CC BY
20УДК 625.7
С.А. Теплое, П.В. Гончаров
АНАЛИЗ УСЛОВИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ РАСЧЕТА ГРУНТОВ ПО СДВИГУ ЧАСТЬ 2 КРИТЕРИЙ ДРУКЕРА-ПРАГЕРА И ЕГО ПАРАМЕТРЫ
Выполнен анализ условия пластичности Друкера-Прагера и определены его достоинства и недостатки. Произведено сравнение предельных поверхностей этого критерия и условия Кулона - Мора, благодаря чему определена область применения уравнения предельного состояния критерия пластичности Друкера-Прагера. Приведены формулы определяющие связь параметров грунта критериев Друкера-Прагера и Кулона-Мора.
Ключевые слова: грунт, земляное полотно, условие пластичности.
В первой части статьи показана необходимость замены критерия Кулона-Мора другим более жестким условием пластичности, для реализации которой поставлена задача анализа таких критериев. Аналогичные задачи поставлены в работах [1-5], что подтверждает правильность выводов, сделанных авторами.
Уравнение предельного состояния условия Друкера-Прагера имеет вид [6]:
а • I — k = 0 или — а • I — k = 0, (1)
где а и k - параметры грунта или материала; I1 и J2 - первый и второй инварианты тензора и де-виатора напряжений соответственно, Па и Па2.
Отметим, что критерий (1) в обоих случаях записан для трехосного сжатия, но при различном правиле знаков. В первом уравнении напряжения сжатия считаются отрицательными [6], а во втором наоборот положительными [2, 7, 8]. Параметры материала в критерии Друкера-Прагера связаны с углом внутреннего трения ф и сцеплением с, вследствие чего определяются по формулам:
2 • sin ф , 6 • c • cos ф
a = ^-1-; k = ^-1— . (2)
V3-(3 ± Sin ф) V3 •(3 ± Sin ф)
При определении параметров материала а и k знак «-» принимается, когда конус Друкера-Прагера описывает пирамиду Кулона-Мора, касаясь углов сжатия [9], а также при испытаниях на сжатие [7], а знак «+» - когда конус Друкера-Прагера вписывается в пирамиду Кулона-Мора, касаясь углов растяжения [9] и при опытах на растяжение [7]. В работах [10-12] показано, что при трехосном сжатии и соотношении напряжений ст1>ст2=ст3, а так же аппроксимации параметров а и k, путем описывания конусом Друкера примиды Мора, уравнение (1) принимает вид:
1 , ч 2 • sin ф / „ ч 6 • c • cos ф
• (а, — а) — —¡=-1--(а, + 2 • а) — —¡=-1— = 0. (3)
л/3 ( 1 3) л/3 (3 — sinф) ( 1 3) ф•(З — sinф)
Уравнение (3) несложно привести к виду
а1 —а3
2 • c • ^ф + а + а,
= sin ф. (4)
© Теплов С.А., Гончаров П.В., 2016.
ISSN 2223-4047
Вестник магистратуры. 2016. № 5(56). Т. II
Уравнение (4) одной из форм записи предельного состояния по критерию Кулона. Поэтому при напряженном состоянии ст1>ст2=ст3 сравниваемые критерии дают одинаковый результат. Эту особенность можно продемонстрировать графически. На рис. 1 приведены предельные поверхности обоих критериев при различных вариантах аппроксимации параметров а и к.
а Друкер-Прагер б Друкер-Прагер
Рис. 1. Предельные поверхности критериев на девиаторной плоскости: а - конус Друкера описан вокруг пирамиды Мора; б - конус Друкера вписан в пирамиду Мора
Из анализа рис. 1 а, следует, что конус Друкера пересекает пирамиду Мора в углах сжатия. Именно эти углы соответствуют напряженному состоянию ст1>ст2=ст3, которое является расчетным для грунтовых дорожных конструкций. Поэтому несмотря на возможность расчета главных напряжений (см. работы [13-16]), а значит возможность применения критерия (1) в практике расчета грунтов земляного полотна, замена критерия Кулона-Мора на условие Друкера-Прагера нецелесообразна.
Библиографический список:
1. Долгих Г.В. Расчет грунтов земляного полотна по критерию безопасных давлений // Вестник Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. - 2013. - №6 (34). - С. 43 - 49.
2. Александров А.С. Совершенствование расчета дорожных конструкций по сопротивлению сдвигу. Ч. 1. Состояние вопроса. - Омск : СибАДИ, 2015. - 292 с.
3.Александров А.С. Совершенствование расчета дорожных конструкций по сопротивлению сдвигу. Ч. 2. Предложения. - Омск : СибАДИ, 2015. - 262 с.
4.Калинин А.Л. Совершенствование расчета касательных напряжений в дорожных конструкциях. Часть 1. Модификация критерия Писаренко-Лебедева и его применение при расчете касательных напряжений // Молодой ученый - 2016. - № 6 (110). - С. 108 - 114.
5. Александрова Н.П., Александров А.С., Чусов В.В. Модификация критериев прочности и условий пластичности при расчетах дорожных одежд // Вестник Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. -2015. № 1 (41). - С. 47 - 54.
6.Drucker D.C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis of limit design. Quarterly of applied mechanics. 1952. Vol. 10. №2. pp. 157 - 165.
7.Болдырев, Г.Г. Методы определения механических свойств грунтов. Состояние вопроса / Г.Г. Болдырев. -Пенза: ПГУАС, 2008. - 696 с.
8.Александров А.С., Долгих Г.В. Калинин А.Л. Модификация критериев прочности сплошной среды для расчета грунтов земляного полотна по сопротивлению сдвигу // В сборнике: Архитектура. Строительство. Транспорт. Технологии. Инновации Материалы Международного конгресса ФГБОУ ВПО «СибАДИ». - Омск: СибАДИ, 2013. -С. 228-235.
9.Maiolino S., Luong M.P. Measuring discrepancies between Coulomb and other geotechnical criteria: Drucker-Prager and Matsuoka-Nakai // 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference J. Ambrosio et.al. (eds.) Lisbon, Portugal, 711 September 2009.
10. Александров А.С., Долгих Г.В., Калинин А.Л. Применение критерия Друкера - Прагера для модификации условий пластичности // Наука и техника в дорожной отрасли. - 2013. № 2. - С. 26 - 29.
11.Калинин А.Л. Применение модифицированных условий пластичности для расчета безопасных давлений на грунты земляного полотна. // Инженерно--строительный журнал - 2013. № 4 (39). - С. 35 - 45.
12. Александров А.С., Долгих Г.В. Калинин А.Л. Один из путей совершенствования расчета дорожных одежд по условию сопротивления сдвигу в грунте земляного полотна // Модернизация и научные исследования в транспортном комплексе. — Перьм: Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 2013. — С. 9-22.
13. Александрова Н.П. Модифицированные модели для расчета главных напряжений в грунте земляного полотна // В сборнике: Архитектура. Строительство. Транспорт. Технологии. Инновации Материалы Международного конгресса ФГБОУ ВПО «СибАДИ». Омск, 2013. - С. 236 - 246.
14. Александров А.С., Калинин А.Л. Совершенствование расчета дорожных конструкций по сопротивлению сдвигу. Часть 1. Учет деформаций в условии пластичности Кулона - Мора // Инженерно-строительный журнал. -2015. № 7 (59). - С. 4 - 17.
15. Александров А.С., Александрова Н.П., Долгих Г.В. Модифицированные модели для расчета главных напряжений в дорожных конструкциях из дискретных материалов // Строительные материалы. - 2012. - № 10. - С. 14 -17.
16. Александрова Н.П., Семенова Т.В., Долгих Г.В. Совершенствование моделей расчета главных напряжений и девиатора в грунте земляного полотна // Вестник СИБАДИ. - 2014. - № 2 (36). С. 49 - 54.
ТЕПЛОВ СЕРГЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ - студент кафедры «Строительство и эксплуатация дорог», Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия, Россия.
ГОНЧАРОВ ПАВЕЛ ВЛАДИМИРОВИЧ - студент кафедры «Строительство и эксплуатация дорог», Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия, Россия.
