Анализ распределения усилий в зацеплении циклоидальной передачи с учетом погрешностей изготовления звеньев Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.83:621.81.002.2

АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ В ЗАЦЕПЛЕНИИ ЦИКЛОИДАЛЬНОЙ ПЕРЕДАЧИ С УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ

Е.Е. Кобза, Е.А. Ефременков, В.Н. Демидов

Томский политехнический университет E-mail: mecheng@sibmail.com

Выполнен анализ распределения усилий в зацеплении передачи с промежуточными телами качения и свободной обоймой с учетом погрешностей изготовления колес с циклоидальным профилем и тел качения. Определена зависимость изменения усилий в зацеплении от точности изготовления деталей передачи, а так же число тел качения, не участвующих в передаче усилий из-за погрешностей изготовления. Построены зависимости, определяющие угол, на котором происходит прерывание контакта тел качения с профилями циклоидальных колес.

Ключевые слова:

Циклоидальная передача, усилия в зацеплении, технологические погрешности, промежуточные тела качения.

Key words:

Cycloid drive, force analysis, manufacturing tolerances, intermediate rolling elements.

Современное состояние и перспективы развития техники характеризуются повышенными требованиями к массогабаритным характеристикам с сохранением высокой нагрузочной способности приводных механизмов. Особым вниманием пользуются малогабаритные механизмы, обладающие малой массой при большом передаточном отношении в одной ступени, способные обеспечить высокий КПД. К таким механизмам с полным правом можно отнести передачи с промежуточными телами качения (ПТК). Исследованию данных передач посвящены работы В.Н. Кудрявцева, А.Е. Беляева, В.М. Шанникова, Ан И-Кана, Ta-Shi Lai, Hidetsu-gu Terada [1-5].

Несмотря на широкое применение передач с ПТК они еще мало изучены, методики проектирования и расчета рассмотрены недостаточно полно, в научной литературе рассматриваются в основном вопросы, касающиеся геометрии зацепления. Существующие силовые расчеты разработаны для идеальной передачи, т. е. без учета погрешностей изготовления и монтажа. В реальной передаче с ПТК за счет погрешностей изготовления звеньев возникают зазоры. Зазоры влияют на изменение распределения усилий в зацеплении и контактных напряжений между телами качения, вследствие того, что число тел качения, передающих нагрузку, уменьшается.

Одной из наиболее перспективных конструкций передач с ПТК является передача со свободной обоймой. Рассматривая работу подобной передачи (рис. 1) можно заметить, что тела качения, участвующие в передаче усилий и находящиеся в угловом диапазоне 110...180° от тела качения, находящегося во впадине, контактируют с вершинными участками профилей колес. Поэтому при возникновении технологических погрешностей изготовления профилей колес в этом угловом диапазоне возможно прерывание кинематического контакта тел качения с профилем. Следовательно, возможно уменьшение числа тел качения, уча-

ствующих в передаче усилий, и перераспределение сил в зацеплении. Таким образом, целесообразно определить это перераспределение, чтобы рационально назначать допуски на изготовление и обеспечивать высокую надежность передачи с ПТК и свободной обоймой.

Рис. 1. Поперечное сечение передачи с ПТК и свободной обоймой: 1) профильное колесо-кулачок; 2) промежуточные тела качения; 3) профильное колесо-венец; 4) обойма-сепаратор; О1 - центр кулачка; О3 -центр венца; а„ - межосевое расстояние

Для решения данной задачи необходимо построить циклоидальный профиль с учетом погрешностей изготовления, определить действительное число тел качения, передающих нагрузку, и провести анализ распределения усилий по телам качения в зацеплении передачи с учетом этих погрешностей.

Зададим допуски на взаимодействующие звенья циклоидальной передачи по седьмому квалитету точности. В производственной практике изготовления циклоидальных передач для профилей

и тел качения допуски назначаются «в тело» деталей. В расчетах будем рассматривать «худший» случай - когда в передаче будет максимальный зазор. Профиль кулачка с учетом технологического допуска может быть описан эквидистантой к идеальному эпициклоидальному профилю с постоянным смещением 8, равным величине поля допуска.

При построении эквидистанты воспользовались методикой предложенной в [4]. Изобразили отрезок циклоидального профиля с и отметим произвольно точку М(хм,ум), принадлежащую профилю с (рис. 2). Восстановили нормаль п-п к исходному профилю с в выбранной точке М, провели окружность радиусом 5, равным смещению эк-видистанты относительно исходной кривой с центром в выбранной точке. Данная окружность имеет две точки пересечения с нормалью п-п циклоидального профиля N и N Таким образом, получили точки, принадлежащие искомым эквидистан-там. Проведя аналогичные построения из каждой точки рассматриваемой кривой получим ряд точек, образующих эквидистанты с2 и с3.

Аналитическая запись данных построений сводится к следующим уравнениям, совместное решение которых определяет координаты всех точек эк-видистант с2 и с3 (рис. 2):

/'( X)

Л уы

= -1.

(1)

(2)

Уравнение (1) описывает окружность, радиус которой является смещением эквидистанты относительно эпициклоидального профиля. Уравнение (2) задает нормаль п-п, а у=/(х) является уравнением профиля с1.

Рис. 2. Схема построения внешней и внутренней эквиди-стант к профилю с

Как уже говорилось, рассматривается случай, когда технологическая погрешность изготовления колеса максимальна. В дальнейших расчетах для профилей кулачка и венца выбирается внутренняя

эквидистанта, характеризующая наименьший и наибольший предельные размеры соответственно. Согласно рис. 2 для профиля кулачка, внутренней будет с3, а для венца - с2.

После определения допусков и построения эк-видистанты проверяем условие касания тел качения с профилем кулачка, чтобы определить количество «рабочих» тел качения. Для этого переместим тело качения, вдоль линии действия силы, до касания с профилем венца (рис. 3). Здесь полагаем, что при касании реальных тел качения с реальным профилем венца центры тел качения будут располагаться на окружности с центром в точке О2. Это определяется геометрией передачи и кинематикой зацепления. Суммарный зазор от допусков на изготовление ЛЕ выбирается поворотом кулачка на угол Лф относительно оси передачи О3.

Величина суммарного зазора определяется из выражения:

Л2=Л в +Л ТК +Л к>

где Лв, Лк, Лтк - величина половины поля допуска на диаметральные размеры венца и кулачка, величина поля допуска на диаметр тела качения.

Рис. 3. Схема к определению зазора в передаче: О1, О2, О3; г, г2, г3 - центры и радиусы центроид кулачка, сепаратора с телами качения и венца; гц - радиус центров тел качения; е1 - эксцентриситет центроид обоймы и кулачка; е2 - эксцентриситет центроид обоймы и венца

Учитывая погрешности изготовления профилей и тел качения, проанализировали зацепление с уже выбранными зазорами. Теоретически полагается, что тела качения находятся в постоянном контакте с обоими профилями колес и передают усилие на угле 180°. Однако, при наличии погрешностей изготовления возможен случай, когда тела качения будут находиться в контакте только с одним профилем, с другим профилем контакт будет разорван.

Определим угол в пределах 180°, на котором непрерывность контакта с одним из профилей будет нарушена вследствие погрешностей изготовления. Для этого рассмотрим зацепление, полагая непре-

рывный контакт тел качения с профилем венца и заменив кулачок окружностью его выступов Д,, а тела качения окружностью, на которой находятся ближайшие к центру точки тел качения Д, изготовленного с погрешностью (рис. 4).

Радиус окружности выступов Дв кулачка определяется по формуле:

1

* = г21 X +

- С,, -Л,,

(3)

где гтк - радиус тела качения; х - коэффициент смещения; 2 - число тел качения; г2 - радиус производящей окружности.

Радиус Д определим из выражения:

* = Г X - г + Л + Л . (4)

0 2 Л тк тк в ' '

Проведя окружность радиусом Д из центра Оь а окружность радиусом Д - из центра О2 (рис. 4), заметим, что они пересекаются в точке К Соединив эту точку с центром О2, получим отрезок под углом а к вертикальной оси. Тела качения, попадающие в этот угол, не участвуют в передаче нагрузки и не контактируют с профилем кулачка. Таким образом, зная угол а и угол между телами качения, можно определить число тел качения, не участвующих в передаче усилий.

х2 + у2 = *2,

(5)

X2 + (У - е1)2 = *в2> (6)

где е1 - эксцентриситет центроид обоймы и кулачка

е, =т^ I, рис. 4.

Решив совместно уравнения (5) и (6), определили координаты точки К по формулам:

Ук =

*0 - *2 + е2

2е1

-у2.

Угол а определим из зависимости:

а _ агссоБ

Ук

X2 + у2

(7)

(8)

(9)

к у

Угол между телами качения определяется по формуле:

2п

Р_-

(10)

Сравнив углы а и р, можно определить действительное число тел качения, участвующих в передаче усилий: тела качения, центры которых находятся в пределах угла а (рис. 4) не участвуют в передаче усилий и не рассматриваются при определении максимального усилия в зацеплении передачи с ПТК и свободной обоймой.

С учетом действительного числа тел качения, воспринимающих нагрузку, определяем максимальное усилие в зацеплении передачи с ПТК и свободной обоймой:

Т г

р _____ вых 1

и

(11)

Рис. 4. Схема к определению разрыва кинематического контакта тела качения с профилем: Вх, В, В3 - центры тел качения, находящихся в пределах угла а

Определим координаты точек пересечения окружностей радиусами Д и Д из уравнений:

где ^ - кратчайшее расстояние от центра венца/кулачка до линии действия /-го усилия в зацеплении (рис. 3); Твых - крутящий момент на выходном валу редуктора.

Дальнейший расчет распределения усилий между телами качения в зацеплении аналогичен расчету идеальной передачи [1, 6].

Применив данную методику, проверили влияние погрешностей изготовления на распределение усилий у ряда передач с измененными исходными параметрами. Для этого в первую очередь определили параметры зацепления, оказывающие наибольшее влияние на распределение усилий в передаче.

В литературе [3] для цевочной передачи доказано, что равномерность распределения усилий увеличивается с ростом числа зубьев 2 С уменьшением 2, зубья, работающие в начале зацепления, значительно больше нагружены, чем зубья, находящиеся в конце зацепления. А такие параметры как эксцентриситет и радиус центров тел качения оказывают очень малое влияние. Анализ влияния эксцентриситета, числа тел качения, радиуса производящей окружности и радиуса центров тел качения на распределение усилий в зацеплении передачи с промежуточными телами качения показал, что аналогично цевочной передаче, основным фактором, влияющим на равномерность распределения усилий, является число тел качения 2,, а остальные параметры влияют незначительно (рис. 5).

1000-

х

сЗ4

5 800600400200-

и-Г----,----,----,-----,----,----,----,-----,

0 2 4 6 8

Точки профиля

Рис. 5. График изменения сил в передаче с ПТК и свободной обоймой в зависимости от количества тел качения, участвующих в зацеплении. Нумерация тел качения показана на рис. 1 (е=3 мм, гц=58,5мм, Тшу=110 Н-м)

Поэтому уменьшение количества одновременно работающих тел качения (коэффициента перекрытия) за счет погрешностей изготовления может оказывать значительное влияние для передач с высоким передаточным отношением.

Рассмотрен ряд передач, где число тел качения изменяется от 11 до 51. Коэффициент смещения для всех передач примем постоянным, х=1,4.

Технологические допуски на звенья передачи приняты одинаковыми для анализируемого ряда, т. к. значения габаритных размеров деталей не выходят за пределы одного размерного интервала:

• Ав=0,03 мм - на венец;

• Атк=0,01 мм - на тело качения;

• Ак=0,03 мм - на кулачок.

Графики зависимости углов аи (ротчисла тел качения 22 построили в одной системе координат (рис. 6). Зависимость а(22), рис. 6, характеризует изменение угла прерывания контакта в зависимости от числа тел качения 22 при постоянных значениях остальных параметров. График а(22) строили по зависимостям (3)-(9). Зависимость а1(22) (рис. 6) характеризует изменение угла прерывания контакта в зависимости от числа тел качения 21 при изменяющемся значении радиуса центров тел качения гц (рис. 3). Изменение (увеличение) радиуса центров тел качения объясняется необходимостью сохранения, вдопу-стимых пределах, габаритных размеров механизма и обеспечения прочности элементов передачи. График изменения угла расположения тел качения р(22) строили по формуле (10). Точка пересечения кривых а(22) и р(22) определяет значение числа тел качения, с которого начинается прерывание контакта тела качения с циклоидальным профилем, вызванное технологическими погрешностями изготовления.

Как видно из графиков (рис. 6), с увеличением числа тел качения в передаче разность значений углов а и р растет, т. е. увеличивается число тел качения, находящихся в зоне прерванного контакта.

Начиная с 21=15 (рис. 6, а) кривые а(22) и а1(22) расходятся, что связано, как говорилось выше, с увеличением радиуса центров тел качения, который определяется через исходные параметры г2 и х [6]. Увеличение гц вызвано необходимостью обеспечения прочности сепаратора.

Увеличение радиуса центроиды кулачка г2 с ростом числа тел качения 22, уменьшает влияние зазоров в передаче на распределение усилий в зацеплении.

Число тел качения Ъ2 а

Число тел качения /п б

Рис. 6. Зависимость углов а, щи р от12: а) при значениях допусков, принятых по седьмому квалитету точности: Ав=Ак=0,03мм, Ак=0,01 мм; б) при увеличенных значениях допусков (десятый квалитет точности): Ав=Ак=0,1мм, Атк=0,05 мм.

Как видно из рис. 6, б, увеличение технологических допусков увеличивает количество тел качения, не участвующих в зацеплении. Начиная с 22=45 количество тел качения, находящихся в зоне прерванного контакта, составляет 11 % от общего числа, тем ни менее, изменение максимального усилия, рассчитанного по формуле (11), находится в пределах 3 %. Это объясняется тем, что большая часть нагрузки (85...95 %) приходится на участок профиля 0.130°. Таким образом, данный расчет рекомендуется проводить лишь как проверочный для высоконагруженных редукторов, работающих на предельных возможностях материала деталей.

Выводы

Анализ распределения усилий в зацеплении передачи с промежуточными телами качения и свободной обоймой с учетом погрешностей изготовления колес с циклоидальным профилем и тел качения показал, что при увеличении зазоров в зацеплении, усилия, действующие на тела качения, увеличиваются незначительно. При уменьшении точности (с Н7 до #10) зазоры в зацеплении увели-

чиваются на порядок, в то же время максимальная нагрузка на тело качения увеличивается не более чем на 3 %. Выведены зависимости, позволяющие определить число тел качения, не участвующих в передаче усилий на угле 180°, и распределение усилий между уменьшенным числом тел качения. Определена величина угла прерывания контакта тел качения с циклоидальным профилем в зависимости от исходных параметров передачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кудрявцев В.Н. Планетарные передачи. - Л.: Машиностроение, 1966. - 308 с.

1. Ан И-Кан, Беляев А.Е. Синтез планетарных передач применительно к роторным гидромашинам. - Новоуральск: НПИ МИФИ, 1001. - 91с.

3. Шанников В.М. Планетарные редукторы с внецентроидным зацеплением. - Л.: Машгиз, 1948. - 173 с.

4. Lai T.S. Design and machining of the epicycloid planetary gear of cycloid drives // Intern. J. Adv. Manufact. Tech. - 2006. - № 28. -P. 665-670.

5. Terada H. The Development ofgearless reducers with rolling balls // J. of Mech. Science and Tech. - 2010. - № 24. - P. 189-195.

6. Ефременков Е.А. Разработка методов и средств повышения эффективности передач с промежуточными телами качения: дис. ... канд. техн. наук. - Томск, 2002. - 126 с.

Поступила 23.12.2011 г.

УДК 62-231

СИНТЕЗ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПЕРЕДАЧИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ТЕЛАМИ КАЧЕНИЯ С УЛУЧШЕННЫМИ КАЧЕСТВЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

А.В. Черемнов, Ан И-Кан, О.П. Ивкина

Томский политехнический университет E-mail: arsenij85@sibmail.com

Выявлены причины возникновения избыточных связей в составе передач с промежуточными телами качения. Показана возможность создания механической передачи, обладающей высоким коэффициентом полезного действия, на базе передачи с промежуточными телами качения.

Ключевые слова:

Кинематическая пара, избыточные связи, трение качения, передача, синтез.

Key words:

Kinematic pair, reduntant constraint, rolling friction, gear, synthesis.

Введение

Важнейшей задачей современного машиностроения, в условиях рыночной экономики, является улучшение качества выпускаемой продукции, экономия материалов, поиск путей снижения массы и габаритов изделий.

Наилучшим образом, из всех видов зубчатых передач, этим требованиям удовлетворяют передачи с промежуточными телами качения (ПТК), отличающиеся существенно меньшими габаритами, весом и большей нагрузочной способностью по сравнению с другими видами передач. Отмеченное преимущество объясняется распределением нагрузки среди большого количества промежуточных тел (до 50 %) и рациональным использованием внутреннего пространства передач этого типа. Следовательно, в самой схеме передачи с ПТК, при прочих равных условиях, заложены возможности получения значительно меньших габаритов и веса.

Несмотря на обилие работ по передачам с ПТК [1-3], имеется мало публикаций, в которых рассматривается пространственное зацепление посредством промежуточных тел качения.

Известно, что все зубчатые передачи являются многопарными, т. е. в зацеплении одновременно участвует две и более пар зубьев. Многопарность зацепления обеспечивает плавность хода передачи, однако, появляются избыточные связи, которые приводят к снижению нагрузочной способности и сокращению ресурса работы зубчатых колес.

В работе [4] отмечено, что самоустанавливаю-щиеся механизмы (механизмы, в которых отсутствуют избыточные связи) обладают наиболее высоким коэффициентом полезного действия (КПД), способны работать при более высоких нагрузках и менее чувствительны к погрешностям изготовления. Таким образом, для получения передачи с ПТК, обладающей высоким КПД, необходимо,