Оценки мощности L-накрытий для задачи о ширине графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

удк з 19.8 С.д. ИВАНОВА

A.A. КОЛОКОЛОВ

ООО «Омсктелеком» Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН Омский государственный техтческий университет

ОЦЕНКИ МОЩНОСТИ L-НАКРЫТИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ О ШИРИНЕ ГРАФА_

В данной работе проводится анализ задачи о ширине графа на основе целочисленного программирования и L-разбиения. Для некоторых упорядочений перемешшх получена нижняя оценка мощности L-накрытия задачи. Показано, что при таких упорядочениях мощность L-накрытия экспоненциально зависит от ширины графа. Отсюда вытекает аналогичная оценка для прямоугольных решеточных графов в терминах их размерностей. Ил. 1. Библ. 11.

1. Введение

Задача о ширине графа формулируется следующим образом. Пусть й = (У,Е) — неориентированный граф, | V |= и . Нумерацией вершин графа й (далее нумерацией графа С? ) называется биекция <р: V {!,...,«} . Множество всех нумераций графа б обозначим через Ф(С?) . Длиной ребра \u,v) (и,уе V ) при нумерации 9 называется величина | <р(и)-<р(у) \. Наибольшая длина ребра называется шириной нумерации <Р и обозначается В((3,(р).

Задача состоит в отыскании нумерации <р', для которой значение В(С,<р') минимально. Величина В(С) = В{С,ф) называется шириной графа б , а (р — оптимальной нумерацией.

Рассматриваемая задача является Д>Р -трудной (10] и остается таковой для некоторых частных случаев. Так, например, задача ЫР -трудна для решеточных графов [5], а также для деревьев с максимальной степенью вершин, равной 3 [6]. Среди полиномиально разрешимых случаев можно отметить прямоугольные решетки [4], полные к -арные деревья [11], интервальные графы [9]. Обзор результатов по задаче о ширине графа, а также по другим задачам оптимальной нумерации можно найти в работах [1,3]. 2. Модель целочисленного линейного программирования Для задачи о ширине графа можно записать модель целочисленного линейного программирования (ЦАП) следующим образом [8]. Пусть

х = (хи>х12>-"'х[п>х21>хгг>-"'хгп>—'хп\>хпг'~-'хт) е Ч ' где

х« =

1, если i - я вершина имеет номер j, О, в противном случае,

i,j = I,..., и . Модель ЦАП имеет вид: у —» min

i>,^

4» I 4 = 1

п п

к* I

п

/-1 n

Z *// = !> ' = U~,H,

(v„Vj)eE

(1)

(2)

(3)

(4)

0<x0 <1, /,; = !,...,#», (5)

X0 eZ, ij = \,...,n. (6)

Положим, 8 — у' -у , где у' и у — оптимальные значения целевых функций для задач (1) — (6) и (1) — (5) соответственно. Пусть s = (у;х),

Теорема 1. Разрыв двойственности 5 для задачи (1) - (6) равен B(G).

Доказательство. Легко видеть, что у > 0 для любого допустимого решения задачи (1) — (5). Введем множество пар индексов:

tsT\ I ^ ^

Т= 1,3,5, ...,2

Сначала исследуем случай, когда и нечетно. Рассмотрим вектор Т, который задается следующим образом:

^,если (i, J) е /,,

2 2

1, если i = n,j =

и + 1

О, в противном случае,

_/ = 1,..., п. Покажем, что вектор У является допустимым решением задачи (1) — (5). Очевидно, 7 удовлетворяет условиям (3) — (5). Осталось показать, что выполнены неравенства (2). Для этого достаточно заметить, что

для любого / е [1, и] .В самом деле, при /' = п имеем

_ и+1

IX =

i =

и + 1

. Если же i <п, то

и + 1

ti 2 2t 2 ) 2 2 Таким образом, нецелочисленный вектор J является допустимым решением задачи (1) - (5), атак как у = 0, то это решение оптимально. Следовательно, 5 = у - у = B(G) - 0 = B(G). Мы доказали теорему для нечетного и .

Теперь рассмотрим случай, когда и четно. Построим J следующим образом: у - 0,

Ху = <

—, если (/, 7) е /,, 2 1

О, в противном случае,

I,] = 1,...,и . Далее рассуждения аналогичны доказательству в первом случае. Теорема доказана.

Отсюда вытекает, что для алгоритмов, основанных на использовании многогранника (2) — (5), решение задачи на графах, имеющих большую ширину, может оказаться достаточно трудоемким,

3. Ь-накрытия задач целочисленного программирования

Лексикографическая задача целочисленного программирования отличается от обычной тем, что в ней среди всех оптимальных решений задачи ищется лексикографически минимальное (в случае минимизации целевой функции).

Пусть М — выпуклое многогранное множество в К™ . Рассмотрим лексикографическую задачу ЦЛП следующего вида: найти лексикографически минимальную точку г* множества (М г\Ът) , т.е.

найти г = 1ехт\п{М п Ът). (7)

Если оптимальное решение этой задачи существует, то оно единственно. Множество М называется релаксационным множеством задачи (7).

Важную роль в исследовании этой задачи и алгоритмов ее решения играет дробное накрытие: М.={хеМ:х<г для всех ге(М п2")} . В алгоритмах отсечения и ряде других алгоритмов в процессе решения задачи из Л/обязательно должны быть исключены все точки дробного накрытия М,. В терминах дробных накрытий получены верхние и нижние оценки числа итераций для некоторых алгоритмов отсечения [2].

При анализе задач ЦЛП оказывается полезным подход, связанный с использованием специальных разбиений пространства К™ [2]. Наибольшее число результатов получено для Ь -разбиения, которое можно определить следующим образом. Точки х,у е И" (х >■ у ) называются Ь -эквивалентными, если не существует отделяющей их целой точки, т.е. г е Ът , для которой х > г £ у. Эквивалентные точки образуют классы Ь -разбиения или Ь -классы. Отметим одно из свойств Ь -разбиения: любой класс V е Кт/Ь , состоящий из нецелочисленных точек, можно представить в виде:

^ = =а1,...,хг_] = аг_,,а, <х, <аг+1},

где а1 — некоторые целые числа, ) = 1,..., г, Иг ^т .

В терминах Ь -разбиения изучается структура релаксационных множеств, описываются классы отсечений, разрабатываются алгоритмы, проводятся экспериментальные исследования [2].

Фактор-множество М,/Ь называется I -накрытием задачи (7). Оно играет важную роль в ее исследовании, поскольку его мощность — это «объем» дробного накрытия. Кроме того, мощность Ь -накрытия входит в оценки числа итераций для некоторых алгоритмов отсечения и перебора Ь -классов и существенно определяет сложность решения задачи данными алгоритмами.

4. Нижние оценки мощности Ь-накрытий

Перейдем к лексикографической постановке задачи (1) — (6). Релаксационное множество Л/ задачи задается ограничениями (2) — (5). Напомним, что 5 = (у; дс).

Введем множество М' = {.у е Я" : у > 0, х е М) и рассмотрим следующую лексикографическую постановку:

найти г* = 1ехтт(М'пГ'") • (8)

Очевидно, что в оптимальном решении задачи (1) — (6) целевая функция У может принимать только неотрицательные целые значения, поэтому тем же свойством будет обладать оптимальное решение лексикографической задачи.

Дробное накрытие задачи (8) имеет вид: М, = {л е М': 5 -< г для всех г е (Л/'пг"1+1)}. Построим нижнюю оценку мощности £ -накрытия этой задачи. Положим

В((3), если В(0) и п имеют одинаковую четность,

В((3) -1, в противном случае. Введем множества пар индексов:

1 (1 «.) [п-Ъ . п-Ь _ п + Ь Л + 1,—+ 2,...,—

(очевидно, числа п-Ь и п + Ь — четные),

70=({1,...,и}х{1,...,«})!(/, V/,).

Лемма 1. Если для некоторого ^ = е Л"1+1 выполнены следующие условия:

1. У = Ъ-\,

2. хч =0, (/,./) е/0,

3. . = 1/2,

4. х0 е{0,1}, (и)е/,.

4

5. ^ х. = 1 для всех} таких, что (/', у) е ,

1=1

н *ь

для всех 1 таких, что (/,у) е /, ,

то 5 е М'.

Доказательство. Пусть X = (х^) — их я матрица, соответствующая координатам вектора х • Она имеет вид, указанный на рисунке 1. Здесь А = (ау) — матрица размерности Ь х Ь , для которой выполнены условия:

■Л 4 а„ е {0,1}, 2></ =1, Xаи =1 . ¡,] = 1.....А

Очевидно, £ удовлетворяет ограничениям (3) — (5). Покажем, что выполняется условие (2). Положим

Ъ ¡ш] е {Ь + 1,Ь + 2.....и}},

Ег = Е\(Е1 и£2) , т.е. Е3 — множество ребер, соединяющих вершины из множества {у,,...,^} с вершинами из К+),у4+2,...,у„} . Очевидно, Е = Е1 и Ег и £3. 1) Для ребер из £, ограничение (2) выполнено. Действительно, в силу условий 4 и 6 среди элементов

> *12,"'»*!я>'*21' *22 ' •••'Х2п >'">*Ь2 ЕДИНИЦЫ

могут находиться только в подматрице л (т.е. в столбцах с номерами (л^ + 1)по ), поэтому для любого /е{1,...,А} имеем:

(9)

а так как у = 6-1, то для £, ограничение (2) можно записать в виде:

<

s

s

e

Eifi ей

£ £ tij^b-i

1Н» £±i

£ «л - £

(10)

В силу условий 4 и 6 получаем п-Ь .. л + 6

(id

п-Ь

+ 1 =6-1,

1

н— 2

и + 6 i'-l J w + 1

-+-+ 1 =-.

2 2 J 2

Подставляя (12) в (2), получаем 0 < 6-1 ■ 3) Осталось показать, что (2) выполняется для ребер из множества £3. Из (9), (11) и (12) получаем

< шах

и + 1 2

¿-1

£6-1

ь

г>+1

для всех |'е{1,..,6}, поэтому для любого ребра (у^у^еЕ, имеем

£ £

откуда следует (2).

2) Для ребер множества Е2 ограничение (2) тоже выполнено. Действительно, в силу условий 2 и 3 для любого < е {6 + 1,6 + 2,...,и} справедливо

Л _\(п-Ь /-1

Ь 2 2

1

i i

1 L

п l SI I 1 n

и Г 1 1 1 и

i 7 1 2

i 7 1 7

• •

•

• •

( v •

l 7 V ) 1 2

i j 1 I

1 7 1 2

1 7 7

п+Ь п+1 2|'.

для всех £3, откуда следует (2),

Таким образом, мы показали, что л е М'. Лемма доказана.

Теорема 2. | МИ Ь |> (В(С) -1)! Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор ^, удовлетворяющий условиям леммы 1. Так как 5 6 М' и у' = В((}) >Ь-\ = у, то 5 ■< г для любого 2 е (М' лГ +'),а значит, 5 е М'. . Первые пЪ +1 координат вектора 5 , включающие в том числе и все элементы подматрицы А , являются целочисленными. Из условий 4 — 6 леммы 1 вытекает, что в каждой строке и в каждом столбце этой матрицы содержится ровно по одной единице. Число таких матриц равно 6! Следовательно, существует не меньше 6! векторов, удовлетворяющих условиям леммы 1 и принадлежащих различным классам из ¿-накрытия задачи. Таким образом, | М'Л |> Ь1 > (В{С) -1)! Теорема доказана,

Нетрудно показать, что теорема остается справедливой при любом изменении порядка переменных, который приводит к перестановке столбцов матрицы X. В самом деле, для каждого такого порядка первые пЬ +1 координат соответствующего вектора л являются целочисленными, структура подматрицы А также не меняется (изменится только расположение ее столбцов). Следовательно, теорема остается верной. Аналогичные замечания можно сделать для переупорядочений, приводящих к перестановкам строк либо с номерами с 1 по 6 , либо с (6 +1) по и . Таким образом, существует не менее и!+ 6! +(и-6)! упорядочений переменных, для которых мощность ¿-накрытия задачи больше или равна (ВД-1)!.

Из теоремы 2 вытекает оценка для прямоугольных решеток. Граф называется решеточным, если множество его вершин — это подмножество г2 и две вершины смежны тогда и только тогда, когда евклидово расстояние между ними равно единице. Пусть р, ^ > 1, я — решеточный граф с множеством вершин {1,...,р}х{1,...,0}. Прямоугольная решетка

Рис. 1. Структура матрицы X

— граф, изоморфный графу Gpq для некоторых p,q > 1. Без ограничения общности можно считать, что р > q . В [4] была доказана следующая теорема: если р> 1, то B{Gp q) = q . С учетом данного результата из теоремы 2 вытекает следующая оценка для прямоугольной решетки: | Mi / L\>{q-1)!.

Из построенных оценок мощности ¿-накрытий вытекает, что решение задачи о ширине графа с помощью рассматриваемой модели ЦАП, алгоритмов перебора ¿-классов и алгоритмов с вполне регулярными отсечениями [2] может привести к большому числу итераций. Поэтому представляет интерес дальнейшее исследование свойств модели при различных упорядочениях переменных, построение новых моделей ЦАП, а также разработка и анализ других методов решения задачи.

Библиографический список

1. Иорданский М.А. Оптимальные нумерации вершин графов // Мат. вопросы кибернетики. Вып. 10: Сб. статей / подред. О.Б. Лупанова. - М.: Физматлит, 2001. - С. 83- 102.

2. Колоколов А,А. Регулярные разбиения и отсечения d целочисленном программировании // Сиб. журнал исследования операций.-1994.-N 2.-С. 18-39.

3. Chinn P.Z., Chv?talov? J„ Dewdney A.K., Gibbs N.E. The bandwidth problem for graphs and matrices — a survey // Journal of Graph Theory. - 1982. - V. 6. - P. 223-254.

4. Chv? talov? J. Optimal labelling of a product of two paths // Discrete mathematics. -1975. - V. 11. - P. 249 - 253.

5. D?az J., Penrose M.D., Petit J., Serna M.J. Approximating layout problems on random geometric graphs // Journal of Algorithms. - 2001. - V. 39. - N 1. - P. 78- 116.

6. Garey M.R., Graham R.L., Johnson D.S., Knuth D.E. Complexity results for bandwidth minimization // SLAM J. Appl. Math. -1978. - V. 34. - P. 477-495.

7. IvanovaS.D. A polynomial time solvable case of bandwidth minimization problem on lattice graphs // Discrete Optimization Methods in Production and Logistics: 2nd International Workshop; proceedings. Omsk: Nasledie Dialog-Sibir Pbs. -2004.-C. 169 - 175.

8. Lam P.C.B., Shiu W.C., Lin Y.X. Duality in the bandwidth problem// Congressus Numerantium. - 1997. - V. 124. - P. 117-127.

9. Muradyan D.O. A polynomial algorithm for finding the bandwidth of interval graphs // Akademia Nauk Armyanskol SSR. Doklady 82. -1986 - V 2. - P. 64-66.

10. Papadimitriou Ch.H. The NP-completeness of the bandwidth minimization problem // Computing.- 1976.-V. 16.-P. 263-270.

11. Smithline L Bandwidth of the complete —ary tree // Discrete Mathematics. -1995.-V. 142.-N. 1-3. - P. 203-212.

КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, д.ф.-м.н., профессор, зав. лабораторией Омского филиала Ин-

ститута математики СО РАН, профессор кафедры «Прикладная математика и информационные системы» ОмГТУ.

ИВАНОВА Светлана Диадоровна, инженер-программист ООО «Омсктелеком».

Дата поступления статьи в редакцию: 27.03.2006 г. © Колоколов A.A., Иванова С.Д.

УДК «"53.3 Н.Б. ШАМРАЙ

Омский государственный технический университет

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННО-ПОДОБНЫХ НЕРАВЕНСТВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТРАНСПОРТНОГО ЦЕНОВОГО РАВНОВЕСИЯ1_

Описывается задача транспортного ценового равновесия, которая состоит в огредепении объемов производства, потребления и распределении товарных потоков по коммуникациям данной сети так, чтобы рассматриваемая экономическая система находилась в состоянии равновесия. Для решения задачи транспортного равновесия предлагается построить вариациомю-подобное неравенство и применить метод лошиыых выпуклых мажорант. На модельном примере проведены численные эксперименты.

Введение

Несмотря на богатую историю, исследование транспортных задач остается весьма актуальным ввиду продолжающейся глобализации экономики, развития коммуникационных технологий, возникновения новых рынков и товаров. К транспортным задачам на сетях можно отнести проблемы, возникающие в технико-экономических системах, представляющих собой сетевые структуры (транспортные, финансовые, энергетические, трубопроводные, информационные и т.д.). Математическая постановка таких задач содержит описание рынков производства и потребления, транспортной сети, определяющей пространственное расположение и связность объектов сети, а также описание схем предоставления транспортных услуг.

Выделяют два подхода к исследованию транспортных задач на сетях. Первый подход основан на построении оптимизационной задачи и поиске экстремального решения (см., например, [1] и ссылки там). Второй — на составлении условий равновесия и определении значений показателей экономической системы, удовлетворяющих этим условиям (см., например, [2] и ссылки там). В последнее время наиболее популярным и развивающимся является второй подход.

В данной работе рассматривается задача поиска транспортного ценового равновесия в экономической системе производства и потребления некоторого то-

вара. Потребители размещены в удаленных от производителя пунктах, поэтому возникает проблема выбора способа доставки товара от производителя к потребителю. Стоимость поставки для потребителя определяется суммой затрат производителя и транспортных расходов. Объемы производства и потребления, в общем случае, не являются фиксированными, следовательно, меняются и объемы перевозок. Поскольку стоимости производства, транспортировки и потребления зависят от соответствующих объемов, то возникает достаточно запутанная ситуация, которую в рамках математического моделирования можно описать с помощью вариационно-подобного неравенства. В статье описан метод решения такого неравенства и показана работа алгоритма на примере решения задачи транспортного ценового равновесия.

Задача транспортного ценового равновесия

Рассмотрим экономический регион, в котором имеются рынки производства и потребления некоторого товара и транспортная сеть, по которой товар поступает от производителя к потребителю. Ценообразование на рынках зависит от объемов товара, а именно, стоимость товара у производителя и потребителя зависят от объемов производства и потребления в данной экономической системе. На стоимость товара также влияют и расходы при его транспортировке, которые зависят от загрузки товарными потоками всей транс-

'Работа выполнена во время прохождения стажировки в ИАПУ ДВО РАН по программе № 14 фундаментальных исследований Президиума РАН раздел!! «Высокопроизводительные вычисления и многопроцессорные системы».