Анализ типа стационарных состояний в реакторе идеального смешения с рециклом Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. И. Дуев

АНАЛИЗ ТИПА СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ

В РЕАКТОРЕ ИДЕАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ С РЕЦИКЛОМ

Ключевые слова: реактор с рециклом, множественность стационарных состояний,

устойчивость реактора с рециклом.

Рассматривается рециркуляционная система, состоящая из реактора и блока разделения. Проведен анализ типа стационарных состояний для реакций, проводимых в реакторе идеального смешения с рециклом. Анализ проведен для реакции второго порядка А+В^С+Д^Р и реакции полимеризации . Определена минимальная величина рецикла, при котором возможен режим с полным использованием исходных и промежуточных реагентов и показано, что для реакции второго порядка А+В^С+Д^Р на этом режиме существует континуум стационарных состояний.

Keywords: reactor with recycle, multiplicity of steady states, stability of reactor with recycle.

The recycle system reactor - separation unit is considered. Analysis of the type of steady states for the reaction A+B^C+D^P takes place in the continuous stirred tank reactor is done. The minimum of the value of the recycle for the regime with the full using of basic reactants is defined. It is proved that a continuum of the steady states exists in the regime with the full using of basic and intermediate reactants A, B, C and D.

При создании химических производств большой мощности особое значение приобретают вопросы интенсификации процессов, возможно более полного использования исходного сырья, минимального загрязнения окружающей среды непрореагировавшими исходными, промежуточными и побочными продуктами химических процессов [1]. Экологические проблемы приобретают в последнее время особую значимость [2,3].

Эффективным способом решения проблемы минимизации отходов химического производства является рециркуляция непрореагировавших исходных веществ. Блок-схема рециркуляционной системы реактор - блок разделения представлена на рис.1.

Однако наличие обратной связи в системе часто приводит к множественности стационарных состояний в химическом реакторе и их неустойчивости.

При функционировании системы реактор - блок разделения большой интерес вызывает режим, на котором достигается полное использование исходных и промежуточных реагентов. Как показано в работах [4,5, 6] на этом режиме возможно появление нового типа стационарных состояний - возможности существования континуума стационарных состояний.

1. Пусть в политропическом реакторе идеального смешения, функционирующем в рециркуляционной системе, протекает реакция А+В^С+Д^Р.

0 1 г

реактор блок разделения О

у Т

Рис. 1 - Блок схема рециркуляционной системы реактор - блок разделения, где О -количество смеси, поступающее в систему в единицу времени, Р - количество рециркуляционной смеси в единицу времени, Р - количество смеси, поступающей в реактор в единицу времени, х - вектор концентраций в реакторе (со значком «0» - на входе в систему, со значком «*» - в рецикле, со значком «вых» - на выходе системы)

Математическая модель реактора в стационарном состоянии может быть представлена следующей системой уравнений:

Gx(0) Vr1 Fx1 +Rx* = 0

Gx20) Vr1 Fx2+Rx2=0

Gx30) +Vr1

Vr2

Fx3 + Rx:3 = 0

(1)

Gx(40)+Vr1 Vr2 Fx4+Rx*4=0

cp р^Т(0) + RT* FT) + и(Тх T) + V(Q1r1 + Q2r2) = 0,

где Х1, Х2, Х3, Х4- концентрация реагентов А, В, С и Д соответственно, Г|, Г2 - скорости элементарных стадий реакции, Q1, Q2 - тепловые эффекты элементарных стадий реакции, Cp, р - теплоёмкость и плотность смеси, соответственно (предполагаются равными во всех потоках), V - объём реагирующей смеси, Т - температура смеси в реакторе и с соответствующими индексами в других потоках, Тх - температура хладоагента, U - коэффициент теплопередачи, отнесённый к единице поверхности теплообмена.

Для простоты полагаем, что инертные компоненты отсутствуют в реакторе, а концентрации измеряются в мольных долях. Поэтому концентрацию конечного продукта P можно определить так:

X5 =1-х^ X2

Х 3^4.

(2)

Предположим, что система разделения обладает достаточно высокой разделительной способностью для полного отделения непрореагировавших реагентов А, В, С, D от конечного продукта P. Тогда должны выполняться следующие условия:

Rx¡ = Fxi, где і = 1, 2,3,4.

(3)

Для организации этого режима необходимо также, чтобы исходные реагенты А и В подавались в систему в стехеометрическом соотношении, поэтому если продукты С и Д в

Тогда система уравнений (1) на

(0) _

систему не подаются, то х рассматриваемом режиме запишется так:

= 0,5,х20) =0,5.

о

-VI+ - = 0

о

-^+- = 0

Vr1 - Vr2 =0 (4)

Vr1 - Vr2 = 0

ср р(ОТ(0) + КТ* П) + и(Тх Т) + V(Q1r1 + Q2r2) = 0,

Пусть Г1 = к1х1 х 2, Г2 = к2 х 3 х 4, где х1, х 2, х 3, х 4 - концентрации реагентов А, В,

С и Д соответственно. Тогда для определения неизвестных концентраций х1, х 2, х 3, х 4 мы имеем два уравнения системы (4), которые можно записать так: в

2Ук 1х1 ’ в х4 = 2Ук2 х3 ,

2 3 (6)

Концентрация конечного продукта Р - х5 может быть определена из следующего выражения:

х5 = 1- (7)

1=1

х2 = О,/,. ■ - , (5)

Х5 =1-(х1 + х з (8)

или

в в

------1------

2Ук1х1 2Ук 2 х 3

В выражениях (5), (6) концентрации х1, х3 играют роль параметров, которые

могут принимать любые значения в пределах существования режима, поэтому решение (5), (6) определяет двухпараметрическое семейство (континуум) стационарных состояний.

При этом температура в реакторе определяется однозначно из последнего уравнения системы (1):

1 о

Т = Ре р + и (ОСрРТ(0) - иТх + КСррТ' + + Q2)). (9)

Условие существования режима с полным использованием исходных А, В и промежуточных С, Д продуктов для данной реакции запишется так:

в в х Я (Х1 + х3 + 2Ук1х1 + 2Ук2х3) + в' (10)

Для данной реакции минимальное значение величины рецикла Кт|П достигается при равенстве концентраций х1 = х 2 и х3 = х 4.

Используя соотношения (5, 6), которые должно выполняться на рассматриваемом режиме, получим следующие выражения для концентраций х1,х2,х3,х4 при которых достигается минимальная величина рецикла

*1 = *2 =■

0 (11)

2П,’

*3 = *4 = •

I

V ^2 (12)

Подставляя значения для концентраций х1, х 2, х3, х 4 в выражение (10) при знаке равенства получим следующее уравнение.

[2в 1 1

„ + „з,

К 20 1 1 ' (13)

Решением системы уравнений (9), (13) будет минимальное значение рецикла и значение температуры в реакторе при этом значении.

Таким образом, при в рециркуляционной системе на режиме с полным использованием исходных А, В и промежуточных С, Д реагентов существует единственное двухпараметрическое семейство (континуум) стационарных состояний, определяемое соотношениями (5, 6, 8), в которых концентрации могут х1, х2, х3, х4, х5 принимать любые значения из области стационарных состояний, которая определяется условием (10).

Вид семейства стационарных состояний в проекции на плоскости х1х2 и х3х4 представлен на рис.2, 3.

Рис. 2 - Вид семейства состояний на Рис. 3 - Вид семейства состояний на плоскости х1 х 2 плоскости х 3 х 4

2. Реакция полимеризации

Подробные сведения о кинетике радикальной полимеризации даны в [7]. Упрощенную схему реакции полимеризации можно представить следующим образом:

инициирование М+1 —А; рост цепи А+М —А;

обрыв цепи А+А —ко° > П, где М - мономер, I - инициатор. Через А здесь обозначены все активные молекулы, независимо от числа молекул мономера, входящих в из состав, т.е. от степени полимеризации І.

Математическая модель реактора радикальной полимеризации, проводимой в реакторе идеального смешения может быть записана в виде [8]:

Ну

= -М15х025 + Ох;(0) - Ох,,

Нх0 (0)

V—— = -к0х1х0 + Ох;(0) -Ох0,

Н 0 і 0 і 0

Vcpp ^ = VQ k1 x15 x2 5 - U(T - Tx) - Gcp p(T - T(0) ) dt

(14)

где Хі, Хо - концентрация мономера и инициатора. Там же, показано что в зависимости от значений параметров в реакторе возможны от одного до пяти стационарных состояний и исследована их устойчивость.

В случае функционирования реактора в рециркуляционной системе реактор - блок разделения математическая модель реактора может быть представлена так:

Ну

^ = -Ук;х,15хо05 + вх ;(0) -Рх; + Ну;,

Н (15)

У—г = -Укох;уо + вхо(0) -Рхо + Рхо,

НИ 0 1 0 0 0 0

Vе»р НГ=Vа к; хі5 х05 - и(т -т.) + бов рт(0) - гор Рт + Ре» Рт‘,

где х;, уо - концентрации мономера и инициатора в рецикле.

В стационарном состоянии на режиме с полным использованием исходных

реагентов первых два уравнения запишутся так:

- Ук; у;5 у о05+вх;о) = о, (16)

- Уко х; у о + вх о = 0.

Из второго уровня выражаем у о : вх Оо)

у о = (17)

Тогда концентрации исходных реагентов на этом режиме будет определяться так

х;о)вко х;о) [Ш7 1 ^ 0 1 0 (18)

Уі =

fiÿki ki V

Y(0) У 2

X = (19)

x2 X,101 (Vk/ • ( )

В стационарном состоянии уравнение теплового баланса будет иметь следующий

VQk1 x1'5x2'5 - U(T- Tx) + GCpPT(0) - FCppT - FcppT + R cpPT* = 0. (20)

Подставив найденное выражение концентраций Xi и Х2 в (20) получим следующую формулу для нахождения стационарной температуры в реакторе:

вид:

Овх ;(0) + игх + вс ррТ(0) + Рс ррТ *

т =-------1---------у -----+и-----------. (21)

Рс р Р + и

Таким образом на режиме с полным использованием исходных реагентов в реакторе существует единственное стационарное состояние в котором стационарные значения концентраций Х; х2 и температура в реакторе определяют формулами (18), (19), (21)

Минимальная величина рециклов Ртіп определяется из равенства

Р

х; + у о = ——~. (22)

1 0 Р + в V 7

Откуда с учетом выражений для концентраций Хі и Х2 запишем уравнение для

определения Ртіп :

‘ 3

V (0)

Л1

GVk2 Gi , x2<°))| = R

к, Ц x2т + x,1“1 ( Vk2 )2 R + G' (23)

Это уравнение, в котором константы скоростей реакций Ki, К2 является функциями от температуры в соответствии с формулой Аррениуса:

E:

к, = Л, exp(Ry), i = 1,2. (24)

должно решаться совместно с уравнением для определения температуры (21), поскольку в него входит переменная R.

Итак, для последовательной реакции второго порядка, проводимой в реакторе идеального смешения на режиме с полным использованием исходных реагентов А, В, С, D существует двухпараметрическое семейство (континуум) стационарных состояний, проекции которого на плоскости Xi Х2, Х3Х4 представлены на рисунках 2, 3. Каждая точка на этих кривых является стационарным состоянием. При этом стационарная температура в реакторе определяется однозначно из соотношения (9). А для реакции полимеризации на режиме с полным использованием исходных реагентов существует единственное стационарное состояние.

Литература

1. Кафаров, В.В. Принципы создания безотходных химических производств / В. В. Кафаров. - М.: Химия, 1982 - 288с.

2. Гафаров, АХ. Мониторинг вредных выбросов при сжигании природного газа предприятий по выработке тепловой энергии в районах РТ / А.Х.Гафаров, Л.И. Лаптева // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. - № 1. - С.463-467.

3. Суркова, А.В. Аспекты экологических проблем хромового дубления / А.В.Суркова [и др.] // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2009. - № 6. - С.91-94.

4. Бояринов, А.И. Множественность стационарных состояний в системе: смеситель - реактор - узел разделения / А.И. Бояринов, С.И. Дуев // Теоретические основы химической технологии. - 1980. -№6. - Т.14. - С.903.

5. Дуев, С.И. Температурная неоднозначность в рециркуляционной системе реактор - блок разделения / С.И. Дуев, А.И. Бояринов // Теоретические основы химической технологии. -1998. - Т.32. - С.524-529.

6. Дуев, С.И. Условия существования семейств стационарных состояний в рециркуляционной системе: реактор идеального смешения - блок разделения / С.И. Дуев, А.И. Бояринов // Теоретические основы химической технологии. - 2000. - №1. - Т.34. - С.50-56.

7. Берлин, А.А. Кинетика полимеризационных процессов / А.А.Берлин, С.А. Фельфсон, Н.С Ениколопян. -М.: Химия, 1978. - 319с.

8. Вольтер, Б.В. Устойчивость режимов работы химических реакторов / Б.В. Вольтер, И.Е. Сальников. - М.: Химия, 1981. - 200с.

© С. И. Дуев - д-р техн. наук, проф. каф. информатики и прикладной математики КГТУ, douev@mail.ru.