CC BY
82
УДК 621.9
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ
Г.В. Шадский, С.В. Сальников
В статье приведен синтез регулятора технологической системы, использующего в качестве управляющего воздействия импульсный электрический ток, пропускаемый через зону резания. Синтез учитывает неопределенности параметров системы и информации обратной связи, обеспечивая оптимальное управление.
Ключевые слова: математическая модель, зона резания, автоколебания, устойчивость, релаксационные явления, робастное управление.
Проведенные ранее исследования показали, что процесс резания характеризуется наличием автоколебаний широкого спектра частот [1]. Наиболее существенное влияние на их устойчивость и параметры оказывают нелинейность, в частности, режимы резания, свойства обрабатываемого материала и постоянная времени резца [2].
Характер релаксационных процессов, протекающих в зоне резания, а, следовательно, и параметры нелинейности существенно зависят от интенсифицирующего электрического воздействия. Отсутствие однозначной связи длительности и амплитуды импульсов с механизмом интенсификации, а также зависимость параметров его проявления от температуры и степени деформации зоны предразрушения снижают эффективность таких алгоритмов управления резанием. Наиболее перспективным среди них является алгоритм, реализующий механизм генерации в плоскости сдвига электродинамических отталкивающих сил [3].
В качестве параметра, отражающего механизм интенсификации процесса резания, предложено использовать температуру в зоне резания. Её контроль целесообразно производить с помощью измерения естественной термо-ЭДС пары материалов инструмент-заготовка. С точки зрения управления это соответствует введению дополнительного контура в систему управления.
Перечисленные неопределенности в рассмотренных соотношениях позволяют отнести данную систему к классу грубых систем и использовать для ее синтеза методы робастного управления. Целью этих методов является синтез такого регулятора, который обеспечивал бы хорошее качество управления при отклонении параметров объекта управления от расчётных значений, то есть при наличии в математических моделях неопределённостей. Задачей синтеза робастных систем управления является поиск закона управления, который сохранял бы выходные переменные системы и сигналы ошибки в заданных допустимых пределах, несмотря на наличие отклонений параметров контура управления.
560
При управлении процессом резания неопределённость проявляется в виде неоднозначностей параметров нелинейности и передаточной функции объекта управления.
Для синтеза системы оптимального управления процессом резания по параметрам импульсов электрического воздействия, использующей в качестве контролируемого параметра естественную термо-ЭДС, предложено использовать Н¥ -методом теории управления [4]. Его сущность заключается в следующем.
Системы управления описывается в матричной форме вида:
X = Лх + Bu (1)
7 = Сх '
где х - л-мерный вектор-столбец переменных состояния; у - д-мерный вектор-столбец выходных переменных; и - ш-мерный вектор-столбец
управлений; Л =
аИ
, В =
пхп
, С =
пхш
СУ
- матрицы параметров
объекта управления, регулятора и наблюдателя соответственно с размерностями л, ш, д £ п.
Процесс формообразования резанием с определенной степенью точности может быть представлена в виде трех элементов, образующих линейную часть системы: процессов накопления деформаций и формирования мгновенной плоскости сдвига в зоне резани, и резца, а также нелинейности, моделирующей релаксационный характер изменения напряжения. В первом приближении их предложено описывать передаточными функциями со следующими параметрами: Кр, Тр, Х- коэффициент преобразования, постоянная времени и коэффициент демпфирования резца; КТ , ТТ - коэффициент преобразования и постоянная времени процесса накопления деформаций в системе; Кр, Тр - коэффициент преобразования и постоянная времени процесса формирования мгновенной плоскости сдвига. Нелинейность характеризуется координатами положения зоны неоднозначности хэ, шириной ZN, ее смещение относительно среднего положения , углом наклона начального участка- кщ и амплитудным значением ид. После применения метода гармонического баланса получена линеаризованная система четвертого порядка (п = 4). Ее характеристическое уравнение можно представить следующим образом:
* 4 * з * о * *
(Да, р) = а4р + азр + аор + а р + а0 = 0, (2)
где а*, а*, ао, аз, а4- коэффициенты линеаризованной системы (1).
Вектор выходных сигналов системы, состоит из сигнала характеризующего отклонение режущей кромки резца от среднего положения х1 и
температуры в зоне резания Ф = К°хо, которая используется в контуре
управления, то есть д = 2. На входы поступает задающий сигнал /3-смещение режущей кромки резца вдоль плоскости сдвига, являющийся функцией режимов резания и дополнительное электрическое воздействие
иЧ^ /А, Та\\Т ( т = 3).
Для канонической формы записи рассмотренной системы
А--
о 1 о о ооо
о о 1 о о о о 1 , в= ооо о о о , с= 1 о о о о к0 о о
* * * * ао а а2 аз ** 1 с* С*
(3)
где С/, От - коэффициенты влияния амплитуды и длительности импульсов тока на координаты состояния системы.
Для решения поставленной задачи синтеза робастного регулятора использован <<2-Рикатти подход>>, который нашел широкое применение в теории робастного управления. Суть подхода заключается в том, что оптимальная задача заменяется субоптимальной [5].
Степень субоптимального регулятора найденного по Н¥ - норме не превышает порядка системы уравнений объекта управления. В рамках «2-Рикатти подхода» искомый оптимальный регулятор в форме наблюдателя определяется на основе решения двух многомерных уравнений Лурье-Рикатти для фильтрации (восстановление состояния) и оптимального управления в смысле минимума Н¥- нормы замкнутой системы. Регуляторы, синтезированные с помощью этого критерия оптимальности, обеспечивают устойчивость замкнутой системы и минимальную чувствительность к возмущениям.
В качестве квадратичного функционала качества управления предложено использовать выражение:
»2
1
Т
J( х, и) = Нт - | Т®о 2
¡о
/1 Ао
+ "Г +
л
Т 2 МО
+
т Т 2 ти0
& =
(4)
1
Т
= 11т 11(уТ(0 • О• у(0 + ит (¿) • Я•
Т ®о2
Т
¡о
О=
2
У1о
Я=
/3(
о о
зо
о~Г о
1Ао
о о
1
Т2 Тио
где О, Я - знакоположительные матрицы, постоянные компоненты кото-
1
1
о
1
о
рых являются весовыми множителями, определяющими значимость вклада в величину функционала отдельных составляющих векторов состояния и управления; у10, у30, 1А0, Ти0- значения контролируемых параметров и управляющих воздействий в точке линеаризации.
Неопределенности исходной системы учтены путем введения в уравнения ее математической модели (1) вектора внешних не измеряемых возмущений п и вектора помех измерения V.
х = Ах + В\щ+В2 и (5)
у = Сх + IV
Для приведения системы (4) к стандартному виду, используемому в рамках «2-Рикатти подхода», введены расширенный вектор входных возмущений п и вектор контролируемых параметров 2 [6]:
щ
; 2=
щ-
V
21 = Сх. (6)
Тогда уравнение (4) может быть сведено к виду
х = Ах + В1 щ+В2 и
2 = С^х + БцЩ + Д2и , (7)
у = С2 х + В2\щ + ^22 и где Б1, Б2, С1, С2, Д1, ^21, D22 - матрицы приведения уравнения (5) к стандартному виду.
Синтезированный регулятор по Н¥ - оптимизации обеспечивает
подавление воздействия внешних возмущений на входе системы до заранее предписанного уровня. Энергия ошибки, которая проходит на выход, рассчитывается Н¥ - нормой матричной передаточной функции замкнутой системы от внешних возмущений к управляемому выходу.
При использовании такого подхода синтезированный регулятор имеет структуру фильтра Калмана - Бьюси:
х = Ах + ЬС2 х + Ьу + Бщ+В2 и (8)
и = - Кх '
где К, Ь - матрицы обратной связи регулятора и наблюдателя соответственно.
Вычисление матриц обратной связи регулятора К и наблюдателя Ь , а так же вектора возмущений щ, который представляет собой оценку наиболее неблагоприятного воздействия, основано на решении матричных квадратичных уравнениях Лурье-Рикатти.
Для синтеза робастного регулятора использован известный упрощенный типовой алгоритм, который описывается следующим образом [7,8,9].
1 .Задать некоторое значение уровня нечувствительности к измене-
нию параметров динамической системы 1 > 1тщ, характеризующего степень робастности исследуемой системы.
2. Найти стабилизирующее решение р первого матричного уравнения Лурье-Риккати:
лтрх + р л - р151р1 + ( = 0, (9)
— Т т _2 Т
где ( = С 0С\, = В2КВ2 _1 ВуБу , если решение не существует,
перейти к пункту п.6.
3. Найти стабилизирующее решение р второго матричного уравнения Лурье-Риккати:
Р2 лт + ар2 _ р2 52 р + 22 = 0, (ю)
где (2 = Б\_Б, 52 = С2ТС2 _1_2(.
Если решение не существует, перейти к пункту п. 6.
4. Вычислить матрицу V = р ■ р и найти её максимальное сингулярное число. Если оно больше 1, то перейти к п. 6.
5. Вычислить матрицы регулятора и наблюдателя соответственно:
К = Б^р; I = (I _1_2 р^Г1 рСТ. (11)
6. Если заданное значение критерия недостижимо, вернуться к п. 2 заменив 1 на большую величину.
7. Определить наиболее неблагоприятное возмущающее воздействие м по формуле:
ш = 1_ 2 Б1Б22РХ . (12)
Алгоритм организован по схеме последовательного поиска наименьшего значения критерия 1 и стабилизирующей обратной связи, обеспечивающей его достижение.
Субоптимальная задача решается до тех пор, пока существуют неотрицательно определённые решения алгебраических уравнений Лурье-Рикатти. Полученное в результате итерационной процедуры минимальное значение 1 близкое к а также решения р, р используются для
синтеза робастного Н¥ - субоптимального регулятора. Для широкого круга практических задач
Кр = (0.01...0.2) 10_6 м / Н; Тр = (0.25...1.0) ■10_3 с; £ = 0.2...0.8;
Тр = (10..50) -10_6 с, Кв = (0.2...1.2)-10_3Н /м; Тт = (2..4) -10_6 с,
Кт = 1.0 м / Н .
Для целей моделирования выбраны следующие значения парамет-
¿г л
ров линейной части системы: Kр = 0.01 ■ 10_ м/ H; Тр = 0.5 10_ с; х = 0.5; КТ = 1.0 м / Н, ТТ = 3.0 ■ 10_6 с, KF = 0.5 ■10_3 Н / м; Тр = 10.0-10_6 с;
и0 = 120.0-106, Н; 7
N
10.0-10-6, м
и параметров нелинеиности
DZN = 0; kN = зи0/ ZN.
В результате моделирования рассматриваемой системы и алгорит ма синтеза робастного регулятора, получены следующие матрицы обрат ной связи регулятора К и наблюдателя Ь.
К-
5 - 1018 3 - 1013 1- 1010 2 10
2 -105 1 103 7 -108 3 10
1 103 3 -102 4 -104 2 10
1-10-1 5 -10-3
3 -10
-2
■Л
2 -10
-1
-4
2-10' 7-10 8-10-2 4-103
Их анализ показывает, что :
степень синтезированного Н¥ регулятора (11), не превышает степени самой системы, он состоит из двух частей: наблюдателя и регулятора, которые обеспечивают наименьшее отклонение отфильтрованных значений от реальных при наибольшем шуме.
минимально возможное значение критерия робастности 1 = 0.12;
регулятор отфильтровывает помехи, поступающие в объект и в канал измерения, обеспечивает устойчивость и точность системы, средне-квадратические отклонения отфильтрованных сигналов от реальных не превышает 0.25.
Для апробации полученных результатов необходима разработка системы управления, реализующая векторное управление процессом резания в соответствии с матрицами регулятора и наблюдателя К, Ь.
Проведенные исследования показывают, что технологические возможности применения дискретного электрического воздействия для интенсификации процесса резания не ограничиваются какими либо режимами обработки или материалами. Это говорит о широкой его универсальности. Однако к области наиболее рационального его применения все-таки следует отнести обработку труднообрабатываемых материалов на черновых и получистовых режимах, поскольку именно в этом случае достигается наибольшее снижение сил резания и температуры, а, следовательно, и увеличение стойкости инструмента.
Список литературы
1. Каллиопин В. В. Механика волны при резании (Исследование упругой поверхности технологической системы станок - инструмент - деталь) / В.В. Каллиопин. Минск: Наука и техника, 1969. 176 с.
2. Сальников В.С., Шадский В.Г., Долматов Д.И. Моделирование временных и энергетических аспектов разрушения при резании металлов // Изв. ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008.
565
С.192-198.
3. Сальников С.В., Шадский В.Г. Один из аспектов разрушения материала в зоне резания при действии электрического тока // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С. 305-309.
4. Афанасьев В.Н. Динамические системы управления с неполной информацией. Алгоритмическое конструирование. М:. КомКнига, 2007. 216 с.
5. Суходоев М.С., Гайворонский С.А., Замятин С.В. Анализ и синтез робастных систем автоматического управления// Изв. ТПУ. Управление, вычислительная техника и информатика. Т. 312. №5. Томск, 2008. С. 61-66.
6. Заворин А.Н., Полищук А.В., Ядрышников О.Д., Жмудь В.А.. Проектирование робастных регуляторов методом численной оптимизации их параметров для ансамбля объектов// Сборник научных трудов НГТУ. 2012. №1(67). С. 15-24.
7. Галаган Т.А., Еремин Е.Л., Плутенко А.Д. Алгоритмы систем ро-бастной стабилизации нестационарного объекта с неявной эталонной мо-делью//Вестник АмГУ. Благовещенск. 2001. Вып. 15. С.18-20.
8. Галаган Т.А., Еремин Е.Л., Плутенко А.Д. Робастный алгоритм управления нестационарным нелинейным объектом для систем с явной эталонной моделью// Информатика и системы управления. Благовещенск. 2001. №2. С.100-105.
9. Галаган Т. А., Еремин Е.Л., Плутенко А.Д. Алгоритм и имитационное моделирование робастной системы управления с запаздыванием нейтрального типа// Вестник Ам-ГУ. Благовещенск. 2002. Вып. 17. С.19-22.
10. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. 764 c.
Шадский Геннадий Викторович, д-р техн. наук, проф., stanki@uic.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Сальников Сергей Владимирович, асп, sergeysalnikov@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
SYNTHESIS OF THE OPTIMUM REGULATOR OF TECHNOLOGY SYSTEM
G. V. Shadsky, S. V. Salnikov
The article provides a synthesis of the regulator technological systems, using as control pulse electric current flowing through the cutting zone. The synthesis takes into account the uncertainty of system parameters and feedback information, providing optimal control.
Key words: mathematical model, cutting zone, oscillations, stability, relaxation phe-nomen, robust control.
Shadsky Gennady Victorovich, doctor of technical science, professor, stan-ki@uic. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Salnikov Sergey Vladimirovich, postgraduate, sergeysalnikov@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.38:539.377
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА
А. А Трещев, М.В. Спасская
Рассматривается задача термоупругости для круговой цилиндрической оболочки, выполненной из разносопротивляющегося материала, обладающего свойством анизотропии. Приведена система разрешающих уравнений поставленной задачи. Приведены некоторые наиболее характерные результаты исследования напряженно-деформированного состояния оболочки и выполнен их анализ.
Ключевые слова: разносопротивляемость, анизотропия, термоупругость, цилиндрическая оболочка.
Рассматривается круговая цилиндрическая оболочка из ортотропно-го разносопротивляющегося материала [1]. Главные оси ортотропии совпадают с осями главных напряжений. Геометрические характеристики оболочки: высота L, толщина ^ радиус срединной поверхности оболочки R. Один торец цилиндрической оболочки при Р1 = 0 полностью закреплен, а другой торец при Р1 = Ь свободен от закреплений и механической нагрузки. На оболочку действует разность температур: температура внутренней Т1 и наружной Т2 поверхности, а также равномерно распределенная нагрузка д3 на внутреннюю поверхность оболочки. Примем, что изменение температуры в оболочке происходит только по ее толщине, чтобы разность температур на внутренней и наружной поверхностях АТ являлась функцией от координаты Р3 . Положение любой точки оболочки определяется в гауссовой системе координат Р1, Ь2, Р3. Местоположение любой точки на срединной поверхности цилиндрической оболочки определяются гауссовыми координатами Р1 и Р2.
Будем рассматривать оболочку в рамках теории пологих оболочек,
