} то

7 к Ъдх1)

'т(х')

если jp_i < к < jp} то

7fc = 7jp(bjp ~ х) ) + -

'v(x')

= ъ,

}Дхг)

'4>(х')

К - х)р + !)

В общем случае если ф_i < к < ji} г = 2,. . . ,р — 1, то

7fc уЭДх1)

ут(х')

П''

l-Xi

+ !)•

(4.2)

ie-p

Теперь можно сказать, что вполне регулярный процесс А* использует отсечение 7*(ж\Р) из класса Р*(ж,Р), коэффициенты которого удовлетворяют условиям:

1- It

2.

О при к £ J_(ж®, Р);

) П (bi - х\ + 1) при к £ Jq(x\ Р);

7 к

= Ь.

VP9

3.

*

7fc

р(хг)

X

i

ср(хг)

) П {ь1 - х\ + 1) ПРИ к £ J+(х\ Р).

Очевидно следующее предложение.

Предложение 4.1. Любое отсечение 7 из Г(жг, Р) не сильнее, чем 7*(жг, Р).

■

Ранее в работах [1, 5] были найдены наискорейшие по числу итераций вполне регулярные алгоритмы для задач булева программирования, а также в работе [7] были найдены наискорейшие вполне регулярные алгоритмы для решения задачи (1.4), использующие на каждой итерации некоторую конечную вполне регулярную совокупность неравенств. В данной же работе рассматриваются алгоритмы, использующие на каждой итерации лишь по одному отсечению из Г(ж, Р), и доказывается, что из всех таких алгоритмов наискорейшим по числу итераций является алгоритм, основанный на отсечении 7*. Для этого воспользуемся леммой.

Лемма 4.1. Пусть и, v не являются Ь-эквивалентными и и v. Если 7*(v,P) отсекает точку и, тод*(г,Р) не сильнее, че.мд*(и,Р). Доказательство. Так как точка и отсекается 7*(с,Р), то r/(u,v) < <p(v). Действительно, если r/(u,v) > <p(v), то точки и иг P-эквивалентны, а если T)(u,v) = <p(v), то uv(v) < , а это значит, что

(7*(г,Р),и) - 7*(г,Р) = Y 7*(ui~vi)+ Y n(u^-Vi) + -f*v{v)(uv{v)-

i£Jo(v,P) iEJ+(v,P)

— |rv7)_| j E 0, т. e. точка и сохраняется отсечением 7*(v,P).

Очевидно, что r/(u,v) ^ J_(c,P).

Пусть r/(u,v) G J0(v,P) U J+(v,P) и < —1. Тогда, используя

формулы (4.1),(4.2), получаем

+

(7*(г,Р),и) - 7*(г,Р) = Y n{Ut-Vi)+rn(u,v){Uv(u,v)-Vv{U)V)) +

Y ~ Vt) + Mv)(utC) - v'Ap) = (Ко - Ko)j) П (bl~

ieJo{u,v)

^Н"1)(^1)(и,») P'q(u,v)) (^ip(v) |_^V(-u)J ^ ^ (^4 Pl6~^-)(Pi Pi)~\~

герМШ1М,г<Ду) ItP

pP^(v) (^4 Pi 1)( 1) T p(v) |ТсДг;)_|^ ^

ieE(u’v)

(hi Piт 1 )(bi Pi)тIthoJ ^

E

Cu’v)u.Jl{u ,v) A<

( E

геП(и’у)и jf11’

Д (bi - Vi + l)(bt - Vi) + 1 - Д (Ь; - щ + 1) j = 0.

I

leJ,

ri(u,p)

Равенство нулю имеет место в силу следующих выкладок.

Пусть J^{u’v) = {ji,. . . ,jp}. Тогда

X/ ]^[(Ь/-г;+1)(Ьг-щ) + 1 = bjp-Vjp + l + (bjp-Vjp+l)(bjp_1-Vjp_1) +

ieJZ{u’v)uJ^u’v) ,i<v(v) 'eJo

+ (bjP ~ vjp + l)(&jp-i - vjp-i + ^)(bjp-2 - Vjp_2) + ... + (bjp - vJp + 1 )(bJp_1 - v]p_t + 1) x x ... x (bjз — Vj3 + l)(6j2 — Uj2 + 1 ){bJ1 — v3l) = (bjp — vJp + 1)(Ь^_! — ^jp_! + 1 + rJp_1 + l)(6Jp_2—rJp_2) + .. .+(bJp_1— + Ujp_2 + 1) • • • (bj3—Vj3 + l)x

xibj2 ~ VJ2 + l)(bn - vn)) = Ц(Ь, ~Vl +

IEJq

Итак, точка u сохраняется отсечением 7* (с, Р), что противоречит условию леммы. Отсюда следует, что иди^ — > — 1.

Так как - целое, то иди^ - дробное. Значит, ц(и, v) = <p(u) < <p(v) и,

следовательно:

<p(u) G Jo(v, P) u J+(v, P);

J ^rj(u,v) 1 5

ТУУ.РЩ ЛД.Р);

Jt\v.P) = J0(u.Py.

J?U\v,P) = J+(u,P).

Остается показать, что если некоторая точка х £ Р отсекается неравенством 7*(с, Р), то она отсекается и неравенством у*(u, Р).

О < (7*(с,Р),ж)-7*(с,Р) = 7j(®j - Vj) + %{и)(хди) ~ V«)) +

jeJ0v’(“)(^,P)uJ^(“)

+ ^ ] 1j{xj ~ vj) T xip(v) ~ IthoJ (bip{v) ~ iTvloJ) ^

j€J0v(u)UJ^"),j<VH

X! n(b/-^ + 1)(®J-rJ) + (bv7)- |_IV(„)J) П (bi-vi + 1)(xv(u)-vv(u)) +

jeJ£{u)uJ${u) ieJJ0 ieJ£(u)

Э- £ 1 Э- + ) Yl{bi-vi + i)ix3-vi) \ P p(v)

jEJo{u)o.J^u) ,j<ip{v) leJZ

\b(p(v) |т<р(г>)] j (bl~ Vl-\-l)(bv(u) — vip(u) + 1) У ] JJ (bi-vi + l)x

yjfu) jeJ^u)uJ^u) ie4rJ^u)

X (xj Vj)xip(u) p(u)) T ^ ^ i.bl Щ + 1) X

j€JX{u)UJ*M,j«p{v)l€4

X (,Xj Vj) Т Х^^Д ^ V[ T 1) ^ ^bcp(u) |_^с£’(г|)_1 ^ X

iejfu)

x ^2 Д (bi - vi + l)(xj - + х,ди) - [иди)\ - l) +

jeJp{u)uJp{u) 1е.Р0г.Тфи)

“Ь (Ъ'-рО ~ ItHoJ) У ] 11 {bi ~ vi Т 1)(xj ~ vj) “1“ Xip(v) ~ IthoJ

3E.C(u)u.J^\j<v(v) 1еф

= (K(v) ~ lVv(v)\) П (bl-Vl + 1)(b*(U,P),X)-l*(U,P)-1) + ieJp(u)

+ (Ъ'-рО ~ ItHoJ) У у — vi A 1 ){xj ~ vj) + Xip(v) ~ ItHoJ ^ 0-

j€J0v(u)uJl(u)v«AC ^4

Следовательно,

b*(u,P),x) ~ ъ{и,Р) > i - ((bv(„) - Koj) П^-^ + 1)х

x(xj ~ vj) “i- x<p(v) — IthoJ) (^iy^o ~ IrnoJ) П (bi ~ vi p i)^ >

iejfu)

> 1 — (^(у<сО ~ ItHoJ) У у — vi A l)(^j ~ vj) A bip(v)~

je-C{u)u /eJ0J

“ K(oj) ((Xo)“Ko)j) П (bi-vi+i)) =1“( S Uto-V'+Dx

ieJ^u) 3eJ^u)иД<“>,j<vH /eJ0J

x - vi) + i) ( П {bi~vi + 1)) =1-1 = 0,

lEjfu)

так как по доказанному ранее

X! П(Ьг - г>г + i)(bj - Uj) + 1 = Ц (6/- гу + 1).

j€J0v(u)uJT(u),j<vHieJg' ieJo(u)

Лемма 4.2. Пусть X = {Tfc}jj.=1 - последовательность, порождаемая процессом А*, у £ Р - нецелочисленная точка и у У хр для некоторого р £ {1,. . . , t — 1}. Тогда любое отсечение у ыз Г(у,Р) отсекает не более одной точки хк, к > р.

Доказательство. От противного. Предположим, что отсечение у из Г(у, Р) отсекло точки ж9 и жг, р < q < г. По теореме 4.1 у не сильнее, чем у*(у,Р), значит у*(у,Р) отсекает точки ж9 и жг. Так как ж9 и жр не являются Р-эквивалентными и так как у >>- жр >>- ж9, то у и ж9 так же не являются L-эквивалентными. Тогда по лемме 4.1 7*(у, Р) не сильнее 7*(ж9, Р), но из условия теоремы мы знаем, что 7*(ж9, Р) не отсекает точку жг. Противоречие. ■

Теорема 4.2. Пусть О С Р. Для решения задачи (1-4) процессом А* потребуется итераций не больше, чем процессом А.

Доказательство. Действительно, отсечение, построенное по любой точке у, порожденной процессом А, отсекает, согласно леммы 4.2, не более одной точки последовательности X. Следовательно, процессу А потребуется итераций не меньше, чем процессу А*. Я

Литература

1. Заблоцкая О.А. О сравнении вполне регулярных алгоритмов отсечения // Управляемые системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. Вып.25. 1984. С.68-74.

2. Колоколов А.А. Регулярные отсечения при решении задач целочисленной оптимизации. II Управляемые системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. Вып.21. 1981. С.18-25.

3. Колоколов А.А. Методы дискретной оптимизации: Учебное пособие.

Омск: ОмГУ, 1984. 75 с.

4. Колоколов АХ.Метод оценочных разбиений в целочисленном программировании II Теория и программная реализация методов дискретной оптимизации. Киев: НК АН УССР, 1989. С.44-47.

5. Колоколов А.А. О наискорейшем алгоритме в одном классе регулярных процессов отсечения // Методы и программы решения оптимизационных задач на графах и сетях: Тез. докл. III Всесоюз. совещ. Ташкент - Новосибирск, 1984. 4.2 С.70.

6. Симанчев Р.Ю. О вполне регулярных отсечениях для задач целочисленной оптимизации II Управляемые системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. Вып.30. 1990. С.61-71.

7. Симанчев Р.Ю. Сравнение вполне регулярных отсечений и алгоритмов // Методы решения и анализа задач дискретной оптимизации: Сб. науч. тр. Омск: ОмГУ, 1992. С.108-122.

8. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. Москва: Мир, 1991. Т.1. 340 с.