Анализ сигналов обратной связи в системах интенсификации процесса резания Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.941

В.С. Саль ников, В.Г. Шадский (Тула, ТулГУ)

АНАЛИЗ СИГНАЛОВ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ В СИСТЕМАХ ИНТЕНСИФИКАЦИИ ПРОЦЕССА РЕЗАНИЯ

Проведен анализ сигналов обратной связи в системах интенсификации процесса резания. Показано, что оптимальная система должна иметь частоту, доставляющую минимум функционала, так как в этом случае можно обеспечить максимальную достоверность полезного сигнала.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 07-08-97631

Процесс определения оптимальной системы управления может быть осуществлен лишь тогда, когда предварительно выбран какой-либо критерий ее оптимальности, т.е. тот критерий, экстремальное значение которого определяет оптимальную систему. Так, на первом этапе проектирования адаптивной системы с введением в зону резания дополнительной энергии необходимо получить достоверную информацию о характере упругопластического деформирования материала в зоне резани. Известно, что резание сопровождается процессами, которые приводя к возникновению циклически изменяющихся условий деформирования описываемых, например, с помощью модели «Максвелла» [2], [3]. С физической точки зрения результатом этого является прерывистый характер резани [1]. Безусловно, внешним появлением этого явления выступает изменение си резания, а следовательно, упругих колебаний режущей кромки резца. Они являются наиболее информативным сигналом о состоянии упругопластического деформирования материла в зоне резани [6]. Необходимо построить соответствующий канал преобразования сигнала с датчика измерений, найти систему, оптимальную в смысле минимума искажений. При этом критерием оптимальности является какая-либо мера искажений при прохождении сигнала сквозь систему. Эта мера достигает минимального значения для оптимальной в данном смысле системы. В любом случае обоснованный выбор может быть произведен лишь тогда, когда твердо установлен критерий оптимальности [7].

Статистические критерии оптимальности могут быть различными в зависимости от характера задачи. Так, например, существует большой класс задач обнаружения, когда требуется лишь обнаружить, приходит на вход системы некоторый сигнал, обычно известной формы, либо сигнала на входе устройства нет, а имеется лишь шум. В этой задаче требуется дать один из двух возможных ответов: «Да» или «Нет», «Есть сигнал» или «Нет сигнала». К этому типу задач в данном случае относится задача распознавания положительной и отрицательной полуволн колебаний резца, определяющих моменты подачи дополнительных воздействий в зону резани.

Перед устройством, принимающим решение «Да» или «Нет», целесообразно поставить некоторый фильтр, который по возможности усиливал бы полезный сигнал по сравнению с шумом. В качестве критерия оптимальности этого фильтра может выступать требование максимума отношения сигнала к шуму на его выходе [7].

Другой тип задач возникает в том случае, когда от устройства требуется по возможности точнее воспроизвести форму передаваемого сигнала, которая заранее неизвестна. Например, при обработке сигнала с вибродатчика обычно допустимо воспроизведение параметров колебаний с некоторым заранее известным постоянным запаздыванием, но по возможности с сохранением широкого спектра их составляющих. Поэтому, если вибросигнал обозначим X(t), а на выходе устройства воспроизводится сигнал X(t) = Y(t - т), то такое воспроизведение можно назвать идеальным (при малых значениях х). Хотя в системах автоматического управления любое запаздывание означает уже отклонение от вдела.

Реальная система из-за наличия искажений и помех дает на выходе кривую Y(t), отклоняющуюся от идеальной. Таким образом, в системе

существует погрешность e(t) воспроизведения входного сигнала, значение

которой

e(t) = X (t -т) -Y (t). (1)

Систему можно считать тем лучшей, чем меньше погрешность e(t). Однако входной сигнал X(t), а также помехи, действующие на систему, представляют собой случайные процессы, так как их параметры изменяются во времени случайным образом. Следовательно, и e(t) - также случайный процесс, и критерием оптимальности может быть лишь какая-либо мера интенсивности этого случайного процесса. Эти процессы могут быть отнесены к классу стационарных, поскольку в большинстве случаев их статистические характеристики остаются неизменными во времени, т.е. являются установившимися Wl( Xl, tl) = W1 (xi ) , где W1 (Х1) - плотно-

сти распределения вероятностей.

В рамках корреляционной теории стационарными случайными процессами считаются процессы у которых математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционные функции зависят лишь от

т =t2

Можно считать, что математическое ожидание стационарного случайного процесса вибраций режущей кромки резца x(t)равно a = const, тогда x(t) = a + y(t), где y(t) - случайный процесс, имеющий математическое ожидание равное нулю.

Тогда автокорреляционна функция случайного процесса y(x)

К y (Y) =М {y(t) y (t + !)}.

где т= t 2 - _1 - разность моментов времени наблюдения случайного процесса.

Отметим, что в зависимости от интервала наблюдений изменяется смысл автокорреляционной функции

Ky(0) = M{у2(0}>0; 11т Ky(т) = 0.

т^ГО

Существует связь между этими автокорреляционными функциями процессов х(x) и у(x):

Kx(т) = M{[a + у(t)][a + у( + т)]} = a2 + Ky (т).

Тогда

11т Kx (т) = a 2. (2)

т^-ГО

Отметим, что для любой автокорреляционной функции справедливо соотношение

Кх (т) <К (0).

Для случайных процессов следует различать средние значения по времени и по множеству. Для периодических случайных процессов, типичным примером которых являются вибрации режущей кромки резца, среднее значение по времени от квадрата случайной величины x(?) является характеристикой средней интенсивности процесса и носит шзвание мощности сигнаа x(?).

----- 1 T

x2^) = 11т — |х2^ ^, (3)

T^го2Т _т

где Т - полуинтерва наблюдения случайного процесса.

Для периодического процесса вида

2 л

х^) = Лт Бт( + ф) Т) = —,

®0

где Гз - период изменения исследуемого сигнаа.

Тогда в соответствии с (3) мощность сигнаа

,2г+\ _ Лт

х (t)

2

Важный класс случайных процессов составляют эргодические процессы. Это такие процессы, для которых среднее по множеству значение величины, характеризующей процесс, всегда равно среднему ее значению по времени:

го 1 Г

|х1^1( Х1)йХ1 = 11т — \х^ ^. (4)

-ГО Г^го2Т Г

Исследуемые вибрации режущей кромки резца могут быть отнесены к классу эргодических процессов, поскольку практически бесконечную

кривую одной реализации вибросигнала можно разрезать на сколь угодно большое число достаточно длинных фрагментов (кусков). Так как этот процесс обладает стационарностью, то вероятно свойства этих кусков одинаковы. Их можно рассматривать как множество реализаций одного и того же случайного процесса. В этом смысле одна бесконечно длинная реализация вибросигнала эквивалентна бесконечному множеству “достаточно длинных” его реализаций [7]. Разница между ними заключается в том, что различные фрагменты расположены в них в произвольном порядке. Поэтому нет необходимости проводить усреднение по времени или в некоторые моменты по множеству значений различных реализаций, так как при любом способе усреднения одни и те же значения будут встречаться с одинаковой частостью [7].

Можно предположить, что рассматриваемые виброcлналы сохраняют такие свойства усреднения и для других статистических характеристик. Используя (2) и (4), из автокорреляционной функции может быть определена мощность полезного сетнала

1 T 2 ”2—

Kx (0) = lim — Jx (t)dt = x (t).

T2T t

При исследовании вибросетналов целесообразно перейти из временной области в частотную. Для этого воспользуемся преобразованием Фурье для автокорреляционной функции

30

Sx (ю) = \Kx (т)е ~j(axdx,

— 00

где Sx (ю) - спектральная плотность виброситла

Поскольку Kx (т) является неслучайной характеристикой случайного процесса, то и Sx(ю) также является неслучайной характеристикой и называется спектральной плотностью. Она обладает свойством четности, т.е.

ГО

Sx (ю) =2 \Kx (t)cos ютdт, (5)

0

из которого в соответствии с обратным преобразованием Фурье

-2— 1 T 2 1

x (t) = lim — Xx (t)dt = Kx (0) = — fSx (ю^ю.

T^ro2T T к о

Из этого выражения следует, что мощность сигнал, являющася мерой его интенсивности, представляет собой интегра от его спектраь-ной плотности. Спектрльна плотность, в свою очередь, в соответствии с (5) описывает распределение мощности сетналапо частотному спектру.

Очевидно, что автокорреляционна функция вибросгнла с режущего инструмента может быть представлена экспоненцильной зависимо-

стью [3]

Кх (т) = а 2е _Хт,

где а - амплитуда вибросигнала, определяющая его максимальную мощность; т- разность моментов времени наблюдения вибросигала; X - параметр, определяющий степень влияния т на мощность контролируемого сигнала.

Тогда его спектраьна плотность может быть записана следующим обрлом:

го 2 а 2х

Бх (ю) = 2 |а2 е_Хт соб(ют)<іт = —---—.

0 X + ю

Пусть х(ґ) - какл-либо реализация случайного вибросигала на входе системы, у(ґ) - реакция системы на этот сигнал. Тогда

ГО

у(ґ) = {я (т) х (ґ -тут,

0

где g(т)- весовая функция системы преобразования, имеющей комплексный коэффициент передачи Ж(ую).

Линейна система преобрлует математическое ожидание случайного сигнал по тем же законам, что любой регулярный сигна [4], т.е.

ГО

М{у (ґ)} = І я(т )М {х(ґ - т )}Л.

0

Большой практический интерес при исследовании случайных процессов представляют спектраьные плотности сигнаов. Они позволяют определить характер изменения случайного сигнала при прохождении линейной части системы управления, например, при фильтрации сигналов с вибродатчиков.

Можно видеть, что, если сгна представляет собой сумму синусоид с амплитудой Ах (ю), то их средние мощности пропорцион льны математическим ожи даням квадратов амплитуд и соответственно

спектральной плотности сигнал

Бх (ю) = ХМ {Ах (ю)}, (6)

где X - коэффициент пропорциональности.

Очевидно, что любая гармоническа составляюща вибросигнла Ах біп(юґ + срх), пройда через линейную динамическую систему преобразования, изменит амплитуд и фазу, при этом частота ее останется неизменной. Таким обрлом, на выходе системы появится сигна А у біи( юґ + Фу) со спектральной плотностью Б у (ю), пропорциональной

математическому ожиданию квадрата амплитуды. Известно, что квадраты амплитуд на выходе и входе линейной системы связаны через комплекс-

ный коэффициент передачи системы W(jro) равенством [3]

A2y =A2x W (j®)|2. (7)

Тогда из выражений (б) и (7) еле дет

Sy (о) = XM{ Ax9 W (j®)|2} = W (j0)|2 XM{ Ax2i = |W( »|2 Sx (о).

Таким образом, спектральная плотность синала на выходе системы равна спектральной плотности синала на входе, умноженной на квадрат модуля комплексного коэффициента передачи системы. Из этой формулы следует, что фазова частотная характеристика системы не оказывает влияния на спектральную плотность выходного сила, но влияет на его фазу. На основании полученной зависимости может быть определена мощность выходного сигнал.

В дальнейшем будем считать, что силовые параметры процесса упругопластического деформирования зоны резания x(t), являющегося

входным в систему, представляют стационарный и эргодический процесы. Для оценки погрешности воспроизведения такого сигнал в соответствии с (1), в качестве критерия его оптимальности целесообразно воспользоваться среднеквадратичной погрешностью

“9— 1 T 9 1 T 9

x (t) = lim — fe (t)dt = lim — J[X(t - т ) -Y(t)] dt. (8)

T —21 t T—— 2T t

Пусть линейна система имеет передаточную функцию W(p), на ее вход поступает сумма полезного синала U и аддитивной помехи F. Будем полагать, что сигнал и помеха представляют собой стационарные случайные процессы со спектральными плотностями Su (о) и Sf (о) соответственно. Задача системы состоит в передаче синала U по возможности без искажения, причем допустимы изменения масштаба в кo раз и запаздывание на время io = const. В таком случае мерой величины искажений может служить среднеквадратична погрешность. Как уже отмечалось, в качестве идеального закона изменения выходной величины можно принять

Yid =к0U(t -т0).

В рель ной системе Y Ф Yid и имеет место погрешность (1)

e(t) = к0U(t -т0) ~Y(t).

Эта погрешность случайна, так как случайны ее составляющие. Ее мерилом является среднеквадратичное значение (8).

В общем случае задача состоит в подборе такой пер даточной функции W(р) системы, чтобы среднеквадратична погрешность была бы минимльной. Поскольку, чем шире полоса частот, тем больше интенсивность шума на выходе фильтра, тем «лучше» проходит помеха сквозь флльтр. С этой точки зрения желательно уменьшить значения собственной частоты. Однако, с другой стороны, полезный сигнал имеет определенный

частотный спектр; при увеличении собственной частоты сквозь фильтр проходит более широкий участок его спектра. Поэтому воспроизведение полезного сигнала на выходе фильтра улучшается, а его искажения уменьшаются. С этой точки зрения желательно увеличение собственной частоты. Слишком малое ее значение неприемлемо, так как недопустимо возрастает погрешность воспроизведения вследствие искажения передаваемого через резец полезной информации о состоянии упругоштастического деформирования материала в зоне резани. Слишком большое значение частоты среза также неприемлемо, так как возрастает погрешность из-за помехи. Поэтому можно преДп°ложить, что существует оптимальное ее значение, при котором суммарная погрешность минимальна.

В реальных условия обработки сигналов с вибродатчиков технологического оборудования с определенной степенью точности можно предположить, что помеха представ лет собой белый шум со спектральной плотностью Sp (ю) = const, а полезный сигнал имеет экстремум на некоторой частоте <»о, например, соответствующей собственной частоте колебаний резца. Его спектральная плотность может быть выражена функцией

SU (ю)

X2 + (ю -соо)2

Будем также полагать, что полезный сигнал и помеха статистически независимы, тогда их взаимна корреляционная функция равна нулю. Преобразование Лапласа для ошибки воспроизведения полезного сигнала можно записать еле дующим образом:

Е(р) = {кое_рТо - Ж(р)){и(р) + Ж(р)^(р)) =

= Жи (р)и(р) +ЖР (р)^(р);

Жи (р) = (кое-10 - Ж(р)); Жр (р) = Ж(р)

Из формулы (9) можно видеть, что, поскольку система линейна, то к ней применим метод суперпозиции, и на выходе формируются сигналы, соответствующие полезному сигналу и помехе. Причем, если последние статистически независимы, то выходные величины также независимы и их взаимные корреляционные функции и спектральные плотности раны нулю. Тогда

8у (ю) = \Жи(7'ю)|2 %(ю) + |Ж^(^)\2 (ю) •

Полученное выражение позволяет определоть мощность выходного сигнала

ГО 1 ГО 1 ГО

e2(t) = — JS7(o)do = —\Wu(7'о)|2Su(o)do + — \Wf(jo)|2Sf(o)do.

1 UU 1 UU 1 uu

1 Го / 4 7 1 fb / • ч|2о ,4 , .1 fb / • \|2

Например, для простейшего примера идеального фильтра, имеющего комплексный коэффициент передачи, выражаем мощность выходного

сигнала

----- — 2 ю — 2 ®ср ----- -----

е2(ґ) = — (ю)<ію + — (ю)<ію = ) + ур(?). (10)

^ ^ /Л

® ср 0

На основании проведенных исследований можно сделать вывод, что оптимальная система должна иметь частоту, доставляющую минимум функционала(10). В этом случае обеспечивается максимальная достоверность полезного сигнала, благодаря пропусканию максимально возможного его спектра. В то же время достигается минимум искажений, обусловленных наличием помех в канале измерений, благодаря максимальному практически возможному сокращению спектра его гармоник проходящих на выход системы.

Библиографический список

1. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов. /

B.И. Владимиров - М.: Металлургия, 1984. -280 с М.6 Металлургия. 1984. - 280 с.

2. Гинцбург Я.С. Релаксация напряжений в металах. / Я.С. Гинц-бург-М.: Машгиз. , 1967. 127 с.

3. Калиоопин В.В. Физическая сущность автоколебаний при резании металлов. / В.В. Калиоопин // Вестник машиностроения. - 1953. - № 8.

C. 25-27.

4. Сальников В.С. Технологические основы эффективного энергопотребления производственных систем. / В.С. Сальников - Тула: Издательство “Тульский полиграфист”, 2003. - 187 с.

5. Шадский Г.В. Интенсификация процессов резания прямым прерывистым электрическим воздействием. / Г.В. Шадский, В.С. Сальников, В.Г. Шадский // Межрегиональная научная конференция «Фундаментальная наука Центральной России». Т. 1. - 2007. - С. 339-345.

6. Сальников В.С. Оперативный контроль состояния зоны резания при точении / В.С. Сальников, Д. И. Долматов, В.Г. Шадский. - Изв. Тул-ГУ. Сер. Технические науки. Т. 1. Вып. 3. -2007. - С. 112-118.

7. Фельбаум А.А., Бутковский А.Г., Методы теории автоматического управления / А.А. Фельбаум, А.Г. Бутковский. - М.: Наука, 1971 - 744 с.

Получено 24.10.08.