Анализ систем обработки информации и управления с помощью групповых нечетких чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

На основе построенных СД-моделей можно проводить исследования параметров нагрузки моделируемой сети для различных сценариев, выраженных в изменениях начальных значений переменных и законах функционирования модели.

На базе предлагаемого метода создан прототип СД-модели региональной ИКС КНЦ РАН. Информация об объемах трафика, ассоциированного с основными подразделениями КНЦ и соответствующими провайдерами, полученная в результате моделирования (временной диапазон, для которого было проведено моделирование, - 20062012 гг.), согласуется с накопленными в коммуникационном центре КНЦ РАН данными за 2006-

2009 гг. Другим примером реализации является созданный прототип СД-модели сети провайдера г. Апатиты Мурманской области. Результаты моделирования объемов трафика, ассоциированных с различными группами пользователей, соответствуют накопленным данным за 2006-2009 гг. и используются при формировании стратегии развития сети провайдера.

Литература

1. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М.: Техносфера, 2003. 512 с.

2. Основы построения больших информационно-вычислительных сетей; под общ. ред. Д.Г. Жимерина и В.И. Максименко. М.: Статистика, 1976. 296 с.

АНАЛИЗ СИСТЕМ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ГРУППОВЫХ НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ

А.А. Усков, д.т.н. (Смоленский филиал Российского университета кооперации,

[email protected]);

И.В. Сургучева (ОГУЗ Смоленский областной онкологический диспансер); А.М. Горбунов, к.т.н. (Смоленский филиал Российского университета кооперации)

В статье предложены групповые алгебраические операции над нечеткими числами, при применении которых эти числа образуют абелевы группы по операциям сложения и умножения. Показано, что применение групповых алгебраических операций при нечетком моделировании в ряде случаев позволяет получить результаты, лучше согласующиеся с практикой, чем полученные с применением традиционных нечетких чисел.

Ключевые слова: абелева группа, арифметическая операция, нечеткое число, нечеткое моделирование, обратный элемент, противоположный элемент, система автоматического управления.

Математическое моделирование сложных систем с применением аппарата теории нечетких множеств и нечеткой логики обычно требует выполнения большого объема операций над нечеткими переменными. Для снижения объема вычислений при применении теории нечетких множеств используются нечеткие ЬК-числа [1, 2].

Нечеткое ЬК-число А с модой а задается с помощью функции принадлежности следующим

образом: цА(х)=

< \

L a—x

V а )

/ \

R x—a

V ß)

при x< a,

при x > а,

где а - мода; а, Р>0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.

Функции L

'a-x^

а

R

/ \ x-а

имеют следую-

щие свойства:

1) не возрастают на множестве неотрицательных значений аргумента;

2) L

a—x

а

=L

'a—x^

а

R

x—a

=R

/ \ x—a

3) L(0)=R(0).

При заданных ЬК-функциях число А задается тройкой А=(а, а, Р)ЬК

Чтобы обычные четкие числа могли участвовать в арифметике нечетких чисел ЬК-типа, принимается а=0, р=0,

|Ь(0)=К(0) при X=а,

МО=

[0 при х ф а.

Такое определение соответствует числам с нулевыми коэффициентами нечеткости А=(а, 0, 0)Ья - обычным четким числам.

Традиционно арифметические операции над нечеткими ЬК-числами при малых значениях коэффициентов нечеткости а, Р, у, 8 определяются следующим образом [1, 2]:

(т, а,Р)ьк + (п, у, 8)ьк = (т+п, а+у, Р+8)ьк ; - (т,а,в)ЬК = (-т,в,а)ЬК - противоположный элемент;

(т, а,Р)ьк - (п, у, 8)ьк=(т-п, а+8, Р+у )ьк; (т,а,Р)ьк (п,у,8)ьк = (тп,ап+ут,Рп+8т)ьк,

т>0, п>0;

(т,а,Р)-1ьК = ( 1 Р а '

V m m2 m2 /

, m >0 - обрат -

LR

ный элемент;

и

(т,а,Р)ьк:(п, 7,8)ьк =

т ап+8т рп+ут

"П' п2 ' п2

ьк

т>0, п>0.

Нулевой элемент для нечетких чисел определяется как 0 = (0'0'0)ьк, а единичный элемент -

1=(1'0'0)ьК.

Как легко убедиться, нечеткие числа, определяемые традиционным образом, не являются полем, в частности, а+(—а) ф 0 не является абелевой

группой по операции сложения, а-а—1 ф1 - по операции умножения [3].

Введем в рассмотрение так называемые групповые операции над нечеткими числами ЬК-типа, для чего противоположные и обратные элементы определим следующим образом:

—(т, а,Р)ЬК = (—т,—а, —Р)ьк - противоположный элемент,

/1 о N

(т'а' Р) 1ьК =

___а_

т т2

т2 у

,т>0 - об-

ьк

ратный элемент.

Очевидно, что при таком определении противоположного и обратного элементов будут выполняться аксиомы поля: а+(—а)=0 и а-а—1 = 1, то есть нечеткие числа будут образовывать группы по операциям сложения и умножения.

В дальнейшем нечеткие числа ЬК-типа с введенными выше противоположным и обратным элементами будут называться групповыми, а обычные нечеткие числа - традиционными [1, 2].

Характерной особенностью групповых нечетких чисел является то, что противоположный и обратный элементы имеют отрицательную нечеткость, то есть не имеют очевидного физического смысла.

Рассмотрим на примерах, в каком случае следует применять традиционные, а в каком групповые нечеткие числа.

Пример 1.

Имеется четкий сигнал х0, определяемый числом х0 = (х0'0'0)ьк , к которому прибавляется сигнал определяемый нечетким числом

X1 = (т, а, Р)ьк . Затем из полученного сигнала

вычитается сигнал х2, определяемый нечетким числом, имеющим такие же центральное значение и степень отклонения, что и то есть X 2 = (т, а,Р)ьк (рис. 1).

При использовании традиционных нечетких чисел получим

у=(Х0, а+Р, а+Р)ьк. (1)

Применение групповых нечетких чисел дает формулу

у=(х0,0,0)ьК . (2)

Очевидно, верной в данном случае является формула (1) и здесь нужно применять традиционные нечеткие числа.

Пример 2.

Имеется четкий сигнал х0, определяемый числом х0=(х0, 0, 0)ьк к которому прибавляется сигнал г, определяемый нечетким числом X=(т,а,Р)ЬК . Затем из полученной суммы сигнал х вычитается (рис. 2).

При применении традиционных нечетких чисел получим формулу (1), применение же групповых нечетких чисел дает результат, определяемый формулой (2).

Очевидно, что в данном случае справедлива формула (2), полученная на основе групповых нечетких чисел, а применение традиционных нечетких чисел (см. (1)) приведет к завышению степени нечеткости результата.

Рассмотрение приведенных, а также ряда других примеров позволяет сделать следующие выводы:

- если в системе только один нечеткий параметр или сигнал, то при анализе необходимо использовать групповые нечеткие числа; применение в этом случае традиционных нечетких чисел зачастую приводит к завышению степени нечеткости результата (чрезмерному размыванию результата);

- если в системе несколько независимых нечетких параметров или сигналов, которые физически не могут компенсировать друг друга, необходимо использовать традиционные нечеткие числа.

Рассмотрим замкнутую статическую систему автоматического управления (САУ), структурная схема которой приведена на рисунке 3.

Рис. 3

х0 - входной сигнал системы, у - выходной сигнал системы, е - ошибка регулирования, Кр - коэффициент передачи разомкнутой системы

Предположим, что коэффициент передачи разомкнутой системы КР - нечеткое число в

ЬК-форме, КР = (КР0, АКр, АКр), а входной сигнал системы х0 - четкое число (представим его как нечеткое с нулевой нечеткостью х0 = (х0,0,0)ьк). При этом очевидно, что выходной сигнал системы - нечеткое число у=(у0, А у, А у )ьк.

Введем в рассмотрение коэффициенты вариации нечеткости коэффициента передачи разомкнутой системы: %К =А—р-100% и выходного Р КР0

А у

сигнала: %у =—-100 % . У0

Необходимо найти зависимость коэффициента вариации нечеткости выходного сигнала %у от

величины коэффициента вариации нечеткости коэффициента передачи разомкнутой системы %Кр .

Найдем у=(Уo'А у А у)ьк •

Вычисления на основе групповых нечетких чисел

Выходной сигнал замкнутой системы определяется формулой

К

р ~

УУ=-=— х 0 =

У 1+К. 0

(КР0,АКР ,АКР )ьк 1+(Кр0, А — , А — )

■•(х0Д0),к. (3)

— )ьк

После преобразований получим:

У =

К р0 • х0 АК Р • х0 АК Р • х

р- х0

^р- х0

Р0 (1+—р0)

% У =

1+К

_1

1+К К

АК

^ 100% =

(1+Кр0)2

1+К

^р0 Кр0 1+Кр0

Результат соответствует известным положениям теории автоматического управления о том, что отрицательная обратная связь уменьшает влияние относительных изменений параметров системы на выходной сигнал САУ в Кр+1 раз [4].

Вычисления на основе традиционных нечетких чисел

У=

После преобразований выражения (3) получим —р0-х0 А—р-(1+2Кр0)-х0 АКр-(1+2—р0>х0Ч

1+К

Т0

(1+—р0)

(1+—р0)

% у = ^ А—р 100% . 1+Кр0 Кр0

С учетом того, что Кр0 »1, можно записать

% у - 2-АКр-100% = 2%—р.

Кр0

Согласно данной формуле, отрицательная обратная связь не уменьшает степень неопределенности выходного сигнала, что неверно.

Таким образом, для решения рассматриваемой задачи применение предложенного аппарата групповых нечетких чисел позволяет получить правильный результат.

Можно предположить, что описанный в статье аппарат групповых нечетких чисел может найти широкое применение при анализе и синтезе систем обработки информации и управления.

Список литературы

1. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000.

2. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта; под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971.

4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. М.: Профессия, 2007.

ПРОЦЕДУРА СОСТАВЛЕНИЯ РАСПИСАНИЯ КАК ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ ЗАДАЧИ БЕЗ ПОТОКОВ

С.Б. Шевелев (ОАО «СПб АтомЭнергоПроект», г. Санкт-Петербург, [email protected])

В работе приведена оригинальная постановка задачи расписания и предлагается процедура составления расписания учебного заведения как целочисленной задачи без потоков.

Ключевые слова: расписание, программирование, процедура, целочисленный.

Одной из распространенных задач целочисленного программирования является задача со-

ставления расписания. Она относится к классу ^-полных. Решение задач этого типа предусмат-