CC BY
40
Рассмотрим замкнутую статическую систему автоматического управления (САУ), структурная схема которой приведена на рисунке 3.
Рис. 3
х0 - входной сигнал системы, у - выходной сигнал системы, е - ошибка регулирования, Кр - коэффициент передачи разомкнутой системы
Предположим, что коэффициент передачи разомкнутой системы КР - нечеткое число в
ЬИ-форме, КР = (КР0, АКр, АКр), а входной сигнал системы х0 - четкое число (представим его как нечеткое с нулевой нечеткостью Х0 = (х0,0,0)Ьк). При этом очевидно, что выходной сигнал системы - нечеткое число у=(у0, А у, А у )ЬК.
Введем в рассмотрение коэффициенты вариации нечеткости коэффициента передачи разомкнутой системы: %К =А—р-100% и выходного Р КР0
А у
сигнала: %у =—-100 % . У0
Необходимо найти зависимость коэффициента вариации нечеткости выходного сигнала %У от
величины коэффициента вариации нечеткости коэффициента передачи разомкнутой системы %Кр .
Найдем у=(У0,А у,А у)ьК.
Вычисления на основе групповых нечетких чисел
Выходной сигнал замкнутой системы определяется формулой
К
р ~
У=-=— х 0 =
У 1+К. 0
(КР0,АКР ,АКР )ЬИ
1+(Кр0, А К , А К _)
•(Х0,0,0)ьк. (3)
К
После преобразований получим:
У =
К р0 • Х0 АК Р • х0 АК Р • х
р- х0
^р- х0
Р0 (1+Кр0)
% У =
1+К
_1
1+К К
АК
^ 100% =
(1+Кр0)2
%КВ
1+К
^р0 Кр0 1+Кр0
Результат соответствует известным положениям теории автоматического управления о том, что отрицательная обратная связь уменьшает влияние относительных изменений параметров системы на выходной сигнал САУ в Кр+1 раз [4].
Вычисления на основе традиционных нечетких чисел
У=
После преобразований выражения (3) получим Кр0-х0 АКр-(1+2Кр0)-х0 АКр-(1+Жр0>х0Ч
1+К
Т0
(1+Кр0)
(1+Кр0)
% у = ^ АКр 100%. 1+Кр0 Кр0
С учетом того, что Кр0 »1, можно записать
% У - 2-АКр-100% = 2%Кр.
Кр0
Согласно данной формуле, отрицательная обратная связь не уменьшает степень неопределенности выходного сигнала, что неверно.
Таким образом, для решения рассматриваемой задачи применение предложенного аппарата групповых нечетких чисел позволяет получить правильный результат.
Можно предположить, что описанный в статье аппарат групповых нечетких чисел может найти широкое применение при анализе и синтезе систем обработки информации и управления.
Список литературы
1. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000.
2. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта; под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971.
4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. М.: Профессия, 2007.
ПРОЦЕДУРА СОСТАВЛЕНИЯ РАСПИСАНИЯ КАК ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ ЗАДАЧИ БЕЗ ПОТОКОВ
С.Б. Шевелев (ОАО «СПб АтомЭнергоПроект», г. Санкт-Петербург, [email protected])
В работе приведена оригинальная постановка задачи расписания и предлагается процедура составления расписания учебного заведения как целочисленной задачи без потоков.
Ключевые слова: расписание, программирование, процедура, целочисленный.
Одной из распространенных задач целочисленного программирования является задача со-
ставления расписания. Она относится к классу ^-полных. Решение задач этого типа предусмат-
ривает различные подходы. В последнее время они стали весьма актуальными в связи с полной автоматизацией процессов управления объектами различного назначения: транспорт, логистика, сборочное производство, проектирование, организация учебного процесса в образовательных заведениях всех уровней [1]. Автор предлагает математическую модель такой задачи на примере целочисленной задачи без потоков, характерной для технических вузов.
Для простоты изложения предлагаемой оригинальной процедуры составления расписания приведем постановку задачи для учебного процесса, характерного при дневном обучении: М - количество обобщенных групп; 1 - номер обобщенной группы; Р - количество обобщенных преподавателей; ] - номер обобщенного преподавателя; Т - общее число обобщенных занятий в неделю; О - количество учебных дней в неделю; q - номер учебного дня недели; Н - количество обобщенных занятий в день; Ь - номер обобщенного занятия в течение дня.
Очевидно, что для составления сквозного недельного расписания Т=ОН, где Ь - номер обобщенного занятия (сквозной за неделю); 8=8Ь+8С -общее количество обобщенных аудиторий; С -количество групповых занятий (ГЗ) согласно тематическому плану; с - номер конкретного ГЗ (1,...,С) согласно тематическому плану; 8С - число аудиторий для ГЗ.
Приведем блок понятий, реализующих общие для групп потоковые лекционные занятия [1, 2]: Ь - количество лекций согласно тематическому плану; I - номер конкретной лекции (1,...,Ь) согласно тематическому плану; 8Ь - число аудиторий для лекций; к - номер обобщенной аудитории.
Следует учесть, что потоковые занятия необязательны для всех групп, поскольку существует разделение на специальности, направления и т.п. Тогда К - количество потоков; г - номер потока (1,...,К); кг - номер учебной группы в потоке г; Окг - множество номеров рабочих дней группы кг; Ьг - количество лекций в потоке г согласно тематическому плану; 1г - номер конкретной лекции,
При этом необходимо повториться по номенклатуре ГЗ по потокам: Сг - количество ГЗ в потоке г согласно тематическому плану; сг - номер конкретного ГЗ, 1,...,Сг; 1 - номер обобщенной группы (1-М); ] - номер обобщенного преподавателя (1-Р); Ь - номер обобщенного занятия, сквозной за неделю (1-Т); q - номер учебного дня недели (1-О); Ь - номер обобщенного занятия в течение дня (1-Н); к - номер обобщенной аудитории (1-8).
Примем за критерий оптимальности максимизацию свободных дней преподавателей. Тогда задача будет сформулирована следующим образом:
Q P
найти ^тах, где ^р - весовой коэффи-
q=1p=1
циент, определяемый статусом преподавателя; zqp - булева переменная, равная 0, если преподаватель имеет занятия в данный день, и равная 1 в противном случае, при ограничениях
Cir L
^Xqihcr + -1 •
c=1 /=1
Данное ограничение обусловлено тем, что каждый день на каждой паре и для каждой группы может проводиться не более одного занятия, Q H Cir L
ZBZXqihcr + ZY(h/ ) = Wir •
q=1h=1 c=1 /=1
Равенство указывает, что для каждой группы ir должен выполняться установленный тематический план на неделю, где Yqhl=1, если в день q на паре h читается лекция /, 0 - в противном случае; Xqihcr=1, если в день q в группе ir на паре h проводится практическое занятие c, 0 - в противном случае.
Зададимся условиями и примем несовместимость непрерывного процесса обучения в силу занятости конкретного преподавателя или отсутствия возможности предоставления именно данного помещения учебной группе (лаборатория, учебный класс, компьютерный класс, спортзал и т.п.).
Приведем ограничения в задаче составления расписания: Jqihr - 1, если в q-й день группа ir начинает занятия с h-й пары; Zqijr - 1, если в q-й день группа ir заканчивает занятия на h-й паре; Yqhl - 1, если в q-й день на h-й паре читается лекция /; Xqihcr - 1, если в q-й день в группе ir на h-й паре проводится ГЗ c; Dpl - 1, если преподаватель p читает лекцию /; dpicr - 1, если преподаватель p в группе ir проводит ГЗ с; Np - нагрузка преподавателя p в неделю; Wir - тематический план на неделю для группы ir.
Тогда можно ввести следующие ограничения:
H H H
1) ^Jqih - £h(Xqihc + Yj )- ^hZqih - JTO-h=1 h=1 h=1
бое занятие не начинается раньше пары Jqih и не оканчивается позже пары Zqih;
H C L H
2) BZXqihc + ^Yqj/ )= £h(Zqih-JqJ+1 -h=1 c=1 /=1 h=1
все виды занятий заполняют интервал между первой Jqih и последней Zqih парами;
3) ^Xqihcr + ^Yg» -1 - в q-й день на каждой
c=1 1=1
h-й паре группа ir может иметь не более одного вида занятий (ГЗ c или лекция /);
QH
4) ^^Xqihcr + Yqj/ -1 - ГЗ с и лекция / для
q=1h=1
всех и всех групп ir могут проводиться не более одного раза на какой-либо h-й паре;
M Cir L
5) ZZdPicXqihcr + ZDPcYqjc -1 - В Ч-й ДеНЬ
i=1 c=1 l=1
на каждой h-й паре преподаватель p может вести не более одного занятия (ГЗ с в одной группе i или лекцию l);
Q H M C C
6) ЕЕ ZZdpicXqihc + ZDpcYqji)=Np - ка-
q=1h=1 i=1 c=1 c=1
ждый преподаватель в течение надели должен выполнить свою аудиторную нагрузку; Q H Cir L
7) ZZ(ZXqihcr + EYqhc)=Wir - с ^Уппой q=1h=1 c=1 l=1
ir должны быть проведены все занятия, запланированные на неделю;
L M Cir
8) EYqhi - SL ' ZZXqihcr - SC - в каждый
l=1 i=1 c=1
день q и в каждой паре h число лекций и число ГЗ не должно превышать общего числа лекционных залов и аудиторий для ГЗ.
Таким образом, мы подошли к реализации процедуры составления расписания как к целочисленной задаче без потоков.
Принимая за SL число аудиторий для лекций, а за критерий оптимальности - максимизацию свободных дней преподавателей, задачу можно сформулировать следующим образом. Q P
Найти EE^pzp ^ max,
q=1p=1
где - весовой коэффициент, определяемый статусом преподавателя; zqp - булева переменная, равная 0, если преподаватель имеет занятия в данный день, и равная 1 в противном случае, при ог-
Cir L
раничениях: ^Xqihc + -1 - в каждый день
c=1 l=1
q на каждой паре h для каждой группы i может проводиться не более одного занятия; Q H Cir L
ZI(ZXqihc + EYqhl ) = Wi .
q=1h=1 c=1 l=1
Для каждой группы i должен выполняться тематический план на неделю: Yqhl=1, если в день q на паре h читается лекция l, 0 в противном случае; Xqihc=1, если в день q в группе i на паре h проводится практическое занятие с, 0 в противном случае.
Ограничения в задаче составления расписа-
ния:
1) ZhJqih - Zh(Xqihc + Yqh/ ) - EhZqih - лю-
h=1
h=1
h=1
бое занятие не начинается раньше пары Jqih и не оканчивается позже пары Zqih;
H Ci L H
2) Z(ZXqihc + ZYqj' )= Zh(Zqih "Jqih)+1 -
h=1 c=1 l=1 h=1
все виды занятий заполняют интервал между первой Jqih и последней Zqih парами;
С L
3) IXqihc+^Yqhl <1 - в q-й день на каждой
c=1 l=1
h-й паре группа i может иметь не более одного вида занятий (ГЗ c или лекция l); Q H
4) XZXqihc + Yqhl <1 - ГЗ С и лекЦия 1 для q=1h=1
всех и всех групп i могут проводиться не более одного раза на какой-либо h-й паре;
M Ci L
5) ZZdPicXqihc + ZDPI Yqhl <1 - в q-й день
i=1 c=1 l=1
на каждой h-й паре преподаватель p может вести не более одного занятия (ГЗ с в одной группе i или лекцию l);
Q H M Ci L
6) ZX( ZZdpicXqihc + ZDpl Yqhl )=Np -q=1h=1 i=1 c=1 l=1
каждый преподаватель в течение надели должен выполнить свою аудиторную нагрузку; Q H Ci L
7) ZZ(ZXqihc+ZYqhl)=Wi - с группой i
q=1h=1 c=1 l=1
должны быть проведены все занятия, запланированные на неделю;
L M Ci
8) ZYqjl < SL, ZZXqihc < SC - в каждый
l=1 i=1 c=1
день q и в каждой паре h число лекций и число ГЗ не должны превышать общего числа лекционных залов и аудиторий для ГЗ.
Предложенная математическая модель была опробована при составлении рабочего расписания инженерно-технических работников проектной организации и семестрового расписания СевероЗападного технического университета (Санкт-Петербург), показав удовлетворительный результат для частных задач.
Литература
1. Арефьев И.Б., Шевелев С.Б. Актуальные задачи формирования моделей графиков распределения по маршрутам грузовых автомобилей СПбТУ // Автотранспортное предприятие. № 9. 2007. С. 32-34.
2. Арефьев И.Б., Северов А.А. Принципы разработки тестов. СПб: СЗТУ, АПСП, 2005. С. 133-138.
3. Арефьев И.Б., Кивалов А.Н., Мартыщенко Л.А. Аналитическая логистика. Эконометрия логистических систем. 2-е изд. СПб: СЗТУ, 2008. 91 с.
